《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：A Bayesian compressive sensing – Stochastic harmonic function based random field simulation method incorporating with Gaussian mixture model to consider fusion of multi-groups of spatial data
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随机场建模中，针对多数据集融合的统计不确定性量化问题，提出BCS-SHF-GMM方法，通过高斯混合模型构建连续高维概率分布描述频谱密度，提升数据利用率并降低估计偏差。
Jingran He|Ruofan Gao|De-Cheng Feng|Michael Beer
广东工业大学土木与交通工程学院，中国广州市大学城外环西路100号，510006
摘要
在工程应用中，随机场为表征具有空间和时间变化的属性提供了一个稳健的概率框架。然而，在实践中，用于随机场建模的数据集通常是顺序收集的。因此，合理地融合这些多个数据集需要进一步研究以最大化数据利用。先前的研究已经证明了基于单组数据的贝叶斯压缩感知-随机谐波函数方法在表示随机场方面的优异性能。在这项研究中，该方法与高斯混合模型结合使用，以进一步扩展其使用多组数据表示随机场的能力。具体来说，可以使用高斯混合模型获得波数谱密度函数的高维概率分布。因此，验证了所提出方法的收敛性，并将其应用于一些工程问题以验证其性能。
引言
在工程实践中，随机场被广泛用于模拟物理参数的空间和时间变化性[1]、[2]、[3]。通常，随机场的建模涉及数据收集和不确定性量化。在收集了多组随机场数据后，不确定性量化可以分为两部分：随机不确定性（在机器学习领域也称为偶然不确定性）和统计不确定性量化（一种由有限数据量引起的认知不确定性）。
参数化方法[4]、[5]、[6]和非参数化方法[7]、[8]在不同的工程问题中都显示出良好的性能。对于随机场的参数化建模，可以使用回归（或优化）方法[9]、[10]、[11]估计统计矩（均值、相关函数或波数谱密度函数）的参数，相应的统计不确定性可以通过回归的误差来量化[12]、[13]。当先验分布合适且数据有限时，这些方法是高效的，但如果先验形式指定错误，则可能会产生系统偏差[14]、[15]、[16]。对于随机场的非参数化建模，不假设波数谱密度函数或相关函数具有特定的函数形式，而是直接从数据中估计它们，而统计不确定性可以量化为相应的估计误差[17]。
相比之下，非参数化方法不对相关函数或谱密度施加先验函数形式；相反，通过周期图、核密度估计和压缩感知等策略，直接从数据中估计目标对象[17]、[18]、[19]。非参数方法的一个关键优势是一致性：随着数据量的增加，估计误差可以单调减少并趋于真实值，使它们在大数据或连续监测场景中更具可扩展性和稳健性[8]、[20]。在各种工程问题中，压缩感知（或压缩采样）已被证明具有出色的性能和计算效率。最近关于风场模拟的研究成功表明，压缩感知是重建和外推风场数据的强大工具[21]、[22]、[23]。在结构健康监测中，压缩感知也被广泛应用，并且其有效性得到了验证[24]、[25]。
为了平衡数据效率和不确定性量化，最近提出的贝叶斯压缩感知-随机谐波函数（BCS-SHF）方法为随机场提供了一种稀疏的、数据驱动的谱表示，能够量化统计不确定性和随机不确定性[7]、[17]。其核心思想是首先使用贝叶斯压缩感知（BCS）来识别波数域中的稀疏、非平凡的谱分量及其幅度统计；随后，在随机谐波函数（SHF）阶段，对相位和波数坐标进行随机化以生成样本并捕捉样本级别的内在变化性。该框架在单一、稀疏观测集下特别有效，并在工程问题中表现出强大的性能[7]。然而，一个关键限制是初始建模和推理流程是基于“单数据集”的前提，这使得难以最大化和一致地融合多批次、跨区域或时间累积的观测数据。使用稀疏多测量向量的线性逆问题的研究已经证明是有效的，这是通过假设数据的类似稀疏结构来实现的[26]。然而，这个假设并不一定适用于所有工程场景，除非事先知道数据相对于特定基的稳定稀疏结构。例如，在涉及分数阶滤波器的高度非线性问题中就很明显[27]、[28]。此外，对于不确定性量化，统计不确定性的概率度量对于稳健的随机分析非常重要。因此，直接应用BCS-SHF可能会低估谱密度的高维分布，特别是波数谱密度函数（WSD）的联合不确定性结构，从而限制了随着数据积累应产生的精度提升和不确定性收缩。
为了克服这一限制，本研究提出了将高斯混合模型（GMM）与BCS-SHF结合的方法[29]。在每个数据集通过BCS处理以获得稀疏谱坐标和幅度统计后，分别在重叠和非重叠的波数坐标上构建WSD的混合高斯或高斯表示，从而在波数域上形成WSD的连续高维概率分布，以描述跨数据集的统计不确定性和潜在的多模性。
本工作的主要贡献如下：（1）提出了一种将GMM集成到BCS-SHF中的非参数随机场建模方法，系统地解决了单数据集的限制，并能够一致地融合多个空间数据集，以构建WSD的连续高维概率描述；（2）从理论上阐明了随着数据集数量的增加，WSD的保真度如何提高以及统计不确定性如何收缩，并使用K-L散度及相关指标进行了量化；（3）通过多个工程案例研究，验证了该方法的准确性、稳健性和可扩展性，表明：与原始BCS-SHF相比，BCS-SHF-GMM减少了分布偏差和方差，并且对采样间隔与相关长度的比率不太敏感。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了BCS-SHF-GMM的理论细节；第3节通过数值实验验证了收敛性和准确性；第4节展示了其在裂纹表面的多 fractal 谱、带孔钢板的最大应力以及地震激励下钢筋混凝土剪力墙结构的随机响应和动态可靠性中的应用；第5节总结了本文。
部分摘录
贝叶斯压缩感知-随机谐波函数与高斯混合模型的理论描述
如前一节所述，贝叶斯压缩感知-随机谐波函数（BCS-SHF）是一种能够考虑统计不确定性和随机不确定性的稀疏数据驱动的随机场表示方法。BCS-SHF的主要缺点是整个过程基于单组数据，这在数据难以获得时通常是一个优势。然而，对于数据集量随时间增加的问题，或者
所提出方法的数值验证
在本部分中，所提出的方法被应用于用多组人工生成的数据对二维随机场进行建模。本节的组织结构如下：在3.1节中，使用所提出的方法解决了在同一时间段内在不同位置收集的多组数据来建模随机场的问题（因此可以将这些数据视为来自同一随机场的样本），并验证了该方法的收敛性
所提出方法在不同机械问题中的应用
在本节中，所提出的方法应用于3个不同的机械问题。第一个问题是使用多组稀疏数据计算裂纹表面的多 fractal 谱。第二个问题是估计中间有孔的拉伸加载方形钢板的最大应力，其中非均匀弹性模量被视为随机场，并应用多组稀疏数据来估计随机场。第三个问题是
结论性评论
在这项研究中，贝叶斯压缩感知-随机谐波函数方法通过高斯混合方法进行了扩展。这种修改扩展了该方法对多组数据的融合能力，而原始方法只能应用于单组数据。通过理论推导、数值验证和工程应用，可以得出以下结论：
(1) 所提出的方法能够以更高的精度恢复目标相关函数
CRediT作者贡献声明
Jingran He：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、资源、方法论、调查、资金获取、正式分析、数据管理、概念化。Ruofan Gao：撰写——审阅与编辑、验证、资源、项目管理、调查、资金获取、正式分析。De-Cheng Feng：撰写——审阅与编辑、验证、监督、资源、项目管理、调查。Michael Beer：撰写——审阅与编辑、监督，
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。
致谢
感谢中国广东省基础与应用基础研究基金会（授权号：2026A1515011844、2026A1515011813和2023A1515012910）；广州科学技术规划项目（授权号：SL2024A04J4287）；广州科学技术协会（授权号：QT2024-008）；国家减灾工程技术重点实验室的访问学者资助（授权号：SLDRCE25-F-08）以及广东省的青年科技人才支持计划的支持
