维纳路径积分的封闭形式近似方法，用于高效确定非线性动力系统的随机响应最可能路径

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：A closed-form approximation of the Wiener path integral most probable path for efficient stochastic response determination of nonlinear dynamical systems

非线性动力系统响应过渡概率密度函数的高效计算方法，通过将Wiener路径积分中的边界值问题转化为具有解析解的近似形式，显著降低计算成本。文中以Duffing型非线性振荡器和Preisach滞回振荡器为例，验证了该方法在捕捉概率密度函数尾部特性时的有效性，并与蒙特卡洛模拟结果进行对比。

　　

作者：Asela Nawagamuwage, Ioannis A. Kougioumtzoglou, Athanasios A. Pantelous

部门：莫纳什大学商学院计量经济学与商业统计系，地址：澳大利亚维多利亚州克莱顿校区Wellington路20号Chancellors Walk，邮编3800

摘要

本文提出了一种基于维纳路径积分（Wiener Path Integral, WPI）技术的近似分析方法，用于高效确定非线性动态系统的响应转移概率密度函数（Response Transition Probability Density Function, PDF）。在WPI公式中，转移PDF表示为对满足给定初始和最终条件的响应轨迹空间的泛函积分。通常，这种泛函积分通过仅考虑最可能路径的贡献来近似计算，即发生概率最高的轨迹。由于最可能路径是泛函积分的极值，因此需要通过求解边界值问题（Boundary Value Problem, BVP）来确定该极值。对于一般的非线性系统，必须数值求解这些BVP。此外，传统的WPI实现方法需要为离散化的响应PDF域中的每个点分别求解多个BVP，导致计算成本较高。为了解决这一问题，本文将BVP转化为一种便于处理的近似形式，从而可以在几乎零计算成本的情况下计算响应转移PDF，并保持满意的精度。文中通过两个具有Duffing型非线性和Preisach滞后特性的典型振荡器来验证所提出方法的可靠性，并提供了与基于蒙特卡洛模拟数据的PDF估计结果的比较。

引言

自20世纪50年代随机工程动力学领域诞生以来，已经提出了多种方法来确定结构和机械系统的响应与可靠性统计量[1]；相关标准著作可见[2]、[3]、[4]、[5]、[6]。长期以来，蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation, MCS）一直是求解随机方程的最通用工具[7]、[8]、[9]、[10]，但对于高维系统或罕见事件响应量，其计算成本往往过高。统计线性化提供了一种处理非线性系统的有效替代方法，但其对高斯假设的依赖性通常将结果限制在一阶和二阶统计量上[3]。此外，Naess及其同事基于Chapman-Kolmogorov理论提出了一种PDF传播方案（通常称为数值路径积分），能够准确捕捉响应PDF的尾部特征[12]、[13]。然而，由于多次卷积积分和小时间步长的存在，其计算成本随维度增加而迅速上升。其他概率密度演化方法[6]、Fokker-Planck方程求解策略[14]和多项式混沌展开[15]在系统维度增加时也会变得非常昂贵。

最近开发的维纳路径积分（WPI）技术解决了上述大部分问题，同时兼具高精度和计算效率[16]、[17]。WPI技术将系统响应转移概率密度函数表示为响应过程可能路径空间的泛函积分，这一表示方法使得可以利用变分微积分原理和工具来近似计算泛函积分。通常，这是通过仅考虑最可能路径（即对泛函积分贡献最大的路径）来实现的。

更详细地说，最可能路径具有最高的出现概率，对应于泛函被积函数的极值。为此，需要求解一个确定性边界值问题（BVP），其边界条件涉及系统响应的初始和最终状态。因此，BVP的解即为最可能路径，可用于近似计算系统响应转移PDF的特定点。显然，采用暴力方法（即离散化响应PDF域并针对网格中的每个点求解BVP）会导致计算成本随系统自由度呈指数级增长。为了应对这一挑战，WPI技术进行了多种改进，从利用问题物理特性的外推方法[18]、[19]到采用混合固定/自由边界条件的变分公式[20]，从而使得计算成本与自由度总数无关。

在本文中，我们在WPI框架内提出了一种新的方法，用于高效确定系统响应转移PDF。具体而言，对于一类具有非线性漂移和非线性扩散系数的一阶随机微分方程（Stochastic Differential Equations, SDEs），相应的最可能路径BVP被转化为一种便于处理的近似形式，该形式存在精确的解析封闭解。因此，可以在几乎零计算成本的情况下计算响应转移PDF，同时保持满意的精度。实际上，定义响应转移PDF所涉及的积分运算符“平均”了最可能路径的时间依赖行为。因此，PDF的评估对路径随时间的精确形式不太敏感。结果表明，本文提出的近似分析方法具有相当高的精度。文中通过两个代表性的非线性振荡器数值示例来验证该技术的准确性，并提供了与相关MCS数据的比较结果。

预备知识

本节简要回顾了WPI技术的基本要素，以完整介绍如何利用该技术确定各种系统/结构的随机响应。有兴趣的读者还可以参考参考文献[21]、[22]以及最近出版的相关书籍[17]以获取更详细的信息。

考虑以下形式的一般随机微分方程（SDE）： $\stackrel{?}{x}=\mu \left(x\right)+\sigma \left(x\right)\eta \left(t\right),$ 其中，表示响应过程，$x$和$\mu x$表示漂移项，$\sigma$表示真实值函数。

数值示例

本节表明，基于随机平均处理方法（例如[27]、[28]），可以将在不同非线性/滞后振荡器动力学中起作用的二阶SDE转化为方程（1）形式的一阶SDE。因此，第2节中开发的近似分析方法可以直接应用而无需任何修改。

具体来说，考虑一个单自由度非线性振荡器，其运动方程为： $\stackrel{?}{y}+{\beta }_y=\nu \left(t\right)$

结论

本文提出了一种基于WPI技术的近似分析方法，用于高效评估非线性动态系统的响应转移PDF。该方法的关键在于将最可能路径相关的BVP转化为一种便于处理的近似形式，该形式存在精确的封闭解。这消除了传统WPI实现中需要为每个离散点求解大量数值密集型BVP的需求。

CRediT作者贡献声明

Asela Nawagamuwage： 负责撰写初稿、方法论和形式分析。 Ioannis A. Kougioumtzoglou： 负责审稿与编辑、监督、方法论、资金获取、形式分析和概念构建。 Athanasios A. Pantelous： 负责审稿与编辑、监督、方法论、资金获取、形式分析和概念构建。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文的研究结果。

致谢

Ioannis A. Kougioumtzoglou衷心感谢美国国家科学基金会（National Science Foundation）的Civil, Mechanical and Manufacturing Innovation (CMMI) 分部提供的支持（资助编号：2433232）。