一种用于不确定机器人机械臂重复控制的算子理论方法

《IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica》：An Operator-Theoretic Approach to Repetitive Control of Uncertain Robot Manipulators

　　

摘要：尊敬的编辑：

本文针对具有周期信号的不确定机器人机械臂，提出了一种重复控制（repetitive control, RC）的算子理论方法。

由于机器人机械臂已广泛应用于多个领域，相关控制方法已经得到大量研究。尤其是，文献中考虑了所谓逆动力学（inverse dynamics, ID）方法，用于实现机器人机械臂的反馈线性化，从而为每个关节获得解耦的线性动态方程。另一方面，工业机械臂通常执行重复性任务，因此相应参考信号可由周期函数描述。从这一意义上说，基于内模原理（internal model principle）的重复控制（RC）方法有助于提高此类机械臂的跟踪精度。此外，为提升工业机器人的跟踪性能，处理扰动与建模误差等不确定因素具有重要意义。尽管已有研究分别针对不确定机器人机械臂的基于模型/无模型方法给出了鲁棒稳定性结论，但这些研究并未考虑与RC方法相关的含时滞项的反馈连接。

针对上述问题，研究人员推导了一种面向不确定机器人机械臂RC的算子理论方法。通过构造所谓单值传播算子（monodromy operator），获得了指数稳定性的充要条件以及输入到状态稳定性（input-to-state stability, ISS）条件。

这篇发表于《IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica》的论文聚焦于工业机器人在周期参考轨迹下的高精度跟踪控制问题。机器人机械臂在焊接、装配、搬运等场景中通常执行重复性任务，因此参考输入天然具有周期性。传统逆动力学（inverse dynamics, ID）方法可将机械臂非线性动力学进行反馈线性化，从而把每个关节转化为较易处理的线性形式，但在真实系统中，参数失配、外部扰动以及模型误差普遍存在，这些不确定因素会显著削弱跟踪性能。重复控制（repetitive control, RC）基于内模原理（internal model principle），对于抑制周期误差、提升稳态跟踪精度具有天然优势，然而RC结构中包含纯时滞环节 e^?sL，这使得闭环系统的稳定性分析变得复杂。已有研究通常通过有限维近似或引入复系数滤波器来处理时滞问题，但相应结果大多只给出充分条件，既缺乏严格的充要判据，也没有充分纳入不确定因素对稳定性的影响。基于这一背景，开展面向不确定机器人机械臂重复控制的严格算子理论分析，具有明确的理论价值与工程意义。

研究人员首先从机器人机械臂动力学方程
M(q)q¨+H(q,q˙)=τ+τ_d
出发，其中 M(q) 为惯性矩阵，H(q,q˙) 包含科里奥利项、离心项和重力项，τ 为控制输入，τ_d 为扰动输入。研究目标是使广义坐标 q(t) 渐近跟踪周期参考轨迹 q_d(t)。随后采用逆动力学方法构造控制律，将系统误差动力学写成
e¨=u+w，
其中 e=q_d?q，u 为附加控制输入，w 则统一表征由模型不确定性和外部扰动构成的总不确定项。该处理的重要意义在于：不确定机械臂的跟踪误差可被描述为带有不确定输入的线性二阶微分方程，从而为后续重复控制设计与稳定性分析建立统一框架。

在控制器结构上，研究人员将附加输入 u 分解为名义跟踪控制输入 u_tc 与重复控制输入 u_rc 两部分。前者采用全状态反馈形式，对误差 e 及其导数 e˙ 实施比例–微分校正；后者则采用输出反馈型RC结构，并显式引入周期 L 的时滞环节以及截止频率 ω_c、增益矩阵 K_rc。在这一基础上，系统被改写为带有单一时滞项的增广闭环微分方程。由于该时滞系统难以直接用常规有限维方法完整刻画，论文进一步将其重新解释为一个无时滞动态子系统与一个纯时滞反馈之间的互连结构，并据此引入单值传播算子（monodromy operator，指跨越一个周期映射系统状态的算子）H。该算子作用于“有限维状态 + 周期区间上的函数段”构成的混合空间，能够同时描述系统连续时间演化与跨周期离散传播行为。

本文所用关键技术方法主要包括以下几方面：其一，采用逆动力学（ID）将机械臂跟踪误差表示为含总不确定项的线性误差系统；其二，构造由状态反馈与输出反馈重复控制组成的RC闭环结构，并将其等价转化为时滞反馈系统；其三，引入单值传播算子 H，对系统每一周期上的混合连续/离散动力学进行算子化表达；其四，基于谱半径 ρ(H) 建立 p 型指数稳定性的充要判据，并进一步证明输入到状态稳定性（ISS）结论；其五，通过两组不同DH参数的6自由度机器人机械臂仿真，对比 H∞ 鲁棒控制方法及既有RC方法，验证理论与应用效果。

以下为论文主体结果的凝练解读。

在“Problem Statement”部分，研究人员明确给出了不确定机器人机械臂的动力学模型、跟踪目标以及基于逆动力学的误差系统推导过程。通过引入名义模型 M^ 与 H^，将建模误差 M~、H~ 以及外部扰动 τ_d 合并为总不确定项 w，得到误差动力学 e¨=u+w。论文特别强调，所有相关信号在全文中均假设为周期 L 的周期函数，这一设定与工业机械臂执行重复任务的实际背景一致，也为重复控制策略的使用提供了理论前提。该部分的核心结论是：在周期信号背景下，不确定机器人机械臂的跟踪问题可归结为一个含时滞反馈的误差调节问题。

在“Main Results”部分，研究人员首先将误差系统写为标准状态空间形式 x˙(t)=Ax(t)+Bw(t)+Bu(t)，并定义输出 y(t)=Cx(t)=e(t)。随后给出控制器结构：名义跟踪控制 u_tc(t)=?K_pe(t)?K_de˙(t)，以及重复控制器 H_rc，后者通过内部状态 x_rc(t) 结合过去一个周期的输出 y(t?L) 生成 u_rc(t)。将两者合并后，得到增广状态 xˉ(t) 的时滞微分方程
xˉ˙(t)=Aˉxˉ(t)+Aˉ_lxˉ(t?L)+Bˉw(t)。
这一表示为后续算子建模建立了基础。该部分的关键贡献在于：把原本与周期记忆相关的RC闭环结构，转写为标准的线性时滞系统形式，并由此打开了严格稳定性分析的途径。

在“Exponential Stability Condition Via Monodromy Operator”部分，论文给出了全文最核心的理论结果。研究人员先定义了 p 型指数稳定性（p-type exponential stability），其中 p∈[1,∞]，该定义统一覆盖了不同函数空间下的稳定性概念。随后，基于无时滞子系统与纯时滞环节的互连关系，构造单值传播算子 H，并证明该算子能精确表征系统跨越每一周期 L 的演化。定理1指出：对于任意 p∈[1,∞]，闭环系统 Σ 为 p 型指数稳定，当且仅当单值传播算子的谱半径满足 ρ(H)<1。这一结论的重要性在于，它首次为相关不确定机械臂RC系统给出了严格的充要稳定性条件，而非仅有保守的充分条件。研究人员在证明中还利用了 D 为紧算子这一事实，从而把对 H 谱性质的分析化约到点谱层面，并结合已有关于算子幂次衰减与谱半径之间关系的引理，完成了必要性与充分性的双向论证。论文还指出，该结果不要求初值满足重置条件（resetting condition）或对齐条件（alignment condition），因而具有更好的一般性。

在“Input-To-State Stability”部分，研究人员将分析从无不确定输入情形 w=0 推广到含扰动和建模误差的情形 w≠0。论文定义了输入到状态稳定性（ISS），即系统状态范数可由初始状态衰减项与输入有界项共同上界。借助单值传播算子的离散周期递推形式
ξ((k+1)L)=Hξ(kL)+[B_w^T D_w^T]^′w(kL+?)，
研究人员进一步得到多步展开表达式，并在定理2中证明：若 ρ(H)<1，则闭环系统 Σ 具有ISS性质。相应地，论文明确构造了类 K 函数 ζ 和类 KL 函数 β，其中 β(‖ξ(0)‖_∞,t)=ce^?αt‖ξ(0)‖_∞，ζ 则与扰动通道算子的诱导范数及几何级数和有关。该部分说明，前述指数稳定性结果不仅确保无扰动时系统状态指数收敛，也保证在有界不确定项存在时系统整体保持有界，从而建立了理论结果与工程鲁棒性的直接联系。

在“Simulations”部分，研究人员设计了两组仿真实验，对两种不同DH参数的机器人机械臂进行验证，参考轨迹也分别给定。仿真中，名义模型被设置为满足 |M~(q)|₂/|M(q)|₂<0.1 且 |H~(q,q˙)|₂/|H(q,q˙)|₂<0.1，以体现适度建模误差。研究人员将所提方法与 H∞ 鲁棒控制方法以及两类既有RC方法进行对比，并在统一参数条件下开展公平比较。结果显示，在两种情形下均有 ρ(H)=0.9821<1，因此依据定理2，系统满足ISS。进一步从关节跟踪误差 e 的均方根（root mean square, RMS）指标看，所提方法在所有关节上的误差均小于传统 H∞ 方法，而既有RC方法则未能稳定该不确定机械臂系统。与此同时，从控制力矩 τ 的RMS指标看，所提方法同样在各关节上均优于传统方法，而既有RC方法对应力矩发散。由此可见，算子理论RC方法不仅提升了跟踪精度，还改善了能量使用效率。

在讨论层面，论文的理论与仿真结果共同表明：通过单值传播算子建立的跨周期分析框架，可以避免对RC时滞环节进行有限维近似，从而保留原始重复控制结构的动态特征，并显著减少传统近似分析带来的保守性。相较于仅能提供充分条件的已有研究，该方法以谱半径判据统一刻画了指数稳定性与ISS性质，因此在理论完整性上具有明显优势。另一方面，论文并未脱离工程背景，而是通过不确定机械臂系统的具体仿真说明，这种更严格的稳定性刻画可直接转化为更优的误差抑制与更低的控制输入RMS。研究结论说明，该方法在处理周期任务、模型误差与外界扰动并存的工业机器人控制问题时具有突出的应用前景。

结论部分可译为：本文针对具有周期参考信号的不确定机器人机械臂，建立了重复控制（RC）方法的一种基于算子的解释框架。通过推导单值传播算子，得到了相关时滞反馈系统指数稳定性的一个充要条件。随后进一步表明，只要该时滞反馈系统指数稳定，则其满足输入到状态稳定性（ISS）。最后，论文通过若干仿真验证了所提理论的正确性以及方法在实际应用中的有效性。