顶点频率图维纳滤波：一种非平稳噪声下天体物理图像混合去噪的新方法及其性能验证

《Digital Signal Processing》：Denoising of astrophysical image mixtures from nonstationary noise by vertex-frequency graph Wiener filtering

本文探讨天体物理图像混合物(包含宇宙微波背景辐射(CMB)、银河尘埃和同步辐射)常受到功率随空间变化的非平稳仪器噪声污染的问题。为解决此去噪难题，研究者提出了一种基于谱图的顶点频率图维纳滤波器，用于在加权、无向连通图上定义的图信号去噪。该算法假设原始无噪图像混合信号可视为规则二维图上的确定性图信号，并通过图低通滤波器估计维纳滤波器。研究表明，在70 GHz通道、受到中低等银河污染的图像混合去噪场景中，该算法是处理非平稳仪器噪声的优选方案。

　　

在探索宇宙奥秘的征途上，科学家们通过接收来自太空的电磁波信号来绘制宇宙的“肖像”，这其中，宇宙微波背景辐射(CMB)是极为珍贵的“宇宙化石”，它携带了宇宙大爆炸后约38万年的信息。然而，从太空传回的图像数据并非“纯净”的。天体物理图像混合物通常由CMB、银河尘埃、同步辐射等多种成分叠加而成，并且不可避免地受到仪器本身产生的噪声污染。更棘手的是，这种仪器噪声并非均匀分布，其功率会随空间位置变化，即具有“非平稳”特性。这就像在观察一幅珍贵的古画时，不仅画面本身有多层颜料重叠，上面还沾染了疏密不均的污渍。如何在分离各层颜料（成分分离）之前，先有效去除这些疏密不均的污渍（非平稳噪声），是提升后续天体物理研究精度的关键预处理步骤。然而，现有的许多去噪方法要么专为特定类型的噪声或信号设计，要么在计算复杂度上代价高昂，缺乏一种能针对此类特定图像（具有复杂、云雾状结构）和非平稳噪声的普适、高效的去噪框架。为此，Sabri Ozen和Mehmet Tankut Ozgen在《Digital Signal Processing》期刊上发表研究，探索了基于图信号处理(Graph Signal Processing)的新方法，为这一难题提供了创新性的解决方案。

研究者们开展此项研究的核心技术方法是基于图信号处理理论。他们首先将图像视为定义在图顶点（对应像素）上的信号。核心创新在于提出并推导了一种适用于顶点变化噪声功率（即非平稳噪声）的顶点频率图维纳滤波器(vertex-frequency graph Wiener filter)理论框架。在算法实现上，他们从单幅输入的含噪图像混合出发，利用一个精心调谐的图低通滤波器(Graph Lowpass Filter)的输出来估计所需的维纳滤波器，然后将估计出的滤波器在顶点-频率域应用于含噪图像以实现去噪。研究使用了模拟的CMB、银河尘埃和同步辐射天空图，以及100 GHz和70 GHz通道的非平稳噪声均方根(RMS)图来构建和测试图像混合物。

2.1. 天体物理图像混合物

研究者考虑的图像混合物包含CMB、银河尘埃和同步辐射图，它们被建模为不同微波通道（如100 GHz和70 GHz）下相应混合系数的线性组合。这些图像被归一化的温度测量值，显示为球坐标系离散角变量的二维函数。模拟的CMB、尘埃和同步辐射图像信号均方根值量级分别为10^-5、10^-6和10^-7（以ΔT/T热力学单位计）。混合物受到零均值、加性、不相关的高斯噪声污染，其方差随空间变化。100 GHz和70 GHz通道的噪声平均标准差分别为7.92×10^-6和2.19×10^-5。研究使用了由Instituto de Fisica de Cantabria (IFCA)提供的模拟CMB图像和噪声RMS图，以及来自Planck工作组2的2006版Planck参考天空模型的模拟银河尘埃和同步辐射图像。

2.2. 图信号处理基础

研究将图像建模为定义在加权、无向连通图上的图信号。一个M×N的无噪天体物理图像混合物X，其按列堆叠的向量化形式x∈R^L(L=MN)可被视为定义在规则二维网格图上的实值图信号。观测到的含噪信号模型为 y = x + w，其中w是零均值、加性、不相关的高斯噪声(AWGN)向量，其协方差矩阵Σ = diag[σ²(1), σ²(2), …, σ²(L)]，噪声方差σ²(n)从噪声RMS图获得。研究目标是基于最小均方误差(MSE)准则从y中估计x。

3.1. 确定性信号情况

假设原始信号x是确定性的，研究者推导了顶点频率图维纳滤波器。通过最小化MSE，得到了维纳滤波器的传递函数矩阵H_W。关键步骤是将其表示为原始信号x与其方差归一化版本x? = Σ^-1x的互图Rihaczek分布(cross graph Rihaczek distribution, cGRD)的函数。最终的维纳传递函数系数H_W(n,λ_k)可表达为cGRD系数R_x,x?(n,λ_k)与图基向量元素幅值平方|V(n,λ_k)|²的比值，再除以一个与信号和噪声总能量相关的常数项。在实际算法中，他们从单幅含噪图像y估计cGRD，忽略分母中的未知常数得到一个未缩放的维纳估计，最后通过比较输入信号y与未缩放滤波器输出的均值来校正尺度，得到最终的去噪估计。

4. 最小均方误差与基准

研究者推导了确定性原始信号在顶点变化噪声功率下的最小MSE表达式，并计算了模拟的100 GHz和70 GHz通道下、不同混合系数场景的最小MSE及对应的最大峰值信噪比(PSNR)，这些值作为所考虑去噪问题的一组性能基准。此外，他们还通过假设原始无噪图像向量可用，并使用从含噪图像混合向量的高斯预滤波版本获得的图拉普拉斯矩阵的特征基作为图基，计算了推导出的维纳顶点频率传递函数，并将这些维纳滤波器应用于含噪图像混合物。得到的PSNR值构成了第二组基准，并在确定性原始信号假设下验证了所提出的维纳滤波器。

5. 基于图低通滤波的维纳估计算法

研究者提出了一种从单幅含噪输入图像混合物y估计维纳传递函数的去噪算法。核心思想是使用一个经过精心调谐的初步图低通滤波器的输出来估计所需的cGRD系数。具体步骤包括：1) 从含噪输入y构造图并获得图基V（如图拉普拉斯矩阵的特征向量）；2) 对y应用一个图低通滤波器，得到对原始信号x的初步估计x?_LP；3) 利用x?_LP和已知的噪声方差Σ，按照确定性信号情况下的公式，估计cGRD系数，进而得到未缩放的维纳传递函数估计?_W；4) 将?_W应用于含噪信号y的图傅里叶变换(GFT)系数，得到未缩放的去噪信号；5) 通过比较y与未缩放输出的均值进行尺度校正，得到最终的去噪图像估计x?_W。算法中的图低通滤波器截止频率和维纳传递函数估计值的幅值截断上下界是需调整的关键参数。

6. 与现有去噪方法的比较

研究者将提出的算法与五种先进的图像去噪方法进行了比较，包括：基于局部像素统计估计的空间域维纳滤波(LSWien)、由Sinkhorn算法改进的非局部均值滤波(NLM+S)、块匹配与三维滤波算法(BM3D)，以及两种基于图相似性的方法——非局部图基变换(NLGBT)和最优图拉普拉斯正则化(OGLR)。比较针对模拟的100 GHz和70 GHz通道图像混合物，每种通道设置了三种不同的混合系数场景。评价指标为去噪后图像的PSNR。结果表明，在所有混合场景下，NLM+S方法在PSNR上略胜一筹，但提出的图维纳滤波算法与其他比较方法相比总体上具有竞争力。特别地，在计算成本上，该算法相较于NLM+S方法具有优势。比较结果揭示，对于受到非平稳仪器污染的、具有中低程度银河污染的70 GHz混合物，提出的算法是一个有吸引力的选择。

研究的结论部分对全文工作进行了总结。本文首次将顶点频率图维纳滤波框架推广到顶点变化噪声功率的情况，以用于天体物理图像混合物的非平稳仪器噪声去除。通过假设感兴趣的原始图像信号是确定性的，并利用图低通滤波器从单幅含噪观测中估计所需的维纳传递函数，研究者提出了一种实用的去噪算法。模拟实验表明，该算法在PSNR性能上可与多种先进去噪方法竞争，并且在处理70 GHz通道、受中低银河污染的图像混合物时展现出其适用性。同时，与表现最佳的NLM+S方法相比，该算法具有计算成本上的优势。

这项研究的重要意义在于，它为处理具有复杂结构（如CMB、尘埃和同步辐射的云雾状形态）和非平稳噪声特性的天体物理图像提供了一种新的、基于图