随着制造工艺的进步，连续纤维增强复合材料（CFRCs）的结构配置变得越来越复杂，明显呈现出从二维设计向三维设计过渡的趋势[1]、[2]。因此，近年来CFRCs的拓扑优化引起了广泛关注[3]、[4]、[5]、[6]、[7]。大量研究表明，通过拓扑优化同时确定结构拓扑和纤维方向后得到的优化设计表现出更优越的性能[8]、[9]。然而，随着这些结构的规模和复杂性的增加，此类优化问题的高计算成本成为一个重大挑战，主要是由于设计变量数量众多以及涉及的嵌套式有限元分析（FEA）耗时较长。尽管已经提出了一些方法[10]、[11]、[12]、[13]、[14]，但现有的大多数CFRC拓扑优化方法主要关注合规性最小化，而最大基本特征频率优化的挑战仍基本未被探索。
到目前为止，尽管拓扑优化方法取得了显著进展，但在最大基本特征频率优化问题中仍存在一些挑战。首先，由于插值函数不当导致的虚假局部模式[15]往往主导最低特征频率，掩盖了真实的物理响应，从而严重影响了解决方案的准确性和可靠性。这个问题可以通过改进的刚度和质量插值方案来缓解，例如分段插值方案[15]、[16]、[17]、材料属性的有理逼近（RAMP）方案[18]以及各种多项式插值方法[19]、[20]。第二个更为复杂的挑战是重复特征值的不可微性[21]、[22]，这阻碍了基于梯度的算法直接应用于设计变量更新。已经开发了几种方法，包括使用界限公式重新表述问题[17]、采用对称谱聚合技术[23]、[24]、[25]以及使用非光滑优化算法[26]。
在最大基本特征频率的拓扑优化中，一个主要的计算挑战是需要反复求解嵌套的广义特征值问题，这比分析静态问题要困难得多[27]。为了克服这一瓶颈，最初通过使用频率响应替代方法来避免直接求解特征值，该方法只需要求解线性系统[28]。然而，这种方法需要仔细选择激励频率，并不适合大规模问题。为了应对这些限制，引入了一种基于多级离散化的策略[27]。仅在最粗的离散化上准确计算特征对，并将粗网格模式投影并平滑到最细的尺度，用作频率响应线性系统的负载向量，然后通过多网格预处理的共轭梯度（MGPCG）求解器进行求解。为了在频率约束下实现高效的高分辨率拓扑优化，实现了一种带有专门重用特征向量策略的Jacobi-Davidson求解器[24]。为了进一步提高合规性和特征频率优化的计算效率，还设计了一种定制的拟牛顿修正方案[29]。通过利用问题依赖的二阶导数，这种方法在涉及超过1550万个自由度（DOFs）的大规模模态分析中表现出鲁棒性。
Kang等人[30]提出了一种连续分析设计（SIAD）方法，用于解决拓扑优化中的大规模特征值问题。这种新颖的SIAD方法将近似特征值分析和设计变量更新集成到一个迭代循环中，从而取代了传统的计算成本较高的双循环方法。为了进一步提高效率，还为SIAD方法开发了一种多步中继实现[31]。它通过系统的网格细化，从粗略的初始离散化逐步推进到高空间分辨率，从而有效地平衡了计算效率与获得高保真设计边界。或者，可以利用GPU并行计算来大幅提高SIAD方法的效率[32]。SIAD方法还被应用于解决更具挑战性的3D光子晶体设计和瞬态响应拓扑优化问题[33]、[34]。
CFRC材料的横向各向同性和空间变化的纤维方向为最大基本特征频率的拓扑优化带来了新的挑战。首先，横向各向同性倾向于放大局部结构刚度对比度，并在优化配置中诱导形成薄壁和细长杆状特征，这可能会阻碍迭代求解方法的收敛。其次，空间变化的纤维方向带来了双重困难：即使对于相同的几何形状，也会导致不同的单元刚度矩阵，从而产生严重的存储和计算需求，阻碍了迭代求解器所需的矩阵自由稀疏矩阵-向量乘法（SpMV）的效率。此外，定义这些方向需要更多的设计变量，从而增加了优化过程中敏感性分析和设计变量更新的计算成本。第三，尽管设计目标是最大化基本频率，但需要解决潜在的频率重复问题，这需要在每次优化步骤中计算多个特征频率。虽然SIAD方法避免了在每次设计迭代中直接求解完整的广义特征值问题，但逆迭代步骤仍然涉及求解类似于多负载情况下的系统。因此，与单负载情况下的最小合规性设计问题相比，计算成本显著更高。
本研究提出了一种高效的GPU求解器，用于CFRCs的三维大规模拓扑优化，以最大化基本特征频率，通过充分利用两种合理的近似方法大大降低了求解广义特征值问题的计算成本。首先，使用SIAD方法[30]在结构设计过程中通过一系列逐步逼近的向量逐渐接近精确的特征对。其次，开发了一种针对笛卡尔参数化的纤维方向的改进TA-ESMC方法[35]，以加速SpMV操作中所有单元刚度矩阵的近似计算。在此基础上，提出了以最大化基本特征频率为目标的CFRCs三维大规模拓扑优化的公式，其中采用了平均簇方法[25]，即使基本特征频率重复，也能使目标函数可微分。还开发了高效的敏感性分析和设计变量更新方法。通过仔细检查其在几个数值示例中的使用情况，验证了GPU求解器的准确性、效率、可扩展性等方面。
本研究的主要贡献有三个方面。首先，据我们所知，这是首次进行三维CFRCs的大规模拓扑优化研究，以最大化基本特征频率，同时优化材料分布和空间变化的纤维方向。其次，为了解决计算挑战，我们开发了一个高效的基于GPU的框架。这包括一个改进的TA-ESMC方法，它加速了核心的SpMV计算，进而推动了我们的GPU加速MGPCG求解器，使得在SIAD框架内解决多负载情况问题非常高效。对于密度和纤维变量，采用了适合GPU的单独更新方案。第三，通过高分辨率案例研究，我们证明了我们的方法可以产生质量更轻、基本特征频率更高的设计。我们还报告并分析了3D CFRCs中特征频率优化的一些独特现象。
本文的其余部分组织如下。第2节阐述了CFRCs的拓扑优化问题，以最大化基本特征频率。第3节描述了解决方法，首先简要介绍了SIAD方法的基本思想和程序，然后详细解释了改进的TA-ESMC方法，接着是敏感性分析和设计变量更新策略。第4节通过三个数值示例展示了所提出方法的有效性和性能。最后，第5节总结了本文。
