《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Estimating first-passage probabilities of stochastic dynamical systems: A POD–GPR based approximate Bayesian active learning approach
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评估随机动力系统的首次穿越概率（First-Passage Probability）对于现代工程系统的安全性与性能评估至关重要，然而该任务在解析与数值层面均面临显著挑战。为此，本研究提出了一种基于本征正交分解（Proper Orthogonal Decompo
评估随机动力系统的首次穿越概率（First-Passage Probability）对于现代工程系统的安全性与性能评估至关重要，然而该任务在解析与数值层面均面临显著挑战。为此，本研究提出了一种基于本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition, POD）与高斯过程回归（Gaussian Process Regression, GPR）的近似贝叶斯主动学习方法（Approximate Bayesian Active Learning, ABAL），即POD–GPR–ABAL方法。首先，研究人员利用POD获取随机动力响应的最优低秩表示，通过一组紧凑的基函数与系数实现降维，随后以独立的GPR对各POD系数进行近似。其次，借助组合POD–GPR模型的贝叶斯 formulation，将首次穿越概率积分诠释为贝叶斯推断问题，并发展了近似贝叶斯推断框架以规避精确贝叶斯推断的计算不可行性。在此框架下，推导了近似后验首次穿越概率的均值作为贝叶斯估计量，同时推导了该近似后验标准差的上界以提供估计量的不确定性度量。第三，基于后验统计量提出了新的停止准则以判定主动学习过程的终止时机，并发展了新型学习函数以在停止准则未满足时识别最优下一评估点。三个数值算例验证了所提POD–GPR–ABAL方法在随机动力系统首次穿越概率评估中的有效性，结果表明该方法仅需少量时程分析即可获得准确的首次穿越概率估计。
本研究聚焦于随机动力系统可靠性分析中的核心难题——首次穿越概率估计。随机动力系统广泛存在于科学与工程领域，其可靠性分析对保障现代工程系统的安全性与性能具有关键意义。在该领域中，首次穿越失效与疲劳累积损伤失效是两类典型问题，其中首次穿越失效涉及结构在强风或地震作用下首次超越临界阈值、机械构件在应力或变形首次过量时发生失效等情形。尽管已有跨越率方法、随机模拟方法、矩方法、概率密度方法以及代理模型方法等多种技术路线，但首次穿越概率的评估在解析与数值层面仍极具挑战性：跨越率方法受限于高阈值与宽频带假设；直接蒙特卡洛模拟（Direct Monte Carlo Simulation, MCS）在小失效概率情形下计算成本高昂；子集模拟（Subset Simulation, SuS）、重要性采样等方法对一般非线性系统可能理论不适用或计算上仍不可行；矩方法依赖可能缺乏依据的分布假设且缺乏可靠误差指示；概率密度演化方法随系统维度增加面临"维度灾难"；既有的代理模型方法虽具前景，但在动态可靠性分析中的贝叶斯主动学习潜力尚待挖掘。
在此背景下，研究人员在《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》发表了这项研究，旨在开发一种专为随机动力系统首次穿越概率估计量身定制的贝叶斯主动学习方法。该研究的核心贡献在于：将POD–GPR作为贝叶斯概率模型引入动态可靠性分析，实现了从系统仿真到可靠性计算的目的转换；首次将贝叶斯主动学习形式化拓展至随机动力系统的可靠性分析；将首次穿越概率估计诠释为贝叶斯推断问题并利用近似推断框架规避精确推断的计算负担；基于后验统计量提出新型停止准则与学习函数。
研究所采用的主要关键技术方法包括：本征正交分解技术用于实现随机响应的时空解耦与最优低秩逼近；各向异性Matérn 5/2核函数构建的高斯过程回归用于建立随机输入与POD系数之间的概率映射；近似贝叶斯推断框架将首次穿越概率积分转化为后验分析，推导均值估计量与标准差上界；基于变异系数上界的双停止准则机制控制主动学习迭代；以指示函数标准差最大化为准则的学习函数指导自适应采样；蒙特卡洛采样结合Hammersley序列初始化策略。
研究结果部分按照论文结构展开如下：
本征正交分解与高斯过程回归模型构建 研究人员首先建立了POD–GPR组合模型对随机动力系统进行仿真。通过细奇异值分解（Thin Singular Value Decomposition, SVD）获取确定性的正交POD基函数与随机的POD系数，以预定能量累积阈值确定截断模态数。对每个POD系数独立构建GPR模型，采用零先验均值与Matérn 5/2协方差函数，通过最大化对数边缘似然估计核超参数。推导了响应预测的后验均值函数与后验协方差函数的解析表达式，实现了对系统响应的贝叶斯预测及不确定性量化。
近似贝叶斯推断框架 针对精确贝叶斯推断计算不可行的难题，研究人员引入简化假设：将各时刻预测响应视为相互独立的正态随机变量，忽略时序相关性。在此假设下，推导了近似后验指示函数的广义伯努利过程表示，给出了其均值与协方差的解析表达式。进一步推导了近似后验首次穿越概率的均值μ
P?f,n作为贝叶斯估计量，以及通过柯西–施瓦茨不等式得到的标准差上界σ?
P?f,n作为不确定性度量。利用蒙特卡洛模拟评估这些统计量，给出了相应估计量及其方差的计算式。
停止准则与学习函数 基于后验统计量，研究人员提出了以近似变异系数上界ν?
P?f,n=σ?
P?f,n/μ
P?f,n为核心的停止准则，确保真实变异系数不超过设定容差。当停止准则未满足时，采用学习函数L(ξ)取最大值的点作为下一评估点，该学习函数本质为近似后验指示函数的标准差函数，能够有效反映认知不确定性并促进对总体不确定性消减最有价值的采样。
算法实现流程 完整的POD–GPR–ABAL方法包含十个步骤的迭代流程：采用Hammersley序列生成初始训练集；构建候选样本池；执行POD降维；构建各POD系数的GPR模型；利用蒙特卡洛模拟评估后验统计量；检验双停止准则（变异系数上界连续两次满足阈值，以及蒙特卡洛估计变异系数满足次级阈值）；若未满足则通过学习函数新增样本并迭代更新模型。
数值验证——非线性Duffing振子 第一算例为受简谐激励的非线性Duffing振子，自然频率与激励频率为随机变量。POD–GPR–ABAL方法平均仅需29.50次系统评估即可获得CoV为4.32%的失效概率估计，而子集模拟需3000次评估且CoV达24.15%，序贯重要性采样需3400次评估且CoV为12.19%。所提方法计算时间约为蒙特卡洛模拟的0.6%，且显著低于对比方法。
数值验证——Bouc–Wen迟滞振子 第二算例为受随机激励的Bouc–Wen迟滞振子，含13个随机变量。所提方法平均需33.35次系统评估，获得CoV为5.76%的估计结果；而子集模拟与序贯重要性采样均需3000次评估，CoV分别高达32.40%与22.65%。计算效率方面，所提方法耗时约135秒，较子集模拟快约14.5倍，较序贯重要性采样快约18.8倍。
数值验证——带黏滞阻尼器的空间钢框架结构 第三算例为采用OpenSees建模的四层两跨非线性空间钢框架结构，配备三个黏滞阻尼器，考虑死载、活载、激励及结构属性的随机性。所提方法平均需113.50次系统评估即可获得CoV为3.85%的结果，而子集模拟需2250次评估、序贯重要性采样需2000次评估；计算时间上所提方法约为2277秒，较子集模拟快约3.7倍，较序贯重要性采样快约4.3倍，较蒙特卡洛模拟快约39倍。
讨论与结论部分指出，所提POD–GPR–ABAL方法通过将POD–GPR模型与贝叶斯主动学习相结合，以极少的模型评估次数实现了对首次穿越概率的高效准确估计。数值结果表明该方法在保持可比精度的同时，显著减少了模型评估次数与计算时间。
研究结论如下：本研究提出的POD–GPR–ABAL方法为随机动力系统首次穿越概率估计提供了新途径。该方法利用POD–GPR统计模型对随机响应进行最优低秩分解并实现系数的概率预测；基于组合模型的贝叶斯特性发展了近似贝叶斯推断框架，推导了近似后验首次穿越概率的均值及其标准差上界，分别作为失效概率估计量与不确定性度量；提出的停止准则与学习函数有效支撑了主动学习过程。三个数值算例验证了该方法在估计首次穿越概率时，仅需远少于既有方法的模型评估次数和计算时间即可获得可比精度。
