概念性水文模型已经进入了微分时代（Clark & Kavetski, 2010; Kavetski et al., 2003），在该时代，水循环的物理过程使用微分方程来描述，微分方程是自然界规律最通用的表达方式（Brunton & Kutz, 2024）。在计算资源有限和数值方法尚不成熟的情况下，经典的概念模型受到工程实用主义的影响，倾向于采用离散的代数水量平衡公式，以简化计算（Fenicia et al., 2025）。然而，这种实用主义的基础引入了隐藏的数值误差，可能会降低模型性能并复杂化参数校准（Schoups et al., 2010; Woldegiorgis et al., 2023）。认识到这些局限性，最近的研究将TOPMODEL（Beven & Kirkby, 1979）、HBV（Seibert & Bergstr?m, 2022）、Xinanjiang（Zhao, 1992）和GR4J（Perrin et al., 2003）等经典模型重新表述为连续微分形式（Kavetski et al., 2003; Jansen et al., 2021; Zhao et al., 2023; Santos et al., 2018）。这种重新表述使得模型能够与现代数值求解器集成，并为量化数值误差提供了统一的框架（Bisht & Riley, 2019; Goudarzi et al., 2023）。在此基础上，基于微分方程的水文建模框架应运而生，包括FUSE（Clark & Kavetski, 2010）、MARRMoT（Knoben et al., 2019）、Raven（Craig et al., 2020）和SuperflexPy（Dal Molin et al., 2021）。然而，这种转变迄今为止主要局限于径流生成和坡面路由方面，而其在水文河流网络路由中的应用则相对较少受到关注。
河流网络路由是汇聚和传播坡面径流、产生河流网络中任意位置流量响应的关键机制（Mizukami et al., 2016; Song et al., 2025）。虽然这一机制控制着洪水发生的时间、强度和整体流量曲线形状（Cortés-Salazar et al., 2023; Troy et al., 2025），但其离散差分形式的表示可能会影响各模块之间的数值一致性。为了与离散的河流网络路由方法接口，水文模型的出流值需要进行时间平均处理（Craig et al., 2020; Thober et al., 2019），这隐含了每个时间步内流量均匀分布的假设。这一过程可能导致模拟流量曲线的失真，例如洪水峰值减弱、峰值时间改变以及总径流量偏差。在降水强度较大的情况下，这种失真可能会加剧，因为高降水强度会放大数值误差（La Follette et al., 2021）。尽管这些误差可能具有潜在影响，但河流网络路由中的数值误差大小仍不明确。这里的数值误差主要指由控制微分方程的时间离散化引起的截断误差，包括差分公式本身固有的误差以及与水文模型耦合引入的误差。由于缺乏系统的解析基准解（或其高精度近似值），这些误差的量化一直受到限制（Zhou et al., 2025）。
离散河流网络路由方法的持续使用反映了水文建模实践中的历史惯性（Addor & Melsen, 2019）。在水文学中，河流网络路由中的微分方程应用传统上与水力学相关，例如Saint-Venant方程或其简化的扩散波和运动波近似（Cortés-Salazar et al., 2023; Mizukami et al., 2016）。相比之下，水文路由方法被视为经验性或集总化技术，很少从微分方程的角度进行重新审视。水文路由方法因其简单性和对数据要求较低而受到重视，这导致其被广泛采用（Huang et al., 2022）。最近，一些基于物理的机器学习模型将此类水文路由方法作为其物理基础，通常采用经典的差分形式实现（Bindas et al., 2024; Song et al., 2025）。推导微分形式方程可以为基于微分方程的AI架构（如Neural ODE（H?ge et al., 2022）和DeepONet（Lu et al., 2021）提供基础。
在各种水文河流网络路由方法中，Muskingum方法（McCarthy, 1938）为开发微分形式框架提供了特别合适的基礎。它是中国及其他许多地区操作性洪水预报系统的主要组成部分，具有简单的参数化和透明的物理解释（Wang et al., 2023; Song et al., 2025）。Muskingum方法也是多个独立河流网络路由模型（如RAPID（David et al., 2011）以及许多分布式水文模型（包括SWAT+（Bieger et al., 2017））的路由组件的核心。尽管它通常以离散差分形式实现，但Muskingum方法本身直接源于连续性方程以及存储量、流入量和流出量之间的本构关系，这正是普通微分系统的结构（Clark, 1945）。基本的Muskingum方法主要针对单一段河段设计（Nash, 1959）。要将其推广到河流网络规模，必须考虑多个河段之间的上下游连通性拓扑结构（Liu et al., 2023）。此外，由于Muskingum方程本质上是线性的，它们适合用紧凑的矩阵-向量形式表示（Huang et al., 2022）。基于此，我们推导出了用于河流网络路由的矩阵-向量微分形式Muskingum（MVDM）方法。具体目标如下：
1. 重新推导Muskingum方程的微分形式，并将其扩展为用于渠道路由的矩阵-向量公式；2. 通过考虑河段之间的上下游连通性，将这一结构推广到河流网络路由；3. 通过数值实验将提出的MVDM方法与差分形式Muskingum方法进行比较，评估其性能，并通过实际应用进行验证。本文的其余部分安排如下：第2节介绍河流网络拓扑结构并回顾Muskingum方法的理论背景。第3节推导MVDM方法并总结其计算过程。第4节描述MVDM与水文模型之间的耦合策略。第5节设计数值实验以评估数值误差。第6节将所提出的方法应用于连江河流域，第7节总结研究结果及其对未来研究的启示。
