用于线性和非线性动力梁方程的混合有限元方法：实现与验证

《Mathematics and Computers in Simulation》：A hybrid finite element approach for linear and nonlinear dynamic beam equations: Implementation and validation

　　奥努尔·贝萨尔|玛丽亚·阿奎利纳
马耳他大学数学系，马耳他

摘要
本研究提出了一种基于罗特方法的新型混合数值方法，用于求解非稳态阻尼欧拉-伯努利梁方程。首先，将该问题转化为一系列耦合的一阶初值问题，然后采用适当的有限差分方法对时间导数进行离散化，从而将问题简化为一系列稳态系统。接着，利用带有赫米特三次基函数的有限元方法对这一系列稳态问题进行迭代求解。通过这一过程，可同时得到梁的位移、斜率、横向速度以及斜率变化率的近似值。通过与精确解的比较，评估了所提方法的准确性。此外，还使用对数坐标图来分析离散化参数对稳态和非稳态问题影响的程度。通过一个基准模型问题，进一步证明了该方法在处理非线性方程时的适用性和稳健性。最后，在附录中给出了稳态问题弱解的可解性分析，以及支持L2范数下数值结果的详细误差分析。

引言
微分方程在科学和工程领域的各种复杂物理现象建模中起着至关重要的作用。然而，根据问题的不同情况，获得解析解往往十分困难，而且只有少数情况下才能找到显式解。因此，数值算法被视为解决这些问题的可行替代方案。这些算法可以根据不同的理论原则分为不同类别。其中最常用的两种方法是有限差分法和有限元法。此外，将这些方法结合使用还可以形成高效的混合技术；例如，线法就可以结合这两种方法的优点。近年来，针对不同类型的结构模型和计算模型，人们提出了多种混合近似方法。这些研究展示了在各种情境下结合互补数值策略的灵活性[1][2][3][4]。在本研究中，我们提出了一种基于线法的新混合数值方法，用于求解非稳态线性和非线性欧拉-伯努利梁方程。

无论边界配置如何，梁都是航空航天和土木工程中结构系统中的基本元素，比如飞机部件、桥梁以及高层建筑框架等（参见[5]及其中的参考文献）。诊断成像和纳米级仪器等领域的发展，进一步激发了人们研究涉及梁状结构的逆问题的兴趣，尤其是那些与未知力或边界效应相关的问题[6][7][8]。尽管欧拉-伯努利梁模型在多个学科中被广泛应用，但在高效数值求解方面仍存在挑战，这促使人们开发出传统方案之外的其他算法。目前文献中可供选择的替代算法并不多。对于静态模型问题，有限元法较为直接，它使用三次赫米特基函数[9][10]。而对于时变问题，[9]中提出了两种基于垂直线法的混合方案。垂直线法的核心思想是对空间域和时间域分别进行离散化。具体而言，首先在有限维空间内构建半解析结构，然后将时间导数用适当的有限差分表达式替换，从而得到完全离散的代数方程组。后来又出现了一种改进版本，它在时间离散化方面具有更好的稳定性，该版本已被应用于另一种形式的梁方程，证明了该方法的效率和精确性[11]。此外，这种方法在以往的研究中也得到了广泛的应用，尤其是在逆问题领域[12][13][14][15]。在本文中，我们旨在基于罗特方法（即水平线法）开发一种新方法，该方法不仅更容易适应复杂的问题的设定，而且相比前述方法，还能更稳定地计算近似导数。与垂直线法不同，罗特方法首先对时间进行离散化，然后再利用有限元法迭代求解由此产生的稳态问题序列。另外，[16]可作为时空有限元方法的综合参考文献。

图1展示的是具有支撑（铰接）边界条件的非齐次动力欧拉-伯努利梁，而非平凡边界条件情形则由以下方程描述：[数学处理错误]
算子[数学处理错误]定义为Sw?(α(x)wxx)xx?(β(x)wx)x+γ(x)w，其中w(x,t)表示梁的位移，定义在[0,l]×[0,T]上，l和T为正实数。项g(x,t)对应于作用在梁上的外部载荷，α(x)=EI(x)表示弯曲刚度，E为弹性模量，I(x)为梁横截面的惯性矩，ρ(x)表示单位长度的质量密度，而非负空间函数η(x)、β(x)和γ(x)分别代表阻尼系数、沿梁方向的轴向拉力（轴向载荷）以及基础刚度。

此外，还假设以下条件：ρ,η,α,β,γ∈L∞(0,l)，p∈H?2(0,l)，q∈L2(0,l)，且对所有x∈(0,l)有0< /><α?≤α(x)。在全文中，符号hn(0,l)表示n阶希尔伯特-索伯列夫空间，而h?2(0,l)?h2(0,l)∩c0(0,l)。

本研究的结构如下：第2节介绍稳态线性梁方程及其对应的变分形式。此外，还开发了一种基于三次基函数的简单有限元方法，并通过单位区间上的测试问题来分析其性能，以确定步长的合适范围。第3节专门讨论非稳态问题，其中构建了基于罗特方法的算法。详细介绍了该方法的各项内容，并通过具有不同网格参数的测试问题对其性能进行了分析。通过这些分析，我们提出了离散化参数之间的最佳平衡关系。最后，在第4节中，通过一个基准模型问题，证明了该方法在处理非线性方程时的适用性和效率。

章节节选

稳态问题
本节的重点是设计一种简单而有效的数值算法，用于解决由梁模型所描述的边值问题。该算法不仅在处理动态梁问题方面起着关键作用，而且也有助于板方程的数值求解[17]。（α(x)w′′)′′?(β(x)w′)′+γ(x)w=f(x)，其中x∈(0,l)，w(0)=a，α(0)w′′(0)=a?，w(l)=b，α(l)w′′(l)=b?。我们假设方程(3)中的参数满足以下条件：γ,β∈l∞(0,l)为非负函数，f……

动态梁方程的数值近似
在本节中，我们在假设ρ≡1的前提下，提出了一种新的混合数值方法，用于求解方程(1)中所描述的阻尼非稳态梁方程。通过伽辽金方法可以证明方程(1)的弱解是唯一存在的。正如[22][23]中所讨论的，针对固定端情况的证明方法，可以依据[24]中阐述的技术原理，轻松应用于铰接-铰接情况。为了简化表述，我们首先定义z=wt，然后将方程(1)改写为如下形式：wtzt=z?ηz?sw……

非线性梁方程的数值解
非线性非稳态梁方程能够更准确地描述结构工程中的各种物理现象，比如桥梁动力学。然而，由于存在非线性项，无论是解析方法还是数值方法都会面临很大困难。特别是这些非线性项给构建与原方程一致的数值方案带来了严重阻碍。传统的解决方法通常是对非线性项进行线性化处理……

结论
总之，本研究提出的方法具有很高的准确性和可靠性。尽管现有文献中存在多种替代方法，且类似技术也被用于波动方程的求解，但我们认为这项数值研究填补了重要空白，为梁方程的数值求解提供了一种可靠的替代方案。从表面上看，该算法具有较高的计算效率，主要是因为它不需要复杂的……

作者贡献说明
奥努尔·贝萨尔：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，监督，软件，资源，方法论，研究实施。玛丽亚·阿奎利娜：写作——审稿与编辑。 本研究的结构如下：第2节介绍稳态线性梁方程及其对应的变分形式。此外，还开发了一种基于三次基函数的简单有限元方法，并通过单位区间上的测试问题来分析其性能，以确定步长的合适范围。第3节专门讨论非稳态问题，其中构建了基于罗特方法的算法。详细介绍了该方法的各项内容，并通过具有不同网格参数的测试问题对其性能进行了分析。通过这些分析，我们提出了离散化参数之间的最佳平衡关系。最后，在第4节中，通过一个基准模型问题，证明了该方法在处理非线性方程时的适用性和效率。 章节节选 稳态问题 本节的重点是设计一种简单而有效的数值算法，用于解决由梁模型所描述的边值问题。该算法不仅在处理动态梁问题方面起着关键作用，而且也有助于板方程的数值求解[17]。（α(x)w′′)′′?(β(x)w′)′+γ(x)w=f(x)，其中x∈(0,l)，w(0)=a，α(0)w′′(0)=a?，w(l)=b，α(l)w′′(l)=b?。我们假设方程(3)中的参数满足以下条件：γ,β∈L∞(0,l)为非负函数，f…… 动态梁方程的数值近似 在本节中，我们在假设ρ≡1的前提下，提出了一种新的混合数值方法，用于求解方程(1)中所描述的阻尼非稳态梁方程。通过伽辽金方法可以证明方程(1)的弱解是唯一存在的。正如[22][23]中所讨论的，针对固定端情况的证明方法，可以依据[24]中阐述的技术原理，轻松应用于铰接-铰接情况。为了简化表述，我们首先定义z=wt，然后将方程(1)改写为如下形式：wtzt=z?ηz?Sw…… 非线性梁方程的数值解 非线性非稳态梁方程能够更准确地描述结构工程中的各种物理现象，比如桥梁动力学。然而，由于存在非线性项，无论是解析方法还是数值方法都会面临很大困难。特别是这些非线性项给构建与原方程一致的数值方案带来了严重阻碍。传统的解决方法通常是对非线性项进行线性化处理…… 结论 总之，本研究提出的方法具有很高的准确性和可靠性。尽管现有文献中存在多种替代方法，且类似技术也被用于波动方程的求解，但我们认为这项数值研究填补了重要空白，为梁方程的数值求解提供了一种可靠的替代方案。从表面上看，该算法具有较高的计算效率，主要是因为它不需要复杂的…… 作者贡献说明>
本研究的结构如下：第2节介绍稳态线性梁方程及其对应的变分形式。此外，还开发了一种基于三次基函数的简单有限元方法，并通过单位区间上的测试问题来分析其性能，以确定步长的合适范围。第3节专门讨论非稳态问题，其中构建了基于罗特方法的算法。详细介绍了该方法的各项内容，并通过具有不同网格参数的测试问题对其性能进行了分析。通过这些分析，我们提出了离散化参数之间的最佳平衡关系。最后，在第4节中，通过一个基准模型问题，证明了该方法在处理非线性方程时的适用性和效率。

章节节选

稳态问题
本节的重点是设计一种简单而有效的数值算法，用于解决由梁模型所描述的边值问题。该算法不仅在处理动态梁问题方面起着关键作用，而且也有助于板方程的数值求解[17]。（α(x)w′′)′′?(β(x)w′)′+γ(x)w=f(x)，其中x∈(0,l)，w(0)=a，α(0)w′′(0)=a?，w(l)=b，α(l)w′′(l)=b?。我们假设方程(3)中的参数满足以下条件：γ,β∈l∞(0,l)为非负函数，f……

动态梁方程的数值近似
在本节中，我们在假设ρ≡1的前提下，提出了一种新的混合数值方法，用于求解方程(1)中所描述的阻尼非稳态梁方程。通过伽辽金方法可以证明方程(1)的弱解是唯一存在的。正如[22][23]中所讨论的，针对固定端情况的证明方法，可以依据[24]中阐述的技术原理，轻松应用于铰接-铰接情况。为了简化表述，我们首先定义z=wt，然后将方程(1)改写为如下形式：wtzt=z?ηz?sw……

非线性梁方程的数值解
非线性非稳态梁方程能够更准确地描述结构工程中的各种物理现象，比如桥梁动力学。然而，由于存在非线性项，无论是解析方法还是数值方法都会面临很大困难。特别是这些非线性项给构建与原方程一致的数值方案带来了严重阻碍。传统的解决方法通常是对非线性项进行线性化处理……

结论
总之，本研究提出的方法具有很高的准确性和可靠性。尽管现有文献中存在多种替代方法，且类似技术也被用于波动方程的求解，但我们认为这项数值研究填补了重要空白，为梁方程的数值求解提供了一种可靠的替代方案。从表面上看，该算法具有较高的计算效率，主要是因为它不需要复杂的……

作者贡献说明
奥努尔·贝萨尔：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，监督，软件，资源，方法论，研究实施。玛丽亚·阿奎利娜：写作——审稿与编辑。>