一种用于非线性薛定谔方程的高效时空双网格紧凑差分方法：分析与仿真 白车木格（Chelimuge Bai）、 何斯日古楞（Siriguleng He）和 布和尔敦（Eerdun Buhe）

《Axioms》：An Efficient Time-Space Two-Grid Compact Difference Method for the Nonlinear Schr?dinger Equation: Analysis and Simulation Chelimuge Bai, Siriguleng He and Eerdun Buhe

非线性薛定谔方程数值解法提出时空两网格高阶紧致差分格式，结合粗网格非线性四阶算法与细网格线性化修正，时空域均采用两网格技术提升效率。理论证明空间四阶、时间二阶收敛及无条件稳定性，数值实验验证其在单/双光子及光子诞生模拟中的高效性。

　　

摘要

本文提出了一种新的时-空双网格高阶紧凑差分方案，用于求解受狄利克雷边界条件约束的一维非线性薛定谔方程。与完全非线性紧凑差分方案相比，所提出的方法结合了在时-空粗网格上的小尺度非线性四阶紧凑差分算法以及在细网格上的大尺度线性化修正紧凑差分算法。与传统的时双网格紧凑差分方法不同，该方案在空间和时间域都应用了双网格技术，从而进一步提高了计算效率。粗网格上的解通过一个时间线性、空间三次的拉格朗日插值算子投影到细网格上。在离散??2和??∞范数下，证明了该方案的无条件稳定性和最优收敛率（空间上为四阶，时间上为二阶），且对网格比例没有任何限制。除了使用能量法等标准技术外，还利用离散Sobolev不等式和先验误差估计来证明其稳定性和高阶收敛性。最后，通过数值实验验证了理论结果的正确性，这些实验证实了所提出方法的稳健性和可靠性。单孤子实验表明，与完全非线性紧凑差分方案相比，该方法在保持相似精度水平的同时显著减少了CPU时间消耗。额外的实验进一步证明了该算法在模拟双孤子相互作用和孤子产生方面的有效性。这些发现表明，所提出的方案是传统非线性方法的一种高效替代方案。