用于提升机器人动态性能的完全连续函数梯度格点优化方法

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：Fully-continuous functionally graded lattice optimisation for enhancing robot dynamics

　　明忠|施浩新|唐晓伟|彭芳宇|严荣|孙凯|吴佳伟
中国武汉430074，华中科技大学机械科学与工程学院

摘要
用于加工大型复杂零件并在狭小空间作业的工业机器人具有出色的可达性和灵活性。然而，决定其加工能力的动态性能仍需通过优化关键结构来进一步提升。三周期最小曲面功能梯度晶格结构具有较高的比强度和均匀的应力分布，非常适合用于制造轻质机器人部件。但由于最小可制造单元尺寸与传统拓扑优化方法的离散性之间存在固有矛盾，导致梯度不连续且出现严重的棋盘效应，从而限制了优化潜力。为解决这一问题，本文提出了一种用于三维完全连续功能梯度晶格结构的集成表征、设计及优化框架。该方法利用NURBS的平滑、连续且局部可控特性，结合晶格结构的几何力学分析，开发出一种新的理论方法，能够在单元胞内部尺度上连续表征并调控晶格属性分布。此外，通过引入等几何分析，还建立了高精度的功能梯度晶格结构动态模型。该优化框架以整体结构性能为驱动，成功应用于一种用于加工航天器零件的机械臂延伸臂。仿真与实验结果均表明，所提出的完全连续功能梯度晶格结构框架显著提升了机器人的动态刚度和模态频率。这一方法为设计轻质、高性能的机器人结构提供了系统化的解决方案。

引言
近年来，工业机器人被广泛应用于大型复杂零件的现场维修/加工以及狭小空间内的作业/制造等场景[[1], [2], [3], [4], [5], [6]]，展现出巨大潜力并取得了显著成果[[7], [8], [9], [10]]。然而，为确保其空间可达性和便携性，结构部件通常被设计得较为轻巧纤细[[11], [12], [13]]。这给确保其静态[[14,15]]和动态行为[[16]]带来了科学挑战，进而影响加工效率与质量。为提升机器人的加工能力，尤其是在交变载荷条件下，一些研究着眼于结构配置，如采用串并联混合结构[[17], [18], [19], [20]]和并联机构[[21], [22], [23], [24]]来增强结构刚度。此外，还可以在结构中集成各种振动抑制/阻尼装置，例如在执行器端安装调谐质量阻尼器以减轻末端执行器的振动[[25], [26], [27], [28], [29]]，或在机器人的薄弱部位安装阻尼器以抑制结构振动[[30], [31], [32], [33], [34]]。尽管这些方法能有效提升加工设备的性能，但它们会改变机器人的结构配置并增加额外质量，同时在提升静态和动态性能的同时可能影响其空间可达性与便携性。因此，一种更为根本的方法是在不牺牲机器人原有功能与特性的前提下，在质量约束条件下对其关键部件或整体结构进行结构强化设计。显然，部件的比强度（强度与密度之比）直接影响其静态和动态行为。随着增材制造技术的进步，研究人员发现晶格结构具有更高的比强度[[35], [36], [37], [38], [39], [40]]，从而展现出更优异的静态和动态性能[[41], [42], [43], [44], [45]]。其中，三周期最小曲面作为一种特殊的晶格结构，因其表面光滑、平均曲率为零且具有优异的自支撑性能，展现出极高的比强度潜力[[46], [47], [48], [49], [50], [51]]。自然界中的许多重要生物结构都体现了三周期最小曲面的优异性能，比如蝴蝶翅膀的鳞片[[52]]、甲虫和象鼻虫的外骨骼[[53]]以及多瘤海星[[54]]，这些结构都在保持轻量的同时具备出色的强度。另外，考虑到加工过程中交变载荷带来的应力集中和疲劳失效问题，三周期最小曲面晶格结构的高比强度和均匀应力分布使其成为机器人应用的理想选择。

由于上述优势，三周期最小曲面晶格结构受到了众多致力于轻质高强度结构设计的科研人员的关注。Tran等人[[55]]设计了填充有均匀三周期最小曲面晶格结构的夹层梁，并研究了晶格核心的相对密度与夹层梁力学性能之间的关系。Yin等人[[56]]研究了四种不同分布方式的填充三周期最小曲面晶格结构的抗撞性能，并采用多目标优化方法对晶格单元尺寸和相对密度进行了优化。Liang等人[[57]]设计了三周期最小曲面圆柱壳结构，分析了其力学性能和能量吸收性能，并对壳体厚度和三周期最小曲面晶格的相对密度进行了优化。这些研究主要聚焦于均匀晶格结构。但随着研究的深入，学者们发现功能梯度晶格结构相比均匀晶格具有更高的比强度[[58], [59], [60]]，因此优化梯度分布成为提升晶格结构性能的关键因素。Kurup等人[[61]]采用幂律形式描述三周期最小曲面功能梯度晶格梁沿Z方向的梯度变化，并利用里兹法分析了其颤振行为。仿真结果表明，三周期最小曲面晶格梁的颤振特性优于传统梁结构。类似地，Viet等人[[62]]基于欧拉梁理论，考虑中性轴偏移，建立了模型来分析具有Z方向幂律梯度的三周期最小曲面功能梯度晶格梁的自由振动和屈曲特性。三维有限元仿真验证了该模型的准确性。与此同时，人们也广泛研究了多孔功能梯度结构在各种物理约束下的复杂振动行为[[63,64]]，研究表明，准确捕捉连续的属性梯度对于实现可靠的动态预测至关重要[[65]]。与一维梯度相比，二维和三维功能梯度晶格结构具有更好的力学和动态性能，同时也具备更大的优化潜力，为高性能结构设计提供了新的思路。在涡轮叶片等典型薄壁结构的优化中，Alkebsi等人[[66]]创新性地采用三周期最小曲面晶格结构填充叶片的内部实心部分，并基于拓扑优化建立了轻量化设计框架。仿真结果显示，所设计的三周期最小曲面晶格结构在轻量化、应力承受能力和变形效率方面均优于初始设计。在悬臂梁的动态性能优化方面，Simsek等人[[67]]提出了基于改进的SIMP算法的拓扑优化方法，用于优化螺旋型三周期最小曲面晶格的二维梯度分布。仿真结果表明，该悬臂梁的频率响应性能得到了提升。上述大多数研究都集中在一维和二维功能梯度晶格结构的设计与优化上，对三维功能梯度的研究则相对较少。针对三维功能梯度结构，Zhao等人[[68]]提出了基于三周期最小曲面的一种新型互穿晶格结构设计，并建立了基于拓扑优化方法的多尺度优化框架。以悬臂梁的柔顺性作为优化目标，仿真结果验证了该框架的有效性。

总之，目前的晶格结构优化设计大多是在拓扑优化框架下进行的。然而，晶格单元的最小可制造尺寸与拓扑优化的离散性之间存在固有矛盾。这种矛盾导致了明显的“棋盘效应”，具体表现为功能梯度分布的不连续性，如图1所示。由此会导致性能下降、计算结果不准确以及优化潜力受限。从几何层面来看，由于立方晶格结构的特性，基于拓扑优化的方法会将设计空间划分为多个正方形（二维情况）或立方体（三维情况）区域，每个区域代表一种均匀晶格或一组相同的均匀晶格。这种方法只能为每个区域内的晶格定义并优化单一密度，难以实现相邻晶格之间的连续梯度，更不用说在单个单元内部实现连续梯度了。各区域内晶格的均匀性也限制了该区域内的进一步优化潜力。若要扩大优化范围和潜力，就需要对区域进行更精细的划分，但这会大幅增加计算成本。此外，由于制造限制，晶格单元存在最小尺寸，因此无法无限细化设计空间。另外，不完整的函数梯度会导致相邻区域之间出现不连续且不可靠的连接，尤其是在两个区域的密度差异较大时，会直接影响结构完整性，进而影响整体结构性能的准确分析，限制优化潜力。不连续性不仅会带来上述问题，还构成一项重大的科学挑战。虽然在一定程度上可以通过平滑晶格之间的过渡边界来缓解这一问题[[69], [70], [71], [72], [73]]，但其效果有限且不彻底，无法从根本上解决晶格内部梯度优化的问题，还会引入性能计算偏差。要想在晶格结构的性能设计方面取得突破，关键在于解决如何在整个领域内实现对三维功能梯度晶格结构的全连续精确控制这一问题。此外，现有研究大多侧重于结构的力学性能和静态特性，而忽视了其动态行为。因此，为后续优化奠定理论基础，有必要明确梯度分布与三维功能梯度晶格结构整体动态行为之间的映射关系，同时为包含功能梯度晶格结构的机器人建立动态分析模型。此外，为了实现最优设计并应用于工程实践，还需要建立高效优质的优化框架，以便在受限的工程设计空间中找到最优的晶格属性分布，从而提升机器人的加工能力。

完全连续的三周期最小曲面功能梯度晶格结构在能源和航空航天领域有着巨大的应用潜力，可用于提升关键结构部件乃至整个机器人框架的性能。其应用场景包括用于现场加工的机器人臂以及工业机器人的延伸臂，如图2所示。在相同基材规格和质量约束的前提下，这种结构能够显著提升机器人的动态性能，从而提高加工能力。本文以深腔窄通道航天器零件的机器人铣削加工为典型案例，采用功能梯度晶格结构制造机器人延伸臂，并开展了优化设计及验证研究，旨在提升机器人的加工能力。为突破不连续性所带来的性能限制，进一步提升机器人的加工能力，本文提出了一种用于三维完全连续功能梯度晶格结构的集成表征、设计及优化框架。第2节建立了精确的映射模型，将晶格设计参数、相对密度以及在连续梯度条件下的弹性性能联系起来。此外，还开发了一种理论模型，能够在晶格单元胞内部尺度上实现功能梯度晶格结构属性分布的完全连续表征与调控，从而确保设计多样性和优化潜力。通过有限元仿真案例，证明了完全连续控制方法相比不连续控制和局部连续控制方法的优势。同时，兼顾优化需求和工程应用，建立了精确高效的三维三周期最小曲面功能梯度晶格结构动态分析模型，并通过有限元仿真进行了验证。第3节以深腔窄通道航天器零件的机器人加工为案例，提出了以整体结构性能为导向的功能梯度晶格结构优化设计框架。通过仿真和实验验证，证明了所提出的三维完全连续功能梯度晶格结构表征-设计-优化框架的有效性。第4节对本文的工作进行了总结与展望。

本文的主要贡献如下：
•建立了精确的映射模型，将设计参数、几何特征以及完全连续梯度条件下的晶格结构弹性性能相互关联；
•提出了一种全新的三维完全连续功能梯度晶格结构表征方法，可在晶格单元内部尺度上进行表征；
•建立了精确高效的三维功能梯度晶格结构动态分析模型，基于接受耦合子结构分析方法，为包含功能梯度晶格结构的机器人建立了动态分析模型；
•提出了适用于不同设计条件的晶格类型选择方法及相应的晶格性能指标；
•以深腔窄通道航天器零件的机器人加工为典型应用场景，提出了功能梯度晶格结构的优化设计框架。实验结果表明，该框架显著提升了机器人的动态刚度和模态频率。2.1节提出了一个理论模型，旨在实现内部单元尺度上晶格属性分布的完全连续表征与调控——这种方法能够从根本上拓展设计可能性并提升优化潜力。此外，完全连续控制相较于不连续及局部连续方法具有明显优势。基于完全连续FGLS的机器人加工能力优化设计框架：本节提出了一种FGLS优化设计框架。3.1节以航天器部件的机器人加工为典型应用，建立了融入FGLS的机器人动态分析模型。3.2节首先引入晶格性能指数，用于指导在不同设计条件下选择最优晶格类型，随后构建了优化设计框架，从而在动态性能方面取得了显著提升。结论：本研究为三维完全连续功能梯度晶格结构提供了集成化的表征、设计及优化方法，有效解决了传统拓扑优化中由于梯度不连续导致的性能下降及优化潜力受限问题。鉴于提升机器人加工能力的迫切需求，该框架已通过某结构的优化设计得到成功应用与验证。CRediT作者贡献声明：钟明：写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、研究、数据整理、概念构思。辛世豪：写作——审稿与编辑、验证、资源协调、项目管理、资金获取、概念构思。唐晓伟：写作——审稿与编辑、资源协调、项目管理、资金获取、概念构思。彭芳宇：写作——审稿与编辑、监督、资源协调、项目管理。