高效混合Trefftz有限元方法在多层涂层复合材料弹性分析中的应用

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Highly efficient hybrid Trefftz finite elements for elastic analysis of multilayer coated composites

本文提出一种混合特雷弗茨有限元方法（HT-FEM），用于分析含多层包覆纤维的多相材料弹性问题。该方法通过截断的T-完备函数集描述各相位移场，结合边界积分简化计算，无需在材料界面积分，有效降低计算量。数值验证表明，HT-FEM在多层包覆纤维、包覆孔系统及环形双层包覆区域中，与ABAQUS精细网格结果一致，显著减少单元数量，验证了其高效性与高精度。

　　

作者：谢泽、康世鹏、杨帆、王克勇、韩涵

上海同济大学航空航天工程与应用力学学院，邮编200092，中国

摘要

本文提出了一种混合Trefftz有限元方法（HT-FEM），用于包含多层涂层夹杂物的多相材料的弹性分析。在每个多边形元素内部，元素内的位移场由截断的分段T-完全函数集表示，该方法考虑了相邻相之间的位移和牵引连续性条件。沿元素边缘定义了一个平滑的辅助位移场来描述边界变化。单一的混合函数通过仅边界积分将元素内场和边界场耦合起来，形成一个简洁高效的数值方案，无需沿材料界面进行积分。通过对多层涂层纤维、涂层孔洞和涂层纤维系统以及具有双重涂层的环形域进行数值验证，发现所提出的方法与细网格ABAQUS模拟结果一致。这些结果表明HT-FEM在分析复杂的多层复合结构时具有高精度、高稳定性和优异的计算效率。

引言

纤维增强复合材料因其多功能性和高度的可设计性，在航空航天、能源和生物医学工程中得到广泛应用[[1], [2], [3]]。可以选择不同类型的纤维来满足特定的功能要求，而纤维-基体界面对复合材料的整体性能具有关键影响。在纤维表面施加涂层是一种有效的方式来调整材料性能和功能[4,5]。这种涂层不仅增强了纤维与基体之间的界面粘结强度，还防止了制造或使用过程中的不良化学相互作用。因此，涂层纤维复合材料系统成为研究多相复合材料的界面效应和力学行为的代表性模型[[6], [7], [8], [9]]。

在传统的有限元方法（FEM）中，解决多相夹杂物问题通常需要沿每个界面进行密集的网格细化以捕捉局部效应，这大大增加了元素数量并降低了计算效率。边界元素方法（BEM）仅离散化边界，从而降低了维度。其积分核通常是奇异的或超奇的，导致得到的刚度矩阵密集且不对称[10]，这导致计算和存储成本远高于FEM中的稀疏矩阵[11]。对于多相、多层或异质材料，这些缺点更加明显。相比之下，混合Trefftz有限元方法（HT-FEM）结合了对控制方程的完备性和边界积分公式，能够高效处理复杂边界[12]和夹杂物问题[[13], [14], [15], [16], [17]]，同时保持刚度矩阵的稀疏性[10]。此外，HT-FEM对网格畸变不敏感[18,19]，使其成为解决这类复杂问题的高效可靠方法。

近年来，混合Trefftz有限元方法（HT-FEM）在解决潜在问题[[13], [14], [15], [16],[20], [21], [22], [23], [24]]、弹性问题[19,[25], [26], [27]]、后屈曲问题[28]、热弹性问题[29]、板弯曲问题[30]、压电问题[[31], [32], [33]]和声学问题[34,35]方面得到了广泛应用，表现出高精度、收敛性和计算效率。在复合材料中，也采用了混合Trefftz有限元公式。Ray [[36], [37], [38]]为层压复合板开发了混合Trefftz元素。Leconte等人[39]设计了专门的孔洞元素，并研究了将该方法从线性弹性扩展到非线性冲击问题的可行性。Wang和Qin[40]通过共形映射开发了一种带有椭圆形孔洞的元素，即使在相对粗糙的网格上也能准确捕捉局部应力变化。当孔洞完全被另一种材料填充时，该模型变为两相异质系统。在此背景下，Zhang等人[17]首次提出了一个包含圆形夹杂物的弹性元素，将原始元素划分为基体和夹杂物子域，并用不同的函数分别构建两个边界值子问题，以实现两个子问题的耦合，从而得到夹杂物元素的有限元公式。为了提高计算性能，Wang等人[41]在这个框架内引入了并行计算方案。然而，这些方法需要为每个相构建函数并沿材料界面进行积分，这限制了它们在多相系统中的实用性。为了简化HT-FEM在异质介质中的实现，She等人[13,15]提出了一种无需界面积分的单一混合函数建模策略，并成功应用于具有圆形和椭圆形夹杂物的热传导问题，实现了显著的效率提升。这种单一混合函数特别适用于多层相结构。She等人[14]进一步将其扩展到分析多层涂层纤维中的热传导，获得了满意的结果。

在这项工作中，我们将单一混合函数扩展到线性弹性多相材料，并开发了一种混合Trefftz有限元（HT-FEM）公式，用于多相系统的弹性分析。为了适应多层涂层纤维，推导出相应的T-完全函数集来高保真地描述每个元素中的应力和位移场。在此基础上，构建了一个多边形多相HT-FEM元素来分析非均匀介质的力学响应。该方法在涂层纤维区域采用简化的局部网格策略，能够在避免沿材料界面积分的同时，高效准确地表征应力分布。所提出的T-完全函数集同样适用于空洞涂层系统（涂层孔洞）的弹性分析。通过与商业有限元软件的基准解进行比较，评估了准确性和效率。结果表明，所提出的HT-FEM多相元素在显著减少自由度（DOF）和总体计算成本的同时，实现了高精度。

节选内容

具有多层涂层纤维的多边形元素的控制方程

图1展示了一个典型的多边形元素，其中包含$n$层同心涂层层的纤维。假设纤维、涂层层和周围基体是各向同性材料，并在其界面处完美粘结。这些区域分别用${\Omega }_0$${\Omega }_0$$k_{(k=1,\mathrm{2,\; <mo>?</mo><mo>,\; </mo><mi>n</mi>}}$和${\Omega }_n$表示第${\Omega }_k$层。全局笛卡尔坐标系由${\Omega }_k$表示，而局部极坐标$(r,\theta$定义为

准确性收敛性测试

为了评估所提出公式的准确性和收敛性，我们考虑了一个如图2所示的带有四个涂层圆形夹杂物的方形配置。参考解来自一个具有319,002个节点和467,555个元素的Abaqus有限元模型。为了确保直接和无偏的比较，在所有Abaqus节点坐标处评估von Mises应力，并通过平均相对误差（ARE）来量化差异，其定义为

讨论与结论

本文提出了一种基于独立假设位移场的混合Trefftz有限元方法（HT-FEM），并开发了适用于模拟具有多层涂层的夹杂物的多边形元素。为了在元素内统一模拟多种材料相，沿相邻相之间的界面施加位移和应力连续性条件，从而构建了一组递归的分段T-完全函数，实现了全局解

CRediT作者贡献声明

谢泽：撰写——原始草稿、软件、方法论、形式分析、数据整理。康世鹏：可视化。杨帆：撰写——审稿与编辑、监督、资源管理。王克勇：研究、概念化。韩涵：验证。