面向GPU架构的可杂交间断伽辽金离散化的预处理技术

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Preconditioning techniques for Hybridizable discontinuous Galerkin discretizations on GPU architectures

　　

研究人员提出了针对偏微分方程(PDE)在图形处理器(GPU)上的可杂交间断伽辽金(Hybridizable Discontinuous Galerkin, HDG)离散化的可扩展迭代求解器及预处理策略。其核心思想在于系统性地重构HDG系统，以揭示稠密的面级块结构，从而使整个线性代数流程能够利用跨步批量稠密核(stided batched dense kernels)执行，而非传统的稀疏矩阵格式。通过在设备上并行消除局部单元自由度并组装全局凝聚系统，该方法避免了稀疏数据结构，提升了算术强度，并在现代GPU架构上实现了持续的高吞吐量。研究人员开发并比较了一系列加性型预处理器，包括块雅可比(Block-Jacobi)、重叠加性施瓦茨(Overlapping Additive Schwarz)和多项式预处理(polynomial preconditioning)，这些预处理器专为GPU效率与可移植性设计。所有预处理器均采用供应商优化的稠密线性代数库以批量形式实现，确保了高并发性，同时在NVIDIA与AMD平台上保持了架构可移植性。针对泊松方程、Burgers方程、线性和非线性弹性力学、欧拉方程、纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程以及雷诺平均纳维-斯托克斯(Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS)方程等广泛的椭圆型和可压缩流动问题，研究人员在结构化和非结构化网格上进行了综合性能研究。详细的分析与基准测试表明，主导计算核的性能接近硬件架构极限，且加性及多项式增强策略在不同物理机制下均提供了稳定的收敛性。该结果为HDG求解器在GPU架构上的高性能与可移植实现提供了一条可行路径。

本研究发表于《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》，聚焦于解决可杂交间断伽辽金(HDG)方法在高性能计算领域，尤其是GPU加速环境下的求解瓶颈问题。HDG方法通过引入网格骨架上的附加自由度，实现了局部静态凝聚，有效降低了全局线性系统的规模，在航空航天等领域的数值模拟中具有重要应用前景。然而，随着计算规模扩大至高阶三维问题，全局线性系统的求解成为性能瓶颈，传统直接求解器受限于内存与时间成本，而现有迭代求解器及预处理技术在GPU上面临稀疏数据结构导致的低算术强度、内存访问效率低等挑战。为此，研究人员旨在开发一套适用于GPU架构的HDG离散化专用预处理技术与迭代求解框架，以提升其在大规模科学计算中的实用性与可扩展性。

为实现上述目标，研究人员采用了几项关键技术方法：首先，基于HDG方法的数学特性，对系统进行重构以暴露稠密面级块结构，从而将线性代数运算转化为批量稠密矩阵操作；其次，采用局部静态凝聚技术，在GPU上并行消除单元内部自由度，仅组装全局凝聚系统；再者，设计并实现了一系列GPU友好的加性型预处理器，包括块雅可比(Block-Jacobi)、重叠加性施瓦茨(Overlapping Additive Schwarz)及多项式预处理(polynomial preconditioning)；此外，利用cuBLAS/hipBLAS等供应商优化稠密线性代数库处理批量矩阵运算，并结合Kokkos编程模型实现剩余GPU内核的跨平台可移植性。

研究背景与问题

现代科学计算日益依赖GPU硬件，但隐式DG/HDG求解器的GPU实现仍相对有限。HDG方法虽通过局部静态凝聚降低了全局系统规模，但其全局线性系统（尤其在高阶、三维及非结构网格下）的求解仍是性能瓶颈。传统稀疏矩阵格式在GPU上存在内存访问效率低、算术强度不足等问题，制约了求解效率。因此，亟需开发适配GPU架构的高效预处理技术与迭代求解策略。

HDG离散化与线性系统结构

研究人员回顾了针对守恒律系统的HDG离散化方法。HDG通过将解变量及其梯度表示为网格单元内部及面上的独立变量，并引入数值通量，最终将全局系统凝聚至网格面的迹自由度(trace unknowns)上。这种特殊的数学结构自然形成了以面为基础的块耦合特征，为后续的GPU优化提供了可能。

迭代求解器与预处理技术

研究采用重启广义最小残差(Restarted GMRES)方法求解全局线性系统。为提升收敛性，设计了左预处理策略，重点开发了三类GPU高效的预处理技术：1) 块雅可比(Block-Jacobi)预处理器，基于面块对角矩阵求逆；2) 重叠加性施瓦茨(Additive Schwarz Method, ASM)预处理器，采用单单元重叠子域；3) 混合预处理器，将上述方法与多项式预处理(Polynomial Preconditioning, PP)相结合（记为BJ-PP(P)与ASM-PP(P)）。这些方法均被设计为批量形式，以匹配GPU的并行执行模式。

GPU实现策略

实现层面，研究人员充分利用了HDG的面块结构。单元局部核（如局部静态凝聚、局部矩阵求逆）完全通过cuBLAS/hipBLAS的批量稠密矩阵接口执行，避免了稀疏数据结构的开销。对于无法由BLAS覆盖的操作（如通量评估、残差组装），则利用Kokkos编程模型编写可移植的GPU内核。这种设计使得核心计算核能够以高占用率运行于NVIDIA及AMD GPU平台。

数值实验与结果

研究人员在广泛的PDE模型上验证了所提方法，包括热传导、对流扩散、波动方程、线性和非线性弹性力学、可压缩欧拉(Euler)与纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程以及雷诺平均纳维-斯托克斯(Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS)方程。实验覆盖了结构化/非结构化网格、不同单元类型及多项式阶数。结果表明：1) 主导的稠密线性代数核性能接近GPU架构极限（通过Roofline分析及FLOP速率、内存带宽等指标证实）；2) ASM预处理器在多种问题中表现出最稳定的收敛性，而多项式增强策略(BJ-PP, ASM-PP)能有效进一步降低迭代次数；3) 方法在不同GPU平台上均展现出优异的时间求解效率与可扩展性。

结论与意义

本研究成功开发了一套专为GPU架构优化的HDG求解器及预处理技术体系。通过挖掘HDG离散化的面级稠密块结构，并将其映射为批量稠密线性代数运算，有效解决了传统稀疏格式在GPU上的性能瓶颈。提出的加性及多项式增强预处理策略在保证收敛稳定性的同时，实现了接近硬件极限的计算效率。这项工作不仅为HDG方法在大规模流体力学、固体力学等仿真中的应用提供了高性能实现途径，其采用的GPU优化思想（如批量稠密核、Kokkos可移植性设计）也对其他有限元及间断伽辽金方法的GPU加速具有重要的借鉴意义。研究证实，通过算法与硬件架构的深度协同设计，隐式高阶数值方法能够在异构计算平台上实现卓越的性能表现。