通过自适应比例-积分-共振控制器（APPROX-PI-RC）和ESO技术实现抗干扰云台控制，应用于带有振动隔离器的控制力矩陀螺仪 作者：李少波（Shaobo Li）、吴忠（Zhong Wu）和朱博旭（Boxu Zhu）

《Actuators》：Anti-Disturbance Gimbal Control via Adaptive Proportional-Integral-Resonant Controller and ESO for Control Moment Gyroscope with Vibration Isolator Shaobo Li, Zhong Wu and Boxu Zhu

　　摘要：为了减轻控制力矩陀螺（CMGs）产生的微振动对航天器姿态控制系统的影响，它们通常被安装在隔离平台上。然而，隔离器的柔性变形可能会对CMG万向节伺服系统造成一定的干扰。此外，万向节伺服系统还受到转子不平衡和万向节组件本身固有干扰的影响。由于这些干扰分布在较宽的频率范围内，因此很难抑制，并可能严重降低万向节控制性能。为了抑制多种干扰并提高万向节的速度精度，提出了一种复合抗干扰控制方法。该方法包括两个部分：第一部分采用带有相位补偿的自适应比例-积分-共振控制器，以抑制由隔离器和转子不平衡引起的干扰，并改善瞬态性能；第二部分采用自适应扩展状态观测器来估计并补偿缓慢变化的干扰，从而提高动态性能和稳态精度。通过结合这两个部分，所提出的方法可以有效抑制CMG万向节伺服系统中的多种干扰。仿真和实验结果证明了该方法的优越性能。

1. 引言
尽管控制力矩陀螺（CMGs）由于其在大扭矩和高精度方面的优势而被广泛用于航天器姿态控制[1,2]，但由于转子不平衡引起的微振动问题始终是实现更高姿态控制性能的障碍[3]。为了解决这个问题，通常在CMG和航天器之间安装一个隔离平台[4]。然而，隔离器的柔性变形可能会改变转子动量的方向，从而通过陀螺效应在万向节轴上产生周期性干扰扭矩[5]。此外，万向节伺服系统还受到许多其他干扰的影响，包括转子不平衡扭矩、齿槽扭矩、由于磁通量畸变引起的扭矩波动以及摩擦扭矩[6]。由于这些干扰具有多种特性并且分布在较宽的频率范围内，因此很难抑制，可能会严重影响万向节控制性能。为了抑制多种干扰并提高万向节的速度精度，提出了一种复合抗干扰控制方法。该方法由两部分组成：第一部分采用带有相位补偿的自适应比例-积分-共振控制器，以抑制由隔离器和转子不平衡引起的干扰，并改善瞬态性能；第二部分采用自适应扩展状态观测器来估计并补偿缓慢变化的干扰，从而提高动态性能和稳态精度。通过结合这两部分，所提出的方法可以有效抑制CMG万向节伺服系统中的多种干扰。仿真和实验结果证明了该方法的优越性能。

2. 数学模型和问题陈述
2.1 万向节伺服系统的数学模型
如图1所示，本文研究了一个带有四个振动隔离器的单万向节CMG。对于在磁场定向控制（FOC）下运行的PMSM驱动的万向节伺服系统，电磁扭矩与q轴电流成正比。万向节伺服系统受到多种干扰的影响，包括由隔离器引起的干扰、转子不平衡干扰、齿槽扭矩、由于磁通量畸变引起的扭矩波动以及摩擦扭矩。考虑到多种干扰，并假设电流环足够快，万向节伺服系统的模型可以表示为[34]：
{???¨??+???˙??=?????????????=???????+????+??????????+??????????+????}
其中J是万向节的转动惯量，B是万向节电机的阻尼系数，???? =?????????是电磁扭矩，????是扭矩常数；????是q轴电流；???????、????、??????????、??????????和????分别表示由隔离器、转子不平衡、齿槽扭矩、由于磁通量畸变引起的扭矩波动以及摩擦扭矩。
图1. 带有四个振动隔离器的单万向节CMG的结构图。

2.2 多种干扰的分析
(1) 由隔离器引起的干扰
当使用由四个隔离器组成的隔离平台时，隔离器的柔性变形会改变CMG角动量矢量的方向。由于陀螺效应，这种变化会在万向节轴上产生干扰扭矩。干扰扭矩可以表示为[35]：
???????=?????(¨??+¨??)+(˙???cos????˙???sin???)?[(?????????)?(˙???sin???+˙???cos???)+?????˙????]
其中??、??、??是隔离器的三轴角位移，????、????分别是转子的极惯性矩和径向惯性矩，??是万向节的角位移。
在瞬态运行期间，隔离器容易发生自由振动，其自然频率会出现在作用在万向节轴上的陀螺干扰扭矩中。因此，由隔离器引起的干扰频率等于隔离器的自然频率，可以表示为[3]：
????=√????/????
其中????表示隔离器的刚度系数，????表示隔离器的转动惯量。
为了抑制从CMG传递到航天器的高频微振动，振动隔离器的自然频率通常设计在10~50 Hz范围内[5]。
尽管在瞬态运行期间可能会激发由隔离器引起的干扰，导致幅度变化，但其主要频率成分主要由系统的机械特性决定，并且相对稳定。因此，可以在频域中将其合理地近似为固定周期干扰。

(2) 转子不平衡干扰
由于制造过程中的不可避免的不完美，CMG转子的质量分布往往不均匀，导致沿万向节轴向和横向产生显著的高频干扰扭矩。由转子不平衡引起的干扰扭矩可以表示为[36]：
????=?????2???sin?(???????+????)
其中U是不平衡幅度，????是转子的角频率，????是初始相位。
转子不平衡干扰的频率等于转子转速，通常超过100 Hz[30]，其幅度与转子速度的平方成正比。由于转子以高速度运行，这种干扰表现为高频、大幅度的扭矩，必须有效抑制。

(3) 齿槽扭矩
在万向节电机中，齿槽扭矩是由转子永磁体与定子槽之间的相互作用产生的，反映了转子倾向于与最小磁阻方向对齐的趋势。齿槽扭矩可以使用傅里叶级数表示为[37]：
??????????=∞∑??=1??????????????sin?(????????????????????)
其中??????????2是第i次谐波的幅度，??????????是定子槽数与极对数的最小公倍数，????是电机的电气角度，p是极对数。
齿槽扭矩与万向节的角位置有关。当万向节以变速运行时，其角位置在时域中变为时间变化，因此齿槽扭矩表现出时间变化的周期性特征。由于万向节通常以低速运行，它是一种缓慢变化的干扰。

(4) 由于磁通量畸变引起的扭矩波动
在万向节电机中，永磁体转子的非理想磁通量分布导致反电动势（EMF）波形偏离理想的正弦或梯形形状，从而产生由于磁通量畸变引起的扭矩波动。这种扭矩波动可以表示为[38]：
??????????=32???????????∞∑??=1????????cos?(6????????)
其中????是电机的电气角度，????是极对数，????是q轴电流，????2是磁通量的第6i次谐波的幅度。
由于磁通量畸变引起的扭矩波动也与万向节的角位置有关。类似于齿槽转矩，它也是一种时变周期性特征，并且是一种缓慢变化的干扰。(5)摩擦转矩在云台及其伺服驱动机构的机械部件之间存在摩擦。通常使用Stribeck摩擦模型来描述云台中的摩擦转矩，其表达式如下[39]：\[ \mathbf{T}_{\text{friction}} = \mathbf{F}_{\text{coulomb}} \cdot \sign(\omega) + \mathbf{F}_{\text{viscous}} \cdot \omega + (\mathbf{F}_{\text{static}} - \mathbf{F}_{\text{coulomb}}) \cdot e^{-\omega^2} \cdot \frac{\omega_{\text{static}^2}{\omega} \cdot \sign(\omega)} \] (7) 其中 \(\omega\) 是云台角速度，\(\mathbf{F}_{\text{coulomb}}\) 是库仑摩擦力矩，\(\mathbf{F}_{\text{viscous}}\) 是粘性摩擦力矩，\(\omega_{\text{static}}\) 是Stribeck速度。在云台低速运行时，摩擦转矩表现出强烈的非线性特性。由于摩擦转矩主要由机械接触条件决定，并且会随着运行条件的变化而逐渐变化，因此可以将其视为一种缓慢变化的干扰。总之，云台伺服系统的多种干扰分布在较宽的频率范围内，可以根据它们的频率特性分为两类：(1)固定周期干扰，包括转子不平衡干扰和隔离器引起的干扰，这些干扰可以通过共振控制器有效减弱。(2)缓慢变化的干扰，包括齿槽转矩、由于磁通量畸变引起的转矩波动和摩擦转矩，这些干扰可以通过扩展状态观测器（ESO）有效抑制。2.3. 问题陈述在云台伺服系统中，多种干扰分布在较宽的频率范围内，单控制策略不足以应对这些问题。因此，采用了一种结合比例-积分-共振（PIR）控制器和扩展状态观测器（ESO）的复合结构来抑制多种干扰。然而，PIR控制器引入了过大的相位滞后和高共振增益，这会降低瞬态性能。同时，由于固定带宽的限制，ESO在动态性能和抗噪能力之间存在固有的权衡。为了解决这些问题，提出了具有相位补偿的自适应PIR控制器（APIR）和自适应ESO（AESO），其中控制器和观测器参数根据系统运行条件动态调整，从而提高了瞬态性能和稳态精度。3. PIR-ESO控制器首先介绍PIR-ESO控制器作为基线控制框架。然后，基于此结构引入自适应机制，形成了提出的APIR-AESO方案。PIR-ESO控制方案的总体示意图如图2所示，其中RC代表共振控制器，不同的颜色表示系统中的不同功能模块，包括PIR（黄色）、ESO（蓝色）、电流控制器（橙色）和速度测量环路（绿色）。图2. 带有PIR-ESO控制的云台伺服系统示意图。在提出的方法中，PIR控制器用于抑制固定周期干扰，而ESO用于估计和补偿缓慢变化的干扰。PIR-ESO控制器输出可以表示为 \[ \mathbf{u} = \mathbf{u}_\text{PIR} \cdot \mathbf{I} \cdot \mathbf{R} + \hat{\mathbf{d} \] (8) 其中 \(\mathbf{u}_\text{PIR} \cdot \mathbf{I} \cdot \mathbf{R}\) 是PIR控制器的输出，\(\hat{\mathbf{d}\) 是ESO的输出。3.1. PIR设计由于控制器输出是期望的转矩 \(\mathbf{T}^*\mathbf{e}\)，(1) 可以重写为 \[ \mathbf{Y} \cdot \dot{\omega} = \mathbf{T}^*\mathbf{e} - \mathbf{V} \cdot \omega + \mathbf{d} = -\mathbf{T}_\text{d} + (\mathbf{T}_\text{e} - \mathbf{T}^*\mathbf{e}) \] (9) 其中 \(\mathbf{T}^*\mathbf{e} = \mathbf{K}_\text{t} \cdot \mathbf{i}^*\mathbf{q}\)，\(d\) 表示综合干扰，包括系统不确定性和干扰转矩。定义 \(\omega_{\text{ref}}\) 表示参考角速度，\(\theta_{\text{ref}}\) 表示参考角位置。设 \(\mathbf{x}_1 = \theta_{\text{ref}} - \theta\)，\(\mathbf{x}_2 = \omega_{\text{ref}} - \omega\)，\(\mathbf{u} = \mathbf{T}^*\mathbf{e}\)。系统误差模型可以从(9)得到 \[ \begin{cases} \dot{\mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_2 \\ \dot{\mathbf{x}_2} = -\mathbf{V}\mathbf{Y}\mathbf{X}_2 - 1\mathbf{Y}\mathbf{u} + \mathbf{F}_0 \end{cases} \] (10) 其中 \(\mathbf{F}_0 = \dot{\omega}_{\text{ref}} + \mathbf{V}\omega_{\text{ref}}/\mathbf{Y}\) 表示参考前馈项，可以对其进行补偿。由于需要抑制由隔离器和转子不平衡引起的干扰，这两种干扰发生在不同的频率上，因此PIR控制器由一个PI控制器和两个共振控制器组成。PIR的控制律可以设计为 \[ \begin{cases} \mathbf{u}_\text{PIR} \cdot \mathbf{I} \cdot \mathbf{R} = \mathbf{K}_\text{t} \cdot \mathbf{x}_2 + \mathbf{K}_\text{I} \cdot \mathbf{x}_1 + \mathbf{K}_\text{R}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{x}_4 + \mathbf{K}_\text{R}_2 \cdot \mathbf{\omega}_2 \cdot \mathbf{x}_6 \\ \dot{\mathbf{x}_3 = \mathbf{x}_4 \cdot \mathbf{x}_4} = -\mathbf{\omega}_{21}\mathbf{x}_3 - 2\mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{x}_4 + \mathbf{x}_2 \\ \dot{\mathbf{x}_5 = \mathbf{x}_6 \cdot \mathbf{x}_6} = -\mathbf{\omega}_{22}\mathbf{x}_5 - 2\mathbf{\omega}_2 \cdot \mathbf{\omega}_2 \cdot \mathbf{x}_6 + \mathbf{x}_2 \end{cases} \] (11) 其中 \(\mathbf{K}_\text{t}\)，\(\mathbf{K}_\text{I}\)，\(\mathbf{K}_\text{R}_1\) 和 \(\mathbf{K}_\text{R}_2\) 分别表示比例增益、积分增益和两个共振增益；\(\mathbf{\omega}_1\) 和 \(\mathbf{\omega}_2\) 表示阻尼比；\(\mathbf{x}_3\)，\(\mathbf{x}_4\)，\(\mathbf{x}_5\)，\(\mathbf{x}_6\) 表示两个共振控制器的内部状态。PIR控制器也可以用传递函数形式表示为 \[ \mathbf{G}_{\text{PIR}}(\mathbf{s}) = \mathbf{K}_\text{t} + \mathbf{K}_\text{I}\mathbf{s} + \mathbf{K}_\text{R}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{s}^2 + 2\mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{s} + \mathbf{K}_\text{R}_2 \cdot \mathbf{\omega}_2 \cdot \mathbf{s}^2 + 2\mathbf{\omega}_2 \cdot \mathbf{s}^2 + \mathbf{K}_\text{R}_2 \cdot \mathbf{s}^2 \] (14) 在实际的CMG云台伺服系统中，转子不平衡干扰和隔离器引起的干扰通常是窄带的，具有相对分离的频率成分。因此，PIR控制器非常适合这种情况。然而，对于宽带干扰或频率成分紧密排列的情况，由于频率选择性降低，性能可能会下降。3.2. ESO设计设 \(\mathbf{z}_1 = \mathbf{Y}\omega\) 表示ESO的状态变量，\(\mathbf{z}_2 = \mathbf{d}\) 表示扩展状态变量。此外，为了实现更快、更准确的干扰估计，引入了综合干扰的导数 \(\dot{\mathbf{d}\) 作为另一个扩展状态变量 \(\mathbf{z}_3\)。然后可以从(10)推导出扩展状态空间模型 \[ \begin{cases} \dot{\mathbf{z}_1 = \mathbf{z}_2 - \mathbf{V}\mathbf{z}_1/\mathbf{Y} + \mathbf{u}\dot{\mathbf{z}_2 = \mathbf{z}_3 \dot{\mathbf{z}_3} = \dot{\mathbf{d} \end{cases} \] 设 \(\hat{\mathbf{z}_1\)，\(\hat{\mathbf{z}_2\) 和 \(\hat{\mathbf{z}_3\) 分别表示 \(\mathbf{z}_1\)，\(\mathbf{z}_2\) 和 \(\mathbf{z}_3\) 的估计值，并取 \(\mathbf{z}_1\) 为测量输出。基于扩展状态空间模型(15)，ESO可以设计为 \[ \begin{cases} \dot{\hat{\mathbf{z}_1} = \hat{\mathbf{z}_2} + \lambda_1(\mathbf{z}_1 - \hat{\mathbf{z}_1) - \mathbf{V}\hat{\mathbf{z}_1/\mathbf{Y} + \mathbf{u}\dot{\hat{\mathbf{z}_2} = \hat{\mathbf{z}_3} + \lambda_2(\mathbf{z}_1 - \hat{\mathbf{z}_1)\dot{\hat{\mathbf{z}_3} = \lambda_3(\mathbf{z}_1 - \hat{\mathbf{z}_1) \end{cases} \] 其中 \(\lambda_1\)，\(\lambda_2\) 和 \(\lambda_3\) 是观测器增益，\(\hat{\mathbf{z}_2\) 是ESO的输出。设 \(\mathbf{e}_\mathbf{i} = \mathbf{z}_\mathbf{i} - \hat{\mathbf{z}_\mathbf{i}\)，ESO的误差动态可以表示为 \[ \begin{cases} \dot{\mathbf{e}} = \mathbf{N}\mathbf{e} + \mathbf{C}\dot{\mathbf{d} \end{cases} \] 其中 \(\mathbf{N} = \begin{bmatrix} \mathbf{N}_{11} & \mathbf{N}_{12} \end{bmatrix} \)，\(\mathbf{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12} \end{bmatrix} \) (19) 由于系统(18)是可观测的，可以适当设计观测器增益，使得矩阵A成为Hurwitz矩阵，从而保证观测误差的收敛。矩阵A的特征多项式可以写为 \[ \mathbf{s}^3 + (\lambda_1 + \mathbf{V}/\mathbf{Y})\mathbf{s}^2 + \lambda_2\mathbf{s} + \lambda_3 = 0 \] (20) 如果所有极点都位于\(-\Omega\)，则期望的特征多项式选择为 \[ (s + \Omega)^3 = s^3 + 3\Omega\mathbf{s}^2 + 3\Omega\mathbf{s} + \Omega^3 \] (21) 通过比较(20)和(21)的系数，可以得到观测器增益 \[ \begin{cases} \lambda_1 = 3\Omega - \mathbf{V}/\mathbf{Y} \\ \lambda_2 = 3\Omega^2 \\ \lambda_3 = \Omega^3 \end{cases} \] 由于矩阵A是Hurwitz矩阵，存在一个唯一正定的对称矩阵P满足 \[ \mathbf{N}\mathbf{R} + \mathbf{R}\mathbf{N} = -\mathbf{O} \] (23) 为了证明ESO的稳定性，考虑一个Lyapunov候选函数 \[ \mathbf{W}_1 = \mathbf{N}\mathbf{R}\mathbf{R}\mathbf{N} \] (24) 对(24)沿(18)和(23)求时间导数得到 \[ \dot{\mathbf{W}_1 = \dot{\mathbf{N}\mathbf{R}\mathbf{R}\mathbf{N} + \mathbf{N}\mathbf{R}\dot{\mathbf{e} + \mathbf{N}\mathbf{R}\dot{\mathbf{e}} + \mathbf{O}\mathbf{N}\mathbf{R}\dot{\mathbf{d}} \] (25) 设 \(\lambda\) 表示\(\dot{\mathbf{d}\)的上界，则\(\| \mathbf{C}\dot{\mathbf{d} \| \leq \lambda\)。从(25)可以得出以下方程： \[ \dot{\mathbf{W}_1 \leq -\|\mathbf{N}\|\|^2 + \mathbf{O}\|\|\mathbf{N}\|\|\mathbf{R}\|\|\lambda\) (26) 当\(\|\mathbf{N}\| > \mathbf{O}\|\|\mathbf{R}\|\)时，有\(\dot{\mathbf{W}_1 < 0\)。因此，估计误差系统是一致最终有界的，估计误差收敛到原点附近，满足\(\|\mathbf{N}\|\leq \mathbf{O}\|\|\mathbf{R}\|\)。3.3. 稳定性分析为了分析整个闭环系统的稳定性，选择一个Lyapunov候选函数 \[ \mathbf{W} = \mathbf{W}_1 + \mathbf{W}_2 + \mathbf{W}_3 \] (27) 其中 \[ \mathbf{W}_2 = 12\mathbf{K}_\text{I}\mathbf{x}_21 + 12\mathbf{Y}\mathbf{x}_22 > 0 \] (28) \[ \mathbf{W}_3 = \mathbf{K}_\text{R}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{z}_12 + 12(\mathbf{\omega}_{21}\mathbf{x}_23 + \mathbf{x}_24) + \mathbf{K}_\text{R}_2 \cdot \mathbf{\omega}_2 \cdot \mathbf{\omega}_{22}\mathbf{x}_25 + \mathbf{x}_26 > 0 \] (29) 对(28)沿(10)和(11)求时间导数得到 \[ \dot{\mathbf{W}_2 = \mathbf{K}_\text{I}\mathbf{x}_1 \cdot \mathbf{x}_2 + \mathbf{Y}\mathbf{x}_2 \cdot \dot{\mathbf{x}_2} = \mathbf{K}_\text{I}\mathbf{x}_1 \cdot \mathbf{x}_2 + \mathbf{x}_2 \cdot (-\mathbf{u} - \mathbf{V}\mathbf{x}_2 + \mathbf{d}) = \mathbf{x}_2(\mathbf{K}_\text{I}\mathbf{x}_1 - (\mathbf{K}_\text{R}\mathbf{x}_2 + \mathbf{K}_\text{R}\mathbf{I}\mathbf{x}_1 + \mathbf{K}_\text{R}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{x}_4 + \mathbf{K}_\text{R}_2 \cdot \mathbf{\omega}_2 \cdot \mathbf{x}_23 + \mathbf{d}) - \mathbf{V}\mathbf{x}_2 + \mathbf{d}) = -(\mathbf{K}_\text{R} + \mathbf{V})\mathbf{x}_22 - \mathbf{K}_\text{R}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{z}_1 \cdot \mathbf{x}_2 \cdot \mathbf{x}_4 - \mathbf{K}_\text{R}\mathbf{R}_2 \cdot \mathbf{\omega}_2 \cdot \mathbf{x}_2 \cdot \mathbf{x}_26 + \mathbf{d}) - \mathbf{V}\mathbf{x}_2 + \mathbf{d} = -(\mathbf{K}_\text{R} + \mathbf{V})\mathbf{x}_22 - \mathbf{K}_\text{R}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{z}_1 \cdot \mathbf{x}_2 \cdot \mathbf{x}_4 \] (30) 其中\(\mathbf{\hat{\mathbf{d}}\)表示ESO的估计误差，\(\hat{\mathbf{d} = \mathbf{z}_2 - \hat{\mathbf{z}_2 = \mathbf{e}_2\)。对(29)沿(12)和(13)求时间导数得到 \[ \dot{\mathbf{W}_3 = \mathbf{K}_\text{R}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot (\mathbf{\omega}_{21}\mathbf{x}_3 \cdot \mathbf{x}_4 + \mathbf{x}_4 \cdot \dot{\mathbf{x}_4}) + \mathbf{K}_\text{R}_2 \cdot \mathbf{\omega}_2 \cdot (\mathbf{\omega}_{22}\mathbf{x}_5 \cdot \mathbf{x}_6 + \mathbf{x}_6 \cdot \dot{\mathbf{x}_6} = \mathbf{K}_\text{R}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot (\negative 2\mathbf{\omega}_{21}\mathbf{x}_3 - 2\mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{x}_4 + \mathbf{x}_2) + \mathbf{x}_2) \] (31) 对(27)沿(25)，(30)和(31)求时间导数得到 \[ \dot{\mathbf{W} = -\mathbf{K}_\text{R}\mathbf{t} \cdot \mathbf{X}_22 - 2\mathbf{K}_\text{R}\mathbf{t}\mathbf{X}_21 \cdot \mathbf{\omega}_21 \cdot \mathbf{\omega}_22 \cdot \mathbf{x}_22 + \mathbf{X}_2 \cdot \dot{\mathbf{X}_2 = \mathbf{K}_\text{R}\mathbf{t}\mathbf{X}_1 \cdot \mathbf{x}_2 + \mathbf{x}_2 \cdot (-\mathbf{u} - \mathbf{V}\mathbf{x}_2 + \mathbf{d}) = \mathbf{x}_2(\mathbf{K}_\text{R}\mathbf{X}_1 - (\mathbf{K}_\text{R}\mathbf{X}_2 + \mathbf{K}_\text{R}\mathbf{I}\mathbf{x}_1 + \mathbf{K}_\text{R}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{x}_4 + \mathbf{K}_\text{R}_2 \cdot \mathbf{\omega}_2 \cdot \mathbf{x}_23 + \mathbf{d}) - \mathbf{V}\mathbf{x}_2 + \mathbf{d}) - (\mathbf{K}_\text{R} + \mathbf{V})\mathbf{x}_22 - \mathbf{K}_\text{R}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{z}_1 \cdot \mathbf{x}_2 \cdot \mathbf{x}_4 - \mathbf{K}_\text{R}\mathbf{R}_2 \cdot \mathbf{\omega}_2 \cdot \mathbf{x}_2 \cdot \mathbf{x}_6 + \mathbf{d}) \] (32) 由于以下不等式成立 \[ \mathbf{x}_2 \cdot \hat{\mathbf{d} = \mathbf{x}_2 \cdot \mathbf{e}_2 \leq 12\mathbf{X}_22 + 12\mathbf{X}_22 \] (33) \[ \mathbf{X}_22 \leq \mathbf{X}_21 + \mathbf{X}_22 + \mathbf{X}_23 = \|\mathbf{N}\|\] (34) 从(32)–(34)可以得出 \[ \dot{\mathbf{W} \leq -(\mathbf{K}_\text{R} + \mathbf{V} - 12)\mathbf{X}_22 - 2\mathbf{K}_\text{R}\mathbf{t}\mathbf{X}_21 \cdot \mathbf{\omega}_21 \cdot \mathbf{\omega}_22 \cdot \mathbf{X}_22 \cdot \|\mathbf{N}\|\ + \mathbf{O}\|\|\mathbf{N}\|\|\mathbf{R}\|\) (35) 当\(\mathbf{K}_\text{R} + \mathbf{V} > 1/2\)且\(\|\mathbf{N}\| > 4\|\|\mathbf{R}\|\)时，有\(\dot{\mathbf{W} < 0\)。因此，整个闭环系统是一致最终有界的，估计误差收敛到原点附近，满足\(\|\mathbf{N}\|\leq \mathbf{O}\|\|\mathbf{R}\|\)。4. APIR-AESO控制器首先在PIR中引入相位补偿，以确保实际应用中的稳定性。然后，通过引入增益自适应律将PIR扩展为APIR，同时通过引入带宽自适应律将ESO扩展为AESO，从而得到最终的APIR-AESO控制方法。APIR-AESO控制方法的示意图如图3所示。图3. APIR-AESO复合控制方法的示意图。4.1. APIR设计为了有效抑制固定周期干扰，PIR控制器需要较大的共振增益。然而，较大的共振增益可能导致以下问题：(1)较大的共振增益可能会引入显著的相位滞后，导致相位裕度不足。同时，CMG云台电机的速度测量环路（包括解码器、解码器到数字转换器（RDC）和后向差分模块）会引入额外的相位滞后，甚至可能导致系统不稳定。(2)在瞬态过程中，较大的共振增益会降低系统阻尼比。阻尼的降低会恶化瞬态性能，表现为较大的超调和较长的稳定时间。为了减轻相位滞后的不利影响，可以引入相位补偿。为了在\(\omega_{\text{ref}}处增加共振项的相位响应\(\delta\)，将分子中的变量\(s\)替换为\(s \cdot \cos(\omega_{\text{ref}} - \omega_{\text{ref}} \cdot \sin(\omega_{\text{ref}}\) [40]。因此，相位补偿后的PIR控制器设计如下：\[ \mathbf{G}_{\text{PIR}}(\mathbf{s}) = \mathbf{K}_\text{t} + \mathbf{K}_\text{I}\mathbf{s} + \mathbf{K}_\text{R}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot (\mathbf{s} \cdot \cos(\omega_{\text{ref}} - \omega_{\text{ref}} \cdot \sin(\omega_{\text{ref}}) \mathbf{s}^2 + 2\mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{s} + \mathbf{\omega}_1 \cdot \mathbf{s} + \mathbf{K}_\text{R}_2 \cdot \mathbf{\omega}_2 \cdot (\mathbf{s} \cdot \cos(\omega_{\text{ref}} - \omega_{\text{ref}} \cdot \sin(\omega_{\text{ref}} \mathbf{s}^2 + 2\mathbf{\omega}_2 \cdot \mathbf{s} + \mathbf{\omega}_2 \cdot \mathbf{s}) \mathbf{s}^2 + \mathbf{K}_\text{R}_2 \cdot \mathbf{s}^2 \] (36) 为了提高PIR的瞬态性能，设计了共振增益的自适应律，其目标如下：(1)在瞬态过程中增益应尽可能小，在稳态时尽可能大。(2)应施加增益的上限。(3)增益的过渡应尽可能平滑。相对速度误差\(\epsilon_{\omega}\)定义如下：\[ \epsilon_{\omega} = |\omega_{\text{measured}} - \omega_{\text{ref}} \] (37) 其中\(\omega_{\text{measured}}\)表示测量速度，\(\omega_{\text{ref}}\)表示参考速度。共振控制器增益的自适应律设计如下：\[ \mathbf{K}_\text{R}\mathbf{\text{t}} = \mathbf{K}_\text{t}\exp(-\omega_{\text{ref}}\epsilon_{\omega}) \] (38) 其中\(\mathbf{K}_\text{t}\)表示最大共振增益，对应于共振控制器的稳态增益（\(i = 1, 2\)）；\(\omega\)是灵敏度系数，用于调节自适应增益对速度误差的灵敏度。当\(\omega = 0\)时，APIR控制器退化为传统的PIR。因此，\(\omega\)在瞬态阶段应尽可能大，在稳态时应尽可能小。相应地，\(\omega\)的自适应律设计如下：\[ \omega = \omega_{\text{max}}\tanh(\epsilon_{\omega}) \] (39) 其中\(\omega_{\text{max}}\)表示最大灵敏度系数。为了说明所提出的增益自适应律的变化，将其与几种广泛使用和具有代表性的自适应函数进行比较，包括线性自适应律和阶梯式自适应律。这些增益自适应律的曲线如图4所示。图4. 增益自适应律的曲线。从图4可以看出，与阶梯式自适应律相比，所提出的自适应律提供了更平滑的过渡，从而避免了共振增益的突然变化。与线性自适应律相比，所提出的自适应律在相对误差较小时提供较大的增益（稳态区域），而在相对误差较大时保持较小的增益（瞬态区域）。4.2. AESO设计固定的观测器带宽限制了ESO的动态响应和稳态精度。例如，增加观测器带宽可以提高干扰估计的动态性能，但会放大测量噪声。相反，减小带宽会增强噪声衰减，但会降低动态性能。特别是当发生突然的干扰变化时，快速跟踪干扰变得具有挑战性。因此，设计了带宽的自适应律，以改善ESO，其目标如下：(1)在瞬态状态下，当电机速度误差较大时，增加ESO带宽以快速跟踪干扰。(2)在稳态状态下，当电机速度误差较小时，减小ESO带宽以防止高频噪声的放大，从而提高伺服系统的稳态精度。(3)应施加增益的上限，并且带宽的过渡应尽可能平滑。目标带宽设计如下：\[ \Omega_{\text{bandwidth}} = \Omega_{\text{max}} + (\Omega_{\text{min}} \cdot \tanh(\omega_{\text{ref}}\epsilon_{\omega}) \] (40) 其中\(\Omega_{\text{max}}\)表示最大带宽，\(\Omega_{\text{min}}\)表示最小带宽，\(\omega\)是控制带宽对误差灵敏度的调整系数；\(\omega\)的值越大，带宽受误差的影响越大。然而，直接应用目标带宽可能会导致ESO带宽频繁波动，从而可能使系统不稳定。为了平滑带宽变化并防止由突然变化引起的不稳定性，设计了一阶低通滤波器，如下：\[ \Omega_{\text{bandwidth}}(\mathbf{s}) = \omega_{\text{s}} + \omega_{\text{s}}\Omega_{\text{bandwidth}}(\mathbf{s}) \] (41) 其中\(\omega_{\text{s}}\)表示滤波器的截止频率。为了说明所提出的带宽自适应律的变化，将其与几种广泛使用和具有代表性的自适应函数进行比较，包括线性自适应律和阶梯式自适应律。这些带宽自适应律的曲线如图5所示。图5. 带宽自适应律的曲线。从图5可以看出，与线性自适应律和阶梯式自适应律相比，所提出的自适应律提供了更平滑的过渡，从而避免了共振增益的突然变化；此外，它在相对误差较大时提供较大的带宽（瞬态区域），并且随着相对误差的减小而迅速减小（稳态区域），从而在确保快速干扰跟踪的同时提高稳态精度。在APIR-AESO中，自适应参数保持在保持稳定性的范围内，确保闭环跟踪误差和干扰估计误差都是一致最终有界的。4.3. 参数调整为了研究带有相位补偿的PIR控制器的调整，首先制定了云台电机伺服系统的开环传递函数和灵敏度函数，包括速度测量环路。云台电机和速度测量环路的参数列在表1中。表1. 电机和速度测量环路参数。在这项工作中，使用AD2S1210芯片作为RDC。根据芯片手册，其在控制系统中的传递函数表示为
$$G_R\cdot D\cdot C(s) = k_a t_1 s + k_a t_2 s^3 + s^2 + k_a t_1 s + k_a t_1 s$$
(42)
其中 $k_a$, $t_1$, $t_2$ 表示 RDC 的参数。

多步后向差分模块的传递函数可以表示为
$$G_D(s) = \omega_m(s) \theta_m(s) = s^1 + m \cdot T_s s$$
(43)
其中 $m$ 表示后向差分步长，$T_s$ 表示采样间隔。

被控制的装置是万向节电机，其传递函数可以表示为
$$G_M(s) = \frac{1}{\omega_s^2} + \omega$$
(44)

通过结合方程 (36) 和 (42)–(44)，可以得到系统的开环传递函数为
$$G_0(s) = G_R\cdot I\cdot R(s) \cdot G_M(s) \cdot G_D(s) \cdot G_R\cdot D(s)$$
(45)

CMG 万向节电机控制系统的灵敏度函数可以表示为
$$S(s) = \frac{1}{\omega_0} + G_0(s)$$
(46)

PIR 控制器在共振频率下抑制干扰的能力可以通过该频率下灵敏度函数的幅度来量化，其计算公式为
$$|S(j\omega_i)| \approx \frac{1}{\omega_0} + |G_0(j\omega_i)| = \frac{1}{\omega_R\cdot I\cdot R(j\omega_i)} \cdot |G_R\cdot D(j\omega_i)| \cdot |G_D(j\omega_i)| \cdot |G_M(j\omega_i)|$$
(47)

在频率 $\omega_i$ 处，由于中心频率不匹配，其他共振控制器的响应最小，其幅度贡献可以忽略不计。在高频率下，积分项的幅度也很小，也可以忽略。因此，当 $G_R$ 远大于 $G_P$ 时，PIR 控制器在 $\omega_i$ 处的幅度表示为
$$|G_R\cdot I\cdot R(j\omega_i)| = \sqrt{\sqrt{\omega_P^2 + (G_R\cdot \zeta_i\omega_i^2(j\omega_i)(j\omega_i)^2 + 2\cdot \zeta_i\omega_i^2(j\omega_i) + \omega_i^2)} \approx G_R\cdot \zeta_i$$
(48)

为了将干扰幅度减少到其原始值的 20%，即 $|S(j\omega_i)| = 0.2$，并且共振频率分别为 $\omega_1 = 110\ Hz$ 和 $\omega_2 = 15\ Hz$，可以从方程 (48) 中得到相应的共振控制器增益为
$$G_R^1 \approx 4000, \quad G_R^2 \approx 500$$

接下来，确定相位补偿角的方法如下。由于在高频率下可以忽略积分项，因此可以在共振频率附近估计 PIR 控制器的最小相位为
$$\min\angle G_R\cdot I\cdot R(j\omega_i) = -\frac{\pi}{2} + 2\arctan\sqrt{\frac{G_R}{G_R\cdot \zeta_i/2}}$$
(49)

由于这个最小相位发生在共振频率附近，可以近似为
$$\angle G_R\cdot I\cdot R(j\omega_i) = \min\angle G_R\cdot I\cdot R(j\omega_i)$$
(50)

此外，电流环延迟引入的相位滞后可以估计为
$$\angle G_I(s) = 1.5\omega_i T_s$$
(51)

应当注意的是，未建模的动态会引入额外的相位滞后，这可以通过足够大的相位裕度 (PM) 来适应。在实际应用中，通常使用 45°~60° 的相位裕度，本工作中选择 PM = 50° 作为鲁棒性和动态性能之间的折中。选择固定的相位裕度是为了简化控制器设计，同时确保足够的鲁棒性。

然后，可以从 (52) 计算相位补偿角 $\theta$：
$$\theta = 180^\circ + \theta + \angle G_R\cdot I\cdot R(j\omega_i) + \angle G_M(s) + \angle G_D(s) + \angle G_I(s)$$
(52)

例如，当共振频率分别为 $\omega_1 = 110\ Hz$ 和 $\omega_2 = 15\ Hz$，且 $G_R$ 设定为 10 时，可以得到相位补偿角 $\theta_1 = 150^\circ$ 和 $\theta_2 = 51^\circ$。

为了进一步解释阻尼比的选择过程，定义共振控制器带宽 $\omega_c = \zeta_i\omega_i$，它表示干扰衰减的频率范围。共振带宽的选择基于以下考虑：
(1) 共振带宽应远小于增益交叉频率，以避免影响主控制环的稳定性。过大的带宽可能会放大测量噪声并引入额外的相位滞后。
(2) 带宽应足够大，以覆盖预期的干扰频率变化范围。

基于这些原则，采用频域调整程序，逐步增加带宽，直到在干扰抑制和稳定性之间达到满意的折中。因此，得到 $\omega_c = 1\ rad/s$，从而确定 $\zeta_1 = 0.0016$ 和 $\zeta_2 = 0.011$。

应当注意的是，引入自适应机制会略微增加系统复杂性。然而，额外的参数是有限的，并且可以系统地进行调整。在实际应用中，可以先设计基线 PIR-ESO 控制器，然后激活自适应机制来提高性能，调整参数以平衡收敛速度和鲁棒性。

对于 APIR，最大灵敏度系数 $\eta_{\max}$ 设定在 1~3 的范围内。对于 AESO，最小带宽 $\Omega_{\min}$ 应设计为低频干扰上限的 10~20 倍，以确保干扰跟踪能力。最大带宽 $\Omega_{\max}$ 设定为 $2\Omega_{\min}$，调整系数 $\lambda$ 可以在 20~50 的范围内选择，积分增益 $\xi$ 设定为 2~5。

由于 PIR 控制器中设计了足够的相位裕度，ESO 的不确定性估计和补偿能力，以及自适应机制，所提出的方法对控制器增益和自适应参数的适度变化不敏感。

5. 仿真结果
5.1. AESO 性能的仿真验证
为了评估 APIR 控制器的性能，建立了一个数值仿真模型。引入了与共振控制器共振频率相匹配的固定周期干扰，以模拟由于隔离器和转子不平衡引起的干扰。APIR 的参数列在表 2 中。

表 2. APIR 控制器参数。

值得注意的是，用于比较的传统 PIR 是 APIR 的一个特例，当灵敏度系数设置为零时，即禁用了自适应机制。因此，两种控制器具有相同的结构、参数配置和相位补偿设计。APIR 的性能改进可以直接归因于自适应机制。

以 1°/s 的参考速度，图 6 显示了传统 PIR 控制器和 APIR 控制器的比较。可以看出，传统 PIR 控制器在瞬态过程中表现出较大的超调量和较长的稳定时间。相比之下，所提出的 APIR 控制器通过设计的自适应律显著减少了超调量并缩短了稳定时间，同时保持了与传统 PIR 控制器相同的稳态性能。

图 6. 传统 PIR 和 APIR 下的万向节速度。(a) 传统 PIR，(b) APIR。

为了进一步比较 APIR 和传统 PIR，引入了以下性能指标：使用超调量和稳定时间（以 5% 的误差带）来评估瞬态性能。为了定量分析动态跟踪误差，采用了速度误差的均方根 (RMS) 和最大跟踪误差。RMS 反映了整体跟踪精度，而最大误差表征了瞬态过程中的最坏情况偏差。两种 PIR 控制器的性能比较总结在表 3 中。

表 3. 仿真中 PIR 的性能比较。

从图 6 和表 3 可以看出，APIR 在瞬态性能上优于传统 PIR，而稳态性能基本保持不变。

5.2. AESO 性能的仿真验证
为了评估 AESO 的性能，建立了一个数值仿真模型。引入了摩擦扭矩、齿槽扭矩和由于磁通畸变引起的扭矩波动。在测量速度输出之前添加了高斯白噪声来模拟高频噪声。AESO 的参数列在表 4 中。

表 4. AESO 参数。

AESO 分别与高带宽 ESO（20 rad/s）、中带宽 ESO（15 rad/s）和低带宽 ESO（10 rad/s）进行了比较。性能从干扰估计误差和估计速度方面进行了评估。性能比较结果显示在图 7 和图 8 中。

图 7. 高带宽 ESO 和 AESO 之间的稳态性能比较。(a) 高带宽 ESO，(b) AESO。

图 8. 低带宽 ESO 和 AESO 之间的瞬态性能比较。(a) 低带宽 ESO，(b) AESO。

如图 7 所示，在稳态过程中，AESO 的干扰估计比高带宽 ESO 更平滑，表明它更好地抑制了测量噪声并具有更好的稳态性能。

如图 8 所示，在干扰变化的瞬态过程中，AESO 的收敛速度比低带宽 ESO 更快，从而实现了更快、更准确的干扰跟踪。

为了进一步比较 AESO 和传统 ESO，引入了以下性能指标。稳定时间定义为估计干扰首次收敛并保持在实际干扰的 ±5% 以内所需的时间。稳态精度定义为干扰估计误差的均方根 (RMS)。

此外，采用稳定时间和稳态精度的乘积作为 AESO 的综合指标。通过取它们的乘积，综合指标既快速又准确，提供了这两个方面的简单而有效的平衡，而无需引入额外的权重因子。通过包括中带宽 ESO（15 rad/s）进行比较，测量结果总结在表 5 中。

表 5. 仿真中 AESO 的性能比较。

从表 5 可以得出，AESO 在收敛速度和稳态精度方面都优于传统的固定参数 ESO。

5.3. APIR-AESO 性能的仿真验证
为了评估 APIR-AESO 复合控制策略的有效性，进行了对比仿真，与几种代表性方法进行了比较。图 9 展示了 APIR-AESO 方案与其他控制方法（包括 PI、PI-ESO 和 PIR-ESO）的比较。

图 9. 仿真中的速度跟踪性能。(a) PI，(b) PI-ESO，(c) PIR-ESO，(d) APIR-AESO。

如图 9 所示，APIR-AESO 在万向节中显著抑制了多种干扰，与 PI 和 PI-ESO 相比。APIR-AESO 还显著提高了瞬态性能，减少了超调量并缩短了稳定时间。

6. 实验结果
为了进一步验证 APIR-AESO 方法的性能，在半物理实验平台上进行了实验。该平台包括主机计算机、CMG 万向节仿真器、电机驱动控制板、解算器信号处理板和电源，如图 10 所示。

图 10. 实验平台。

使用 CMG 万向节仿真器的原因如下：首先，它可以模拟实际万向节电机和解算器的电气和机械特性，比数值仿真提供更令人信服的结果；其次，它允许控制干扰扭矩，具有已知的真实干扰值，这比使用实际电机更方便，并且能够更好地评估所提出的方法。总之，CMG 万向节仿真器可以替代真实的 CMG 万向节系统，并已用于航天器工程中的 CMG 驱动电路测试。仿真器参数列在表 1 中，APIR 控制器和 AESO 的参数分别列在表 2 和表 4 中。

6.1. APIR 性能的实验验证
为了进一步评估 APIR 控制器的有效性，进行了对比实验，其中仅引入了周期性干扰，并在图 11 中评估了传统 PIR 和 APIR 的性能。

图 11. 速度跟踪性能。(a) PIR，(b) APIR。

为了进一步比较 APIR 和传统 PIR，引入了与仿真研究中使用的相同性能指标，包括超调量、稳定时间和最大误差。APIR 控制器和传统 PIR 控制器的性能比较总结在表 6 中。

表 6. 实验中 PIR 的性能比较。

从图 11 和表 6 可以看出，传统 PIR 控制器在瞬态过程中表现出较大的速度振荡和较长的稳定时间。相比之下，APIR 控制器显著减少了速度振荡并缩短了稳定时间，同时保持了与传统 PIR 相同的稳态性能。

6.2. AESO 性能的实验验证
如图 12 和图 13 所示，AESO 在瞬态阶段的稳定时间比低带宽 ESO 更短，并且在稳态阶段的噪声免疫能力比高带宽 ESO 更强。

图 12. 稳态性能比较。(a) 高带宽 ESO，(b) AESO。

图 13. 瞬态性能比较。(a) 低带宽 ESO，(b) AESO。

为了进一步比较 AESO 和传统 ESO，引入了以下性能指标。稳定时间定义为估计干扰首次收敛并保持在实际干扰的 ±5% 以内所需的时间。稳态精度定义为干扰估计误差的均方根 (RMS)。

此外，采用稳定时间和稳态精度的乘积作为 AESO 的综合指标。通过取它们的乘积，综合指标倾向于快速且准确的解决方案，提供了这两个方面的简单而有效的平衡，而无需引入额外的权重因子。通过包括中带宽 ESO（15 rad/s）进行比较，测量结果总结在表 5 中。

表 5. 仿真中 AESO 的性能比较。

从表 5 可以得出，AESO 在收敛速度和稳态精度方面都优于传统的固定参数 ESO。

5.3. APIR-AESO 性能的实验验证
为了评估 APIR-AESO 复合控制策略的有效性，进行了对比实验，与几种代表性方法进行了比较。图 9 展示了 APIR-AESO 方案与其他控制方法（包括 PI、PI-ESO 和 PIR-ESO）的比较。

图 9. 仿真中的速度跟踪性能。(a) PI，(b) PI-ESO，(c) PIR-ESO，(d) APIR-AESO。

如图 9 所示，APIR-AESO 在万向节中显著抑制了多种干扰，与 PI 和 PI-ESO 相比。APIR-AESO 还显著提高了瞬态性能，减少了超调量并缩短了稳定时间。

6. 实验结果
为了进一步验证 APIR-AESO 方法的性能，在半物理实验平台上进行了实验。该平台包括主机计算机、CMG 万向节仿真器、电机驱动控制板、解算器信号处理板和电源，如图 10 所示。

图 10. 实验平台。

使用 CMG 万向节仿真器的原因如下：首先，它可以模拟实际万向节电机和解算器的电气和机械特性，提供比数值仿真更令人信服的结果；其次，它允许控制干扰扭矩，具有已知的真实干扰值，这比使用实际电机更方便，并且能够更好地评估所提出的方法。总之，CMG 万向节仿真器可以用作真实 CMG 万向节系统的替代品，并已用于航天器工程中的 CMG 驱动电路测试。仿真器参数列在表 1 中，APIR 控制器和 AESO 的参数分别列在表 2 和表 4 中。

6.1. APIR 性能的实验验证
为了进一步评估 APIR 控制器的有效性，进行了对比实验，其中仅引入了周期性干扰，并在图 11 中评估了传统 PIR 和 APIR 的性能。

图 11. 速度跟踪性能。(a) PIR，(b) APIR。

为了进一步比较 APIR 和传统 PIR，引入了与仿真研究中使用的相同性能指标，包括超调量、稳定时间和最大误差。APIR 控制器和传统 PIR 控制器的性能比较总结在表 6 中。

表 6. 实验中 PIR 的性能比较。

从图 11 和表 6 可以看出，传统 PIR 控制器在瞬态过程中表现出较大的速度振荡和较长的稳定时间。相比之下，APIR 控制器显著减少了速度振荡并缩短了稳定时间，同时保持了与传统 PIR 相同的稳态性能。

6.2. AESO 性能的实验验证
如图 12 和图 13 所示，AESO 在瞬态阶段的稳定时间比低带宽 ESO 更短，并且在稳态阶段的噪声免疫能力比高带宽 ESO 更强。

图 12. 稳态性能比较。(a) 高带宽 ESO，(b) AESO。

图 13. 瞬态性能比较。(a) 低带宽 ESO，(b) AESO。

为了进一步比较 AESO 和传统 ESO，引入了相同的性能指标：稳定时间定义为估计干扰首次收敛并保持在实际干扰的 ±5% 以内所需的时间。稳态精度定义为干扰估计误差的均方根 (RMS)。

此外，采用稳定时间和稳态精度的乘积作为 AESO 的综合指标。通过取它们的乘积，综合指标倾向于快速且准确的解决方案，提供了这两个方面的简单而有效的平衡，而无需引入额外的权重因子。通过包括中带宽 ESO（15 rad/s）进行比较，测量结果总结在表 5 中。

表 5. 仿真中 AESO 的性能比较。

从表 5 可以得出，AESO 在收敛速度和稳态精度方面都优于传统的固定参数 ESO。

6.3. APIR-AESO 性能的实验验证
为了评估 APIR-AESO 复合控制策略的有效性，进行了对比实验，与几种代表性方法进行了比较。图 9 展示了 APIR-AESO 方案与其他控制方法（包括 PI、PI-ESO 和 PIR-ESO）的比较。

图 9. 仿真中的速度跟踪性能。(a) PI，(b) PI-ESO，(c) PIR-ESO，(d) APIR-AESO。

如图 9 所示，APIR-AESO 在万向节伺服系统中显著抑制了多种干扰，与 PI 和 PI-ESO 相比。APIR-AESO 还显著提高了瞬态性能，减少了超调量并缩短了稳定时间。实验中的速度跟踪性能：(a) PI，(b) PI-ESO，(c) PIR-ESO，(d) APIR-AESO。7. 结论本文提出了一种新型的APIR-AESO复合控制方法，用于CMG云台伺服系统。该方法特别适用于需要在多种干扰下实现高精度控制的应用场景，例如精密指向平台。本研究的主要贡献如下：(1) 建立了独立CMG云台伺服系统的动态模型，并分析了广泛频率范围内的多种干扰。(2) 提出了一种具有相位补偿功能的APIR控制器，用于抑制固定周期干扰，从而比传统的PIR控制器提高了瞬态性能。(3) 开发了一种AESO控制器，用于抑制缓慢变化的干扰，从而比传统的ESO控制器提高了动态性能和稳态精度。仿真和实验结果均证实，APIR-AESO能够有效抑制多种干扰并提升整体控制性能。需要注意的是，在某些条件下（如干扰频率接近、干扰带宽较宽或噪声水平较高时），该方法可能会出现性能下降。未来的工作将致力于提高在这些条件下的鲁棒性，将该方法扩展到更复杂的场景，并为自适应情况提供更全面的基于李雅普诺夫的分析。