摘要
微分算子通常具有多种代数上等价的符号表示形式，但这些表示形式在求解分析前的内部结构组织可能存在差异。本文引入了一个可复制的符号框架，用于在算子表达式层面对这些表示形式进行比较。在指定的符号规范中，包括固定语法、允许的权重等级、规范压缩规则以及一系列允许的重新表述方法，我们定义了四个结构描述符：结构应变（τ）、结构曲率（κ）、压缩性（σ）和平衡比率（Γ = κ/τ）。结构应变将一种编码形式与指定的参考表示形式进行比较，而压缩性则衡量在规范符号压缩下的简化程度。这些量是特定编码类中的确定性描述符，而不是底层算子的坐标无关不变量。本文发展了用于计算这些描述符的结构长度函数，形式化了规范压缩过程，并区分了有限的符号比较与路径化的符号变形。一个鲁棒性定理表明，在远离阈值表面（Γ = σ）的情况下，足够小的允许扰动能够保持诱导出的诊断标签。另一个关于权重鲁棒性的结果表明，在相应的非退化条件下，定性标签在一系列局部允许的权重选择中仍然保持不变。该框架作为算子表示的可复制诊断工具，可以与李雅普诺夫理论、谱理论、伪谱理论和基于能量的稳定性理论结合使用。通过代表性常微分算子和偏微分算子的例子，展示了如何计算这些描述符以及它们在允许的重新表述下的行为；附录部分提供了论文的技术支撑，包括正式定义、可复现性协议、扩展的扰动论证和明确的故障模式分析。此外，关于编码、权重和阈值变化的敏感性检查进一步明确了该方法的应用范围，而明确的故障模式则界定了描述符不再适用的边界情况。本研究的主要贡献是一个形式化且可复制的符号框架，用于在固定规范下比较微分算子，并通过鲁棒性结果和实例阐述了该方法的应用范围。
