综述：利用深度学习替代模型和多尺度插值技术实现高效的地热水库模拟 Vaibhav V. Khedekar, Abdul R. A. N. Memon 和 Mayur Pal

《Processes》：Efficient Geothermal Reservoir Simulation Using Deep Learning Surrogates and Multiscale Interpolation Techniques Vaibhav V. Khedekar, Abdul R. A. N. Memon and Mayur Pal

　　摘要 优化在化学工程的演变中发挥了基础性作用，使得在技术、经济和环境约束下能够进行系统的决策。本综述对应用于化学工程的优化方法的历史发展和当前状态进行了结构化与比较分析，涵盖了从早期的线性和非线性规划方法到先进的数据驱动和基于人工智能框架的转变。根据PRISMA指南进行了系统的文献回顾，共筛选出101篇文章用于分析。结果表明，混合整数规划和基于分解的方法在结构化工业问题中仍然被广泛采用，而元启发式和混合数据驱动方法近年来取得了显著增长。特别是，观察到机器学习和替代建模技术整合的明显趋势，这是由于需要解决大规模、非凸性和高度非线性系统的需求。分析揭示了从经典线性优化框架向能够处理大规模、非凸性和高度非线性问题的混合优化策略的明显方法论转变。最后，指出了当前面临的挑战和未来的研究方向，强调了需要结合数学规划和智能算法的稳健混合方法来有效管理下一代化学系统的复杂性。

1. 引言
目前，工业界面临着优化运营和最小化停机时间的日益增加的压力。仿真、数据分析和自动化技术的改进和发展促进了创新方法和途径的出现，以应对这些挑战[1]。根据Grossmann和Guillén-Gosálbez[2]以及Al等人[3]的观点，开发集成过程系统和循环经济概念的复杂优化工具现在对于实现环境性能与利润最大化之间的最佳平衡至关重要。在此背景下，其他挑战还包括改进用于净水等应用的先进材料，其中优化在提高性能方面起着关键作用[4]。这些现代优化方法的基础可以追溯到线性规划和单纯形方法的早期发展，这些方法为解决与资源分配相关的全球性挑战铺平了道路[5]。随后，在1980年至2000年间，过程系统工程（PSE）作为一个独立的多学科领域得以确立。1982年的京都会议是一个重要的里程碑，因为它明确采用了PSE这一术语来应对化学工业的运营挑战[6]。
近年来，PSE的演变与计算能力的增长以及大量工业数据的可用性密切相关[7]，这推动了一轮专注于为数学过程优化制定数据驱动替代模型的新研究[8]。这些模型在设计和决策阶段尤为重要，因为严格的模型通常涉及高昂的计算成本[9,10]。同时，受自然进化机制启发的元启发式技术由于其简单性、灵活性以及处理高度非线性全局优化问题的能力而获得了广泛认可[11]。此外，进化机器学习作为一个有前景的研究领域出现，它能够减少高度非线性数据驱动回归模型中的泛化误差[12]，从而加强了优化、数据驱动建模和决策在复杂工程系统中的集成。
然而，尽管在替代模型、元启发式和进化机器学习方面取得了进展，但仍存在重大挑战，限制了它们在现实工业环境中的有效应用。这些挑战包括高维度对优化算法收敛性的负面影响[13,14]，以及替代模型得到的最优解可能与实际物理系统的最优解不一致的风险[15]。根据Forster等人[16]的观点，许多传统机器学习算法依赖于对模型结构的先验假设，这阻碍了分析和可解释的动力学表达式的推导。如果不考虑这种变异性，得到的确定性解决方案往往不现实或在面对工业环境中的动态变化时容易失效[17]。此外，还需要改进数字加速器架构，以提高人工智能任务中的能源效率和计算密度[18]。这是因为传统方法通常存在显著限制，如收敛速度慢、容易陷入局部最优解以及处理非线性问题时缺乏鲁棒性[19]。因此，该行业需要不仅提供高预测准确性的模型，还要提供进行关键决策所需的透明性和可解释性[20]。将先进的机器学习策略整合到化学过程优化中可以大幅减少实验负担并提高整体效率[21]。
因此，本项工作的主要目的是从结构化和比较的角度分析1940年以来化学工程中优化的演变轨迹。这种结构化分析基于根据优化方法的来源及其对解决化学工业问题的贡献对其进行的系统分类。同时，比较分析评估了这些方法随时间的能力、限制和演变，直到当前技术。
本综述分为七个主要部分：（1）引言，（2）方法论，（3）化学工程中优化的历史发展，（4）方法论景观和比较分析，（5）讨论，（6）未来方向，（7）结论。每个部分总结了文献的主要贡献，并批判性地讨论了优化工具如何演变，并继续在应对当前和未来的化学工程挑战中发挥关键作用。
与以往的综述不同，本研究采用了更广泛的角度，结合了历史评估和代表性案例研究。这种方法有助于更清楚地理解优化技术的实际影响和渐进演变，强调它们在解决日益复杂和大规模问题中的作用。在这方面，本工作的主要新颖之处在于将方法论发展与案例研究联系起来，从而提供了对当前和未来化学工程优化景观的更全面视图。

2. 本综述的方法论
本文采用了一种系统和结构化的方法，旨在提供应用于化学工程的优化领域的历史演变和方法论进步的全面概述。遵循了系统评价和荟萃分析的优先报告项目（PRISMA）指南[22]，见图1。此外，PRISMA检查表提供在补充材料中。文献搜索是系统地使用广泛认可的科学数据库进行的，包括Scopus、Web of Science、ScienceDirect和Google Scholar。图1. 用于识别和选择研究的PRISMA流程图。搜索策略使用与化学工程优化相关的关键词的组合来定义。使用的搜索字符串如下：
TITLE-ABS-KEY (“过程优化” 或 “化学工程中的优化” 或 “化学过程优化” 或 “过程系统工程” 或 “PSE” 或 “数学优化” 或 “线性规划” 或 “非线性规划” 或 “混合整数线性规划” 或 “混合整数非线性规划” 或 “MILP” 或 “MINLP” 或 “多目标优化” 或 “多目标优化” 或 “随机优化” 或 “动态优化” 或 “全局优化” 或 “进化算法” 或 “遗传算法” 或 “粒子群优化” 或 “元启发式” 或 “元启发主义” 或 “基于AI的优化” 或 (“机器学习” W/3优化) 或 (“深度学习” W/3优化) 或 (“数据驱动” W/5优化) 或 “混合建模” 或 “数字孪生” 或 (“数字化” AND “化学过程”) 或 “可持续优化” 或 “能源集成优化” 或 “热集成优化” 或 “过程强化优化”)。
文献搜索于2025年12月3日进行。筛选和选择过程由五位独立评审员完成。通过讨论解决了争议，以确保研究的纳入和排除的一致性。
根据预定义的标准排除了全文文章，包括：重复记录；缺乏摘要或关键词等基本信息；技术或方法论深度不足；缺乏明确或可复制的优化框架；与化学工程优化的历史和方法论范围相关性有限。
此外，根据优化方法（经典、混合和数据驱动）对研究进行了分类，以确保比较分析的一致性。虽然主要研究时期覆盖2015-2026年，但本综述还纳入了七篇较早的文章以巩固理论基础。这些文章包括2004年、2007年、2010年和2012年的单篇出版物，以及2014年的三篇论文，如图2所示的时间分布所示。需要注意的是，该图代表了经过筛选过程后纳入本综述的文章分布，而不是整体出版物情况。图2. 本综述中按年份划分的选定文章的时间分布。尽管重点关注近期文献，但这些较早的研究是通过基于相关性、历史意义和公认影响的定向手动搜索选出的。优先考虑引入或形式化至今仍有影响力的概念的工作，确保了为本综述中提出的结构化和比较分析提供必要的背景。这种策略有助于识别不同方法的演变模式、优势和局限性，以及未来研究的机会。收集的信息按主题组织，突出了优化技术的历史进展及其与数据驱动和基于可持续性的方法的日益整合。

3. 化学工程中优化的历史发展
从最早的确定性数学规划方法到今天的混合和数据驱动框架，优化方法一直演变，以应对解决日益非线性、大规模和非凸问题的需求（见图3）。本部分通过其主要方法论里程碑系统地回顾了这些方法。图3. 化学工程中优化方法的演变。本部分中呈现的应用是通过方法论中描述的基于PRISMA的筛选过程选出的代表性案例研究。这些示例的目的是说明不同优化方法如何应用于实际的化学工程问题，突出它们的能力、限制和潜在的整合，而不是提供详尽或最佳比较。
尽管本部分按时间顺序组织以展示优化方法的历史发展，但有意包含了最近的参考文献，以说明经典技术如何在现代背景下应用和扩展。这些研究不代表这些方法的原始发展，而是提供了更新的观点，突出它们持续的相关性和演变。

3.1. 早期的数学和计算基础
在整个20世纪，减轻化学工业环境影响和优化资源利用的迫切需求推动了数学和计算模型的整合。1940年至1980年间，过程优化方法的早期研究得到了巩固。在此背景下，20世纪40年代末单纯形方法的发展标志着解决线性规划（LP）问题的一个重要里程碑[23]。这种迭代程序确定了受线性约束的目标函数的最优值。在此之后，Maurya等人[24]通过MS-Excel Solver实现了单纯形方法，以最大化一家化工公司的利润，同时考虑了制造限制和资源可用性，以确定最优生产组合。
近年来，文献继续将单纯形方法的变体视为现代线性优化中的基本工具。例如，Guo等人[25]明确纳入了修订后的双重单纯形算法，以解决自适应优化周期中产生的子问题，展示了该算法在设计线性规划方法中的持续相关性。双重单纯形方法最初是作为单纯形算法的扩展引入的，从最初不可行的解决方案开始，逐步过渡到最优化目标的可行解决方案[26]。
随后，Dantzig-Wolfe分解原理出现，使得通过交替解决线性子程序和一个主协调程序来解决大规模问题成为可能[27]。今天，这种优化方法仍然是一个活跃的研究领域。例如，Basso等人[28]提出了一种结合机器学习的Dantzig-Wolfe重构方法，建立了数据驱动的自动化分解框架，引入了算法技术以确保计算效率。
在随后的几年中，引入了Benders分解[29]，该方法基于利用给定问题的可分解结构将其分割为几个较小的子问题[30]。Brahmbhatt等人[31]提出了一个模块化框架，使用图论建模和多参数（MP）编程替代方法来加速Benders分解，用等效于经典割分的分析评估替代了重复的子问题解决。
当应用于随机容量扩展问题时，这种方法在不影响收敛保证的情况下显著减少了计算时间。20世纪50年代初，非线性规划（NLP）领域取得了重大进展，提出了受限非线性优化的最优性条件，后来被称为Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件，这些条件成为广泛采用的标准[32]。Li和Swartz[33]将KKT条件应用于分布式控制系统中的实时动态优化问题，这使得模型预测控制（MPC）子问题可以转化为具有互补约束的单一数学程序，从而提高了控制器协调性，并与分散控制相比实现了更佳的性能。同样，牛顿法仍然是数值分析、运筹学和控制理论的基石[34]。尽管在工程中被广泛使用，但该方法不断得到改进。Saheya等人[35]提出了一种迭代方案来求解非线性方程，建立了一个新的有理逼近模型，该模型推广了局部线性模型。此外，Wang等人[36]研究了一种用于非线性方程的随机牛顿法，在这种方法中，如果无法获得精确的函数信息，则依赖零阶和一阶随机预言来计算不精确的牛顿步骤。梯度法是另一种用于识别非线性问题中的局部最小值的重要的迭代算法。Saheya等人[35]指出，梯度法对于处理具有多个变量的复杂非线性问题非常有效，并描述了其在多阶段和连续化学过程中的应用。在这方面，准牛顿法是牛顿法的扩展，避免了显式计算Hessian矩阵的需要。最近，Li和Chen[37]提出的稀疏准牛顿算法用于碳酸盐岩酸化压力的耦合多物理场模型，通过利用模型的固有稀疏性，他们仅更新矩阵的非零元素，克服了大规模高分辨率模拟中的计算挑战。

非线性算法的发展最终转向了广义优化和更复杂的约束。20世纪50年代末，Philip Wolfe基于二次规划（QP）开发了Wolfe方法[38]。QP问题涉及二次目标函数和线性约束，具有较低的计算成本优势[39]。Syaripuddin等人[40]提出了Wolfe方法的扩展，将区间系数二次问题转换为区间线性规划模型，然后作为两种经典的线性规划场景（最佳情况和最坏情况）进行求解。最后，序列二次规划（SQP）作为一种高效的受限非线性优化技术脱颖而出，特别是对于平滑可微函数。该方法通过二次子问题迭代逼近原始问题，利用导数或其近似值。Joshy和Hwang[41]强调了SQP在线性优化中的成功，并引入了基于Python的模块化算法OpenSQP。Ma等人[42]最近的改进包括改进的SQP（I-SQP）和增强的序列最小二乘规划（I-SLSQP）算法，这些算法解决了最小二乘（LSQ）子问题，并使用混合松弛方法来确保更好的收敛性和效率。

虽然传统的确定性方法提供了严谨的基础，但现代工业需求要求解决离散决策和非凸复杂性问题。因此，接下来的章节将讨论混合整数线性和非线性规划（MILP/MINLP）以及用于鲁棒全局优化的元启发式混合策略。这一进展最终体现在工业5.0框架中的数据驱动优化（ML）中，在这里计算能力与可持续性、韧性和以人为中心的协作相结合，重新定义了工业效率。3.2 过程系统工程与工业优化

“过程系统工程”（PSE）这一术语首次提出于1982年[43]，此后它已成为化学工程领域中一个公认的、自主的、基础扎实的科学学科，整合了编程、应用数学和化学过程工程，能够处理不同规模的复杂问题[44]（见图4）。图4展示了过程系统工程的多层视图（改编自[43]；自行补充）。在这一过程系统工程的演变框架中，解决不同规模的设计、规划和决策问题的需求促进了能够严格表示工业系统复杂性的先进数学工具的发展和应用[45]。特别是，整合离散和连续决策的优化模型的制定成为PSE的方法论基石，导致混合整数规划（MIP）作为支持工业优化和管理复杂过程系统的主要技术之一得到日益广泛的使用[46]。下面回顾了1980-2000年间MIP在PSE中的基础和应用。

化学工业中的基于优化的编程非常有益，但同时也极具挑战性，因为其具有组合复杂性。有不同的建模和优化技术，每种技术都有其自身的优势。计算能力和数值优化方法的进步使得可以对大规模问题应用严格的仿真和优化技术，例如与集成化学过程和能源系统的设计、优化和控制相关的问题[47]。在这方面，MIP已成为建模和解决现实世界规划和调度问题的强大工具，应用范围几乎无限[48]。许多优化问题需要同时对离散变量和连续变量进行建模，从而产生了目标函数和约束为线性的MILP和MINLP模型。MINLP问题涉及非线性目标函数和/或非线性约束。MINLP可以分为两类：凸MINLP和非凸MINLP[49]。最终，由于计算能力的持续增长和近几十年来取得的理论进步，这些方法的广泛建模能力和多功能性越来越受到认可和采用[50]。基于这种优化问题的分类，MINLP解决方法的发展历来依赖于MILP的进展。特别是在1960年左右引入的割平面方法和分支定界（B&B）框架奠定了现代解决方法的基础[51]。随后，在1965年，该框架被扩展用于解决凸MINLP问题[50]。然而，直到20世纪80年代，随着非线性B&B的出现，其计算效率才得到确立，在这种方法中，搜索树每个节点的子问题对应于凸NLP，如今这构成了许多MINLP求解器的基础[52]。后来，在1986年，引入了外部逼近（OA）算法，这是一种基于分解的方法，用于求解一系列非线性规划（NLP）和混合整数线性规划（MILP）子问题[53,54]。最近，Rehner等人[54]将OA算法应用于混合物和过程的集成设计，使用专用的NLP求解器（IPOPT）和MILP求解器（HiGHS），实现了昂贵NLP评估的减少，并获得了高度非凸MINLP的近似最优解。另一方面，1991年，分支切割（B&C）算法的引入是混合整数线性规划（MILP）的一个重大进展，在这种方法中，额外的割平面动态地纳入搜索树的每个节点的LP松弛中[27]。这种算法目前构成了现代MIP求解器的算法核心[51]。在这个框架下，Li等人[55]使用CPLEX和Gurobi等高性能求解器将B&B和B&C应用于复杂供应链网络的设计[54]和优化，获得了生产计划、网络设计和运输物流的有效解决方案。一年后，即1992年，提出了一种将OA集成到B&B中的方法，称为基于LP/NLP的B&B（LP/NLP-B&B）。其主要思想是只构建一个B&B树，其中MILP主问题动态更新[56]。最近，Ruiz-Femenia等人[57]将基于逻辑的LP/NLP-B&B算法（LB-LP/NLP-B&B）应用于过程系统工程中的超结构优化，并将其与商业模拟器集成。

对于非凸MINLP，最常见的确定性全局方法是空间B&B，该方法最初提出于1976年，由此衍生出两种基本算法。1995年，α-分支定界（α-B&B）算法作为非凸非线性规划的确定性全局优化方法被引入，通过修改拉格朗日函数的Hessian矩阵获得凸松弛[58]。另一方面，1996年提出的分支减少（B&R）算法基于构建非线性规划（NLP）问题的凸低估松弛，通过系统和渐进的搜索空间划分实现[52]。这一基本概念最终导致了BARON求解器（Branch-And-Reduce Optimization Navigator）的发展[53]。沿着这些思路，Elsido等人[59]使用BARON在具有连续和离散变量的非凸问题中寻找全局最优解。最后，扩展割平面（ECP）方法于20世纪90年代中期引入，它扩展了20世纪60年代开发的经典割平面方法，使得可以使用受外部逼近（OA）概念启发的基于梯度的割来求解凸MINLP问题[52,60]。最近，Javaloyes-Antón等人[61]在一个基于基准模拟的优化问题上展示了其效率，得出结论认为它比传统的随机算法更精确。

这些经典方法为后续的发展奠定了基础。例如，线性计划在处理离散决策方面的局限性促进了MIP和B&B算法的出现。同样，解决大规模非线性问题的需求激发了分解技术的发展，如OA。3.3 现代方法：多目标、进化方法和随机方法

随着工程中的优化问题变得越来越复杂，涉及离散变量和高非线性函数，需要能够有效平衡探索和利用解决方案空间的算法。在这种情况下，采用了元启发式优化方法。例如，1975年最初开发的遗传算法（GAs）是基于种群的搜索方法，通过应用生物学启发的操作（如选择、交叉和突变）迭代演化一组候选解，从而在代际间逐步提高解决方案的性能[63]。在这方面，最近的研究提出了针对复杂生物精炼系统的计算优化框架。例如，Hernández-Pérez等人[64]使用多目标元启发式方法优化了Chlorella vulgaris的集成生物柴油生产过程，该优化问题同时最大化了年度总收入并最小化了温室气体排放，优化使用了改进的多目标差分进化算法（I-MODE）。结果提供了具有吸引力的折中解决方案，提高了经济盈利能力和环境性能。同样，基于1995年提出的粒子群多目标优化（MOPSO）算法[65]的粒子群优化（PSO）算法，基于社会行为的概念，粒子通过与其他粒子的交互向最优解移动[66]。Ehyaei等人[67]通过案例研究展示了这种算法的应用，他们建模和评估了一个结合有机朗肯循环（ORC）和地热驱动吸收式冷却器的混合能源系统，旨在在最小化电力消耗和冷却成本的同时最大化整体能源效率。此外，Lian等人[68]引入的Parrot Optimizer（PO）在优化质子交换膜燃料电池（PEMFCs）时表现出更好的效率，相比差分进化（DE）和PSO等元启发式方法[19,69]。

其他研究人员越来越多地采用混合元启发式方法。在这方面，Aquila Optimizer（AO）作为一种算法出现，用于提高探索性能。该算法受到野外鹰的捕猎策略的启发，通过四种不同的机制对优化过程进行建模：通过高空飞行识别搜索区域，然后进行垂直俯冲进行广泛探索，通过低空飞行和逐步下降在有希望的区域加强搜索，最后执行决定性俯冲以捕获猎物，这代表了最终的利用阶段[70]。Turgut等人[71]提出了一个结合Aquila Optimizer和Sine-Cosine Algorithm的新混合元启发式框架，用于在特定反应条件下确定反应组分的平衡点。另一种混合框架由Aldocer-García等人[72]提出，使用禁忌列表（Tabu List）来提高DE在四种Levulinic酸纯化方案多目标优化中的性能，并通过Aspen Plus模拟器进行过程建模。

对于非凸MINLP，最常见的确定性全局方法是空间B&B，它最初提出于1976年，由此派生了两种基本算法。1995年，α-分支定界（α-B&B）算法作为非凸非线性规划的确定性全局优化方法被引入，通过修改拉格朗日函数的Hessian矩阵获得凸松弛[58]。另一方面，1996年提出的分支减少（B&R）算法基于构建非凸情况下的非线性规划（NLP）问题的凸低估松弛，通过系统和渐进的搜索空间划分实现[52]。这一基本概念最终导致了BARON求解器（Branch-And-Reduce Optimization Navigator）的发展[53]。沿着这些线索，Elsido等人[59]使用BARON在具有连续和离散变量的非凸问题中寻找全局最优解。最后，扩展割平面（ECP）方法于20世纪90年代中期引入，它扩展了20世纪60年代开发的经典割平面方法，使得可以使用基于梯度的割来求解凸MINLP问题[52,60]。最近，Javaloyes-Antón等人[61]在一个基于基准模拟的优化问题上验证了其效率，认为它比传统的随机算法更精确。

这些经典方法为后续发展奠定了基础。例如，线性计划在处理离散决策方面的局限性促进了MIP和B&B算法的出现。同样，解决大规模非线性问题的需求激发了分解技术（如OA）的发展。3.3 现代方法：多目标、进化和随机方法

随着工程中优化问题变得越来越复杂，涉及离散变量和高非线性函数，需要有效的算法来平衡解决方案空间的探索和利用。在这种情况下，采用了元启发式优化方法。例如，最初于1975年开发的遗传算法（GAs）是基于种群的搜索方法，通过应用生物启发的操作（如选择、交叉和突变）迭代演化一组候选解，从而在代际间逐步改进解决方案性能[63]。在这方面，最近的研究提出了针对复杂生物精炼系统的计算优化框架。例如，Hernández-Pérez等人[64]使用多目标元启发式方法优化了Chlorella vulgaris的集成生物柴油生产过程，该优化问题同时最大化了年总收入并最小化了温室气体排放，并使用改进的多目标差分进化算法（I-MODE）进行优化。结果提供了具有吸引力的折中解决方案，提高了经济盈利能力和环境性能。同样，基于1995年提出的粒子群优化（PSO）算法的粒子群多目标优化（MOPSO）算法旨在解决多目标问题，它基于社会行为概念，粒子通过与搜索空间中其他粒子的交互向最优解移动[66]。Ehyaei等人[67]通过案例研究应用和证明了这种算法，他们建模并评估了一个结合有机朗肯循环（ORC）和地热驱动吸收式冷却器的混合能源系统，旨在在最小化电力消耗和冷却成本的同时最大化整体能源效率。此外，Lian等人[68]引入的Parrot Optimizer（PO）在优化质子交换膜燃料电池（PEMFCs）时表现出更好的效果，与差分进化（DE）和PSO等元启发式方法相比[19,69]。

其他研究人员越来越多地采用混合元启发式方法。在这方面，Aquila Optimizer（AO）作为一种用于提高探索性能的算法出现。该算法受到野生鹰的捕猎策略的启发，使用四种不同的机制对优化过程进行建模：通过高空飞行识别搜索区域，然后进行垂直俯冲进行广泛探索，通过低空飞行和逐步下降在有希望的区域加强搜索，最后执行决定性俯冲捕获猎物，这代表了最终的利用阶段[70]。Turgut等人[71]提出了一种新的混合元启发式框架，将Aquila Optimizer与Sine-Cosine Algorithm结合，用于在特定反应条件下确定反应组分的平衡点，旨在通过将振荡正弦-余弦运动纳入混合优化器来克服标准AO的利用限制。另一项提出的混合框架由Aldocer-García等人[72]展示，它使用禁忌列表（Tabu List）来提高DE在四种左旋糖酸纯化方案多目标优化中的性能，并通过Aspen Plus模拟器进行过程建模。

通常，涉及多个目标的问题通过加权和方法[73]来解决，将其转化为单一目标模型，如Ju等人[74]的研究所示。在那项研究中，熵权重方法被用来计算一个优化问题的权重系数，该问题旨在最大化能量利用率，同时最小化总运营成本和二氧化碳排放量，这些目标是从一个结合了分布式能源资源（DERs）的冷暖电联供（CCHP）系统中实现的，而这些分布式能源资源是基于可再生能源的。相反，基于非支配性的算法作为权重方法的一种替代方案出现了；在这些算法中，生成了一组最优解或帕累托前沿，以考虑目标的冲突性质。随后，通过使用诸如类似于理想解的排序技术（TOPSIS）之类的决策方法对这些解进行评估。Aminyavari等人[75]通过经济和规范优化了一个内部重整固体氧化物燃料电池（SOFC）-燃气轮机循环与朗肯循环的集成系统，证明了这种方法的可行性。在这个背景下，Wang和Rangaiah[76]评估了不同的决策方法在解决化学工程问题时的效率，以选择其中一个最优解。基于非支配性的最可靠算法之一是非支配排序遗传算法（NSGA），它是在20世纪90年代中期引入的，并在21世纪初得到了改进。这该算法的第二代版本，非支配排序遗传算法II（NSGA-II），已被Xiao等人[77]用于在蒸汽动力系统（SPS）的设计和优化中实现经济和环境目标之间的权衡，同时考虑了SO2和NO2排放。此外，Hu等人[78]探索了混合策略，他们应用了一种基于非支配性的混合进化算法，结合了DE和NSGA-II来优化蒸馏顺序，以最优化年总成本和二氧化碳排放。这种混合算法的选择基于对单个算法及其不同组合的先前性能评估。

正如前文所讨论的，元启发式算法已被应用于单目标、双目标和三目标优化问题。然而，在多目标优化问题中，解决方案更容易是非支配的。因此，Deb和Jain[79]提出了非支配排序遗传算法III（NSGA-III）。这种方法使用参考点作为选择机制，将目标空间划分为不同的部分。Wang等人[80]使用这种算法来解决与中国钢铁工业相关的环境管理多目标优化问题。为了说明元启发式算法的演变，图5概述了从GA到NSGA-III的发展过程，包括其关键特性。图5展示了从GA到NSGA-III的元启发式优化算法的演变及其关键特性。在模拟或数学模型计算成本较高的情况下，人们使用了替代模型来近似真实模型。Zhao等人[81]采用了改进的高效全局优化（IEGO）这一贝叶斯方法，为注塑成型过程细化了一个克里金替代模型。随后，NSGA-II使用这个细化的替代模型进行多目标优化。

总体而言，本节介绍了多目标框架作为确定性方法的一种替代方案。可以看出，由于加权和方法的简单性，它们仍然具有吸引力，而非支配排序方法在保持解决方案多样性方面展现出了更强的能力。此外，混合化和替代模型辅助优化已成为提高收敛性能和降低计算成本的有效策略。这些进展突显了对鲁棒优化框架日益增长的需求。这些方法的演变反映了从明确定义、结构化问题向越来越复杂和数据密集型应用的转变。这种进步强调了需要结合经典方法的鲁棒性和现代计算技术灵活性的混合优化框架。

3.4. 数字化、人工智能和可持续优化
在前一节中，替代模型被提出作为一种减少与优化模型开发相关的计算成本的策略。近年来，这些模型越来越多地转向数据驱动的公式。在这方面，高斯过程回归（GPR）在2006年得到正式提出[82]，它使用均值和协方差来定义先验分布，并通过一组观测数据点进行更新。通常，GPR会得到贝叶斯优化（BO）的帮助，后者使用获取函数来衡量在可能点评估目标函数的潜力[83]。这种方法已在Park等人[84]的工作中得到有效应用，他们为Fe-Si合金片设计了基于氧化锆的涂层材料，通过为每个目标值创建GPR模型并通过BO优化工艺条件，从而提高了热阻力和表面质量。虽然前述框架代表了一种概率贝叶斯策略，但也有其他数据驱动的模型被采用，例如人工神经网络（ANN）和受人类大脑结构启发的机器学习（ML）算法。它由多层相互连接的神经元组成，使用非线性激活函数转换输入变量来建模复杂关系[85]。May Tzuc等人[86]使用ANN对太阳能热工业过程（SHIP）进行建模，并通过元启发式算法根据最大化二氧化碳减排量（ACM）和总生命周期成本（TLCC）以及最小化净现值（NPV）来进行优化。同样，也采用了集成模型，如随机森林（RF），它由多棵决策树组成，每棵树都在不同的数据子集上训练而成。RF在分类任务中根据多数投票确定最终预测，在回归任务中则取所有预测的平均值[87]。Chen等人[88]在一个混合框架中使用了这种算法来建模流化催化裂化（FCC）过程。首先，自适应免疫遗传算法（AIGA）识别了相关过程特征，包括操作参数和进料流的性质数据。然后，RF基于选定的特征高效地创建了FCC过程的模型。此外，梯度提升模型如XGBoost[89]采用序列架构，其中每棵后续树都是根据损失函数的二阶梯度统计数据进行训练的，利用了梯度和Hessian矩阵。此外，机器学习算法如CatBoost通过有序提升和有序目标统计（TS）解决了目标泄漏和预测偏差导致的预测偏差问题，从而能够高效处理分类变量[90]。实际上，Liu等人[91]评估了梯度提升算法（包括CatBoost、XGBoost和LightGBM）在参数映射和模型木质素水解条件及催化性能方面的性能。然而，上述模型的性能在很大程度上取决于超参数配置，这促使人们在其开发中整合了优化策略。例如，Gavrilescu等人[92]的研究中展示了元启发式算法如何参与其架构优化，他们应用了一种基于帝国竞争算法（ICA）的改进混合算法来优化人工神经网络（ANN）的超参数，以最小化均方根误差（RMSE）。所提出的基于种群的算法与其他元启发式算法进行了比较，使用聚丙烯酰胺基复合水凝胶合成的数据集来最小化RMSE。作为超参数优化的一种替代方案，Gemechu等人[93]提出了一种方案，结合了贝叶斯优化（BO）和交叉验证来构建前馈神经网络的调整超参数的概率模型。

之前已经讨论了黑盒模型及其应用和架构优化。然而，推进工程数字化需要理解这些模型的工作原理。在这个意义上，Salih等人[94]介绍了可解释人工智能（XAI）方法的一般视角，包括Shapley加性解释（SHAP）和局部可解释模型不可知解释（LIME）。为此，Mimura等人[95]结合了BO和XAI来优化苯乙烯生产的整体工艺参数，以最小化能源消耗。这种方法选择了GPR作为替代模型，并通过BO逐步更新数据库中的预测值。最终，SHAP分析确定与产品分离柱和反应器相关的参数是最重要的特征，用于预测能源消耗。然而，除了通过替代模型和XAI在优化方面取得的Methodological发展之外，工艺设计的更广泛转变正朝着可持续性方向发展。在这个背景下，Ramírez-Márquez等人[96]回顾了Industry 5.0，这是一种必须有效管理资源（特别是矿产和水资源）的方法。同样，他们强调向可再生能源的能源转型需要取得显著进展。最后，作者强调了持续学习和人类适应能力是这一转型的核心要素。López-Flores等人[97]提出了一种与此相一致的方法，他们在多目标框架内整合了ANN，用于预测太阳能光伏面板厂的指标。目标函数考虑了总利润（TOP）的最大化和总水消耗（TWC）及产生的排放物的最小化。可以看出，必须采用多目标优化方法来通过帕累托前沿识别平衡解决方案，并促进经济性能、能源效率和减排之间的权衡分析[98]。因此，采用Eco-Indicator 99和循环经济等评估指标是必不可少的。Serrano-Arévalo等人[99]将这一指标纳入了他们对绿色氨生产过程的分析中。

另一方面，数字孪生（DTs）被定义为一组虚拟信息构造，它们完全描述了从微观原子到宏观几何层面的物理制造产品，无论是潜在的还是实际存在的[100]。Peterson等人[1]分析指出，DTs涵盖了化学工程中的概念框架和实际应用，包括实时监控、预测性维护、过程建模和优化以及先进的控制策略。特别是，DTs能够将实时数据与优化算法集成，允许持续更新过程模型，并在不确定性下促进动态决策。在这个背景下，数据驱动模型、Industry 5.0原则、可持续性和工业数字化的融合在图6中得到了体现。图6展示了支持可持续性和Industry 5.0导向的化学过程的优化框架。总的来说，本节分析的进展表明，AI和ML算法正在重新定义产品和过程设计，加速决策过程，正如Dowling[101]所强调的，展示了AI和ML在解决过程工程的总体方法中的前景，这种方法将经济、环境和社会目标联系在一起。

4. 方法论景观和比较分析
优化问题的数学和计算基础在20世纪40年代末随着单纯形方法而得到巩固，这使得具有约束目标函数的线性问题得以解决。后来，对偶单纯形方法允许从不可行解过渡到可行解。大规模问题通过分解技术如Dantzig-Wolfe原理和Bender分解得到了解决。随着优化的发展，非线性方法应运而生，这些方法由KKT条件和数值方法（如牛顿法、梯度法和准牛顿法）推动，最终导致了QP和SQP的出现。与此同时，PSE作为一门多学科科学得以确立，整合了应用数学、计算机科学和化学工程。该领域开始涉及不同规模的设计、规划和决策问题。特别是，离散和连续决策的结合，使得MIP成为建模和解决工作调度的强大工具。这些公式通过基于约束和目标函数性质的MILP-MINLP得到了解决。随后，基于将原始问题分解为一系列NLP和MILP子问题的OA算法被引入。此外，随着B&C算法的发展，MILP的性能得到了大幅提高，它将新的切割平面添加到LP松弛中。对于非凸MINLP问题，空间B&B算法和α-B&B算法得到了解决，后者在非凸问题中用Hessian矩阵替换了拉格朗日函数，获得了凸松弛，并且B&R算法通过逐步细分搜索区域进行了优化。最后，凸MINLP问题开始通过基于OA概念的基于梯度的切割方法频繁得到解决。

随着模型复杂性的增加，包括离散变量和非线性函数，确定性方法变得有限。因此，元启发式优化作为一种替代方法应运而生，主要因其能够平衡探索和利用的能力。同样，多目标方法也变得突出，它在经济、能源和环境标准之间取得了平衡。最初，这些问题是通过加权求和方法来解决的，将其转化为单一目标模型。随后，基于非支配概念的算法使得帕累托前沿的系统推导和目标函数之间权衡的严格分析成为可能。然而，随着高度非线性的增加，建模和优化的计算成本显著上升，这促使了基于替代模型的方法的发展。在这种背景下，数据驱动的替代模型被用来近似计算成本高昂的模型。其中，结合贝叶斯优化的遗传编程（GPR）已被确立为一种高保真的概率策略。此外，能够处理大规模数据集的算法，如人工神经网络（ANNs）和随机森林（RF），也被广泛用于建模非线性关系和复杂行为。此外，梯度提升算法（如XGBoost）的出现，通过顺序架构使用损失函数的二阶梯度信息来最小化预测误差。最近，如CatBoost这样的算法被引入，以有效管理分类变量，并利用有序提升来减少预测偏差和目标泄漏。最后，为了提高模型性能，这些算法的构建得到了元启发式和贝叶斯优化的辅助，用于参数和超参数的调整。

正如本研究所示，建模和优化已经取得了实质性进展，从确定性方法发展到数据驱动模型和混合框架。然而，当前的研究努力正朝着可持续性方向发展，采用一种综合的方法，整合了高效的资源管理、能源向可再生能源的转换，以及由人类适应性支持的持续学习。在这方面，纳入可持续性指标（如Eco-Indicator 99）和循环经济原则，反映了日益增长的环境承诺。同时，数字化引入了数字孪生（DT）等概念，实现了实时决策。因此，过程设计和优化不仅限于提高化学性能，而且与不断发展的技术进步和全球环境目标保持一致。

表1中的比较分析反映了文献中识别的一般趋势。每种方法的实际性能可能因具体优化问题而异，包括凸性、维度、离散变量的存在以及可用的计算预算等因素。表1列出了不同优化方法的结构性比较。经典确定性方法，如单纯形算法和双单纯形算法，因其能够在线性问题中保证全局最优解、计算成本低、易于实现和解释性强而脱颖而出。这些特征使它们成为结构良好问题的可靠工具。相比之下，牛顿法、基于梯度的方法和拟牛顿方法更适合非线性问题；然而，它们的主要限制在于它们通常会收敛到局部最优解，这取决于初始化。尽管如此，它们仍表现出良好的可扩展性和计算成本与可解释性之间的合理平衡。另一方面，为更复杂问题设计的算法，如MILP/MINLP公式、外部近似和B&B算法，提供了更大的能力来建模具有离散和非线性变量的系统。这些方法可以实现全局或接近全局的最优解；然而，这种优势被其高计算成本、有限的可扩展性和较高的实现复杂性所抵消。因此，它们可能不太适合大规模或实时应用，尽管在精度至关重要的工业环境中仍然不可或缺。

另一方面，基于机器学习的方法，如结合贝叶斯优化的GPR、ANNs、RF、XGBoost和CatBoost，其特征是提供近似解，这意味着最优性保证的丧失。尽管如此，它们因其高可扩展性和处理复杂、非线性和黑盒问题的能力而脱颖而出。它们的计算成本通常适中，实现复杂度可以从中等到高水平不等。一个关键的限制是可解释性，与确定性方法相比通常较低，特别是在神经网络等模型中。

从历史上看，化学工程中的优化起源于线性规划，并随着化学过程复杂性的增加而发展，推动了向能够处理更大、更非线性系统的混合优化策略的转变。然而，尽管方法论有所进步，计算挑战仍然是一个限制因素。最近，结合数学规划与替代模型和机器学习的混合方案显示出在平衡准确性和效率方面的巨大潜力。尽管取得了进展，但重大挑战仍然限制了它们在真实工业环境中的有效应用，例如高维度影响优化算法的收敛性，以及替代模型得到的最优解与实际物理系统的最优解不一致的风险。这一挑战仍然是一个开放的研究领域，潜在应用范围从能源网络管理到化工厂设计，目标是开发既数学上合理又易于实际决策理解的模型。在优势方面，一种有前途的方法是近似复杂非线性函数和复杂关系，减少模型复杂性、计算负担和解决时间，同时不牺牲系统表示的整体准确性，通过构建集成模型和结合数据驱动的信息。在回顾的文献中观察到的一个关键模式是从独立的优化方法向混合框架的转变。特别是，将机器学习模型与经典优化技术相结合，在处理复杂、非线性和大规模问题方面显示出显著改进。数据驱动的替代模型经常与元启发式或数学规划方法结合使用，以降低计算成本同时保持解决方案的准确性。在混合方法中，某些组合根据问题特点显示出更大的有效性。例如，当与元启发式算法结合用于高度非线性和非凸问题时，基于机器学习的替代模型特别有效，因为基于梯度的方法可能会失败。相比之下，将分解策略与混合整数规划结合对结构和大规模优化问题非常高效。这些差异表明，某种方法的成功强烈依赖于数据可用性、问题结构和计算需求等因素。

这些发现表明，没有一种优化方法是普遍最优的；相反，当前的趋势明显倾向于适应特定应用的灵活和混合策略。这种演变反映了化学工程系统的日益复杂性，以及对能够平衡准确性、鲁棒性和计算效率的灵活工具的需求。

化学工程中优化的未来发展必须被视为对本综述中分析的不同方法论阶段所识别出的限制的直接延伸。未来的研究方向并非反映孤立的技术趋势，而是从确定性优化、混合整数公式、元启发式和数据驱动方法中观察到的持续挑战中产生的。从经典确定性方法的角度来看，包括线性、非线性和二次规划，其主要限制在于它们解决高度非线性、大规模和非凸问题的能力较弱，尽管有坚实的理论保证。尽管分解策略（如Dantzig-Wolfe和Benders分解）显著提高了可扩展性，但未来的研究应专注于加强它们与数据驱动技术的整合，以在保持最优性保证的同时降低计算复杂性，特别是在大规模工业应用中。在混合整数规划的背景下，尤其是MILP和MINLP，主要挑战仍然是处理具有离散和连续变量的大规模问题的组合复杂性和计算负担。虽然B&B算法、外部近似和分支剪枝算法等进步取得了显著进展，但在处理高度非凸系统时，它们的性能仍然有限。因此，未来的工作应探索结合学习机制的混合确定性-随机框架和基于分解的策略，以改善复杂过程系统的收敛性和解决方案质量。

正如向元启发式方法演变中所确定的，这些方法提供了灵活性和全局搜索能力，但经常受到收敛问题、参数敏感性和高维空间中的可扩展性限制。此外，多目标优化问题的日益复杂性进一步增加了找到分布良好的帕累托最优解的难度。在这方面，未来的研究应重点关注自适应和自我调优的元启发式方法、混合策略以及结合问题特定知识的策略，以增强探索和利用能力。另一个关键限制来自基于替代模型的优化框架，这些框架已被广泛采用以降低复杂系统中的计算成本。尽管有这些优势，一个关键挑战是替代模型最优解与真实系统最优解之间的潜在不匹配。这突出了需要结合第一性原理模型与数据驱动技术（如机器学习和自适应替代改进策略）的强大混合建模方法，以确保计算效率和物理一致性。

从数据驱动和基于机器学习的优化的角度来看，在使用ANN、随机森林和梯度提升算法等技术对复杂非线性系统进行建模方面已经取得了显著进展。然而，这些模型常常受到可解释性和透明度的限制，这限制了它们在工业决策过程中的应用。因此，未来的研究应优先开发可解释和可解释的模型，以及平衡预测准确性和物理洞察力的混合框架。此外，从静态优化向动态实时决策的转变仍是一个开放的挑战。虽然数字孪生的最新发展为集成模拟、监控和优化提供了有希望的机会，但其实施仍受到数据可用性、模型更新和计算要求等问题的限制。因此，未来的工作应侧重于开发能够在不确定性下运行的可扩展和自适应的数字孪生架构，支持实时优化和控制。最后，生成式人工智能和强化学习等新兴范式代表了化学工程优化中仍有待探索的有希望的方向。尽管这些方法有潜力自动化模型生成和决策制定，但其应用目前受到可靠性、可解释性和与物理模型集成相关挑战的限制。因此，未来的研究应致力于建立验证框架和混合人机智能方法，以确保可靠的实施。

在这一背景下，该领域的进步将不仅仅依赖于新技术的发展，而取决于在数学公式、物理表示和工业适用性之间建立关键桥梁的能力。最重要的转变之一将是从静态优化方案向能够持续适应操作变化的动态和实时框架的转变。这种转变需要设计不仅解决系统结构复杂性，还能确保模型间一致性、对干扰的鲁棒性以及决策随时间可追溯性的优化策略。在这方面，集成建模、控制和监控的支持，如数字孪生和自适应模型，将是实现与实际运行条件一致的更可靠决策系统的关键。预计可持续性和循环经济原则将在未来优化框架的发展中发挥越来越重要的作用。在这方面，未来的研究应专注于将环境指标（如生命周期评估指标和资源效率指标）整合到多目标优化模型中。这种整合将有助于更全面地评估经济性能、环境影响和能源效率之间的权衡。此外，将循环经济策略（包括废物最小化和资源回收）纳入优化框架，代表了推进可持续和韧性化学系统的一个有前途的方向。

这项系统综述表明，过程系统工程（PSE）中的优化经历了范式性的演变。最重要的发现总结如下：从基于单纯形方法和KKT条件的经典线性和非线性确定性方法，向健壮的混合策略发生了关键转变。这种转变使得能够处理具有显著非线性的大规模非凸问题，克服了传统方法的效率限制。MILP仍然是供应链管理和工业物流中最广泛采用和最有效的方法之一，其鲁棒性得到了B&B和ECP等算法的支持，这些算法确保在竞争性计算时间内收敛到全局最优解。相反，MINLP对于超结构合成至关重要，允许严格表示热力学现象，尽管存在持续的收敛挑战。分解技术（如Bender分解）的实现是将高保真模型整合到战略规划中的关键。遗传算法（GAs）已从实验方法发展成为结构优化的基本工具。他们在全球探索方面的能力，以及同时处理离散和连续变量的能力，使他们成为处理不连续或高度非凸响应表面的理想且广泛使用的技术，而在这些情况下，基于梯度的方法通常会遇到困难。机器学习（ML）的集成作为一种颠覆性解决方案，有效地减轻了严格仿真的计算负担。然而，工业数字化的成功不仅依赖于预测的准确性，还取决于模型的可解释性。在这方面，AI驱动的优化（XAI）正成为一种有前景的方法，可以将“黑箱”模型转化为人类操作员可理解且可靠的决策工具。

这篇综述弥补了文献中的一个重要空白，提供了关于化学工程领域优化方法演变的全面视角。特别是，该研究强调了优化方法如何朝着混合式和数据驱动的方向发展，从而提高效率并减少复杂系统中的预测误差。此外，通过结合多个典型案例研究，展示了这些方法的实际应用价值，为根据问题情境选择和组合优化策略提供了指导。当前的发展还表明，需要将优化目标扩展到纯粹的经济标准之外。除了传统的经济目标之外，越来越多地需要将可持续性和循环经济的原则纳入优化框架中。环境指标和资源效率指标的整合正成为优化方法发展的重要因素。尽管这些方法仍在发展中，但它们有潜力将过程优化转变为一种更加全面的工具，以支持可持续的决策制定。未来的进步将取决于是否能够在统一的优化框架内有效结合经济、环境和能源相关目标。

新兴优化方法的应用代表着未来研究的一个极具相关性的方向。随着化工行业越来越倾向于采用可持续和低碳的实践，将先进的优化技术整合到工业流程中具有巨大的潜力。不过，这些方法仍处于发展阶段，这既凸显了其广泛应用所面临的挑战，也展示了相应的机遇。最后，优化正逐渐从单纯的成本削减技术演变为工业4.0的战略引擎。这种整体性的方法推动了一个既智能又循环的化工产业，同时具备根本的韧性，并以人为中心，促进了经济盈利性与环境可持续性之间的平衡。

补充材料：以下支持信息可在以下链接下载：
https://www.mdpi.com/article/10.3390/pr14081247/s1.