非线性压缩机控制中LQR方法的鲁棒性限制及其与标准PID方法的比较 Seyed Mohammad Hosseindokht, Jose Matas, Jorge El Mariachet

《Electronics》：Robustness Limitations of LQR in Nonlinear Compressor Control and Comparison with the Standard PID Approach Seyed Mohammad Hosseindokht, Jose Matas and Jorge El Mariachet

　　摘要：本文提出了一种对压缩机系统的动态分析方法，旨在描述其运行行为，并建立数学框架以识别稳定和不稳定操作区域。该研究基于非线性Moore–Greitzer模型，该模型根据转子速度将压缩机动力学描述为质量流量和压力升高的函数。为了预测喘振和系统不稳定性的发生，采用了先进的非线性技术，包括雅可比矩阵、线性参数变分（LPV）建模、Bendixson判据和相平面分析。这些工具能够识别稳定和不稳定区域，以及与喘振现象相关的极限环。所有这些对压缩机的分析都是创新性的。准确预测压缩机的喘振和不稳定对于定义和设计有效的控制策略至关重要，因为喘振会损坏压缩机、中断下游流动，并本质上代表一种不稳定的操作条件。然而，仅靠分析是不够的，实际操作还需要考虑三种主动控制方法：比例-积分-微分（PID）、线性二次调节器（LQR）和模型预测控制（MPC）。比较分析表明，在LQR设计中 insufficiently 考虑系统变化可能会导致性能优于MPC和PID控制，特别是在扰动变化的情况下。相比之下，MPC和PID对扰动变化具有更强的鲁棒性，并能更有效地抑制扰动。在提出的方法中，通过MPC仿真来评估控制器性能。由于闭环模型中的扰动，LQR控制器的鲁棒性低于PID和MPC。在喘振相关的扰动下，PID和MPC控制器的最小输入质量流量为0.495（非常接近设定点），并且两种控制器的超调量为33%，上升时间为3秒。

1. 引言
压缩机在能源管理和可再生能源系统中扮演着越来越重要的角色，特别是在燃料电池应用中[1]。在这些系统中，压缩机向燃料电池堆提供高压空气和氢气，直接影响其运行点和输送到直流母线的电功率。因此，有效调节氢气和空气流量对于实现稳定发电至关重要，这种调节可以被视为压缩机的主动控制问题。压缩机行为通常通过性能图来表示，该图将压力升高与质量流量率相关联。在固定转速下，由于被称为失速和喘振的空气动力学不稳定性，压缩机的运行范围在高和质量流量率方面都受到限制。其中，喘振尤其关键，因为它可能导致严重的机械损坏、强烈的振动并中断下游流动。当压缩机在其稳定区域内运行时，质量流量的减少会导致压力升高直到达到峰值。超过这一点，出口压力可能超过入口压力，导致流动反转。这种振荡行为定义了喘振现象，对压缩机的完整性和系统可靠性构成重大威胁。因此，分析压缩机动力学并实施控制策略以保持在稳定区域内运行——同时避免失速和喘振——仍然是一个挑战。存在多种用于主动压缩机控制的执行器选项，包括节流阀和抗喘振阀。在本研究中，选择节流阀作为主要执行器。节流阀位于空腔的下游，调节压缩机进出口的瞬态和稳态压力和流量条件。通过调整阀门开度，可以改变压缩机在性能图上的运行点；增加阀门开度会增加入口质量流量，而减少阀门开度则会减少入口质量流量。

雅可比方法结合特征值分析通常用于识别压缩机动力学中的稳定和不稳定区域。系统对于每种参数配置都有一个独特的平衡点，这可能会影响其全局稳定性。此外，相平面分析提供了从不同初始条件开始的系统轨迹的视觉洞察，有助于区分稳定和不稳定区域。LPV建模能够跨多个操作点分析非线性系统。LPV技术还可以通过表示系统状态（用符号X表示）并应用基于雅可比的线性化来覆盖整个操作范围。所有这些在压缩机分析中的方法都可以被认为是新颖的。

在这项工作中，使用非线性模型分析压缩机行为。考虑了两种主动控制策略：PID和LQR。研究强调，在LQR设计中不足地考虑系统条件可能会导致性能低于PID控制。这些方面通过仿真和分析进行了检验。 several studies已经研究了使用不同的建模和控制策略进行压缩机控制。在[2,3]中，使用Ziegler–Nichols（Z-N）调谐实现了PI和PID控制器，用于离散线性压缩机模型；然而，这些研究没有结合非线性Moore–Greitzer（M-G）框架，而该框架对于准确捕捉喘振动力学至关重要。在[4,5]中，PI和PID控制器被用于压力调节而不是质量流量控制，而且底层压缩机模型是线性的。与之前的工作类似，这些研究没有使用M-G模型，限制了它们表示喘振行为的能力。在[6,7]中，基于包含时间延迟的线性化压缩机模型设计了LQR控制器。尽管这些研究解决了一些动态方面，但它们没有对扰动进行建模，系统表示也不基于M-G框架。在[8,9]中，再次使用线性化模型开发了LQR控制器，但控制目标是温度调节而不是流量控制。没有考虑扰动，模型也不是从M-G框架派生的。在[10]中，LQR控制器增加了LQG（卡尔曼滤波器）估计器来补偿噪声和扰动。然而，模型仍然是线性的，并且没有结合非线性M-G表示，限制了其在喘振相关不稳定性分析中的适用性。在[11]中，PID控制器与LQR结合使用，但没有包括扰动。在[12]中，提出了一种双层控制结构：一个用于系数调节的模糊监督器和一个用于参考跟踪的PID控制器。没有考虑扰动，模型也不是M-G的。在[13]中，使用LQG控制转子速度，但执行器不同，模型也不是M-G的。在[14]中，LQR与线性矩阵不等式（LMI）结合使用，尽管没有对执行器动态和扰动变化进行建模。在[15]中，扰动被表示为流量振荡幅度，这些幅度反映了内部状态而不是进入压缩机的上游流量。LQR无法在大扰动下保证稳定性和跟踪。在[16]中，温度被视为扰动，但系统没有进入不稳定区域，也没有评估稳定性保证。为不同的操作点提出了多种反馈增益，但该方法没有实现全局性能。

尽管文献中提出了几种自适应和基于PID的方法，但它们通常不应用于压缩机系统，即使应用了，也不专门涉及质量流量控制[17]。在[18,19]中的自适应PID方法也与压缩机动力学无关，因此不能与本文直接比较。高级PID变体——如Sigmoid PID、基于BELBIC的PID、神经内分泌PID以及其他自适应方案，包括基于MIT规则的或基于梯度下降的调谐——依赖于智能控制结构，如神经网络、模糊逻辑或非线性激活函数。虽然这些方法可能很强大，但它们引入了一些挑战，例如高非线性，这通常导致成本函数非凸，并增加了收敛到局部最小值而不是全局最小值的风险；缺乏明确的分析模型，这可能降低跟踪精度并在扰动或操作条件变化时降低性能；依赖于系统识别，需要大量数据进行训练、调谐或优化；计算成本高，使得实时实现对于快速压缩机动力学变得困难；以及离散化问题，这可能导致与基于模型的连续时间设计相比信息丢失。此外，这些方法通常需要先验数据或广泛的离线优化。相比之下，本文中使用的控制器不依赖于先前的数据，初始PID参数可以使用经典方法（如瞬态响应分析或Ziegler–Nichols调谐）获得。

模型参考自适应PID方法可以通过将系统输出与参考模型进行比较来改善跟踪，但它们仍然需要增加复杂性的识别和适应机制。相比之下，本文研究的控制器——特别是MPC——在不需要复杂学习结构的情况下提供了更强的扰动抑制和鲁棒性。此外，PID控制在工业应用中仍然具有吸引力，因为它不需要大量计算、优化程序或复杂的架构。它在软件和硬件中的实现都很简单，适用于实时压缩机控制。近年来，提出了几种先进的基于PID的控制策略来克服传统控制器在非线性系统中的局限性。其中，基于Gudermannian的PID控制器利用了Gudermannian函数的有界、类Sigmoid形状，将误差信号平滑地映射到控制动作，实现了零超调和0.0830秒的稳定时间，应用于AVR[20]。基于将非线性函数与分数阶微积分结合的思想，softsign-FOPID控制器将softsign激活嵌入到分数阶PID结构中，以减轻控制信号饱和并提高扰动抑制能力。然而，这带来了七参数调谐问题的复杂性，使其实际实现变得复杂[21]。其他非线性PID变体包括基于Sigmoid的PID控制器，它通过Sigmoid函数动态调整比例、积分和微分增益，以改善不同误差幅度的响应性[22]。也出现了受生物学启发的方法：神经内分泌PID控制器模仿多节点激素调节，以便在MIMO系统中优先处理控制努力[23]，而BELBIC控制器借鉴了哺乳动物边缘系统的情绪-学习机制，以实现快速扰动抑制，无需显式系统模型[24]。虽然每种控制器都提供了特定的性能优势，但它们都有一个共同的缺点：结构复杂性和非平凡的调谐要求，这限制了它们在现实世界工业环境中的采用。相比之下，经典的PID控制器由于其简单性和易于调谐而仍然占主导地位。因此，本研究重点评估这些传统控制器在应用于非线性压缩机系统时的性能和鲁棒性。

本文在压缩机系统的分析和控制方面引入了几项创新。采用LPV分析来识别稳定和不稳定区域，提供了一种新颖的压缩机稳定性评估方法。此外，结合使用基于雅可比的线性化和LPV建模使得能够评估全局稳定性，为非线性压缩机系统的数学基础做出了贡献。分析极限环（代表失速后发生的喘振现象）也是一个关键贡献。使用Bendixson定理和相平面分析来演示和可视化这些极限环。本研究采用的非线性模型基于Moore–Greitzer框架，并纳入了执行器（节流阀）的动力学，这在压缩机建模中是一项创新。由于闭环模型中存在和变化扰动，LQR控制可能无法确保对扰动变化的鲁棒性。在这种条件下对PID和LQR控制器的对比评估为压缩机控制提供了一个新的视角。PID控制在工业压缩机系统中仍然被广泛使用，因为它不需要复杂的计算、优化程序或复杂的模型结构。它在软件和硬件中的实现都很简单，适用于实时应用。此外，将多主题和线性化LQR方法应用于动态Moore–Greitzer模型为控制策略开发提供了新的方向。使用LQR和PID获得的结果代表了压缩机控制中的创新应用。此外，同时应用多主题和线性化LQR引入了一种针对动态M–G模型的新方法。

本研究考虑了三种主动控制方法：比例-积分-微分（PID）、线性二次调节器（LQR）和模型预测控制（MPC）。比较分析表明，在LQR设计中不足地考虑系统变化可能会导致性能低于MPC和PID，特别是在扰动变化的情况下。相比之下，MPC和PID对扰动变化具有更强的鲁棒性，并能更有效地抑制扰动。在提出的方法中，通过MPC仿真来评估控制器性能并将其与其他方法进行比较。由于闭环模型中的扰动，LQR控制器的鲁棒性降低，对扰动变化的敏感性增加。为了解决这些局限性，设计了一种基于MPC的新控制器，并通过仿真进行了验证。本文的结构如下：第2节介绍了基于Moore-Greitzer方程的非线性状态空间模型，包括使用雅可比特征值和LPV技术的稳定性分析。同时介绍了Bendixson定理和相平面分析，以证明极限环和振荡现象的存在。讨论了节流阀作为执行器的作用。第3节描述了闭环控制设计，包括PID、多topic LQR和线性化LQR控制器及其仿真结果。第4节提供了结论性的意见。

主要贡献包括：
- 应用LPV分析来识别压缩机的稳定和不稳定工作区域。
- 将基于雅可比的线性化与LPV建模相结合，以评估整个工作范围内的全局稳定性。
- 使用Bendixson定理和相平面分析来证明并可视化与振荡相关的极限环的存在。
- 在不同扰动下比较评估PID和LQR控制器的鲁棒性和性能。
- 实现多topic和线性化LQR设计，以全面评估线性控制策略。
- 设计了一种非线性MPC，以增强在非线性压缩机动态下的鲁棒性和跟踪性能。
- 证明了MPC和PID控制器对扰动变化的强鲁棒性，并能有效地抑制扰动。

2. 非线性Moore-Greitzer模型、执行器动态和非线性分析
2.1 Moore-Greitzer模型和执行器动态
图1展示了压缩机的示意图，突出了节流阀以及输入/输出的质量流量和压力（分别为????、????、????????????、????）。压缩机的行为由Moore-Greitzer模型控制，该模型描述了质量流量和压力升高的动态相互作用[25,26]：
??1: ˙??=0.8?(?????(??)???)
??2: ˙??=1.25?(??????√??) (1)
在这个模型中，??和??分别代表归一化的质量流量和压力升高。项?????(??)表示压缩机作为??函数的压力升高性能，通常称为性能曲线。变量g对应于节流阀的开度。该模型以自治状态空间形式表述，其中输入（控制信号）和扰动通过参数g进入。闭环控制方案由????和????组成，将在第3节中描述。

在系统中，节流阀作为执行器；增加g意味着节流阀开度增大，从而提高流量。g的变化会引起压力和流量的波动，影响系统的瞬态和稳态行为。需要注意的是，在(1)中，g并不直接与质量流量或腔室压力升高相关。在稳态条件下，系统的质量流量等于入口质量流量。

性能曲线?????(??)是一个非线性函数，取决于压缩机的转速，它定义了归一化质量流量（??）和压力升高（????）之间的稳态关系。在达到稳态之前，压缩机会经历瞬态或动态行为[25,26]：
?????(??)=0.352+0.18 [1+1.5?(4·???1)?0.5?(4????1)3] (2)

表1总结了我们在仿真中使用的性能曲线参数。

2.2 雅可比矩阵和特征值分析
在(1)和(2)中，通过将导数设为零来获得系统的平衡点，得到
?????(??)=?? (3)
??=??2√?? (4)
这可以组合为
?????(??)=(????)2 (5)
因此，包含空气动力学方程的压缩机的非线性状态空间模型使用雅可比矩阵、特征值、Bendixson定理和相图进行分析。这种分析框架能够识别稳定和不稳定工作区域，以及振荡现象的开始。

如[27,28]中所述，雅可比矩阵及其特征值在平衡点是基于系统状态（向量X）计算的，因为节流阀开度g作为状态空间公式中的一个参数。因此，基于特征值的稳定性分析适用于压缩机的所有工作点，构成了全局稳定性评估。

对于所研究的特定压缩机，当归一化质量流量超过0.43时，系统保持稳定。点?? =0.43标志着不稳定边界，通常称为振荡线。在这种工作条件下，相应的节流阀开度为??2 = 0.52。因此，当??2 > 0.52时，压缩机保持稳定；当??2 < 0.52时，压缩机变得不稳定。

2.3LPV分析
在(1)和(2)中描述的 nonlinear 模型，在(3)-(5)定义的平衡点进行评估时，可以归类为LPV系统。这种表述涵盖了压缩机工作点的整个范围，并能够分析整个工作域内的全局稳定性。对于参数??2 > 0.52的值，压缩机系统表现出全局稳定性。因此，结合基于雅可比矩阵的分析的LPV框架可以用来评估所有工作条件和瞬态模式下稳定性和不稳定性的情况。这里展示的结果对应于??2 = 0.6，该值位于稳定区域内。

在LPV框架内，系统模型表示为
˙??=??2(??)=??2(??)·?? (6)
其中状态向量定义为?? =[??3??,??3??]′，??3??是归一化的质量流量??，??3??是归一化的压力比??。

从(2)导出的雅可比矩阵，考虑?? =??.??（对应于稳定区域），表示为
??=?? ? ???0.8?(0.18?(6?6?(4·??31?1)2))?0.81.25?1.25·0.62?√??2?? ? ??? (7)
这个雅可比矩阵用于评估压缩机工作点范围内的稳定性。特征值的实部的符号是确定给定??的值时系统稳定性的标准，因为每个??的值对应一个唯一的平衡点。方程(8)是从??3??3??3(??3?????) =0导出的，其中J是在平衡点评估的雅可比矩阵。
λ1,λ2=?13,824???312?√??32± 1000?√??32·??3??3??3??2 ?? ? ? ? ? ??(6912???31√??32?13,824???312√??32+ 2000?√??32+375)1·106·??32 ?? ? ? ? ? ? ??6912???31√??32+3752000?√??32 (8)
图2展示了所有工作点下?? =??.??的特征值????和????的实部。如图所示，该区域内的两个特征值始终为负，表明任何初始条件或瞬态模式都是稳定的。这对应于振荡线的右侧，其中归一化的质量流量和压力比在??和??.????之间变化，如性能曲线（图3）所示。

2.4 Bendixson定理
评估振荡幅度的潜在增加是必要的，极限环的存在是这种分析的一个基本方面，正如Bendixson定理[29,30]所指出的。为此，使用(7)中的相关项推导出以下关系：
??=????????+????????=??.?????????.??????3(??3?????)??+??.????3(???2????3√??) (9)
在(9)中，系统由状态空间变量??和??以及参数??定义。通过将??设置在稳定和不稳定区域内，可以使用Bendixson定理和相平面分析来证明极限环和振荡现象的存在。从而可以检查由流体力学和空气动力学原理控制的振荡放大。

如图4所示，当压缩机在稳定区域内运行时，即??2 = 0.4时，(9)的符号保持负值且恒定。因此，根据Bendixson定理，该区域内不存在极限环。相比之下，在不稳定区域，即??2 = 0.4时（见图5），(9)的符号发生变化，可能导致极限环的出现，如图6所示。图4显示了在?? =??.??时稳定区域内R因子随流量的变化。图5显示了在?? =??.??时不稳定区域内R因子随流量的变化。图6显示了不稳定区域内的极限环。相图提供了不稳定区域内极限环的证据。随着压缩机的操作点或平衡点接近该区域，质量流量和压力升高的波动变得振荡。尽管质量流量位于不稳定区域内，但与不稳定焦点相关联的操作点演变成一个极限环，保持恒定的振荡幅度。因此，极限环内的不稳定焦点确保了循环的稳定性。图6中的相图确认了极限环的存在。

3. 控制器
本节介绍了非线性压缩机系统的非线性控制。如前文所述，系统在(2)中由状态变量的质量流量和压力升高定义。对于闭环控制，引入了一个执行器或节流阀，其动态如下[31,32]描述：
??3??=?????????+?? (10)
其中??是控制信号，??3??是受控变量。通过结合这种动态，非线性压缩机状态空间模型扩展到三个状态。如(2)所示，??与节流阀开度相关。考虑静态模式(3)和(4)中的平衡点，??表示为
??=??√????2(??) (11)
(2)中的微分方程的解涉及瞬态和静态模式。通过为质量流量和压力升高设置初始值并固定g（基于(2)中的静态质量流量和压力升高），静态或最终的质量流量由参数g确定。因为g中的质量流量对应于静态模式而不是瞬态响应，所以将与g（静态模式）相关联的质量流量解释为输入质量流量（????），而瞬态质量流量被视为输出质量流量（????）。根据压缩机原理和空气动力学原理，一旦瞬态响应衰减，输入和输出质量流量将收敛到相同的值。

如前文所述（图7），瞬态模式被视为输出质量流量（????），静态模式被视为输入质量流量（????）。然后参数g用输入质量流量表示为
??=????√????2(????) (12)
图7显示了质量流量和压力升高的瞬态和静态模式。作用在压缩机上的扰动对应于上游质量流量，这取决于大气条件。通过将扰动质量流量与受控变量??3??相结合，可以得到压缩机的输入质量流量。因此，扰动的效果出现在输入质量流量中（图8）。由于??是唯一表示扰动和受控变量的参数，输入质量流量可以解释这些效应。

在这项工作中，扰动最初在稳定区域内设置为0.6（阶跃噪声），然后在20秒时减小到0.4，时间常数为4。扰动在40秒时达到0.4（不稳定或振荡相关区域）（阶跃噪声），如图9所示。这种扰动曲线允许我们评估控制器是否能够保持良好的跟踪和稳定性能，因为它涵盖了稳定区域（0.6）和不稳定区域（0.4）。扰动是完全可复制的，并直接应用于压缩机的输入。图9显示了扰动的变化。

闭环控制的连续时间模型如下：
˙????=??.??3(??.??????+??.????3[??+??.??3(??3???????)???.??3(??3???????)??]???)˙??=??.????3(???????2√??)=??.????3?? ? ? ? ??????√??·(??3??+??)√??.??????+??.????3[??+??.??3(??3(??3??+??)???)???.??3(??3(??3??+??)???)??]?? ? ? ? ?˙??3??=???.??3??+??.??3??????=??3??+?? (13)

3.1 PID控制器
在本节中，设计了一个PID控制器来稳定压缩机并确保准确的参考跟踪，从而提高性能。仿真是在MATLAB 2022b中使用块图环境进行的。初始PID参数是使用MATLAB/Simulink中的PID Tuner工具获得的，该工具根据系统的瞬态响应规格（如超调、上升时间和稳定时间）提供自动调整。这确保了初始增益的系统选择是基于规则的，而不是通过试错获得的。

本研究中使用的PID参数是使用既定的调整程序获得的。首先，使用MATLAB 2022b/Simulink中的PID Tuner工具生成了初始PID参数，该工具基于瞬态响应规格（如超调、上升时间和稳定时间）进行自动调整。在我们的案例中，调整基于33%的超调、3秒的上升时间和15秒的稳定时间。PID调谐器在瞬态性能、IAE（内部角度误差）和控制成本之间提供了良好的平衡，从而得到了一个对不稳定干扰具有鲁棒性的PID控制器。需要注意的是，PID调谐器依赖于线性化模型，并根据瞬态和稳态标准来调整参数[33]。此外，我们应用了第二种Ziegler–Nichols调谐方法，所得参数与PID调谐器得到的参数非常接近，这证实了控制系统对阶跃型干扰的稳定性裕度。使用成熟的调谐程序确保了确定PID参数的方法具有结构化、可复现性和可重复性。同时，控制力被限制在较低的水平，以便在实际执行器中实现。

在本次仿真中，导数系数被设置为零，因为在初始的几秒内以及大约第20秒时，系统经历了显著的干扰，执行器无法承受由导数项产生的较大控制信号。因此，控制律变为：

$$\begin{align*}
u &= \phi_i \cdot r \cdot e \cdot f - \phi_i
\end{align*}$$

PID控制器的一般公式为：

$$\begin{align*}
u(t) &= K_p \cdot e(t) + K_i \cdot \int_{0}^{t} e(\tau) \cdot d\tau + K_d \cdot \int_{t}^{\infty} e(\tau) d\tau
\end{align*}$$

对于本工作中使用的PI控制器，控制律简化为：

$$\begin{align*}
u &= K_p \cdot e + K_i \cdot \int_{0}^{t} e(\tau) \cdot d\tau
\end{align*}$$

初始值[φ?, φ?, μ?] = [0.68, 0.538, 0]位于稳定区域内，被用作起始条件。

从图2所示的性能图????(φ)可以看出，最大压力升高发生在φ = 0.5和φ = 0.712时。这些值被选为参考操作点，输入和输出的质量流量分别设置为0.5，压力升高设置为0.712。根据公式(13)，输入质量流量和控制变量μ之间的关系为μ = μ? + δ。因此，μ的参考值计算为μ? = μ? + δ(t) = 0.5 ? δ(t)，其中μ? = 0.5。最后，参考状态向量定义为[φ?, φ?, μ?] = [0.5, 0.712, (0.5 ? δ(t))。

**3.2 多面体LQR**

在本节中，使用LQR控制器的数学公式来提高性能、跟踪能力和稳定性。标准LQR方程如下[34,35]：

$$\begin{align*}
J = \int_{\infty}^{\infty} (x^T Q x) dt
\end{align*}$$

标准LQR公式基于简单的状态空间模型：

$$\begin{align*}
\dot{x} = A x + B u, \quad u = -K x
\end{align*}$$

最优增益矩阵K是通过求解代数Riccati方程

$$\begin{align*}
A^T R + R A - R B^T R B - 1 = 0
\end{align*}$$

并计算K = R^(-1) B^T R来获得的[20]。

由于压缩机模型是非线性的[13]，采用了纯LPV（非线性嵌入LPV）方法对模型进行线性化，以推导控制信号的状态反馈增益。具体矩阵为：

$$\begin{align*}
N = \begin{pmatrix}
0.8 & 0.18 & 0.352 \\
-0.1 & 1.5 & 4 \\
0.8 & -0.801 & 1.25 \\
-1.25 & -1.25 & \sqrt{\Phi_0} & 0 \\
0 & 0 & 0.1
\end{pmatrix}
\end{align*}$$

如前一节所述，Γ取决于输入质量流量，是稳定性的一个重要因素。Γ的变化域位于稳定区域内，而其他状态具有更大的灵活性。变化域定义如下：

$$\begin{align*}
\delta_{\phi_i} = 0.01, \quad \delta_{\phi_m} = 0.82, \quad \delta_{\phi_n} = 0.01 \\
\delta_{\phi_m} = 0.82, \quad \delta_{\phi_n} = 0.53, \quad \delta_{\phi_m} = 27
\end{align*}$$

在本工作中，φ_i在保证系统稳定性方面起着关键作用，第三个状态μ?直接影响φ_i。权重矩阵Q定义为[γ?, γ?, γ?] = [0.01, 0.01, 0]。

执行器控制信号对成本函数的贡献可以忽略，因为节气门阀位于压缩机的下游，其开闭不会显著影响成本。反馈增益是使用LQR方法得出的。采用基于LMI的方法，使用八个矩阵表示域内状态变化的上限和下限。或者，可以使用基于连续纯LPV模型的多面体LPV方法在无限LMI框架内生成这些矩阵来确定Γ。得到的反馈增益为[Γ?, Γ?, Γ?] = [-0.87, 10.59, -9.05]。

这八个矩阵构成了多面体表示，意味着非线性系统可以描述为对应于多面体顶点的线性模型的凸组合。因此，控制结构必须基于这种线性化，这意味着需要对状态和控制信号偏离参考值的情况进行考虑：

$$\begin{align*}
\Delta u = -K ^* \Delta x
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\Delta x = X - X_r \cdot e
\end{align*}$$

**3.3 线性化LQR**

在这部分中，围绕参考点或平衡点设计了扩展的（线性化的）LQR。在对闭环模型[13]进行线性化后，得到矩阵A和B，并使用相应的MATLAB函数计算LQR的反馈增益。得到的增益为[Γ?, Γ?, Γ?] = [-0.0040, -0.0054, 0.4537]。

**3.4 基于MPC的新控制器**

我们还设计并仿真了一个新的基于MPC的控制器，以在相同条件下评估性能。我们设计并仿真了一个新的控制器，使用MPC来改进与现有方法的评估和比较。为了进一步增强分析，我们开发了一个新的基于MPC的仿真，以在相同条件和参考轨迹下评估性能。非线性系统[13]使用欧拉方法离散化，采样时间为τ?，形成了MPC设计的基础：

$$\begin{align*}
\xi(t+1) = \xi(t) + \tau\_s \cdot \phi(t)
\end{align*}$$

在每个采样时刻最小化的MPC成本函数为：

$$\begin{align*}
\mathcal{C}(\xi) = \sum_{i=1}^{N} |\xi^T Q_i \xi(t)|^2
\end{align*}$$

其中x = [ξ?, ξ?, ξ?]，τ? = 0.1，权重矩阵Q = [γ?, γ?, γ?] = [0.01, 0.01, 0]。

非线性离散模型被用作MPC优化的约束集。

**4 结果与仿真**

在这部分中，描述了仿真和结果。

**4.1 PID控制器**

在第20秒时，干扰将系统推向不稳定区域，必须进一步打开节气门阀以保持跟踪并保证稳定性。传统的PID控制器能够跟踪所有状态和输入质量流量（φ?）的参考信号。参考值由绿线表示，系统响应由红线表示。输出质量流量（φ?）和压力升高（φ）的振荡是由于状态空间方程的非线性、高阶性质引起的。

在第1秒和第20秒时，输入质量流的干扰超过了参考值，需要控制信号和μ?取负值以实现正确的跟踪。第20秒后，干扰低于参考值，控制信号和μ?必须为正值以保持跟踪并保证稳定性（图10）。最终，输入质量流量（φ?）收敛到期望的参考值（图11），并且使用这种方法和选定的系数实现了稳定性（图12）。图10显示了PID控制下的系统状态变化。图11显示了输入质量流量的变化。图12显示了控制信号的变化。

如图13所示，状态在性能图的峰值（φ = 0.5）处达到期望值。这个操作点对应于最高效率。图13显示了PID控制下的质量流量和压力的变化。

**4.2 多面体LQR**

考虑X? = [φ?, φ?, μ??]，X = [φ?, φ]，δ? = δ ? δ??。那么，

$$\begin{align*}
u = \delta? + δ?? \cdot e \\
\end{align*}$$

然后，

$$\begin{align*}
u = \delta? + δ?? \cdot e \cdot \mu??
\end{align*}$$

多面体LQR控制器进行了仿真，结果如图14、图15、图16和图17所示。在图14中，第1秒和大约第20秒时，输入质量流的干扰超过了参考值。在这种情况下，控制信号和μ?应该为负值以实现跟踪，但当前控制器没有表现出这种行为。第20秒后，输入质量流的干扰低于参考值，μ?应该为正值以确保跟踪和稳定性。然而，输入质量流量φ?并没有跟随参考值，因此这种方法没有完全实现跟踪和稳定性。图14显示了多面体LQR控制器下的状态变化。图15显示了输入质量流量的变化。图16显示了控制信号的变化。图17显示了质量流量和压力的变化。

如图17所示，状态在性能图的峰值（φ = 0.5）处没有达到期望值，这对应于最高效率点。在无限LMI框架内定义的矩阵和多面体表示没有产生预期的行为，因为在带有计算出的反馈增益的闭环中，Ν? ? Ω?的特征值的实部不是负的。因此，得到的LQR控制器无法确保足够的性能。即使改变变化域的上限和下限或在无限LMI框架中修改多面体表示的矩阵，也无法满足这一要求。主要原因在于模型中稳定区域和不稳定区域的共存。虽然理论上可以满足条件，但得到的增益Γ会过大，导致控制信号剧烈振荡。实际上，执行器无法容忍这种振荡，实现如此大的增益是不可行的。

此外，成本函数不是凸的，由于压缩机模型的非线性特性以及稳定和不稳定区域的存在，最小化轨迹是不可行的。通过无限LMI框架对非线性压缩机模型进行线性化并不能充分表示所有操作点下的真实非线性动态，LQR控制器无法在不同操作条件下行走参考值。

最后，反馈增益是为特定干扰设计的，而不是针对所有可能的干扰范围。因此，当干扰变化时，LQR方法既不合适也不可行，且增益对于上游压缩机干扰的变化不具有鲁棒性。

在这次仿真中，输入质量流量φ?被视为空间向量中的第三个状态，而在之前的公式中这个角色被分配给了μ?。这一变化反映了压缩机输入质量流量对稳定性和参考跟踪的影响比μ?更强且更快。现在的数学公式如下：

$$\begin{align*}
\Delta u = -K ^* \Delta x
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\Delta x = X - X_r \cdot e
\end{align*}$$

其中[ξ?, ξ?, ξ?] = [ξ?, ξ?, ξ?]，δ = δ ? δ??。然后，

$$\begin{align*}
u = \Delta δ + δ?? \cdot e
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
u = \mathcal{Γ}
\end{align*}$$

在图18中，第1秒和大约第20秒时，输入质量流的干扰超过了参考值。控制信号和μ?应该为负值以实现跟踪，但当前控制器只部分满足了这一条件，因为观察到了振荡。尽管如此，性能仍然比第一次LQR仿真（其中μ?被视为第三个状态）要好。在当前的公式中，第三个状态是输入质量流量φ?，它对稳定性和参考跟踪有更快、更有效的影响。图18显示了多面体LQR控制器下的状态变化。图19和图20显示了输入质量流量在多面体LQR控制器下的变化。在这种配置下，输入质量流量大致跟随参考值，几乎实现了跟踪和稳定性。总体而言，这种类型的LQR性能优于第一次仿真，但仍然不如PID控制器的结果。

**4.3 线性化LQR**

在这种线性化的LQR中，围绕参考点或平衡点设计了扩展的LQR。在对闭环模型[13]进行线性化后，得到矩阵A和B，并使用相应的MATLAB函数计算LQR的反馈增益。得到的增益为[Γ?, Γ?, Γ?] = [-0.0040, -0.0054, 0.4537]。

**4.4 基于MPC的新控制器**

我们还设计并仿真了一个新的基于MPC的控制器，以在相同条件下评估性能。我们使用MPC设计并仿真了一个新控制器，以改进与现有方法的评估和比较。为了进一步增强分析，我们开发了一个新的基于MPC的仿真，以在相同条件和参考轨迹下评估性能。非线性系统[13]使用欧拉方法离散化，采样时间为τ?，形成了MPC设计的基础。

MPC在每个采样时刻最小化的成本函数为：

$$\begin{align*}
\mathcal{C}(\xi) = \sum_{i=1}^{N} |\xi^T Q_i \xi|^2
\end{align*}$$

其中x = [ξ?, ξ?, ξ?]，τ? = 0.1，权重矩阵Q = [γ?, γ?, γ?] = [0.01, 0.01, 0]。

非线性离散模型被用作MPC优化的约束集。此外，这种增益对于上游压缩机干扰的变化并不具有鲁棒性。在一个带有这种反馈增益的闭环系统中，?? ??????的特征值的实部为负，这在原理上应该能够保证系统的稳定性。然而，在这个模拟中，这个条件并没有得到有效满足，LQR控制器的性能也不尽如人意，因为该方法缺乏对干扰变化的鲁棒性。所设计的LQR控制器是基于正常（稳定）工作点附近的线性化模型。但是，当干扰将压缩机推向不稳定或喘振相关区域时，线性化的LQR控制器无法阻止系统进入喘振状态。具体来说，当输入质量流量降至0.43以下时，压缩机会进入不稳定区域，LQR控制器无法维持系统的稳定性。这表明线性化的LQR在应对喘振型干扰时缺乏鲁棒性。尽管多面体LQR控制器可以在喘振相关干扰下稳定压缩机，但其跟踪性能不如PID和MPC控制器。总体而言，LQR控制器是围绕稳定区域设计的，在干扰使系统进入不稳定区域时表现较弱。相比之下，PID和MPC控制器在这些条件下表现出更强的鲁棒性。

关于稳定性，应当注意的是，压缩机系统是非线性的，并且会受到各种干扰的影响。在这种情况下，基于线性化模型设计的LQR控制器无法完全解决非线性和干扰抑制所带来的挑战。与LQR设计相关的李雅普诺夫函数是从代数Riccati方程中推导出来的，仅在该局部区域内有效。当应用于非线性压缩机动态时，由此产生的李雅普诺夫优化问题变得非凸，因此无法保证全局稳定性。比较分析表明，在LQR设计中未能充分考虑系统条件的变化会导致其性能低于MPC和PID控制器。相比之下，MPC和PID对干扰变化具有更强的鲁棒性，并能更有效地抑制干扰。这些观察结果在手稿中呈现的模拟结果和图表中得到了明确的证明。

为了更好地比较上述控制器，下图（图24）比较了不同控制器下的输入质量流量。如图25所示，输入质量流量????大约在10秒内达到了设定值。与PID相比，MPC达到了相似的上升和稳定时间，但在干扰变化期间能够更平滑地跟踪质量流量和压力。被操控变量和控制信号的变化显著减小，这表明由于MPC的预测能力，执行器的成本降低了。总体而言，MPC在跟踪精度、干扰抑制以及瞬态响应指标（如上升时间、稳定时间和积分绝对误差）方面均优于线性和多面体LQR控制器。尽管MPC需要模型且计算成本较高，但其对干扰变化的鲁棒性以及在变化条件下跟踪参考值的能力使其成为本案例研究中最有效的控制器。

我们施加了更严重的干扰（0.30，而初始模拟中为0.40），以评估PID控制器在更不稳定和易发生喘振条件下的鲁棒性。PID控制器在这种干扰水平下保持稳定，将输入质量流量维持在0.43以上，从而防止了喘振（见图26和图27）。然而，被操控变量和控制信号的变化较大，表明在抑制较强干扰时执行器的成本增加了（见图28和图29）。相应图表如下：图26. 在0.30干扰下PID控制的系统状态变化；图27. 在0.30干扰下PID控制的输入质量流量变化；图28. 在0.30干扰下PID控制的控制信号变化；图29. 在0.30干扰下PID控制的质量流量和压力变化。现在添加了数值性能指标。在闭环分析中，输出质量流量????被视为系统输出y(t)。控制器的性能比较总结在以下表格中。

我们将输出质量流量????视为闭环控制系统的输出y(t)。为了更清晰地评估控制器性能，包括了数值时间-响应规格（如超调量、上升时间和稳定时间）以及基于误差的性能指标（ISE、IAE等）。这些结果在以下表格（表2）中进行了详细比较，以便全面对比各种控制器。

本研究考察了一个压缩机系统，以展示其特性并开发了一种用于识别稳定和不稳定区域的数学方法。该方法用于基于非线性Moore–Greitzer模型预测压缩机图中喘振和不稳定的发生。非线性压缩机分析采用了雅可比矩阵、线性参数变化公式、Bendixson定理和相位平面方法来识别稳定和不稳定区域，以及不稳定区域中的极限环（喘振现象）。这些方法共同构成了压缩机稳定性分析的新贡献。非线性模型是根据Moore–Greitzer框架结合执行器（节流阀）动态构建的，为压缩机控制提供了新的数学基础。考虑了三种控制策略：PID、LQR和MPC来进行主动压缩机控制。然而，LQR设计没有涵盖所有操作条件，因此其性能不如PID。由于闭环模型中的干扰，LQR设计无法满足对干扰变化的鲁棒性要求。总体而言，这些发现为压缩机控制方法论带来了创新性贡献。

在本文中，对PID、LQR和MPC的比较评估为压缩机应用提供了新的见解。此外，将多面体LQR和线性化LQR方法应用于动态Moore–Greitzer模型是对压缩机控制设计的创新扩展。相比之下，MPC和PID对干扰变化具有更强的鲁棒性，并能有效抑制干扰。在提出的方法中，通过MPC仿真来评估控制器性能。