利用实验-算法方法研究含铁矿石尾矿粉的再生混凝土的本构模型及力学性能

《Materials Today Communications》：Constitutive model and mechanical characteristic of recycled concrete with iron ore tailings powder using the experimental-algorithm method

　　王伟民|陈人毅|李洪森|尹永高|何敏|奚邦鲁|何振宇|
合肥工业大学土木工程学院，中国合肥，230601

摘要
为了扩展尾矿的工程应用并减少二氧化碳排放，本研究系统地研究了添加铁矿石尾矿粉（IOTP）的再生混凝土，将IOTP视为水泥的部分替代品。通过进行三项力学测试来阐明其力学性能的变化。结合五种力学特性，建立了一个机器学习模型，并分析了输入特征的相对重要性。结果表明，随着IOTP含量的增加，立方抗压强度和劈裂抗拉强度表现出相似的趋势。再生混凝土的轴向抗压强度随着水灰比的降低而显著提高。随后详细分析了应力-应变行为，并提取了六个力学参数。建立了多个拟合模型，所有模型的R2值均大于0.945。提出了一个最佳的经验本构模型和一个包含IOTP含量的理论统计损伤本构模型来描述材料的力学行为。此外，使用十一种不同的算法准确预测了立方抗压强度。确定了影响立方抗压强度的输入特征的排名并进行了验证。基于所提出的模型，使用XGBoost算法预测了四个关键特征。本研究为提高尾矿的利用率和评估再生混凝土的性能提供了一种新的方法，从而为后续的工程设计和结构分析奠定了基础。

1. 引言
随着经济的快速发展，常规混凝土的力学性能不断提高[1]，[2]，导致了大规模的拆除和重建活动。因此，产生了大量的再生骨料[3]。传统混凝土的生产严重依赖于天然骨料，过度开采天然骨料会造成严重的环境退化。因此，使用再生骨料生产的再生混凝土引起了越来越多的研究兴趣，并显示出在工程应用中的巨大潜力。然而，再生混凝土存在一些固有的局限性，包括相对较差的力学性能以及生产过程中显著的二氧化碳排放[4]，这些都加剧了环境污染。同时，为了满足工程需求而过度开采矿产资源会产生大量的尾矿[5]。尾矿的积累[5]带来了严重的环境挑战，包括占用土地和重金属元素渗入周围生态系统。因此，减少再生混凝土的二氧化碳排放同时提高尾矿的利用率是本研究的关键目标。
近年来，许多研究人员致力于提高再生混凝土的力学性能[6]。附着在再生细骨料上的旧砂浆显著影响了致密界面过渡区（ITZ）的形成，从而削弱了抗压强度。张等人[7]研究了长期硫酸盐侵蚀对含再生骨料混凝土的影响，观察到工作性和力学性能的显著变化。栾等人[8]使用再生混凝土粉作为胶凝材料来提高超高性能混凝土（UHPC）的抗压强度，同时减少了碳排放和可再生能源的消耗。尾矿也被越来越多地探索作为可持续建筑材料以提高其利用率[9]。由于其内在的结构特性和矿物组成，尾矿可以用作混凝土中的细骨料或胶凝材料。陈等人[10]用不同比例的铁矿石尾矿替代了天然砂（NS），并分析了所得混凝土的抗压强度、抗弯强度和抗冻融性能，并通过微观实验研究了其背后的机制。裴等人[11]在UHPC中使用湿铜尾矿粉作为胶凝材料，报告了力学性能的改善，这归因于水化产物的增加和内部相对湿度的提高。同样，Ahad等人[12]用铜尾矿粉替代了水泥，观察到抗压强度和抗氯离子渗透性的显著提升。
混凝土的完整应力-应变曲线在表征力学行为和提取关键力学参数方面起着关键作用[13]，[14]，[15]。基于应力-应变关系，本构模型可以有效描述材料性能的变化并预测变形行为。同时，混凝土的多轴加载也是一个潜在的研究热点，这更接近实际情况[16]，[17]。夏等人[18]提出了考虑混凝土内部损伤分布特征的本构模型。邵等人[19]对包括抗压破坏模式、弹性模量、峰值应力等在内的力学性能进行了比较分析，并建立了一个改进的本构模型。毛等人[20]考虑了纤维混凝土在三轴压缩下的应力分布，并评估了多个强度指标。此外，随着技术的进步，机器学习技术已成为预测混凝土性能的强大工具[21]，[22]。刘等人[23]结合数据驱动和物理信息方法开发了一个基于机器学习的本构模型来解决复杂的受限本构行为。李等人[24]整合了12个关键参数，建立了基于反向传播神经网络（BPNN）的本构模型。
尽管再生混凝土和尾矿已经得到了广泛的研究，但用尾矿粉替代水泥对再生混凝土力学性能的影响仍不够清楚。此外，关于含有尾矿粉的再生混凝土的本构模型以及将这些模型与机器学习方法相结合的研究很少。本研究系统地研究了含有铁矿石尾矿粉（IOTP）的再生混凝土，技术路线图如图1所示。进行了立方抗压、劈裂抗拉和轴向抗压测试，以检查力学性能之间的关系。随后，开发了实验和理论本构模型来拟合应力-应变曲线。最后，应用了多种机器学习模型来分析力学特性并进行了敏感性分析。本研究旨在为再生混凝土的工程应用提供参考，并促进数值模拟和基于深度学习的分析。

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图1. 本研究的技术路线图。

2. 材料和实验
2.1. 原材料
混凝土通常由胶凝材料、骨料和水组成。在本研究中，胶凝材料包括普通波特兰水泥（P.O. 42.5）和IOTP。作为粗骨料（CA），使用了连续粒径分布为5-20毫米的天然石灰石。细骨料包括NS和再生砂（RS），源混凝土的原始强度等级为C30。为了减轻RS高吸水率引起的工作性问题，加入了一种减水率为25%的高性能聚羧酸超塑化剂，用量为胶凝材料的0.5%（重量比）。
图2展示了细骨料和胶凝材料的微观结构。如图2(b)所示，RS颗粒表面粘附有灰白色的旧砂浆。这种残留的砂浆不仅在养护过程中增加了吸水率，还促进了旧砂浆区域微裂纹的形成。与NS的微观结构（图2(a)）相比，RS颗粒具有更尖锐和更角形的形状，在外部载荷下会产生更大的摩擦。
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图2. 细骨料和胶凝材料的微观结构，(a) NS，(b) RS，(c) IOTP。
细骨料和胶凝材料的基本物理性能总结在表1中。值得注意的是，RS的吸水率明显高于NS，分别为7.82%和2.3%。因此，在使用两种细骨料时，仔细调整了试样的有效水灰（W/C）比，以确保一致性和实验准确性。NS和RS的表观密度相当，分别为2853.14 kg/m3和2735.73 kg/m3。RS的松散体积密度符合ASTM C128的要求。根据中国标准GB/T 14684–2022，测定了细骨料的细度模数（Fm），如图3所示。NS和RS之间的Fm差异较小，从而将级配差异对力学性能的影响降到最低。NS和RS分别被分类为粗砂（Fm：3.1–3.7）和中砂（Fm：2.3–3.0），其细度模数达到了ASTM C33的范围内。此外，IOTP的粒径为45 μm，与普通波特兰水泥相当。
表1. 细骨料和胶凝材料的基本物理性能指标。
材料
表观密度（kg/m3）
松散体积密度（kg/m3）
孔隙率（%）
含水量（%）
吸水率（%）
NS
2853.14
113
1.77
60.33
1.21
2.30
RS
2735.73
111
4.89
59.25
0.93
7.82
IOTP
320
4.56
89
3.87
72.11
0.89

为了更好地证明IOTP的可替代性，通过进行强度活性指数（SAI）测试来评估IOTP的火山灰活性。根据ASTM C618-05，实验组和控制组之间的强度比值可以用来判断IOTP的火山灰活性，其中对照组仅使用水泥，而实验组的胶凝材料由80%的水泥和20%的IOTP组成。参考之前的研究[25]，SAI测试是在相同的混合比例和试样数量下进行的。表2显示了养护时间为7天时对照组和实验组的抗压强度，分别为43.56 MPa和38.79 MPa，SAI为89.05%。这表明IOTP本身表现出较弱的火山灰活性。
表2. 对照组和实验组的7天立方抗压强度（MPa）。
抗压强度
平均值
SAI（%）
fcu-c
41.34
46.91
45.38
41.11
43.64
42.98
43.56
89.05
fcu-e
39.88
38.78
37.64
38.98
37.82
39.63
38.79

使用X射线荧光（XRF）分析了原材料的化学成分，如表3所示。结果表明，IOTP不含有害的重金属元素，其主要成分是Fe2O3和SiO2，证实了其适用于后续实验。
表3. 原材料的化学成分。
化学成分
水泥
NS
RS
IOTP
SiO2
24.22
93.87
21.26
21.32
Al2O3
8.86
4.39
3.87
5.76
CaO
53.87
0.22
61.91
9.19
Fe2O3
8.54
0.17
8.37
39.35
K2O
1.57
1.36
1.22
1.34
SO3
1.91
0.00
2.53
10.78
ZnO
0.09
0.00
0.10
7.08
其他
0.94
0.00
0.74

2.2 混合比例设计
根据初步试验和优化，本研究的初始W/C比设置为0.36。为了研究IOTP对再生混凝土力学性能的影响，通过部分用IOTP替代普通波特兰水泥来制备试样，替代水平分别为10%、15%、20%和30%。相应的试样分别标记为R1-I2-1至R1-I2-5，如表4所示。为了更清楚地评估IOTP的加入效果，还准备了两个W/C比为0.36的对照组——即再生混凝土（R1-C）和天然混凝土（S-C），与R1-I2-X试样进行比较，如表5所示。由于NS和RS的吸水能力不同（第2.1节），S-C的混合设计中减少了相应的含水量（RS的吸水量），以保持W/C比的一致性。此外，为了研究W/C比对力学性能的影响，采用了三个比例（0.36、0.42和0.50）来扩大研究范围。考虑到实验效率，选择了W/C比对应的R1-C、R1-I2-2和S-C的试样进行本次分析。
表4. 含有IOTP的再生混凝土的混合比例（kg/m3）。
组别
水泥
RS
IOTP
PCT
水
W/C
R1- I2-1（含量10%）
39
0.00
84
0.00
43.33
10
70.00
15
6.67
0.36
R1- I2-2（含量15%）
36
8.33
84
0.00
65.00
10
70.00
15
6.67
0.36
R1- I2-3（含量20%）
34
6.67
84
0.00
86.67
10
70.00
15
6.67
0.36
R1- I2-4（含量25%）
32
5.00
84
0.00
108.33
10
70.00
15
6.67
0.36
R1- I2-5（含量30%）
30
3.33
84
0.00
13
0.00
1070.00
15
6.67
0.36
R1- I2-2-2
36
4.49
83
1.90
64.32
10
59.18
18
0.10
0.42
R1- I2-2-3
35
9.56
82
0.64
63.45
10
44.84
21
11.51
0.50

表5. 对照组的混合比例（kg/m3）。
对照组
水泥
RS
IOTP
PCT
水
W/C
S-C
43
3.28
84
0.00
01
070.00
14
4.42
0.36
S-C-2
42
8.81
83
1.90
01
05
9.18
16
6.02
0.42
S-C-3
42
3.01
82
0.64
01
04
44.84
19
4.97
0.50
R1-C
43
3.28
08
40.00
10
70.00
15
6.67
0.36
R1-C-2
42
88
10
83
1.90
10
59.18
18
0.10
0.42
R1-C-3
42
3.01
08
20
64
10
44.84
21
11.51
0.50

每个测试组包括六个立方体试样和三个棱柱体试样。根据中国标准GB/T 50081[26]，立方体试样用于测定抗压强度和劈裂抗拉强度，而棱柱体试样用于测定轴向抗压强度并获得应力-应变曲线。

2.3 试样制备
图4显示了试样制备过程。称量原材料并放入混凝土搅拌机中干混240秒。需要注意的是，每次使用前后都应清洁搅拌机，以防止由于残余砂浆粘附在内部表面而导致有效W/C比的变化。干混后，加入大约一半的拌合水，继续搅拌60秒。然后加入剩余的水和聚羧酸超塑化剂，再搅拌120秒。通常，通过观察混凝土混合物的状态，当混凝土达到均匀一致时可以停止搅拌[27]。随后将新鲜混凝土浇筑到尺寸为100 × 100 × 100 mm的立方体模具和100 × 100 × 300 mm的棱柱体模具中。在振动60秒并初始设置24小时之后，试样被脱模并转移到一个温度保持在20 ± 2°C、相对湿度为95%的固化室中，直至达到目标固化龄期28天。下载：下载高分辨率图片（444KB）下载：下载全尺寸图片图4. 实验试样的生产过程。2.4. 实验方法2.4.1. 立方体强度立方体强度测试包括立方体抗压强度（fcu）和开裂抗拉强度（fct）。根据中国标准GB/T 50081[26]，这些测试使用1200 kN的万能试验机进行。抗压和开裂抗拉试验的加载速率分别设置为0.7 MPa/s和0.05 MPa/s。从三个试样中获得的平均值用于性能评估。2.4.2. 轴向抗压强度轴向抗压强度（fc）使用10,000 kN的万能试验机测量。此外，还获得了应力-应变曲线和泊松比，以全面评估试样的力学性能。在测试之前，将棱柱形试样的顶部和底部表面抛光，以减少由于偏心加载导致的过早失效的风险。由于电阻应变仪（SGs）无法在脆性混凝土的失效阶段准确捕捉轴向应变，因此在每个试样的相对两侧安装了两个50毫米的线性可变差动变压器（LVDTs）来记录轴向位移。平均位移用于后续分析的轴向应变计算。同时，在试样的两侧水平方向上固定了SGs以确定泊松比。在测试过程中，首先施加5 kN的预加载力，然后以0.003 mm/s的速率加载。考虑到试样的高度为300毫米，最大轴向位移被限制在3毫米以内，以确保测试安全。3. 结果与讨论3.1. 失效模式图5展示了在单轴压缩作用下棱柱形试样的失效模式。总体而言，所有试样表现出相似的失效行为，其特征是在加载的最后阶段形成多条裂缝，这些裂缝的角度大约为90°。在初始加载阶段，试样表面几乎没有可见的裂缝。随着单轴载荷的增加，位于界面过渡区（ITZ）的微裂缝数量逐渐增多，从而加速了宏观裂缝的发展。由于加载端和固定端的摩擦作用，试样的径向变形受到限制，导致试样中部高度处出现垂直裂缝，随后裂缝向两端扩展。当轴向位移达到最大值时，内部水泥凝 结（CA）突然断裂，并伴随剧烈的噪音，形成一个主要的垂直宏观裂缝，标志着试样的失效。下载：下载高分辨率图片（563KB）下载：下载全尺寸图片图5. R1-I2-X在单轴压缩下的失效模式，(a) R1-C, (b) R1-I2-1, (c) R1-I2-2, (d) R1-I2-3, (e) R1-I2-4, (f) R1-I2-5。3.2. 力学特性3.2.1. 立方体抗压强度R1-C和R1-I2-X试样在28天固化后的立方体抗压强度（fcu）如图6所示。观察到一个明显的趋势，即fcu最初增加，随后随着IOTP替代水平的增加而减少。最佳IOTP含量ζ被确定为15％，此时fcu的最大增加达到19.64％，相应的fcu接近天然混凝土。在之前的研究[28],[29]中，最佳钼和锌尾矿粉含量分别为15％和20％。这也证明了最佳IOTP含量为15％是合理的。当IOTP含量ζ超过20％时，力学性能显著下降，fcu的最大减少量为17.36％。此外，基于所有变异系数的实验结果分散程度较低，小于6％。在之前的平行研究[25]中，基于微观结构分析，最佳IOTP含量时表面较为光滑，而当IOTP含量达到30％时会出现裂缝和松散的ITZ。下载：下载高分辨率图片（227KB）下载：下载全尺寸图片图6. 在28天固化时间下R1-C和R1-I2-X之间的立方体抗压强度fcu比较。通常，混凝土的强度由水泥水化过程中形成的水化产物的数量决定。然而，由于RS具有较高的吸水率，在后期固化阶段更容易发生水化不足。用IOTP部分替代水泥可以通过释放额外的水分来增加有效的水灰比（W/C）。尽管IOTP的火山灰活性相对较弱，它仍能参与水化反应并部分补偿早期强度损失[25],[30]。因此，R1-I2-2的fcu明显高于R1-C。相比之下，当IOTP替代水平过高时，水泥含量大幅减少，从而限制了水化反应。水化产物的形成减少导致立方体抗压强度降低[31]。3.2.2. 开裂抗拉强度fcu和fct是评估混凝土安全性和耐久性的重要指标。图7显示了R1-I2-X试样在28天固化后的fct值。与fcu的趋势类似，fct最初增加，然后随着IOTP含量的增加而减少（图7(a)）。与R1-C相比，fct的最大增加和减少分别为10.6％和25.00％。变异系数的范围为1.42％至9.01％，表明实验数据的分散程度是可以接受的。这种行为也可以归因于IOTP的稀释效应[32]。充分的水化会导致形成更多的凝胶产物，这些产物填充了骨料之间的空隙[33]。更密的ITZ增强了抗裂性并提高了fct。下载：下载高分辨率图片（389KB）下载：下载全尺寸图片图7. 在28天固化时间下R1-I2-X的开裂抗拉强度fct，(a) 在28天固化时间下R1-C和R1-I2-X之间的开裂抗拉强度fct比较，(b) R1-I2-X的fct和fcu之间的关系。为了进一步分析fcu和fct之间的关系，使用最小二乘法建立了一个预测模型，如图7(b)所示。对于普通的S-C，fct通常介于fcu的1/20到1/10之间[34]。不同的标准提出了各种经验模型来估算S-C的fct，总结如下。ACI 318（美国）模型如下[35]：(1)fct=0.56fcu中国标准GB/T 50081模型如下[26]：(2)fct=0.395fcu0.55欧洲规范模型如下[36]：(3)fct=0.33fcu2/3由于原材料、实验条件和其他不可控因素的差异，这些现有模型在应用于实验数据时可能会表现出相对较低的决定系数R2。因此，广泛采用了非线性数学模型来更好地预测混凝土的fct。其中一个模型如下。ACC模型如下[37]：(4)fct=0.163fcu0.818图6(b)将R1-I2-X的实验结果与现有模型((1),(2),(3),(4))的预测结果以及拟合模型进行了比较。现有模型与实验数据有明显的偏差，这可能归因于本研究中使用了再生混凝土。因此，建立了一个非线性模型来描述R1-I2-X的fct和fcu之间的关系，如方程(5)所示。所提出的模型与实验结果非常吻合，R2值为0.974。3.2.3. 轴向抗压强度fc是混凝土的另一个关键力学参数。试样的fc值如图8所示。随着W/C比的增加，所有试样的fc都降低了，R1-C、S-C和R1-I2-2的降低幅度分别为29.69％、37.17％和37.06％。在正常情况下，水泥水化需要适量的水[38]。过多的水会增加内部孔隙率，促进微裂缝的形成，最终降低fc[39]。尽管如此，R1-I2-2的fc始终高于R1-C，且R1-I2-2与S-C之间的差异相对较小。在W/C比为0.36、0.42和0.50时，fc相对于R1-C的增加幅度分别为18.36％、7.55％和5.96％。R1-C较低的fc可以归因于残留在RS颗粒表面的砂浆[40]。这种残余砂浆导致形成了两个不同的ITZ，旧ITZ和新ITZ之间的摩擦相互作用增加了外部加载下的裂缝起始[41]。下载：下载高分辨率图片（438KB）下载：下载全尺寸图片图8. 实验试样的轴向抗压强度fc，(a) 不同W/C比下对照组（S-C和R1-C）与R1-I2-2的轴向抗压强度fc比较，(b) R1-I2-X的fc和fc之间的关系。一般来说，由于棱柱形试样的高度与宽度比较高，其中部的周向约束较弱，因此fc值低于fc[42]。通常使用基于中国标准GB/T 50081[26]推导出的预测模型来估算S-C的fc。为了提高预测准确性，考虑了两个经典的S-C模型，如下所示。中国标准GB/T 50081模型如下[26]：(6)fc=0.79fcuL’Hermite模型如下[43]：(7)fc=fcu?(0.97?0.26log(fcu19.6))改进的L’Hermite模型如下[43]：(8)fc=fcu?(0.76+0.20log(fcu19.6))图8(b)展示了R1-I2-X的fc和fc之间的关系。显然，现有模型对含有IOTP的再生混凝土的预测准确性有限。由于fc对应于应力-应变曲线中的峰值应力，准确建模这种关系对于理解混凝土的失效行为至关重要。因此，通过修改现有方程的基本形式，开发了两个预测模型来描述含有IOTP的再生混凝土的fc-fcu关系。提出的模型1和2的决定系数R2分别为0.946和0.947，表明与实验结果吻合良好。提出的模型1：(9)fc=0.67fcu提出的模型2：(10)fc=fcu?(0.68?0.03log(fcu19.6))3.3. 单轴压缩下的完整应力-应变曲线3.3.1. 曲线特性应力-应变曲线在建立本构模型和分析混凝土的变形行为中起着关键作用。图9展示了R1-I2-X试样在单轴压缩下的应力-应变曲线。如图9(a)所示，所有曲线都符合混凝土的经典应力-应变响应[44]，包括弹性阶段、弹性-塑性阶段和应力软化阶段。随着IOTP含量的增加，弹性（上升）阶段的斜率逐渐减小，表明试样的弹性模量降低。在应力软化（下降）阶段，R1-I2-5表现出最陡的下降趋势，表明承载能力的快速丧失和更容易发生脆性失效。通过比较不同W/C比的R1-I2-2试样，研究了W/C比对应力-应变行为的影响，如图9(b)所示。与IOTP含量的效果类似，W/C比的增加导致上升阶段较平缓，下降阶段更陡峭。在所有试样中，W/C比为0.50的R1-I2-2表现出最低的刚度和最明显的后峰软化。这种行为与轴向抗压强度的趋势一致（第3.2.3节）。下载：下载高分辨率图片（358KB）下载：下载全尺寸图片图9. R1-I2-X在单轴压缩下的应力-应变曲线，(a) R1-I2-1、R1-I2-3和R1-I2-5的应力-应变曲线，(b) 不同W/C比下R1-I2-2的应力-应变曲线。3.3.2. 力学特征进一步分析应力-应变曲线得到了R1-I2-X试样的六个力学参数，包括峰值应力σp、峰值应变εp、弹性模量Ec、截面模量Es、极限应变εu和泊松比ν，如表6所述。根据中国标准GB/T 50010[45]，Ec和Es被定义为从原点到40% σp的直线的斜率。εu被定义为应力-应变曲线下降分支上对应于50% σp的应变。此外，σp等同于在第3.2.3节中讨论的fc。表6. R1-I2-X在单轴压缩下的不同力学性能。试样峰值应力σp (MPa)峰值应变εp (10-3)弹性模量Ec (GPa)截面模量Es (GPa)极限应变εu (10-3)泊松比νR1-C30.392.0620.1914.753.720.198R1-I2-132.422.0922.8315.513.700.201R1-I2-235.672.1126.0916.914.030.205R1-I2-330.962.0721.8414.963.580.214R1-I2-427.932.0419.8313.693.260.211如图6所示，除了ν之外，其他力学参数随着IOTP含量的增加而呈现出类似的趋势，最初增加然后减少。最佳IOTP替代水平被确定为15％。与R1-C相比，εp、Ec、Es和εu的最大增加分别为2.43％、29.22％、14.64％和8.33％。这些改进可以归因于增强的ITZ，因为适当的IOTP含量促进了填充内部孔隙的水化产物的形成。更密的ITZ延缓了裂缝的起始并减少了微裂缝的密度[46]。此外，ν 对 IOTP 含量的敏感性相对较低，所有试样的 ν 值都在 0.2 左右波动。为了开发包含 IOTP 含量的本构模型，首先研究了 σp 与 IOTP 含量 ζ 之间的关系。基于观察到的强度变化，提出了一个采用高斯分布的经验模型。如图 10(a) 所示，预测值与实验结果非常吻合，决定系数 R2 为 0.973。

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图 10. R1-I2-X 在单轴压缩下的失效特性，(a) σp 与 IOTP 含量 ζ 之间的关系，(b) Ec 与 fc 之间的关系，(c) εp 与 fc 之间的关系。

提出的模型：
(11) σp = 24.05 + 27.792π?e(14.58??0.156)

Ec 也是材料刚度的关键指标。已经提出了许多经验模型来描述 S-C 的 Ec 与 fc 之间的关系。以下是其中一些代表性模型。

中国标准 GB/T 50152 模型如下：
(12) Ec = 100 + 2.2 + 34.7fc

ACI 318（美国）模型如下：
(13) Ec = 4.7fc

如图 10(b) 所示，这些现有模型的预测值明显高于 R1-I2-X 的实验值。因此，基于现有方程的基本非线性形式提出了两个修改后的模型来预测含有 IOTP 的 recycled concrete 的 Ec。提出的模型 1 和 2 的决定系数 R2 分别为 0.977 和 0.978，表明预测精度很高。

提出的模型 1：
(14) Ec = 0.74fc0.99

提出的模型 2：
(15) Ec = 100 ? 0.003 + 139.55fc

此外，还研究了 εp 与 fc 之间的关系，以支持后续分析。由于大多数现有模型是为 S-C 开发的，因此采用了一个修改后的模型来提高 R1-I2-X 的预测精度。根据中国标准 GB/T 50010[45]，建立了 εp 与 fc 之间的数学关系。如图 10(c) 所示，提出的模型与实验数据非常吻合，R2 值为 0.990。

提出的模型：
(16) εp = 1.47 + 0.11fc

3.3. 本构模型的开发

开发适当的本构模型对于扩展 R1-I2-X 的工程应用范围以及进行数值模拟至关重要。对于 S-C 和 R1-C，已经提出了许多本构模型来描述单轴压缩下的变形行为。在这项研究中，比较了三种现有的模型，以选择最佳模型用于后续分析。在之前的文献中，使用了中国标准 GB/T 50010 模型和 Li 的模型来拟合 S-C 的本构模型，而 R1-C 通常使用 Xiao 的模型，如下所示。

中国标准 GB/T 50010 模型如下：
(17) σ = {mρcEcεcm?1 + ηm, 0<η<1ρcecεcαc(η?1)2 + η, η≥1; {ρc=σcpEcεcpη=εcεcp; {m=EcεcpEcεcp?σcpαc=0.157σcp0.785?0.905} li 等人提出的本构模型如下： (18) y={nxn?1 + xn,>
其中 α 和 β 是形状参数。

图 11 比较了 r1-i2-2 的实验应力-应变曲线与使用三种本构模型得到的预测结果。在上升阶段（图 11(a)），所有三种模型都表现出出色的预测能力，r2 值超过 0.990。然而，在下降阶段（图 11(b)），中国标准 gb/t 50010[45] 模型显著高估了实验结果，r2 值仅为 0.871。在这三种模型中，xiao 的模型[49] 在上升阶段提供了最佳拟合，而 li 的模型[48] 在下降阶段表现更好。考虑到整体性能和简洁性，本研究采用了 xiao 等人提出的本构模型[49] 来描述 r1-i2-x 的完整应力-应变行为。

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图 11. r1-i2-2 的实验结果与预测结果的比较，(a) 应力-应变曲线的上升阶段与三种现有本构模型，(b) 应力-应变曲线的下降阶段与三种现有本构模型。

r1-i2-x 的归一化应力-应变曲线如图 12 所示，r1-i2-x 的经验本构模型参数如图 13 所示。该模型在上升阶段与实验数据非常吻合，所有 r2 值均超过 0.992。下降阶段也得到了满意的拟合，r2 值大于 0.927。通常，xiao 模型的参数 α 表示曲线的斜率（初始弹性模量）。可以观察到参数 α 与 iotp 含量之间的关系基本上遵循弹性模量的规律。此外，由于所有归一化应力-应变曲线的上升阶段相似，参数 α 之间的差异很小，变异系数为 12.21%。从图 13(b) 可以看出，参数 β 与 iotp 含量之间存在非线性正相关，其拟合方程如下：
(20) β = 3.06?0.098ζ + 0.0067ζ2
拟合精度达到 0.9573。

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图 12. r1-i2-x 的归一化应力-应变曲线，(a) 含 iotp 含量 10%、20% 和 30% 的上升阶段归一化应力-应变曲线，(b) 含 iotp 含量 10%、20% 和 30% 的下降阶段归一化应力-应变曲线。

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图 13. r1-i2-x 的经验本构模型参数，(a) 参数 α，(b) 参数 β

3.3.4. 损伤本构模型的开发

当混凝土达到其轴向抗压强度时，应力软化立即发生。位于界面层 (itz) 内的微裂纹逐渐合并，加速宏观裂纹的形成，从而导致强度下降。这一过程对应于混凝土从弹性阶段过渡到损伤（失效）阶段。根据 lemaitre 的应变等效原理[50]，未受损材料中有效应力产生的应变等同于受损材料中名义应力产生的应变。该原理可以表示为：
(21) ε = σne = σec(1?dc)

其中 σn 和 σ 分别是名义应力和有效应力，ε 是应变，ec 是弹性模量，dc 是表示材料退化程度的损伤系数。

因此，损伤本构关系可以表示为：
(22) σ = ecε(1?dc)

为了更好地描述混凝土的损伤演化，krajcinovic 提出了一个基于微观结构的统计损伤模型。假设混凝土由许多平行的、均匀分布的弹性-柔性微杆组成。损伤是由于这些微杆的逐步断裂而产生的。当微杆中的压缩应变达到 ε 时，断裂区域表示为 a，可以推导出以下关系：
(23) ad(ε) = ∑i=1n h(ε?δi)dai
其中 δi 是第 i 个微杆的极限应变，dai 是相应的面积，n 是微杆的数量，h 是单位阶跃函数。

损伤系数 dc 可以定义为：
(24) dc(ε) = ad

当 n 趋近于无穷大时，dc(ε) 可以表示为：
(25) dc(ε) = ad(ε)a = 1
a = ∫01 h(ε?δi)dai = ∫0ε f(x)dx
其中 f(x) 是微杆极限应变的概率密度函数。

为了准确描述非均匀混凝土的力学行为，假设微杆的极限应变遵循 weibull 分布[40]，其概率密度函数由以下方程给出：
(26) f(x,a,b) = {ba?(xa)b?1?exp[?(xa)b], x≥0; 0,x<0
其中 a 是控制分布范围的尺度参数，b 是确定分布形式的形状参数。

将方程 (26) 代入方程 (25) 并进行积分，得到损伤变量 dc：
(27) dc(ε) = ∫0ε f(x)dx = 1?exp[?(εa)b]

将方程 (27) 代入方程 (22)，可以得到统计损伤本构模型：
(28) σ = ecεexp[?(εa)b]

为了确定参数 a 和 b，对方程 (28) 关于应变求导：
(29) dσdε = ecεexp[?(εa)b][1?b?(εa)b]

根据微分的数学定义，方程 (29) 表示应力-应变曲线的斜率。当 ε 趋近于零时，斜率对应于弹性模量 ec；当 ε 趋近于 εp 时，曲线达到拐点：
(30) {ε=0, dσdε = ecε = εp, dσdε = ecε[?(εa)b][1?b?(εa)b] = 0}

因此，参数 a 和 b 可以计算为：
(31) a = εp(b?1)b?1
(32) b = ln(ecεpσp)?1

由于在方程 (11) 中已经建立了 σp 与 iotp 含量 ζ 之间的关系，可以通过将 (11)、(31) 和 (32) 代入方程 (28) 来获得包含 iotp 含量的统计损伤本构模型：
(33) σ = f(ε,ζ)

通过将相应的参数代入方程 (33)，得到了 r1-i2-x 的预测应力-应变曲线。图 14 比较了实验和理论应力-应变曲线。包含 iotp 含量 ζ 的统计损伤本构模型表现出良好的预测精度，所有 r2 值均超过 0.902。参数 a 通常被定义为尺度参数，它与 σp 之间存在正相关。可以观察到参数 α 与 fcu 有类似的趋势，其最大和最小值分别为 0.003023（15% iotp 含量）和 0.002889（30% iotp 含量）。值得注意的是，考虑到理想状态和实际状态之间的误差，预测曲线与实验曲线之间的主要差异发生在损伤（峰值后）阶段。此外，混凝土试件中的随机骨料也可能对其产生影响。

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图 14. 应力-应变曲线的实验结果与理论结果比较，(a) r1-i2-1，(b) r1-i2-2，(c) r1-i2-3，(d) r1-i2-4，(e) r1-i2-5

3.4. 机器学习算法

3.4.1. 数据库和模型评估

为了开发高性能的预测模型并探索各种参数之间的非线性关系，使用了十一种机器学习算法来评估 r1-i2-x 的力学性能。这些算法包括随机树 (rt)[51]、xgboost[51]、随机森林 (rf)[51]、灰狼优化器与支持向量机 (gwo)[52]、线性回归 (lr)[53]、决策树 (dt)[54]、最小二乘提升 (lsboost)[55]、轻量化梯度提升机 (lightgbm)[56]、非线性回归 (nlr)[57]、多元线性回归 (mlr)[57] 和人工神经网络 (ann)[58]。基于之前的混凝土强度测试，使用实验和理论结果[25] 建立了一个包含 222 个数据点的 fcu 数据库，如补充材料中所述。实验数据和理论数据分别占数据库的 72% 和 28%。理论值是使用方程 (5) 和 (9) 将实验结果转换为 fct 和 fc 而得到的。本研究选择了十种不同比例的水泥、八种不同比例的 iotp、三种不同比例的 fa 和 ca、三种不同比例的水以及八种不同的养护天数作为关键输入特征来组合机器学习算法。由于 r1-i2-x 的机械行为独特，所有数据均来自室内机械测试，确保了数据库的一致性和完整性。为了提高模型的泛化能力，数据集被随机分为训练集和测试集，分别占数据的 80% 和 20%。同时，在各种算法中应用了 k 折交叉验证技术来防止过拟合，其中 k 值设置为 10[59]。

在这项研究中，采用了四种评估指标[51]来评估模型性能：决定系数 r2、平均绝对误差 (mae)、均方根误差 (rmse) 和目标函数值 (obj)。r2 值的范围是从 0 到 1，数值越高表示预测性能越好。相反，较低的 mae、rmse 和 obj 值对应于更高的模型精度。这些指标定义如下：
(34) r2 = 1?∑i=1n(yi?yi∧)2
(35) mae = 1/n∑i=1n|yi?yi∧|
(36) rmse = 1/n∑i=1n(yi?yi∧)2
(37) obj = (n_train/n_all×rmse_train + mae_train/r_train2 + 1) + (ntest/n_all×rmse_test + mae_test/r_test2 + 1)

其中 n 是数据点的数量，yi 是测量值，y∧i 是预测值，yi? 是测量值的平均值。

3.4.2. 立方抗压强度 fcu 的预测

图 15 比较了使用不同机器学习算法得到的 r1-i2-x 的实验和预测 fcu 值，并添加了 ±10% 的误差范围。经过 10 折交叉验证后，对于训练集，rt 模型表现出最佳性能，r2、rmse、mae 和 obj 值分别为 0.9875、1.5081、1.0766 和 1.4152。对于测试集，xgboost 算法获得了最佳结果，相应的值分别为 0.9763、2.1287、1.5389 和 1.4193。这些发现表明 xgboost 和 rt 都非常适合准确预测 r1-i2-x 的 fcu。相比之下，lr 模型的预测能力相对较差，训练集和测试集的 r2 值分别为 0.5679 和 0.6480。然后，表 7 和表 8 总结了 xgboost 算法的最佳超参数和各种算法的定量性能指标。

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图 15. r1-i2-x 的实验 vs 预测立方抗压强度 fcu，(a) xgboost，(b) rt，(c) lightgbm，(d) lsboost，(e) rf，(f) gwo，(g) dt，(h) nlr，(i) ann，(j) mlr，(k) lr

表 7. xgboost 算法的最佳超参数

算法 变量 值
xgboost n_estimators 300
learning_rate 0.3
max_depth 5
subsample 0.8
colsample_bytree 0.8
random_state 42

表 8. r1-i2-x 使用各种算法的性能指标

算法 r2 rmse mae obj
数据库数量 train test train test train test total
xgboost 0.987 0.976 1.516 1.228 1.084 1.538 1.419 1.774 52
rt 0.987 0.976 1.508 1.213 1.076 1.556 1.415 1.774 52
lightgbm 0.987 0.976 1.515 2.131 1.095 1.588 1.429 1.774 52
lsboost 0.985 0.974 1 + x]?1, x≥1} 其中 α 和 β 是形状参数。 图 11 比较了 r1-i2-2 的实验应力-应变曲线与使用三种本构模型得到的预测结果。在上升阶段（图 11(a)），所有三种模型都表现出出色的预测能力，r2 值超过 0.990。然而，在下降阶段（图 11(b)），中国标准 gb t 50010[45] 模型显著高估了实验结果，r2 值仅为 0.871。在这三种模型中，xiao 的模型[49] 在上升阶段提供了最佳拟合，而 li 的模型[48] 在下降阶段表现更好。考虑到整体性能和简洁性，本研究采用了 xiao 等人提出的本构模型[49] 来描述 r1-i2-x 的完整应力-应变行为。 下载：下载高分辨率图像（368kb） 下载：下载全尺寸图像 图 11. r1-i2-2 的实验结果与预测结果的比较，(a) 应力-应变曲线的上升阶段与三种现有本构模型，(b) 应力-应变曲线的下降阶段与三种现有本构模型。 r1-i2-x 的归一化应力-应变曲线如图 12 所示，r1-i2-x 的经验本构模型参数如图 13 所示。该模型在上升阶段与实验数据非常吻合，所有 r2 值均超过 0.992。下降阶段也得到了满意的拟合，r2 值大于 0.927。通常，xiao 模型的参数 α 表示曲线的斜率（初始弹性模量）。可以观察到参数 α 与 iotp 含量之间的关系基本上遵循弹性模量的规律。此外，由于所有归一化应力-应变曲线的上升阶段相似，参数 α 之间的差异很小，变异系数为 12.21%。从图 13(b) 可以看出，参数 β 与 iotp 含量之间存在非线性正相关，其拟合方程如下： (20) β=3.06?0.098ζ + 0.0067ζ2 拟合精度达到 0.9573。 下载：下载高分辨率图像（369kb） 下载：下载全尺寸图像 图 12. r1-i2-x 的归一化应力-应变曲线，(a) 含 iotp 含量 10%、20% 和 30% 的上升阶段归一化应力-应变曲线，(b) 含 iotp 含量 10%、20% 和 30% 的下降阶段归一化应力-应变曲线。 下载：下载高分辨率图像（429kb） 下载：下载全尺寸图像 图 13. r1-i2-x 的经验本构模型参数，(a) 参数 α，(b) 参数 β 3.3.4. 损伤本构模型的开发 当混凝土达到其轴向抗压强度时，应力软化立即发生。位于界面层 (itz) 内的微裂纹逐渐合并，加速宏观裂纹的形成，从而导致强度下降。这一过程对应于混凝土从弹性阶段过渡到损伤（失效）阶段。根据 lemaitre 的应变等效原理[50]，未受损材料中有效应力产生的应变等同于受损材料中名义应力产生的应变。该原理可以表示为： (21) ε=σnE = σec(1?dc) 其中 σn 和 σ 分别是名义应力和有效应力，ε 是应变，ec 是弹性模量，dc 是表示材料退化程度的损伤系数。 因此，损伤本构关系可以表示为： (22) σ=Ecε(1?Dc) 为了更好地描述混凝土的损伤演化，krajcinovic 提出了一个基于微观结构的统计损伤模型。假设混凝土由许多平行的、均匀分布的弹性-柔性微杆组成。损伤是由于这些微杆的逐步断裂而产生的。当微杆中的压缩应变达到 ε 时，断裂区域表示为 a，可以推导出以下关系： (23) ad(ε)=∑i=1N h(ε?δi)dai 其中 δi 是第 i 个微杆的极限应变，dai 是相应的面积，n 是微杆的数量，h 是单位阶跃函数。 损伤系数 dc 可以定义为： (24) dc(ε)=AD 当 n 趋近于无穷大时，dc(ε) 可以表示为： (25) dc(ε)=AD(ε)A = 1 a=∫01 h(ε?δi)dai=∫0ε f(x)dx 其中 f(x) 是微杆极限应变的概率密度函数。 为了准确描述非均匀混凝土的力学行为，假设微杆的极限应变遵循 weibull 分布[40]，其概率密度函数由以下方程给出： (26) f(x,a,b)={ba?(xa)b?1?exp[?(xa)b], x≥0; 0,x<0 其中 a 是控制分布范围的尺度参数，b 是确定分布形式的形状参数。 将方程 (26) 代入方程 (25) 并进行积分，得到损伤变量 dc： (27) dc(ε)=∫0ε f(x)dx=1?exp[?(εa)b] 将方程 (27) 代入方程 (22)，可以得到统计损伤本构模型： (28) σ=Ecεexp[?(εa)b] 为了确定参数 a 和 b，对方程 (28) 关于应变求导： (29) dσdε=Ecεexp[?(εa)b][1?b?(εa)b] 根据微分的数学定义，方程 (29) 表示应力-应变曲线的斜率。当 ε 趋近于零时，斜率对应于弹性模量 ec；当 ε 趋近于 εp 时，曲线达到拐点： (30) {ε=0, dσdε=Ecε = εp, dσdε=Ecε[?(εa)b][1?b?(εa)b] = 0} 因此，参数 a 和 b 可以计算为： (31) a=εp(b?1)b?1 (32) b=ln(Ecεpσp)?1 由于在方程 (11) 中已经建立了 σp 与 iotp 含量 ζ 之间的关系，可以通过将 (11)、(31) 和 (32) 代入方程 (28) 来获得包含 iotp 含量的统计损伤本构模型： (33) σ=f(ε,ζ) 通过将相应的参数代入方程 (33)，得到了 r1-i2-x 的预测应力-应变曲线。图 14 比较了实验和理论应力-应变曲线。包含 iotp 含量 ζ 的统计损伤本构模型表现出良好的预测精度，所有 r2 值均超过 0.902。参数 a 通常被定义为尺度参数，它与 σp 之间存在正相关。可以观察到参数 α 与 fcu 有类似的趋势，其最大和最小值分别为 0.003023（15% iotp 含量）和 0.002889（30% iotp 含量）。值得注意的是，考虑到理想状态和实际状态之间的误差，预测曲线与实验曲线之间的主要差异发生在损伤（峰值后）阶段。此外，混凝土试件中的随机骨料也可能对其产生影响。 下载：下载高分辨率图像（807kb） 下载：下载全尺寸图像 图 14. 应力-应变曲线的实验结果与理论结果比较，(a) r1-i2-1，(b) r1-i2-2，(c) r1-i2-3，(d) r1-i2-4，(e) r1-i2-5 3.4. 机器学习算法 3.4.1. 数据库和模型评估 为了开发高性能的预测模型并探索各种参数之间的非线性关系，使用了十一种机器学习算法来评估 r1-i2-x 的力学性能。这些算法包括随机树 (rt)[51]、xgboost[51]、随机森林 (rf)[51]、灰狼优化器与支持向量机 (gwo)[52]、线性回归 (lr)[53]、决策树 (dt)[54]、最小二乘提升 (lsboost)[55]、轻量化梯度提升机 (lightgbm)[56]、非线性回归 (nlr)[57]、多元线性回归 (mlr)[57] 和人工神经网络 (ann)[58]。基于之前的混凝土强度测试，使用实验和理论结果[25] 建立了一个包含 222 个数据点的 fcu 数据库，如补充材料中所述。实验数据和理论数据分别占数据库的 72% 和 28%。理论值是使用方程 (5) 和 (9) 将实验结果转换为 fct 和 fc 而得到的。本研究选择了十种不同比例的水泥、八种不同比例的 iotp、三种不同比例的 fa 和 ca、三种不同比例的水以及八种不同的养护天数作为关键输入特征来组合机器学习算法。由于 r1-i2-x 的机械行为独特，所有数据均来自室内机械测试，确保了数据库的一致性和完整性。为了提高模型的泛化能力，数据集被随机分为训练集和测试集，分别占数据的 80% 和 20%。同时，在各种算法中应用了 k 折交叉验证技术来防止过拟合，其中 k 值设置为 10[59]。 在这项研究中，采用了四种评估指标[51]来评估模型性能：决定系数 r2、平均绝对误差 (mae)、均方根误差 (rmse) 和目标函数值 (obj)。r2 值的范围是从 0 到 1，数值越高表示预测性能越好。相反，较低的 mae、rmse 和 obj 值对应于更高的模型精度。这些指标定义如下： (34) r2=1?∑i=1n(yi?yi∧)2 (35) mae=1/n∑i=1n|yi?yi∧| (36) rmse=1/n∑i=1n(yi?yi∧)2 (37) obj=(n_train/n_all×RMSE_train + mae_train r_train2 + 1) + (ntest n_all×rmse_test + mae_test r_test2 + 1) 其中 n 是数据点的数量，yi 是测量值，y∧i 是预测值，yi? 是测量值的平均值。 3.4.2. 立方抗压强度 fcu 的预测 图 15 比较了使用不同机器学习算法得到的 r1-i2-x 的实验和预测 fcu 值，并添加了 ±10% 的误差范围。经过 10 折交叉验证后，对于训练集，rt 模型表现出最佳性能，r2、rmse、mae 和 obj 值分别为 0.9875、1.5081、1.0766 和 1.4152。对于测试集，xgboost 算法获得了最佳结果，相应的值分别为 0.9763、2.1287、1.5389 和 1.4193。这些发现表明 xgboost 和 rt 都非常适合准确预测 r1-i2-x 的 fcu。相比之下，lr 模型的预测能力相对较差，训练集和测试集的 r2 值分别为 0.5679 和 0.6480。然后，表 7 和表 8 总结了 xgboost 算法的最佳超参数和各种算法的定量性能指标。 下载：下载高分辨率图像（917kb） 下载：下载全尺寸图像 下载：下载高分辨率图像（809kb） 下载：下载全尺寸图像 图 15. r1-i2-x 的实验 vs 预测立方抗压强度 fcu，(a) xgboost，(b) rt，(c) lightgbm，(d) lsboost，(e) rf，(f) gwo，(g) dt，(h) nlr，(i) ann，(j) mlr，(k) lr 表 7. xgboost 算法的最佳超参数 算法 变量 值 xgboost n_estimators 300 learning_rate 0.3 max_depth 5 subsample 0.8 colsample_bytree 0.8 random_state 42 表 8. r1-i2-x 使用各种算法的性能指标 算法 r2 rmse mae obj 数据库数量 train test train test train test total xgboost 0.987 0.976 1.516 1.228 1.084 1.538 1.419 1.774 52 rt 0.987 0.976 1.508 1.213 1.076 1.556 1.415 1.774 52 lightgbm 0.987 0.976 1.515 2.131 1.095 1.588 1.429 1.774 52 lsboost 0.985 0.974>
其中 α 和 β 是形状参数。

图 11 比较了 r1-i2-2 的实验应力-应变曲线与使用三种本构模型得到的预测结果。在上升阶段（图 11(a)），所有三种模型都表现出出色的预测能力，r2 值超过 0.990。然而，在下降阶段（图 11(b)），中国标准 gb/t 50010[45] 模型显著高估了实验结果，r2 值仅为 0.871。在这三种模型中，xiao 的模型[49] 在上升阶段提供了最佳拟合，而 li 的模型[48] 在下降阶段表现更好。考虑到整体性能和简洁性，本研究采用了 xiao 等人提出的本构模型[49] 来描述 r1-i2-x 的完整应力-应变行为。

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图 11. r1-i2-2 的实验结果与预测结果的比较，(a) 应力-应变曲线的上升阶段与三种现有本构模型，(b) 应力-应变曲线的下降阶段与三种现有本构模型。

r1-i2-x 的归一化应力-应变曲线如图 12 所示，r1-i2-x 的经验本构模型参数如图 13 所示。该模型在上升阶段与实验数据非常吻合，所有 r2 值均超过 0.992。下降阶段也得到了满意的拟合，r2 值大于 0.927。通常，xiao 模型的参数 α 表示曲线的斜率（初始弹性模量）。可以观察到参数 α 与 iotp 含量之间的关系基本上遵循弹性模量的规律。此外，由于所有归一化应力-应变曲线的上升阶段相似，参数 α 之间的差异很小，变异系数为 12.21%。从图 13(b) 可以看出，参数 β 与 iotp 含量之间存在非线性正相关，其拟合方程如下：
(20) β = 3.06?0.098ζ + 0.0067ζ2
拟合精度达到 0.9573。

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图 12. r1-i2-x 的归一化应力-应变曲线，(a) 含 iotp 含量 10%、20% 和 30% 的上升阶段归一化应力-应变曲线，(b) 含 iotp 含量 10%、20% 和 30% 的下降阶段归一化应力-应变曲线。

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图 13. r1-i2-x 的经验本构模型参数，(a) 参数 α，(b) 参数 β

3.3.4. 损伤本构模型的开发

当混凝土达到其轴向抗压强度时，应力软化立即发生。位于界面层 (itz) 内的微裂纹逐渐合并，加速宏观裂纹的形成，从而导致强度下降。这一过程对应于混凝土从弹性阶段过渡到损伤（失效）阶段。根据 lemaitre 的应变等效原理[50]，未受损材料中有效应力产生的应变等同于受损材料中名义应力产生的应变。该原理可以表示为：
(21) ε = σne = σec(1?dc)

其中 σn 和 σ 分别是名义应力和有效应力，ε 是应变，ec 是弹性模量，dc 是表示材料退化程度的损伤系数。

因此，损伤本构关系可以表示为：
(22) σ = ecε(1?dc)

为了更好地描述混凝土的损伤演化，krajcinovic 提出了一个基于微观结构的统计损伤模型。假设混凝土由许多平行的、均匀分布的弹性-柔性微杆组成。损伤是由于这些微杆的逐步断裂而产生的。当微杆中的压缩应变达到 ε 时，断裂区域表示为 a，可以推导出以下关系：
(23) ad(ε) = ∑i=1n h(ε?δi)dai
其中 δi 是第 i 个微杆的极限应变，dai 是相应的面积，n 是微杆的数量，h 是单位阶跃函数。

损伤系数 dc 可以定义为：
(24) dc(ε) = ad

当 n 趋近于无穷大时，dc(ε) 可以表示为：
(25) dc(ε) = ad(ε)a = 1
a = ∫01 h(ε?δi)dai = ∫0ε f(x)dx
其中 f(x) 是微杆极限应变的概率密度函数。

为了准确描述非均匀混凝土的力学行为，假设微杆的极限应变遵循 weibull 分布[40]，其概率密度函数由以下方程给出：
(26) f(x,a,b) = {ba?(xa)b?1?exp[?(xa)b], x≥0; 0,x<0
其中 a 是控制分布范围的尺度参数，b 是确定分布形式的形状参数。

将方程 (26) 代入方程 (25) 并进行积分，得到损伤变量 dc：
(27) dc(ε) = ∫0ε f(x)dx = 1?exp[?(εa)b]

将方程 (27) 代入方程 (22)，可以得到统计损伤本构模型：
(28) σ = ecεexp[?(εa)b]

为了确定参数 a 和 b，对方程 (28) 关于应变求导：
(29) dσdε = ecεexp[?(εa)b][1?b?(εa)b]

根据微分的数学定义，方程 (29) 表示应力-应变曲线的斜率。当 ε 趋近于零时，斜率对应于弹性模量 ec；当 ε 趋近于 εp 时，曲线达到拐点：
(30) {ε=0, dσdε = ecε = εp, dσdε = ecε[?(εa)b][1?b?(εa)b] = 0}

因此，参数 a 和 b 可以计算为：
(31) a = εp(b?1)b?1
(32) b = ln(ecεpσp)?1

由于在方程 (11) 中已经建立了 σp 与 iotp 含量 ζ 之间的关系，可以通过将 (11)、(31) 和 (32) 代入方程 (28) 来获得包含 iotp 含量的统计损伤本构模型：
(33) σ = f(ε,ζ)

通过将相应的参数代入方程 (33)，得到了 r1-i2-x 的预测应力-应变曲线。图 14 比较了实验和理论应力-应变曲线。包含 iotp 含量 ζ 的统计损伤本构模型表现出良好的预测精度，所有 r2 值均超过 0.902。参数 a 通常被定义为尺度参数，它与 σp 之间存在正相关。可以观察到参数 α 与 fcu 有类似的趋势，其最大和最小值分别为 0.003023（15% iotp 含量）和 0.002889（30% iotp 含量）。值得注意的是，考虑到理想状态和实际状态之间的误差，预测曲线与实验曲线之间的主要差异发生在损伤（峰值后）阶段。此外，混凝土试件中的随机骨料也可能对其产生影响。

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图 14. 应力-应变曲线的实验结果与理论结果比较，(a) r1-i2-1，(b) r1-i2-2，(c) r1-i2-3，(d) r1-i2-4，(e) r1-i2-5

3.4. 机器学习算法

3.4.1. 数据库和模型评估

为了开发高性能的预测模型并探索各种参数之间的非线性关系，使用了十一种机器学习算法来评估 r1-i2-x 的力学性能。这些算法包括随机树 (rt)[51]、xgboost[51]、随机森林 (rf)[51]、灰狼优化器与支持向量机 (gwo)[52]、线性回归 (lr)[53]、决策树 (dt)[54]、最小二乘提升 (lsboost)[55]、轻量化梯度提升机 (lightgbm)[56]、非线性回归 (nlr)[57]、多元线性回归 (mlr)[57] 和人工神经网络 (ann)[58]。基于之前的混凝土强度测试，使用实验和理论结果[25] 建立了一个包含 222 个数据点的 fcu 数据库，如补充材料中所述。实验数据和理论数据分别占数据库的 72% 和 28%。理论值是使用方程 (5) 和 (9) 将实验结果转换为 fct 和 fc 而得到的。本研究选择了十种不同比例的水泥、八种不同比例的 iotp、三种不同比例的 fa 和 ca、三种不同比例的水以及八种不同的养护天数作为关键输入特征来组合机器学习算法。由于 r1-i2-x 的机械行为独特，所有数据均来自室内机械测试，确保了数据库的一致性和完整性。为了提高模型的泛化能力，数据集被随机分为训练集和测试集，分别占数据的 80% 和 20%。同时，在各种算法中应用了 k 折交叉验证技术来防止过拟合，其中 k 值设置为 10[59]。

在这项研究中，采用了四种评估指标[51]来评估模型性能：决定系数 r2、平均绝对误差 (mae)、均方根误差 (rmse) 和目标函数值 (obj)。r2 值的范围是从 0 到 1，数值越高表示预测性能越好。相反，较低的 mae、rmse 和 obj 值对应于更高的模型精度。这些指标定义如下：
(34) r2 = 1?∑i=1n(yi?yi∧)2
(35) mae = 1/n∑i=1n|yi?yi∧|
(36) rmse = 1/n∑i=1n(yi?yi∧)2
(37) obj = (n_train/n_all×rmse_train + mae_train/r_train2 + 1) + (ntest/n_all×rmse_test + mae_test/r_test2 + 1)

其中 n 是数据点的数量，yi 是测量值，y∧i 是预测值，yi? 是测量值的平均值。

3.4.2. 立方抗压强度 fcu 的预测

图 15 比较了使用不同机器学习算法得到的 r1-i2-x 的实验和预测 fcu 值，并添加了 ±10% 的误差范围。经过 10 折交叉验证后，对于训练集，rt 模型表现出最佳性能，r2、rmse、mae 和 obj 值分别为 0.9875、1.5081、1.0766 和 1.4152。对于测试集，xgboost 算法获得了最佳结果，相应的值分别为 0.9763、2.1287、1.5389 和 1.4193。这些发现表明 xgboost 和 rt 都非常适合准确预测 r1-i2-x 的 fcu。相比之下，lr 模型的预测能力相对较差，训练集和测试集的 r2 值分别为 0.5679 和 0.6480。然后，表 7 和表 8 总结了 xgboost 算法的最佳超参数和各种算法的定量性能指标。

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图 15. r1-i2-x 的实验 vs 预测立方抗压强度 fcu，(a) xgboost，(b) rt，(c) lightgbm，(d) lsboost，(e) rf，(f) gwo，(g) dt，(h) nlr，(i) ann，(j) mlr，(k) lr

表 7. xgboost 算法的最佳超参数

算法 变量 值
xgboost n_estimators 300
learning_rate 0.3
max_depth 5
subsample 0.8
colsample_bytree 0.8
random_state 42

表 8. r1-i2-x 使用各种算法的性能指标

算法 r2 rmse mae obj
数据库数量 train test train test train test total
xgboost 0.987 0.976 1.516 1.228 1.084 1.538 1.419 1.774 52
rt 0.987 0.976 1.508 1.213 1.076 1.556 1.415 1.774 52
lightgbm 0.987 0.976 1.515 2.131 1.095 1.588 1.429 1.774 52
lsboost 0.985 0.974 1>fcu的显式表达式如下获得：(38){fcu=?159240.3117+0.0493?x2x4x6+0.0387?x2x3x6+0.0380?x1x4x6+0.0350?x12x6+0.0299?x1x3x6+0.0242?x1x2x6?0.0152?x42x6?0.0120?x3x4x6, x6<10；fcu=?318728.8672?0.3344?x12x6?0.3342?x2x62?0.1622?x22x6+0.1544?x12x6+0.0821?x4x62+0.0645?x3x62?0.0530?x1x4x6?0.0417?x1x3x6, 10≤x6<50；fcu=?20485.7557+0.0001?x2x4x6?0.0001?x1x4x6, 50≤x6}，其中x1是水泥的比例，x2是IOTP的比例，x3是FA的比例，x4是CA的比例，x5是水的比例，x6是养护天的比例。值得注意的是，该函数根据养护天被分为三个部分，三个部分的R2值分别为0.937、0.971和0.854。出色的R2值表明方程(38)具有预测fcu的可靠性。

3.4.3 敏感性分析
为了定量评估输入特征对预测fcu的影响，采用了Shapley Additive Explanations（SHAP）值来解释XGBoost模型。SHAP分析源于博弈论，并基于Shapley值，提供了一种稳健的特征重要性度量方法，揭示了输入变量与模型输出之间的非线性关系[61]。这种方法考虑了特征之间的非线性交互作用及其对预测响应的综合影响。在SHAP可视化中，对预测值的正面贡献用红色表示，负面贡献用蓝色表示。绝对SHAP值的大小反映了每个特征的相对重要性，较大的绝对值表示更大的影响。如图16所示，养护天对fcu的影响最大，其次是水泥、IOTP、FA、CA和水分。值得注意的是，IOTP对fcu的影响大于CA和FA，这表明了IOTP的重要性，并可用于混合比例的最优化设计。此外，IOTP的SHAP值倾向于负值（图16(a)），这意味着过量的IOTP含量带来的不利影响超过了适量的IOTP含量带来的正面影响，CA也观察到了类似的趋势。

3.4.4 性能预测
除了预测R1-I2-X的fcu之外，还使用XGBoost算法分析了其他四种机械性能，包括fct、fc、εp和Ec。基于先前建立的模型（(9)，(14)，(16)），构建了四个相应的数据库，这些数据库保持与fcu数据库相同的数据量和输入特征。图18比较了这些机械性能的实验值和预测值。结果表明，预测值与实验测量值之间有很好的一致性，训练集的R2值最小为0.9820，测试集的R2值为0.9694。这些发现证实了XGBoost算法在高精度预测R1-I2-X的机械性能方面的可行性和可靠性。

4. 结论
本研究系统地调查了含有不同量IOTP的再生混凝土的性能。首先，对R1-I2-X进行了三种类型的机械测试，并开发了相应的拟合模型。随后，详细分析了R1-I2-X的应力-应变行为，并提取了其关键机械特性。此外，建立了一个包含IOTP含量的最佳经验本构模型和一个理论统计损伤本构模型。最后，通过比较十一种算法，将实验结果与机器学习方法相结合，并使用SHAP值获得了特征重要性排名。还研究了水灰比(W/C)对机械性能的影响。主要结论总结如下：
(1) 随着IOTP含量的增加，fc最初增加然后减小。最佳IOTP替代比率ζ确定为15%，在此比率下，fcu的最大增加量为19.64%，相比R1-C。分裂抗拉强度fct也观察到类似的趋势，最大变化率和最小变化率分别为10.6%和-25.00%。提出了一个描述fct和fc之间关系的合适模型，R2值为0.974。R1-I2-2的fc显著高于R1-C，当W/C比率为0.36、0.42和0.50时，增加率分别为18.36%、7.55%和5.96%。另外，两个模型准确描述了fc和fc之间的关系，R2值分别为0.947和0.946。
(2) 随着IOTP含量的增加，应力-应变曲线弹性阶段的斜率逐渐变缓。在应力软化阶段，R1-I2-5的下降分支最为陡峭。W/C比率和IOTP含量对应力-应变行为的影响相似。从R1-I2-X的应力-应变曲线中得出了六个机械参数。与R1-C相比，εp、Ec、Es和εu的最大增强率分别为2.43%、29.22%、14.64%和8.33%。此外，建立了描述σp与IOTP含量ζ之间、Ec与fc之间以及εp与fc之间关系的模型，相应的R2值分别为0.973、0.977和0.990。
(3) 在单轴压缩状态下，通过比较三个现有模型选出了一个最佳的经验本构模型。R1-I2-X的归一化应力-应变曲线被准确拟合，上升阶段的R2值超过0.999，下降阶段的R2值超过0.927。同时，基于Weibull分布，开发了一个包含IOTP含量ζ的理论统计损伤本构模型，成功预测了R1-I2-X的完整应力-应变曲线，所有R2值均超过0.900。
(4) 在评估的十一个机器学习算法中，RT和XGBoost模型在预测R1-I2-X的fc方面表现出了出色的性能。基于SHAP分析，识别并验证了影响fcu的输入特征的相对重要性。此外，使用先前提出的模型构建了四个额外的数据库，并使用XGBoost算法成功结合了fct、fc、εp和Ec。

总之，这项研究系统地分析了含有不同IOTP含量的再生混凝土的机械性能，有助于减少尾矿堆积并响应环保要求。同时，建立的经验和理论模型也有助于理解混凝土的机械行为，并扩展了工程应用的可行性。此外，混凝土机械性能与机器学习模型的成功结合提供了一个先进的预测框架，进一步促进了可持续混凝土工程应用。在未来的工作中，将进行更深入的算法分析和实验数据的增加，以加强结论的普遍性。另外，所提出的本构模型可以作为与机器学习模型结合的物理信息。通过使用其他类型的R1-C或尾矿粉，可以验证这种研究方法的泛化能力。此外，还将对R1-I2-X的耐久性进行测试，并分析工程成本，以扩展工程的适用性和可行性。