综述：探索麦克斯韦流体的行为：方法、几何形状及应用的系统综述

《South African Journal of Chemical Engineering》：Exploring Maxwell Fluid Behavior: A Systematic Review of Methods, Geometries, and Applications

　　K. Sudarmozhi | Ali B.M. Ali | R. Raghavendran | Khayrilla Kurbonov | Gaganjot Kaur | Mirjalol Ismoilov | M.Ijaz Khan
印度泰米尔纳德邦金奈Saveetha医学与技术科学学院（SIMATS）Saveetha工程学院数学系

**摘要**
本文是对Maxwell流体在不同几何形态下流动的系统性、详尽研究，涵盖了拉伸片材、垂直板、倾斜板、圆柱体和通道等多种情况。共筛选出196篇相关文献，最终选取了133篇进行深入分析。研究内容涵盖了稳态和非稳态流动条件，并探讨了磁流体动力学（MHD）、热辐射、化学反应、多孔介质以及热生成等物理效应的影响。与侧重于单一几何结构或参数的现有文献不同，本研究通过结合多种几何形态、物理效应和求解方法进行了比较和批判性评估。分析表明，大多数研究集中在简化几何模型和单一参数效应上，而对多物理过程相互作用及实际几何结构的研究相对较少。研究表明，在多物理场相互作用研究领域存在明显不足。本文通过总结现有知识并指出亟待探索的方向，为Maxwell流体动力学的未来发展提供了指导，具有重要的工程和实际应用价值。

**1. 非牛顿Maxwell流体概述**
粘度是指流体抵抗运动的性质，所有流体（包括液体和气体）都具有粘度。例如，蜂蜜比水更黏稠，水比酒精更黏稠，冷水比热水更黏稠。发动机油的粘度不同，因此有不同的等级划分。图1展示了Maxwell流体在不同几何形状中的应用。粘度影响流体的变化（如通过摩擦产生热量）以及声波的传播（在开放环境中传播得更快）。若空气没有粘度，高尔夫球手击球距离会更远，这凸显了粘度在流动中的关键作用。常见的非牛顿流体包括聚合物、牙膏、番茄酱和沥青等，它们的粘度会随外力增大而变化。这类流体广泛应用于聚合物熔化过程（如人体内）、土壤挖掘、果汁制造以及某些油脂生产等领域。

**2. 非牛顿流体的分类**
非牛顿流体主要分为三种类型（微分型、积分型和速率型）（Maxwell, 1866）。速率型流体（如Maxwell液体、Oldroyd-B液体和Burger液体）仍受到广泛关注，因其同时具备弹性和记忆效应。Maxwell模型是最常用的描述这类流体流变行为的模型（Wilkinson, 1970），该模型结合弹簧和粘性流体特性，适用于多种应用场景（如聚合物和地壳）。

**3. Maxwell流体在不同几何形状下的流动**
分析Maxwell流体在稳态条件下在不同几何形状中的流动具有重要意义。复杂流体（如聚合物、生物流体和某些工业液体）常被建模为Maxwell流体，兼具粘性和弹性特性。预测实际系统中的流动行为需要深入理解各种结构（如通道、管道和多孔介质）中的流动规律，这对化学工程、生物医学技术和材料科学至关重要。流动动力学还受温度梯度、磁场和化学反应等影响，物理学家通过研究这些综合效应来优化系统性能。然而，现有方法通常假设稳态条件，而这并不总是现实世界的真实情况。因此，需要进一步研究非稳态条件下的Maxwell流体动力学。

**4. 特殊几何形状下的Maxwell流体流动**
许多研究聚焦于拉伸片材上的Maxwell流体流动（稳态和非稳态情况）。例如，从晶体生长到造纸领域均有应用案例。早期研究分析了恒定速度下拉伸片材的边界层流动（Sakiadis, 1961），后续工作扩展了对拉伸片材产生的流动分析（Crane, 1970），并探讨了不同物理条件下的传热和传质特性（Chen & Char, 1988; Datta et al., 1985; Gupta & Gupta, 1977）。然而，实际应用难度较大（如实验验证不足）。部分研究进一步探讨了流体的特殊特性（如Jamil et al., 2015; Jamil, 2016）。

**5. 结论与展望**
近期研究将Maxwell流体分析扩展到考虑复杂物理效应和多相相互作用的情况。例如，M. I. Afridi（2025）研究了考虑粘性耗散和化学反应的MHD纳米流体流动，G. Dharmaiah（2023）探讨了生物技术中的双层Maxwell纳米流体流动。尽管这些研究具有重要意义，但仍需更多实验验证以提高模型的适用性。此外，还有研究结合热磁效应分析了Maxwell流体在拉伸表面上的流动（Shateyi & Muzara, 2022；Kumar & Reddy, 2023）。总体而言，这些研究为Maxwell流体动力学提供了宝贵知识，但需进一步实验验证以提高模型适用性。马克斯韦尔流体在平板上的流动（稳态和非稳态情况）研究了在具有恒定温度的水平板上，随着MHD发展而产生的马克斯韦尔流体的热传递特性（Heyhat & Khabazi, 2011）。然而，这项研究的主要局限性在于假设了温度是恒定的，这限制了研究结果对更复杂和实际情况的适用性。后续研究进一步调查了与连续对流的平板辐射表面相关的MHD马克斯韦尔流体流动及其动态特性（Mustafa et al., 2015）。该研究关注的是一个不断移动的平板，这本身是一个限制因素。当然，马克斯韦尔流体行为的各个方面也不应被忽视，伊朗研究团队（2023年）探讨了马克斯韦尔流体在水平板上的流动，包括滑移条件和注入/抽吸参数。他们的分析中识别出辐射效应、热生成和速度-滑移条件等影响因素，并证明了这些因素对该复杂现象的重要性。不过，这项研究的局限性在于注入/抽吸参数是恒定的，可能无法反映动态条件。

1.5. 马克斯韦尔流体在非稳态水平板上的流动（稳态和非稳态情况）科学家们研究了覆盖在移动板上的特殊流体，但他们未能完全理解其背后的物理机制（Zheng, 2011）。随后，另一组研究人员进一步发展了这项工作，研究了随着板面伸缩而变化的流体和热行为（Bai et al., 2021）。他们发现了流体运动和热传递的机制，但并未深入探讨板边变化对流动的影响。这些研究有助于我们更好地理解特殊流体和热传递的行为，从而用于工程设计。

1.6. 马克斯韦尔流体在垂直板上的流动（稳态和非稳态情况）研究人员考察了马克斯韦尔粘弹性流体在垂直板上的流动特性及其能量传递（Zhao et al., 2016）。他们绘制了边界层中复杂的能量传递过程，展示了自然对流条件下粘弹性流体的行为。不过，他们没有充分考虑分数热传导的影响。图3展示了马克斯韦尔流体在多孔通道中的流动情况。后来，另一组研究基于这一基础，使用新的时间分数Cattaneo-Christov模型，研究了类似流体在垂直板上的流动和能量传递（Zhang et al., 2018）。通过考虑分数热传导的特性，他们得出了关于这些流体非牛顿性质的有趣结论，但未能通过实验验证这些理论结果。还有人研究了特殊流体（分数化马克斯韦尔流体）在倾斜板上的流动（Ramzan et al., 2022），考虑了流体中的热量扩散和粒子传输以及流体与板面的相互作用。尽管如此，这些研究并未完全将结论应用于实际场景。

1.7. 马克斯韦尔流体在非稳态垂直板上的流动（稳态和非稳态情况）研究人员研究了马克斯韦尔粘弹性流体在垂直板上的流动和能量传递（Zhao et al., 2016）。他们揭示了自然对流条件下粘弹性流体的行为，但未充分考虑分数热传导的效应。在此基础上，另一组研究人员开发了时间分数Cattaneo-Christov模型，用于研究类似液体在垂直表面上的流动和能量传递（Zhang et al., 2018）。他们通过识别分数热传导的特性，获得了关于这些流体非牛顿性质的关键见解，但未进行实验验证。另有研究探讨了特殊流体（分数化马克斯韦尔流体）在倾斜板上的流动（Ramzan et al., 2022），考虑了热量和粒子扩散以及流体在板面上的运动，提供了流体流动与板面相互作用的详细见解。

1.8. 马克斯韦尔流体在圆柱上的流动（稳态和非稳态情况）近年来，关于圆柱上流体流动的研究越来越受到关注，其应用范围广泛，涉及多个行业。例如，热交换器管设计和烟囱结构开发用于电子设备冷却。实验研究和数值分析广泛展开，以探讨流体流动对圆柱形物体的影响，这些研究应用于电线制造、冶金挤出、石油精炼、生产玻璃圆柱产品等领域。早期研究开始探讨圆柱形物体周围的流动（Crane, 1975），以及粘性液体在静止液体中流过膨胀圆柱体的现象（Wang, 1988）。分析表明，滑移会显著降低流速和剪切应力（Wang & Ng, 2011）。膨胀/收缩圆柱体引起的流动和热传递特性以及停滞点效应显示，在曲率参数较高时热传递更强（Markin et al., 2017）。还对磁Eyring-Powell纳米液体在膨胀圆柱体上的辐射流动进行了研究（Hayat et al., 2017），并数值研究了热分层流动和磁流体动力学（MHD）对Casson液体的影响（Rehman et al., 2017）。基于Buongiorno关系，建立了二维流动的数学模型，以可视化热泳机制和布朗运动的影响（Khan et al., 2019）。此外，还研究了马克斯韦尔流体在旋转双方向圆柱体上的混合对流流动，考虑了焦耳加热和内部热源/汇的影响（Islam et al., 2020）。还有研究探讨了马克斯韦尔流体在可伸缩直旋转圆柱体上的边界层流动（Khan et al., 2020），以及生物对流流体在多孔介质中膨胀圆柱体上的热性质，包括化学反应产生的活化能效应（Khan et al., 2020）。所有这些研究加深了我们对马克斯韦尔粘弹性流体流动及其热传递机制的理解，为工程设计提供了重要依据。

1.9. 马克斯韦尔流体在非稳态圆柱上的流动（稳态和非稳态情况）研究了马克斯韦尔流体在非稳态扩展圆柱体上的流动和能量传递（Islam et al., 2021）。虽然揭示了粘弹性流体在自然对流中的行为，但未充分考虑分数热传导的效应。基于此研究，另一组研究人员开发了时间分数Cattaneo-Christov模型，用于研究类似液体在垂直表面上的流动和能量传递（Zhang et al., 2018）。他们通过识别分数热传导的特性，获得了关于这些流体非牛顿性质的关键见解，但未通过实验验证理论结果。另有研究探讨了特殊流体（分数化马克斯韦尔流体）在倾斜板上的流动（Ramzan et al., 2022），考虑了热量和粒子扩散以及流体在板面上的运动，提供了流体流动与板面相互作用的详细信息。

1.10. 马克斯韦尔流体在圆柱上的流动（稳态和非稳态情况）近年来，关于圆柱上流体流动的研究日益增多，其应用领域广泛。研究表明，流体流动对多种行业都有重要影响，如电子设备冷却、热交换器设计等。实验、分析和数值研究广泛开展，以了解流体流动对圆柱形物体的影响。早期研究始于对拉伸圆柱体周围流动的探讨（Crane, 1975），随后研究了粘性液体在静止液体中流过膨胀空心圆柱体的现象（Wang, 1988）。分析表明，滑移会显著降低流速和剪切应力（Wang & Ng, 2011）。膨胀/收缩圆柱体引起的流动和热传递特性表明，在高曲率参数下热传递增强（Markin et al., 2017）。还研究了磁Eyring-Powell纳米液体在膨胀圆柱体上的辐射流动（Hayat et al., 2017），以及热分层流动和磁流体动力学（MHD）对Casson液体的影响（Rehman et al., 2017）。基于Buongiorno关系，建立了二维流动的数学模型，以可视化热泳机制和布朗运动的影响（Khan et al., 2019）。还研究了马克斯韦尔流体在旋转双方向圆柱体上的混合对流流动，考虑了焦耳加热和内部热源/汇的影响（Islam et al., 2020）。此外，还研究了马克斯韦尔流体在可伸缩直旋转圆柱体上的边界层流动（Khan et al., 2020），以及生物对流流体在多孔介质中膨胀圆柱体上的热性质，包括化学反应产生的活化能效应（Khan et al., 2020）。这些研究进一步加深了我们对流体动力学和热传递机制的理解。

1.11. 马克斯韦尔流体在非稳态圆柱上的流动（稳态和非稳态情况）研究了马克斯韦尔流体在非稳态扩展圆柱体上的流动和能量传递（Islam et al., 2021）。虽然揭示了粘弹性流体在自然对流中的行为，但未充分考虑分数热传导的效应。基于此研究，另一组研究人员开发了时间分数Cattaneo-Christov模型，用于研究类似液体在垂直表面上的流动和能量传递（Zhang et al., 2018）。他们通过识别分数热传导的特性，获得了关于这些流体非牛顿性质的关键见解，但未进行实验验证。另有研究探讨了特殊流体（分数化马克斯韦尔流体）在倾斜板上的流动（Ramzan et al., 2022），考虑了热量和粒子扩散以及流体在板面上的运动。

1.12. 马克斯韦尔流体在指数衰减薄片上的流动（稳态和非稳态情况）研究了马克斯韦尔流体在多孔介质中围绕指数衰减薄片的流动和能量传递（Singh & Shweta, 2014）。考虑了非均匀热源和热导率的变化，以及多孔介质对能量传递的影响。不过，这种分析的一个缺点是对不同行业边界条件的关注不足。在此基础上，另一项研究探讨了马克斯韦尔流体在指数连续移动薄片上的流动和能量传递（Abbas et al., 2014），同时考虑了扩展表面的动态特性。另有研究观察了马克斯韦尔流体在薄片上的流动和热泳现象（Dawar et al., 2021），并考虑了磁场、焦耳加热、热辐射、热泳和布朗运动的影响。另一项研究分析了二阶滑移效应对垂直于指数扩展薄片运动的马克斯韦尔流体的影响（Abbas et al., 2023）。

1.13. 马克斯韦尔流体在非稳态指数扩展薄片上的流动（稳态和非稳态情况）详细研究了马克斯韦尔流体在非稳态指数扩展薄片上的流动（Wang et al., 2022），考虑了化学反应和滑移条件的影响。然而，该研究的局限性在于未充分考虑所有可能的边界条件，可能导致结果不准确。在此基础上，另一项研究探讨了由化学反应驱动的非稳态扩展表面引起的马克斯韦尔流体流动（Yasir et al., 2023）。研究了流体动力学及其对热传输现象的影响，但未充分分析流体特性。此外，还利用Cattaneo-Christov的双扩散理论研究了马克斯韦尔液体运动中的热和质量传递（Subbarao et al., 2023）。讨论了马克斯韦尔液体沿长圆柱体的非周期性二维流动，考虑了热导率和速度-滑移效应。

1.14. 马克斯韦尔流体在指数衰减薄片上的流动（稳态和非稳态情况）研究了马克斯韦尔流体在多孔介质中的指数衰减薄片上的流动和能量传递（Singh & Shweta, 2014）。考虑了非均匀热源和热导率的变化，以及多孔介质的影响。不过，这种分析的一个缺点是对边界条件的关注不足。后续研究探讨了马克斯韦尔流体在指数连续移动薄片上的流动和能量传递（Abbas et al., 2014），同时考虑了扩展表面的动态特性。另有一项研究观察了马克斯韦尔流体在薄片上的流动及热泳现象（Dawar et al., 2021），并考虑了磁场、焦耳加热、热辐射、热泳和布朗运动的影响。

1.15. 马克斯韦尔流体在稳态通道中的流动（稳态和非稳态情况）将马克斯韦尔流体应用于二维边界层流动的研究中，其中包括了渗透性通道和化学反应（Hayat & Abbas, 2008）。讨论了多孔介质和化学反应对流体流动的影响。然而，该研究的局限性在于未能充分涵盖非牛顿流体的行为，这也可能影响研究结果。在相关研究中，分析了马克斯韦尔流体在平行板通道中的流动和能量交换（Rahbari et al., 2018），尽管假设为稳态，但实际上可能不完全反映瞬态行为。

1.16. 马克斯韦尔流体在非稳态通道中的流动（稳态和非稳态情况）研究了使用马克斯韦尔流体的水流和能量传递（Khan et al., 2019），包括Cattaneo和Christov开发的能量通量模型，不同于传统的研究方法。然而，这项研究的主要弱点在于没有充分考虑可变磁场强度及其对流场模式的影响。在这项研究的后续工作中，Kashyap等人（2019年）检验了Soret扩散和非均匀磁导率对麦克斯韦流体在通道中非稳态MHD流动动力学的影响。当前的论文使我们了解了由于磁场、温度梯度和流体粘度变化导致的流体流动的复杂性。尽管如此，其中一个最显著的缺点是对不同磁导率下流体流动长期稳定性的讨论不够充分。在另一项研究中，Fetecau等人（2021年）推导出了描述不可压流体在平板通道上随时间变化运动的速度场和剪切应力场的无量纲表达式。

### 2. 综述方法
本研究采用了系统综述的方法，以提高透明度和可重复性。Scopus、Web of Science、ScienceDirect和Google Scholar是进行文献调查的主要科学数据库。在搜索过去几十年发表的相关文章时，使用了包括“麦克斯韦流体”、“非牛顿流体”、“MHD”、“热传递”、“拉伸片”、“多孔介质”以及数值和分析方法在内的多种术语组合。最终共获得了196篇文章。这些文章的筛选基于相关性、质量和对麦克斯韦流体流动的直接适用性。纳入标准包括在不同几何形状（平板、圆柱和通道）中麦克斯韦流体行为的研究，考虑了物理效应（磁场、热辐射和化学反应），并使用了分析或数值解法。方法学不明确、重复性和相关性较低的论文被排除在外。经过这一严格的筛选过程后，选出了133篇文章进行进一步分析。

### 3. 分析方法和数值方法
在工程学的许多领域中，数学公式对于解释和推导物理现象至关重要，例如流动过程中的现象。这些表达式大多代表常微分方程（PDEs），这些方程隐含了物理系统的非线性。图4比较了不同的数学技术。通常需要特殊方法来解决这些方程，大量资源被用于开发能够分析和数值求解这类问题的特殊方法。扰动方法，如同伦扰动方法、同伦分析方法、Adomian分解方法、变分迭代方法、差分变换方法、配置方法、最优同伦分析方法和最小二乘法（LSM），可以用来获得非线性系统动力学的分析见解。然而，这些方法的显著缺点是它们非常复杂，在没有简化假设的情况下很难应用于高度非线性的系统。

### 3.1. 扰动方法
在这方面，人们开发了一种扰动解，并选择麦克斯韦模型来更详细地探索粘弹性对薄膜润滑剂流动的影响（Zhang等人，2005年）。这项研究中的假设可能导致模型无法捕捉到实际条件下润滑的复杂性。图5比较了数值方法和分析方法。在另一项研究中，通过扰动方法研究了称为麦克斯韦模型的不可压非牛顿流体在两根同轴管之间的环形部分中的蠕动行为（Husseny等人，2014年）。尽管这项研究提供了有价值的信息，但它未能考虑到不同管几何形状的影响，这可能会影响研究结果的普遍适用性。为了支持这一研究，还使用扰动技术对小半径管道上麦克斯韦流体的蠕动流动进行了理论研究（Abbasi等人，2016年）。然而，为了简化扰动机制所做的近似可能会忽略某些受限几何形状下的复杂动态特征。在另一个案例中，使用参数化扰动方法获得了轴对称通道中具有上多孔壁和辐射的2D麦克斯韦流体能量传输问题的解析解（Abbas等人，2018年）。尽管提供了相关信息，但对壁的多孔性和热特性的假设可能会限制这项研究的应用范围。

### 3.2. 同伦扰动方法（HPM）
继续这一方向的研究，使用同伦扰动方法（HPM）研究了麦克斯韦流体在薄膜上的流动（Kashif等人，2021年）。然后通过考虑压力梯度项，制定了麦克斯韦动量和能量方程。然而，这里没有考虑在流动的极端条件下可能出现的非线性效应。通过数值分析研究了三维空间内旋转的扩展薄膜上麦克斯韦流体的动力学特性和温度分布特征（Fallah Najafabadi等人，2023年）。这项研究揭示了流体力学、热传递及其结构影响之间的动态平衡视角。尽管如此，一个缺点是对可变物理特性的关注不足，这可能会影响一般性结论的程度。研究人员利用HPM获得了关于粘弹性流体在各种几何形状和环境条件下行为的宝贵见解。

### 3.3. 同伦分析方法
使用同伦分析方法（HAM）（Abbas等人，2006年）解析研究了麦克斯韦流体在通道中的二维磁流体动力学边界层流动。然而，采用稳态假设也是这项研究的局限性，因为它限制了其在涉及瞬态行为的实际应用中的适用性。这项工作详细探讨了具有二维边界层的通道中流体的流动，同时考虑了化学反应。通过应用HAM，提供了关于化学反应如何影响流体流动特性的信息，从而有助于理解受限几何形状中的反应性流动（Hayat等人，2008年）。尽管取得了这些成果，但研究假设的反应速率可能无法准确反映实际发生的化学过程。另一项研究进行了数值研究，探讨了麦克斯韦流体经过突然拉伸膜的非稳态磁流体动力学流动（Alizadeh-Pahlavan & Sadeghy，2009年）。研究发现，使用参数化扰动方法获得了2D麦克斯韦流体在轴对称通道和辐射之间的能量传输问题的解析解（Abbas等人，2018年）。尽管提供了信息，但对壁多孔性和热特性的假设可能会限制这项研究的适用性。

### 3.4. 其他方法
Fetecau等人（2021年）尝试基于对流麦克斯韦模型获得非牛顿润滑中的扰动解。这项研究检验了润滑薄膜流动的本质以及粘弹性在其中的作用。然而，这项研究的局限性在于所考虑的参数变化范围有限，这可能会限制结果在其他条件下的适用性。为了进一步讨论扰动方法，Iqbal等人（2021年）使用扰动技术计算了对称圆柱内麦克斯韦流体的蠕动流动。尽管这项工作很有价值，但在边界条件变化较大或几何形状更复杂的情况下可能表现不佳。

### 3.5. 其他数值方法
继续这一方向的研究，Kashif等人（2021年）使用同伦扰动方法研究了麦克斯韦流体在薄膜上的流动。然后，通过制定考虑压力梯度项的麦克斯韦动量和能量方程。然而，这里没有考虑在流动的极端条件下可能出现的非线性效应。Fallah Najafabadi等人（2023年）通过数值分析研究了三维空间内旋转的扩展薄膜上上层对流麦克斯韦流体的复杂性质。尽管这项研究提供了有价值的见解，但作为缺点，它可能忽略了可变物理特性对普遍性结论的影响。

综上所述，这些研究利用不同的方法探讨了麦克斯韦流体在各种物理条件下的行为和流动特性，为后续研究提供了坚实的基础。热效应没有被考虑在内，这也可能影响流体的流变性能。使用HAM方法，得到了相同的解决方案，并获得了关于非稳态条件下纳米流体流动热行为的重要信息（Jawad等人，2021年）。该研究的局限性在于忽略了Welan树胶溶液的非牛顿效应，这可能影响了研究结果的准确性。所有这些联合研究工作增强了人们对同伦分析方法的理解，该方法用于解决传热问题、模拟特殊流体行为和化学反应。从这些研究中获得的见解将在涉及粘弹性流体、反应性流动和多孔介质的工程系统的适当设计和运行中发挥关键作用。

3.4. 最优同伦分析方法
同伦渐近方法（OHAM）被用来获得多孔介质方程及其边界条件的近似解。然而，使用OHAM可能会引入一些近似，从而影响解的准确性（Marinca等人，2014年）。为了进一步推进这项研究，另一项研究对Maxwell流体在拉伸表面上的混合对流3D边界层流动进行了理论分析。使用Cattaneo-Christov能量通量模型来更精确地捕捉热现象。尽管如此，较低的OHAM猜测指标可能会影响研究结果的准确性（Saleem等人，2017年）。在另一篇类似的出版物中，OHAM被用来研究三维Maxwell流体在指数型拉伸表面上的热和质量传递特性。OHAM有助于解释流体流动、热传递和纳米粒子扩散之间的复杂相互作用，这对于设计热管理应用和材料生产非常有用。然而，该方法所基于的近似可能限制了结果的准确性（Ali等人，2019年）。为了深入理解非稳态流体动力学过程，研究了粘弹性Maxwell流体在正弦变化半径圆柱体周围的非稳态三维停滞点流动。

在其他研究中，描述了具有强变扩散率的平行板之间的时间压缩流中的热和质量传递现象。然而，OHAM的近似可能影响了这些观察结果（Obalalu，2021年）。在这些研究中使用OHAM使研究人员能够获得关于复杂系统中流体流动、热量和质量传递的信息。但是，使用OHAM作为近似方法可能会影响结果的准确性。这些观察结果对于改进涉及复杂流体动力学和热力学过程的工程结构及系统的设计和运行效率至关重要。

3.5. 拉普拉斯变换方法
研究了具有热转换效应的广义Maxwell流体的非稳态MHD流动（Liu & Guo，2016年）。通过拉普拉斯变换技术，研究了电磁效应和热辐射之间的复杂相互作用。尽管如此，该研究存在一些局限性，包括假设了理想条件并简化了边界条件。还考虑了Maxwell流体在复杂流体流动情景中的质量和能量传递（Sehra等人，2022年）。特别是关注了垂直于平面的平板上的非稳态流动、其平面内的交替流动以及指数加热。然而，该研究的局限性在于假设了理想条件，因此研究结果可能不适用于现实世界的情况。为了理解流体流动和能量传递过程的瞬态行为，使用拉普拉斯变换技术使研究人员能够更详细地了解系统的瞬态响应行为。从这些研究中获得的知识对于实现涉及粘弹性流体和热过程的工程系统的最佳设计和运行非常重要。

3.6. Adomian分解方法
研究了Maxwell流体通过多孔介质的非稳态流动的复杂性（Hassan & Fenuga，2011年）。使用Adomian分解方法（ADM）获得了精确解。尽管这些发现有助于深入了解多孔环境中的流体动力学，但ADM在研究中的应用可能限制了其在更复杂或非线性系统中的应用，因为这种方法标准化了一些线性关系并需要简化。在此基础上，建立了不可压缩静止的Maxwell液体向螺旋螺杆流变仪（HSR）混合的理论概述（Zeb等人，2016年）。使用ADM分析了复杂流体动力学问题的解，为流体力学中的非线性问题提供了解析解，从而洞察了粘弹性流体在不同流动中的行为。由于这些见解，该方法的应用性得到了提高。

3.7. R-K方法
使用射击法和4阶Runge-Kutta方法研究了UMC流体在拉伸片上的边界层中的磁流体动力学流动和能量传递问题（图6显示了流程图）。研究了流体力学、电磁效应和热传递之间的相互作用/相互影响。尽管这些研究提供了关于磁场和拉伸表面下粘弹性流体行为的宝贵信息，但其局限性也很显著，包括不同边界条件和流体性质的影响（Subhas等人，2012年）。对复杂流体动力学的知识的其他贡献包括对质量传递分析中现象的解释，参考了MHD Maxwell流体在拉伸表面上的数据依赖性2D流动。使用射击系统和4阶Runge-Kutta方法进行了研究。然而，这项研究未能确定不同磁场强度下的变化程度（Mukhopadhyay & Gorla，2012年）。

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图6. 流程图。
使用4阶Runge-Kutta方法和射击系统研究了流体性质（随时间和地点变化）、滑移速度和热辐射对Maxwell流体在非稳态拉伸片上的流动和能量传递的影响。尽管进行了更深入的研究，但该研究未能考虑非线性辐射的影响（Waheed，2016年）。使用热泳作用和Cattaneo-Christov理论对不可压缩Maxwell流体模型进行了数值研究（Shehzad等人，2020年）。在这项平行研究中，作者调查了Maxwell流体在单向拉伸表面上的旋转流动中的热和质量传递过程的影响。通过使用射击程序和Runge Kutta方案，获得了关于流体流动和传输过程的复杂行为的结果（Ramaiah等人，2020年）。为了考虑辐射的影响，分析了流体在单向表面上的粘性Maxwell流体流动。基于Runge-Kutta-Fehlberg系统和射击方法的应用被应用于线性和非线性辐射问题（Gangadhar等人，2021年）。

3.8. 光谱松弛方法
研究了MHD流动中的熵产生和Maxwell流体中的热传递。使用光谱松弛方法进行了非常仔细的分析（Shateyi等人，2014年）。然而，该研究的缺点是对其可变热特性的分析不够详细。因此，熵生成的结果在实践中可能没有得到应有的准确性。通过研究下降表面上的对流和滑移条件，全面考察了Maxwell流体的流动。使用光谱局部线性化方法仔细模拟了流体动力学、热传递和表面行为之间的复杂相互作用（Sithole等人，2017年）。这项研究的局限性在于它仅考虑了稳态条件，因此可能无法准确描述纳米流体的瞬态性能。Gangadhar等人（2018年）使用Cattaneo-Christov能量通量概念和通过光谱松弛方法获得的局部相似解来洞察拉伸变形流体的热动力学。该研究的局限性在于假设了恒定粘度。通过光谱松弛方案分析流体流动和传输动力学，可以实现复杂传输行为的数值结果（Gangadhar等人，2021年）。该研究的局限性在于它简化了多孔介质特性的分析，从而影响了结果在各种工业场景中的适用性。使用数学模型解决了边界层覆盖中非线性对流和二次非傅里叶热通量的问题。也可以使用光谱松弛方法开发可靠的计算方案来研究热传递过程（Bhatti等人，2022年）。

3.9. 有限差分方法
在本研究中，探索了由于吸力和热生成而在楔形板上流动的Maxwell流体的流动动力学，并使用基于Cattaneo-Christov热通量模型的有限差分方法获得了问题的解（Asmadi等人，2019年）。另一项与本研究类似的研究关注了Maxwell流体在片状物体上的滑移效应和停滞点流动（Ibrahim和Negera，2020年）。该数学模型用于描述在两个以拉伸速度旋转的圆盘之间的非牛顿Maxwell流体的运动。使用有限差分计算得出了数值解（Negi等人，2020年）。随后，讨论了速度变化和温度对多孔介质中分数Maxwell流体（FMF）在倾斜板上的二维磁阻流动的影响。采用有限差分方法数值解决了所属问题（Saqib等人，2020年）。使用有限差分方法获得了粘弹性流体在复杂流动条件下的瞬态行为信息，并将其应用于边界层控制和热传递优化。

3.10. 有限元方法
还提出了针对UCM流体的最小二乘有限元方法的思想。这种新方法为研究粘弹性流体的复杂流动特性提供了一个坚实的框架，从而洞察了它们在不同条件下的行为。然而，这项研究的主要局限性在于它没有仔细与实验结果进行对比评估，这可能影响了结果的准确性（Zhou & Hou，2015年）。在另一项研究中，调查了MHD时变Maxwell流体在具有孔洞的非可拉伸半球上的多重滑移效应。通过包括热扩散、热辐射和化学反应，将建模方程简化为适当形式，并使用有限元方法进行了数值求解（Ali等人，2019年）。使用Cattaneo-Christov双曲热通量方程进行了热传递分析，有助于解释相关现象。基于PG-FEM和射击方法的数值方案被用来深入了解不同条件下的热传递现象（Khan等人，2022年）。有限元方法（FEM）被用来研究Maxwell纳米流体在板材上流动时的热传递和质量传递特性。数值模拟（Nawaz等人，2022年）考虑了辐射、化学反应和粘性耗散。3.11. 现有研究的局限性总结广泛的文献回顾显示，在Maxwell流体的研究中总是存在多个局限性。缺乏实验验证是一个显著的问题，因为大多数现有工作依赖于分析和数值方法。这限制了研究成果直接应用于实际工程系统的能力。使用简化的假设，如恒定的流体特性、稳态条件和简化边界条件，是另一个常见的局限性。尽管这些假设可以在数学上被使用，但它们并不总是能够捕捉到实际系统的复杂性。此外，大多数研究只关注非相互作用的物理效应，如磁场或热辐射，而没有考虑它们之间的相互作用。此外，普遍采用的简化几何形状（例如拉伸板和平板）限制了将发现外推到更复杂情况的能力。这些重复性的限制表明，未来的研究应该专注于实验验证、多物理场建模和真实的几何配置，以提高Maxwell流体研究的实际意义。4. 研究空白目前，在Maxwell流体流动的研究中存在一个主要的空白，因为之前的研究没有同时考虑磁流体力学（MHD）力、辐射、热生成、多孔介质和熔化热效应、牛顿加热机制、Soret效应和Dufour效应对各种几何形状（如垂直板、平板、水平平行板和倾斜板）的影响。大部分研究都是针对孤立效应或狭窄几何形状进行的，而不是在许多相互作用现象的背景下进行的。图7总结了这方面的研究空白，本研究旨在通过探索这些几何形状中Maxwell流体的流动和热传递特性，并将这些问题结合到一个研究中来解决这一空白。下载：下载高分辨率图片（221KB）下载：下载全尺寸图片图7. 总结图表。4.1. 对现有文献的批判性分析对所审查的研究进行批判性分析表明了Maxwell流体研究中的重要模式和研究空白。最引人注目的例子之一是，拉伸板和平板几何形状被广泛研究，主要是因为它们的数学公式和建模比较简单。更复杂和现实世界的几何形状，如Riga板、弯曲通道和生物医学流动域（包括动脉），相对较少被探索。这意味着在简化配置中存在高度的研究偏见，现有的发现不能直接应用于实际系统。关于物理效应，大多数研究关注个别参数，如磁场（MHD）、热辐射或化学反应，而不是它们的联合或耦合作用。诸如热辐射、材料属性变化、熔化热传递的变化以及多个过程之间的相互作用（例如MHD与Soret-Dufour效应）等非线性效应经常被忽略或仅部分考虑。此外，大量的文献仅限于稳态研究，而瞬态和时间依赖性研究相对较少。另一个可能被认为是关键的局限性是缺乏实验验证，因为大多数研究仅依赖于分析或数值方法。这使得研究结果在工程和工业应用中的实用性较差。因此，未来的研究必须旨在创建结合多种物理效应的模型，使用真实的几何形状，并通过实验验证来缩小理论与实践之间的差距。4.2. 综述比较为了更好地了解Maxwell流体研究的趋势和变化，提供了所选研究的表格比较。当前的比较显示了不同几何形状、控制物理参数和求解方案如何影响流体流动和热传递特性。表1总结了文献中的重要出版物，按几何形状、物理效应、使用的方法和关键发现进行了分类。还可以看出，大多数研究调查的是磁场或热辐射的孤立效应，而较少有研究考虑多个参数的综合影响。此外，由于数值技术（如Runge-Kutta和有限差分方案）可以求解高度非线性方程，因此它们比纯分析技术使用得更频繁。此外，比较还表明拉伸板和平板的几何形状得到了广泛研究。相比之下，更复杂的配置和物理现象的相互作用仍然未被充分探索。此表格分析旨在总结当前的研究趋势，并确定当前研究希望解决的文献中的空白。表1. 总结表。参考编号几何形状考虑的物理效应使用的方法关键发现[24]拉伸板化学反应，非稳态流动分析/数值化学反应降低了浓度边界层[25]拉伸板（多孔）辐射，多孔介质数值辐射增强了温度分布[28]垂直板MHD，热泳数值磁场由于洛伦兹力降低了速度[32]平板MHD，恒定温度数值简化的假设限制了实际应用的适用性[53]圆柱体焦耳加热，混合对流数值随着曲率效应，热传递增加[67]通道MHD，热传递分析/数值联合效应显著改变了流动行为尽管在理解Maxwell流体流动方面取得了很大进展，但现有文献表明大多数研究高度特定于问题且范围有限。例如，最近关于具有粘性耗散和化学反应的MHD Maxwell两相纳米流体流动的文献更多地关注单一几何形状中的特定物理效应，而不是其他几何形状或在更一般流动条件下的相同效应。同样，考虑滑移效应和活化能的生物对流Maxwell纳米流体的研究局限于生物技术和纳米流体系统的更具体领域，更多地关注微生物动力学而不是流体行为本身。此外，关于趋旋微生物的研究主要集中在受控环境中的生物对流和热传输增强上，通常使用数值建模进行参数研究。尽管这些研究可以为特定应用提供有用数据，但它们并没有提供对各种几何形状、流动制度和综合物理效应的连贯、比较性的理解。因此，在缺乏系统比较多种几何形状（垂直板、平板、倾斜板、圆柱体、通道）的综合性综述的情况下，存在研究空白。该综述通过提供关于Maxwell流体研究的全面和系统的综合，为未来的进展提供了更广阔的视野。4.3. 工程应用及其工业相关性Maxwell流体模型对于研究各种工程和工业操作中粘弹性流体的行为非常重要。这些模型在涉及复杂流体（如聚合物、生物流体和工业悬浮液）的系统中具有广泛的应用，因为它们能够捕捉弹性和粘性效应。在聚合物加工行业（包括挤出、纤维纺丝和薄膜拉伸）中需要Maxwell流体分析，其中挤出和圆柱形几何形状是典型的（分别是拉伸板和圆柱体）。了解这些情况下的流动行为可以用来提高产品质量和管理厚度均匀性。在生物医学工程中，Maxwell流体模型用于模拟动脉和微通道中的血液流动，特别是在磁性和热传递重要的情况下，这与靶向药物输送和热疗应用相关。Maxwell流体还用于热管理和热交换器以及冷却系统和热传递领域的能量设备中。虽然文章中没有提到热辐射、焦耳加热和多孔介质的影响，但它们对提高热传递效率有重要影响。此外，粘弹性流体建模应用于润滑和摩擦学领域，以分析薄膜流动的影响，并最小化机械系统中的摩擦，从而提高其性能和寿命。此外，Maxwell流体模型在化学和石化行业中也很重要，尤其是在反应器设计和非牛顿流体的传输方面。磁场、化学反应和扩散（包括Soret和Dufour效应）的联合效应提供了对复杂传输过程更好的理解。尽管这些应用非常广泛，但由于缺乏结合相互作用物理效应和真实几何形状的研究，当前模型的直接适用性受到限制，表明需要更多的未来研究。表2展示了这项研究的应用，图8展示了不同应用的图表。表2. Maxwell流体应用总结表。应用领域典型几何形状和现象行业/领域聚合物加工拉伸板、薄膜、纤维制造业、塑料生物医学工程管道、倾斜板、通道医药、医疗保健热传输系统平板、圆柱体、多孔介质化学、电子、能源化学反应反应器设计通道、多孔介质化学、石化表面涂层工艺圆柱体、拉伸板纺织品、纸张、涂层润滑与摩擦学薄膜、机械界面机械、汽车纳米流体热系统平板中的纳米增强流体电子冷却、智能流体地球物理学流动多孔介质、地层地球科学、环境下载：下载高分辨率图片（195KB）下载：下载全尺寸图片图8. 不同应用流程图。5. 结论本综述系统且详细地讨论了在各种几何形状和物理条件下的Maxwell流体流动，使用了分析和数值方法。尽管已经完成了大量工作，但研究仍存在一些局限性，并为未来的研究指明了明确的方向。从分析角度来看，大多数使用的技术依赖于简化需要解决的方程，从而限制了它们对实际问题的实用性。未来的努力应该旨在开发更强大的分析方案，以处理强非线性、耦合的多物理场（例如带有辐射和化学反应的MHD）以及时间依赖的材料特性。此外，将分析方法扩展到更复杂的几何形状和瞬态制度是一个重要的问题。从数值角度来看，尽管Runge-Kutta、有限差分、谱方法和有限元方案被广泛使用，但仍需要高保真度、计算效率高的模型，能够处理复杂的边界条件和真实几何形状。自适应网格化、使用稳定性增强算法以及对数值输出的系统验证应该是未来研究的重点。其中一个研究方向是结合分析和数值方法；混合方法可以提高准确性和计算效率。此外，实验验证仍然是现有研究中的一个重要局限性。因此，实验研究和数据支持的验证是未来研究必须关注的领域，以弥合理论与实践之间的差距。最后，应更多地考虑真实的工程设计和多物理场相互作用，如生物医学流动、工业加工系统和能源应用。解决这些问题将使Maxwell流体模型在实践中更具适用性和可靠性。数据可用性数据将在合理请求时提供给相应的作者。资金没有内部/外部资助。作者贡献K. Sudarmozhi, Ali B. M. Ali：概念化、方法论、软件；R. Raghavendran, Khayrilla Kurbonov：数据管理、初稿撰写；Gaganjot Kaur, Ramneek Sidhu：可视化、调查；M. Ijaz Khan：监督；R. Raghavendran, K. Sudarmozhi：软件、验证；Ali B. M. Ali, Gaganjot Kaur：撰写-审查和编辑、形式分析。未引用的参考文献Ramaiah等人，2020年；Gangadhar等人，2021年；Bhargavi等人，2022年；Megahed，2013年；Waheed，2016年；Gangadhar等人，2018年；Gangadhar等人，2021年；Shateyi和Muzara，2022年；Vajravelu等人，2015年；Mushtaq等人，2016年；Gangadhar等人，2020年；Afraz等人，2023年；Ullah等人，2022年；Negi等人，2023年；Ali等人，2021年；Algehyne等人，2022年；Ali等人，2019年；Kumar等人，2025年；Kumar等人，2025年；Khan等人，2019年；Takashima，1970年；Shateyi和Muzara，2022年；Sudarmozhi等人，2023年；Olsson和Ystr?m，1993年；Sudarmozhi等人，2023年；Arifuzzaman等人，2017年；Tahir等人，2017年；Khan等人，2021年；Khan等人，2023年；Hayat等人，2011年；Khan等人，2019年；Xin等人，2011年；Khan等人，2020年；Jawad等人，2021年；Ghasemian等人，2019年；Sehra等人，2022年CRedI作者贡献声明K. Sudarmozhi：撰写-审查与编辑、验证、监督；Ali B.M. Ali：调查、概念化；R. Raghavendran：撰写-初稿、可视化；Khayrilla Kurbonov：方法论、形式分析；Gaganjot Kaur：撰写-审查与编辑、验证、软件；Mirjalol Ismoilov：资源、方法论；M.Ijaz Khan：调查、形式分析。