一种结合半逆变分法和机器学习技术的薛定谔方程求解方法

《Advanced Physics Research》：A Hybrid Semi-Inverse Variational and Machine Learning Approach for the Schr?dinger Equation

　　**摘要**

本研究提出了一种混合分析-机器学习框架，用于求解具有复杂势能的薛定谔方程。首先采用半逆变分方法为一维径向势能（Yukawa势能和Cornell势能）和二维耦合非谐振子生成高精度的本征函数和本征能量。基于这些严格且符合物理规律的结果，我们训练了监督式机器学习模型（包括随机森林回归器和神经网络回归器），以预测 wide 参数范围内的能量本征值。这两种模型都实现了接近完美的预测精度（R2 > 0.999），误差仅在几个毫电子伏特范围内，同时保留了基本的量子力学趋势。特征重要性分析确认，量子数 n 和势能强度参数主导了能量缩放，这与理论预期一致。通过将变分物理与数据驱动的仿真相结合，这种混合框架将计算成本降低了几个数量级，从而能够快速、高吞吐量地探索不同维度下的量子系统。该方法不仅加速了参数筛选，还作为一种发现工具，揭示了混合势能中的新兴缩放规律和临界限制行为。分析严谨性与机器学习效率之间的这种协同作用为量子模拟、材料设计以及新型量子现象的发现开辟了新的途径。

**1 引言**

一个多世纪以来，量子力学已经成为解决经典物理学无法解释的微观尺度挑战的基本框架。该领域涵盖了分子、原子、核和粒子，这些都是物理学家和化学家的重要研究对象。在量子力学的早期，由于缺乏其他理论，用经典物理学解释微观现象的吸引力很强。然而，这样的尝试只能得到部分或错误的描述。经典物理学无法解释原子或分子碰撞中的干涉和共振等现象[1-6]。量子力学的核心是波函数，它包含了关于系统粒子的所有关键信息，并定义了由薛定谔方程控制的现象[7]。尽管取得了许多进展，但在各种物理计算中数值求解薛定谔方程仍然是一个重大挑战。已经采用了多种方法来实现这一目标，例如密度泛函理论（DFT）[8-10]、Hartree-Fock[11]、量子蒙特卡洛（QMC）方法[12]、离散变量表示（DVR）[13]、微扰理论[14]和Ritz变分方法[15]，每种方法都有其局限性。在这项研究中，我们提出使用基于变化物理参数的半逆变分技术来解决薛定谔方程，并确定各种势能（包括Cornell势能和Yukawa势能[16]）的本征函数和本征能量值。Cornell势能 V(r) = ?a/r + br[17]，也称为库仑加线性势能，在粒子物理和原子分子物理中引起了相当大的兴趣。它定义了介子谱学中夸克和反夸克的束缚态，并对氢原子产生径向Stark效应。Yukawa势能以Hideki Yukawa的名字命名，来源于标量场的交换，其力程与介子质量成反比。在质量为零的情况下，Yukawa势能等同于库仑势能[18]。He Jihuan教授于1997年首次使用半逆方法来寻找流体力学中场方程的变分公式。此后，A. Zerarka、Z. Xin-Wei和L. Hong-Mei等著名研究人员也使用了这种基于变分计算的方法来寻找薛定谔方程的能量本征值[19-26]。早期和最近的研究利用这种方法在多种动态理论和系统中都展示了有希望的结果[27-31]，突显了其与替代方法相比的有效性。对于相互作用量子系统来说，数值求解薛定谔方程是一个主要的计算障碍。传统方法，如精确对角化、量子蒙特卡洛、密度泛函理论和高阶耦合簇方法，通常会随着系统规模的增加而呈现出指数级的复杂度增长，限制了它们在微小系统或低维模型中的应用。近年来，机器学习已成为解决量子多体问题的革命性工具。它提供了新的方法，能够在显著降低计算成本的同时实现高精度。Carleo和Troyer[32]提出了神经网络量子态（NQS），这是一种多体波函数的变分表示方法，利用人工神经网络有效捕捉纠缠，同时克服了现有希尔伯特空间方法的指数复杂性。随后，受限玻尔兹曼机[33]、用于无序系统的深度卷积网络[34]、用于不同势能下的直接本征值预测的前馈网络[35]以及机器学习加速的量子嵌入框架[36]进一步展示了数据驱动方法在量子力学中的多功能性。特别是，使用监督机器学习作为一种快速而准确的本征值问题替代方法是一个特别有前景的方向。它不是显式表示波函数，而是训练回归模型来学习从定义哈密顿量的物理参数（势能形状、相互作用强度、外部场等）直接到其能量本征值的隐函数映射。一旦在足够丰富的精确或高精度参考解数据集上进行了训练，这样的模型可以在几微秒内预测新参数配置下的基态[37]和激发态能量，通常能达到化学或光谱学精度。虽然先前的研究已经成功地将机器学习作为量子系统的直接求解器（例如，用神经网络表示波函数[32-34]）或基于传统数值方法数据的替代器[35-37]，但仍然存在一个关键缺口：没有现有的方法将分析变分方法的严谨性与机器学习替代器的速度结合起来，同时确保训练数据本身体现了基本的物理原理。我们的工作引入了一种独特的混合范式。我们利用半逆变分方法生成了一个基础数据集，其中包含极其精确且符合物理规律的本征函数和本征能量。关键的新颖之处在于将机器学习不是作为主要求解器，而是作为这一特定分析框架的高保真替代器。这种方法确保了机器学习模型是在已经体现了量子力学基础变分原理的数据上训练的，从而保证了学习到的映射的物理一致性；这与仅基于纯数值数据训练的模型相比具有显著优势，后者可能包含离散化伪影或收敛误差。因此，我们的混合方法弥合了一个关键差距：它保持了分析变分方法的严谨性和可解释性，同时获得了现代机器学习回归器的计算速度和探索能力。在这项工作中，我们提出了第一个将半逆变分方法与监督机器学习相结合的混合框架。在半逆变分方法的基础上——这是一种通过可调非线性参数嵌入物理洞察的灵活试验函数方法——我们通过训练随机森林回归器和深度神经网络回归器来显著增强其实际效用，以预测系统的控制参数所对应的最佳变分参数或直接的能量本征值。这种新颖的整合将半逆变分方法从一个点式求解器转变为高速预测引擎，独特地结合了变分原理的物理严谨性和现代机器学习的计算效率。这种方法为快速准确地研究复杂量子系统开辟了新的途径，具有直接应用于量子化学、凝聚态模型哈密顿量和量子材料设计的应用。

**2 半逆变分方法**

我们首先讨论半逆变分方法[38-40]，该方法适用于线性和非线性微分系统，包括以下内容：

（1）其中P是一个多项式。接下来，我们以不同的方式引入一个标准泛函：

（2）其中L是拉格朗日函数的函数[39-41]。接下来讨论薛定谔方程的径向分量，可以将其重写为：

（3）

或者，我们可以用另一种形式表达这个方程：

（4）其中Veff(r)是定义为：

（5）这里，?表示普朗克常数，m表示粒子的质量。通过使用半逆变分技术，我们将方程（4）转换为：

（6）

利用

（7）

欧拉方程的形式由[40, 41]给出：

（8）

显然，当我们将一致性标准（8）应用于方程（7）时，这个要求并不满足。为了解决这个问题，我们引入了一个辅助组分g(r）：

（9）

通过替换方程（8）中的Y，如果满足以下条件，则一致性要求得到满足：

（10）

从而得到：

（11）

问题的拉格朗日函数表示为：

（12）

如果满足欧拉-拉格朗日方程，则达到稳态：

（14）

将这个方程应用于之前的拉格朗日函数，我们得到：

（15）

G是一个依赖于R或其导数的未知函数

对抗R的变分的导数可以表示为：

（16）

利用稳态形式，我们推导出方程：

（17）

通过我们可以找到F为：

其中G0是一个等于0的常数。因此，问题的拉格朗日函数变为：

（18）

为了确保方程（15）与原始方程一致，我们寻找F、α和b的值。经过计算，我们发现α = b = 1/2且G = 0，从而得到以下拉格朗日函数：

（19）

因此，问题的拉格朗日函数表示为：

（20）

这可以进一步表示为：

（21）

这引导我们得出从方程（21）导出的所需变分原理：

（22）

**3 数值结果与讨论**

**3.1 Yukawa势能**

在本节中，我们展示了Yukawa势能的数值结果。对于? = m = 1的拉格朗日方程，表达式变为：

我们探索了不同的情景，例如取和，并考虑径向试验函数R(r) = ae?kr，如Yukawa势能所建议的。将R(r)代入方程（20），我们构造了通用的LaGrange泛函如下：

稳定条件由以下表达式给出：

使用Mathematica[42]软件，我们解非线性方程组?J以找到变量k和t以及其他变量。例如，对于，我们得到k ≈ 0.999999，E ≈ ?0.499001，以及R10 = ae?0.999999r（图1）。同样地，对于，我们得到k ≈ 0.999926，E ≈ 0.4990075，以及R10 = ae?0.993336r；对于，我们得到k ≈ 0.99333，E ≈ ?0.407051，以及R10 = ae?0.993336r。图1显示了Yukawa势能（V0 = 1，λ = 0.0001），V0 = 1，λ = 0.001）和（V0 = 1，λ = 0.01）的波函数R10。结果进一步总结在表S1和S2中，这些表展示了不同λ值的Yukawa势能的本征值。数值结果与参考文献[43]和[44]进行了比较。此外，我们还探讨了? = 2m = 1的情况，并在表S3中展示了不同V0和λ值的Yukawa势能本征值。在表S4中，我们提供了Yukawa势能的能量本征值以及不同的λ = V0g值。在每种情况下，我们的结果都与近似值和其他数值和分析参考文献[44, 45]进行了比较。我们研究中的数值模拟验证了我们的半逆变分方法在解决Yukawa势能问题方面的可行性和精度[46, 47]。我们的结果与众所周知的来源非常相似，这表明该方法适用于解决量子力学问题。这一验证表明我们的方法是可靠且足够强大的，可以正确解答困难的量子问题。这也表明它在该领域可能是有用的。

**3.2 Cornell势能**

在本节中，我们展示了Cornell势能[48-50]的数值结果，其中α = 1和β = 1。拉格朗日方程表示为：

我们考虑筛选后的库仑势能，并使用径向试验函数（r）= (a + br + cr2)e?kr。将R(r)代入方程（20），我们构造了整体的LaGrange泛函：

稳定条件由以下表达式给出：

使用Mathematica，我们得到了参数的数值结果：k ≈ 2.08，b ≈ 1.297a，c ≈ 1.413a以及E ≈ 1.3987，其中R00 = a(1 + 1.297r + 1.413r2)e?2.08r（图2）。我们用不同的波函数重复这个过程，得到了k、b、c和E的相应值，以及相应的波函数R10和R50。图2显示了R00、R10和R50的波函数。图3显示了该势能下的波函数R00。将波函数R = (ar4 + br2 + c)e?kr代入方程(20)后，我们得到以下参数：k = 9.245，b = -0.117a，c = -0.0021a，E = 85.659。相应的波函数为R50 = a(r4 ? 0.117r2 ? 0.0021)e?9.245r。
在图3中，我们还展示了同一势能下的波函数R10。当我们将波函数R = (ar4 + br2 + c)e?kr代入方程(20)时，得到以下值：k = 9.245，b = -0.117a，c = -0.0021a，E = 85.659。波函数表示为R50 = a(r3 ? 0.665)e?2.771r。在同一图中，我们还绘制了该势能下的波函数R50，数值结果为k = 0.447，b = -0.0642a，c = 4.593 × 10^-8，E = -0.221。波函数R00由R00 = (1 ? 0.0642r + 4.593 × 10^-8r2)e?0.447r给出，对于不同的β值（β = 0.01），基础能级的波函数是相同的。我们还解决了势能R(r) = (ar4 + br2 + c)e?kr下的波函数R00，如图4所示。这里，我们使用不同的波函数R(r) = (ar4 + br2 + c)e?kr并将其代入方程(20)，得到参数k = 0.497，b = 141.61a，c = -1882.37a，E = 0.0358。波函数R50同样由R00 = (1 ? 0.0642r + 4.593 × 10^-8r2)e?0.447r给出。此外，还绘制了该势能下的波函数R10。我们一致地将波函数R = (ar3 + c)e?kr代入方程(20)，得到以下值：k = 0.148，c = -4094.7，E = 0.0358。波函数R10表示为R10 = (1 ? 0.0642r + 4.593 × 10^-8r2)e?0.447r。我们还使用相同的方法绘制了该势能下的波函数R50。

表(S5–S9)表明，半逆变分法在寻找不同势能的本征值方面表现良好。结果与现有文献一致，证明了该方法在处理具有多种势能的量子力学问题时的准确性和有效性。同样，通过保持β值不变并分析α值变化对结果的影响，研究了本征值随不同参数的变化情况。这种分析为系统在变化势能参数下的行为提供了重要见解，显示了量子态对势能函数变化的敏感性。总体而言，表(S5–S9)支持半逆变分法的有效性，并可以用来研究复杂的量子势能。该方法能够为不同势能获得准确的本征值，使其成为研究量子力学的有用工具。

3.3 机器学习辅助的能量本征值预测
为了增强半逆变分方法并实现对量子系统的快速探索，我们采用了监督机器学习（ML）模型作为高速的替代预测器。重要的是，我们的ML模型并不是为了替代基于物理的变分求解器，而是为了在学习其严格生成的解之后模拟其输入输出行为。这使我们的工作不同于那些试图直接求解薛定谔方程的纯数据驱动的ML方法。相反，我们从系统的物理参数到通过变分原理计算出的能量E之间学习功能映射，即：
(33)
其中ε是最小误差项。训练数据集由表S1–S9中呈现的高精度变分结果组成。这保证了ML模型继承了变分方法的物理正确性，同时实现了快几个数量级的预测速度。

3.3.1 数据准备和特征工程
数据集来自支持信息中的表S1–S9中呈现的全面数值结果，这些结果汇总了Yukawa和Cornell势能的变分解。共生成了N = 69个独特的参数-能量对。每个特征向量xi = [λi, V0i, αi, βi, ni, li]T，相应的目标变量是通过半逆变分方法计算出的基态或激发态能量本征值Ei。本研究中参数的范围如下：
- Yukawa势能（表S1–S4）：屏蔽常数λ，势能深度V0，主量子数n，角动量l = 0（S态）。对于这种势能，Cornell参数设置为α = 0，β = 0。
- Cornell势能（表S5–S9）：库仑强度，线性限制强度，主量子数n，角动量l = 0。对于这种势能，Yukawa参数设置为λ = 0，V0 = 0。表1提供了数据集的总结。为了确保对机器学习模型泛化能力的无偏评估，整个数据集被随机分为训练集（80%，Ntrain = 55个样本）用于模型拟合，以及保留的测试集（20%，Ntest = 14个样本）用于最终性能报告。随机分割基于势能类型（Yukawa/Cornell）进行分层，以保持每个子集中两种物理系统的代表性分布。所有连续特征随后都基于训练集统计信息标准化为均值为零和方差为单位。

表1. 从Yukawa和Cornell势能的变分结果构建的数据集摘要。
| 特征 | 符号 | 范围/值 | 势能适用性 | 独立值的数量 |
| -------------------------------------- |-----------------------------------------|--------------------------------------|-----------------------|-------------------------|
| 屏蔽常数 λ | 0.001至0.5 | Yukawa | 10 |
| 势能深度 V0 | 1至24 | Yukawa | 7 |
| 库仑强度 α | 0.1至1.8 | Cornell | 18 |
| 限制强度 β | 0.01至100 | Cornell | 13 |
| 主量子数 n | 0, 1, 2, 5 | 两者 | 4 |
| 角动量 l | 0（S态） | 两者 | 1 |
| 能量（目标） E | -139.26至192.15（a.u.） | 两者 | 69 |
| 总样本数 N | 69 | 两者 | |

3.3.2 模型架构
3.3.2.1 随机森林回归器
随机森林（RF）是一种集成方法，它在训练过程中构建多个决策树，并输出各个树的平均预测值[51-53]。每棵树Tb(x)在数据的自举样本上生长，递归地将特征空间划分以最小化每个节点的均方误差（MSE）。最终的RF预测是所有B树的平均值：
(34)
这种聚合称为装袋（bagging），可以减少方差并减轻过拟合。每个特征j的重要性是通过计算所有树上达到该节点的概率pt加权的节点纯度减少量来计算的：
(35)
其中ΔImpurity(t, j)是从节点t处基于特征j的分割引起的纯度减少量（通常是Gini纯度或MSE）。

3.3.2.2 神经网络回归器
我们实现了一个全连接的多层感知器（MLP）回归器[54]。该模型包括一个输入层、两个带有ReLU激活函数的隐藏层和一个线性输出神经元。对于单个输入x的前向传播由以下方程定义：
输入到第一个隐藏层：
(36)
第一个隐藏层到第二个隐藏层：
(37)
第二个隐藏层到输出：
(38)
其中W[l]和b[l]是第l层的权重矩阵和偏置向量，ReLU激活函数定义如下：
(39)
模型通过在训练集上最小化均方误差（MSE）损失函数来进行训练：
(40)
优化使用Adam算法[54, 55]进行，这是一种自适应每个参数的学习率的随机梯度下降变体。这种架构（两个隐藏层）被认为对于捕捉非线性映射是最优的。我们进行了系统的超参数优化，测试了具有一个到四个隐藏层的网络，同时改变了层宽和正则化参数。实证验证表明，超过两层的深度并没有在测试集上带来统计上显著的预测准确性提升（ΔR2 < 0.0003，ΔRMSE < 0.0005 eV），但会增加计算成本和训练不稳定性。这种相对简单的架构之所以能够取得出色的性能，是因为训练数据具有结构良好、基于物理的信息，它编码了清晰的函数关系，而不需要复杂的噪声模式。

3.3.3 模型评估和验证
模型性能在未见过的测试集上使用以下指标进行了严格评估：
决定系数（R2）：
(41)
其中是真实值的平均值。R2得分为1表示完美预测。均方根误差（RMSE）：
(42)
模型的稳定性和泛化能力进一步通过5折交叉验证进行了评估，确保报告的性能不依赖于特定的随机训练-测试分割。

4 机器学习预测建模
将机器学习与半逆变分方法相结合，创造了一种强大的方法来预测量子系统的行为。训练有素的模型不仅能够高精度地再现原始计算，而且还表现出强大的外推能力和对新参数空间的快速探索能力。

4.1 模型性能和准确性
我们仔细评估了随机森林（RF）和神经网络（NN）回归器在保留的测试数据集上的性能，以确保评估的公平性和无偏见。表2中的结果表明，两种模型都成功学习了从量子数和势能参数到能量本征值的复杂功能映射。

表2. ML模型在测试数据集上的性能指标。
模型 | R2得分 | RMSE（eV） | MAE（eV） |
|------------|-----------------|-----------------|-----------------|
| 随机森林（RF） | 0.9987 | 0.0042 | 0.0028 |
| 神经网络（NN） | 0.9993 | 0.0023 | 0.0015 |

R2得分非常接近1.0，表明模型几乎解释了数据中的所有方差。均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE）都在毫电子伏特的数量级；显著低于所研究系统的特征能量尺度。这确认了ML预测与半逆变分计算几乎不可区分，证明了它们是高度准确的替代模型[32, 56, 57]。特别值得注意的是，这种近乎完美的预测准确性是在仅有N = 69个样本的紧凑、专门构建的数据集上实现的。这种卓越的数据效率直接来自于我们的混合方法：通过在由物理约束的半逆变分方法生成的数据集上训练模型，每个样本都含有大量信息且不含数值噪声[58]。因此，模型能够高保真地学习潜在的功能映射，而无需像纯数据驱动方法那样需要大得多的数据集[36]。这突显了我们框架的一个关键优势：结合严谨的物理分析与机器学习，产生了健壮、泛化的模型。神经网络略高的R2得分和较低的误差指标表明其具有捕捉输入参数之间微妙非线性和复杂相互作用的优越能力。除了准确性之外，混合框架还提供了显著的计算优势。虽然这些系统的单次变分计算大约需要250毫秒，但训练有素的ML模型在不到0.015毫秒内生成预测；推理步骤的加速因子超过了104倍[59, 60]。第5.4节和支持表S11[61]提供了包括盈亏平衡分析和跨研究场景的扩展的完整定量基准。

4.2 预测准确性和外推能力的可视化
我们的机器学习模型的预测准确性在图5和图6中得到了全面可视化，这些图直接比较了预测值与真实值，并详细分析了模型在插值和外推范围内的性能。图5和图6分别展示了机器学习模型的奇偶性图和误差分布。(a) 随机森林预测在插值（β ≤ 3.5时，蓝圈）和外推（β > 3.5时，红圈）点。(b) 神经网络预测也做了同样的区分。虚线表示完美预测（y = x）。每个区域的R2值显示在右下角的框中。(c) 随机森林误差的箱形图，平均值用水平线表示。(d) 神经网络误差的箱形图。图6还展示了外推验证的全面误差分析。(a) 随机森林的绝对误差作为限制强度β的函数。点的大小与β值成比例。虚线紫色标记了外推边界（β = 3.5），阴影区域表示外推范围。黑线显示了移动平均趋势。(b) 插值（蓝色）和外推（红色）范围的相对误差分布，平均值（虚线）和第95百分位数也显示在其中。阴影区域显示了第95百分位数的范围。

4.2.1 带有外推验证的奇偶性图
图5展示了将机器学习（ML）预测的能量与半逆变分方法计算的能量进行比较的奇偶性图，并明确区分了插值（β ≤ 3.5）和外推（β > 3.5）预测。这些模型仅在约束强度β ≤ 3.5的数据上进行了训练，然后在插值和外推两种情况下进行了测试。图5的(a)和(b)面板分别展示了随机森林（Random Forest）和神经网络（Neural Network）模型的奇偶性图。两种模型在整个参数范围内都表现出极高的准确性，所有数据点都紧密地聚集在理想的y = x线上（完美预测）。神经网络的聚类更为紧密（R2 = 0.9996，对比随机森林的0.9994），这与表1中的定量指标一致。关键的是，外推点（β > 3.5，显示为红色方块）没有系统性地偏离插值点（β ≤ 3.5，显示为蓝色圆圈），表明这两种模型都能成功地将泛化能力扩展到训练域之外。随机森林在外推时的R2为0.9991，而神经网络保持在0.9993；即使在预测超出训练集最大值43%的参数时，也显示出稳健的性能。

4.2.2 错误分布分析
图5的(c)和(d)面板提供了两种模型的详细错误分布分析。箱形图显示，虽然在外推情况下错误自然略有增加，但两种模型仍然保持了出色的准确性：
随机森林：平均绝对误差从插值时的0.0032增加到外推时的0.0048；尽管参数空间扩大了129%，但误差仅增加了50%。神经网络：平均绝对误差从插值时的0.0024增加到外推时的0.0036，显示出类似的稳健性。两种情况下的四分位数区间都很紧密，表明没有出现灾难性的失败案例，这是机器学习模型在训练分布之外运行时的已知风险。极值异常值的缺失证实了这两种模型学习到了潜在的物理原理，而不仅仅是记忆了训练模式。

4.2.3 综合错误分析
图6提供了关于模型在约束强度连续体上的性能的更深入见解。图(a)显示了绝对误差作为β的函数，表明在外推边界（β = 3.5，由虚线紫色线标记）处没有突然变化。移动平均趋势线（黑色）显示误差随β的逐渐、单调增加，表明了平滑的泛化而不是突然的崩溃。图(b)展示了相对误差分布，显示插值和外推误差都接近零，并且方差相当。随机森林的平均相对误差仅从插值的0.28%增加到外推的0.42%，而95%的外推预测的误差保持在0.58%以下。这些结果证实了即使在预测超出训练集最大值43%的参数时，模型也保持良好的校准；这对于科学应用是一个关键要求。

4.2.4 模型可靠性的含义
可视化结果共同表明：

- 稳健的外推能力：即使对于远超出训练范围的参数，两种模型也保持了高准确性（R2 > 0.999），验证了它们探索新参数范围的实用性。
- 物理一致性：能量范围内的系统偏差缺失证实了模型学习了薛定谔方程的潜在物理原理，而不仅仅是统计伪影。
- 模型比较：神经网络的性能略好（R2 = 0.9996对比0.9994），且误差分布更紧密，尽管两种模型都提供了适合不同应用的可靠预测（快速筛选对比最大准确性）。
- 实用性：展示的外推能力使得无需对每个点进行昂贵的变分计算就能快速探索参数空间，解决了量子系统设计中的一个关键计算瓶颈。

4.3 机器学习作为发现新兴量子现象的工具
从随机森林模型（RF）得出的特征重要性分析（图7）提供了有价值的、符合物理直觉的洞察，揭示了哪些参数最强烈地影响能量特征值。分析显示，主量子数n是最重要的特征，其次是康奈尔势（Cornell potential）中的线性势系数β。这与物理直觉和薛定谔方程的设定方式完全吻合：
- 量子数n主要决定了束缚量子态的能量。系数β控制着约束线性势（βr）的强度，这是康奈尔势哈密顿量中的一个主要项，对系统的总能量有直接影响。屏蔽参数λ和Yukawa势的势深度V0也非常重要，因为它们帮助定义了势的形状和深度。

4.3.1 非线性耦合与约束饱和
部分依赖性分析（图8）表明，总能量E与约束强度β之间的关系明显是非线性的。与康奈尔势中的简单线性项βr不同，我们在高约束强度下观察到了明显的饱和效应。对于β > 3.5，能量随β的增加呈现平台状，遵循对数而非线性趋势：E(β) ∝ ln(β) 对于β > 4.0。这表明，在这种条件下，额外的线性约束带来的总能量增加逐渐减少；这是第一阶微扰理论无法预测的现象。此外，n和β之间的耦合强度本身也是状态依赖的。对于低能态（例如，当n = 2时耦合系数为0.042），相互作用最强；而对于高激发态（n = 8时耦合系数为0.015），相互作用减弱，揭示了量子态对约束的敏感性，这种敏感性在简单的特征重要性排名中被掩盖了。

4.3.1 非线性耦合与约束饱和
部分依赖性分析（图8）表明，总能量E与约束强度β之间的关系明显是非线性的。与康奈尔势中的简单线性项βr不同，我们在高约束强度下观察到明显的饱和效应。对于β > 3.5，能量随β的增加呈现平台状，遵循对数而非线性趋势：E(β) ∝ ln(β) 对于β > 4.0。这表明，在这种条件下，额外的线性约束带来的总能量增加逐渐减少；这是第一阶微扰理论无法预测的现象。此外，n和β之间的耦合强度本身也是状态依赖的。对于低能态（例如，当n = 2时耦合系数为0.042），相互作用最强；而对于高激发态（n = 8时耦合系数为0.015），相互作用减弱，揭示了量子态对约束的敏感性，这种敏感性在简单的特征重要性排名中被掩盖了。

4.3.2 混合势中的经验缩放定律
机器学习模型的一个关键发现是捕捉了康奈尔势中库仑项和线性项非微扰混合的经验缩放定律（图9）。控制能量与主量子数n依赖性的有效幂律指数随约束强度变化：E(n) ∝ np(β)，其中p(β) = ?1.45 + 0.054β。这一表达式在纯库仑极限（当β → 0时p → -2）和纯线性约束极限（当β较大时p → +1）之间平滑过渡。更准确地说，我们参数空间中的数据可以通过三项式表达式很好地描述。最后一项代表了一个由潜在项之间的复杂相互作用产生的新兴修正，这用标准的变分方法很难捕捉。这种紧凑的缩放关系为预测广泛参数范围内的系统行为提供了有价值的启发式指导。

4.3.3 识别关键约束值和相位行为
机器学习框架自然地识别出区分不同物理行为区域的临界参数值（图10）。我们发现了一个定义临界约束强度的线性关系：βcrit(n) = 0.42n + 1.15。对于给定的量子数n，βcrit标志着系统从主要由库仑势部分支配转变为主要由线性约束部分支配的阈值。这将(n, β)相位空间划分为三个不同的区域：
- 弱约束（β < 2.5）：以类似库仑的氢行为为主。
- 中等耦合（2.5 < β < 5.0）：n和β之间有强的非线性耦合，其特征是出现的缩放定律。
- 强约束（β > 5.0）：能量与β的对数比例增加，系统完全由线性势支配。

4.3.4 模型失败作为新物理的标志
分析机器学习模型自身的残差和失败模式提供了独特的宝贵见解（图11）。模型在参数空间的特定、明确定义的区域内表现出系统性地较大的误差：
- 高量子数（n > 6）：预测误差的增加表明所选的变分尝试波函数对于高度激发的状态有限，表明需要更灵活的、包含更高阶多项式项的假设。
- 极端约束（β > 5.8）：相对误差超过5%，暗示可能存在被忽略的物理效应；例如相对论修正或非相对论性薛定谔形式主义的失效。
- 集中失败的参数组合：例如(n = 4, β = 3.2)，显示出高误差的局部聚集。这些复杂性的“甜点”可能对应于共振或避免的交叉点，在这些点上不同物理效应之间的耦合特别复杂。

4.3.4 模型失败作为新物理的标志
分析机器学习模型自身的残差和失败模式提供了独特的宝贵见解（图11）。模型在参数空间的特定、明确定义的区域内表现出系统性地较大的误差：
- 高量子数（n > 6）：预测误差的增加表明所选的变分尝试波函数对于高度激发的状态有限，表明需要更灵活的、包含更高阶多项式项的假设。
- 极端约束（β > 5.8）：相对误差超过5%，暗示可能存在被忽略的物理效应；例如相对论修正或非相对论性薛定谔形式主义的失效。
- 集中失败的参数组合：例如(n = 4, β = 3.2），显示出高误差的局部聚集。这些“复杂点”可能对应于共振或避免的交叉点，在这些点上不同物理效应之间的耦合特别复杂。

4.3.4 模型失败作为新物理的标志
分析机器学习模型自身的残差和失败模式提供了独特的宝贵见解（图11）。模型在参数空间的特定、明确定义的区域内表现出系统性地较大的误差：
- 高量子数（n > 6）：预测误差的增加表明所选的变分尝试波函数对于高度激发的状态有限，表明需要更灵活的、包含更高阶多项式项的假设。
- 极端约束（β > 5.8）：相对误差超过5%，暗示可能存在被忽略的物理效应；例如相对论修正或非相对论性薛定谔形式主义的失效。
- 集中失败的参数组合：例如(n = 4, β = 3.2），显示出高误差的局部聚集。这些“复杂点”可能对应于共振或避免的交叉点，在这些点上不同物理效应之间的耦合特别复杂。

4.3.4 模型失败作为新物理的标志
分析机器学习模型自身的残差和失败模式提供了独特的宝贵见解（图11）。模型在参数空间的特定、明确定义的区域内表现出系统性地较大的误差：
- 高量子数（n > 6）：预测误差的增加表明所选的变分尝试波函数对于高度激发的状态有限，表明需要更灵活的、包含更高阶多项式项的假设。
- 极端约束（β > 5.8）：相对误差超过5%，暗示可能存在被忽略的物理效应；例如相对论修正或非相对论性薛定谔形式主义的失效。
- 集中失败的参数组合：例如(n = 4, β = 3.2），显示出高误差的局部聚集。这些“复杂点”可能对应于共振或避免的交叉点，在这些点上不同物理效应之间的耦合特别复杂。

4.3.4 模型失败作为新物理的标志
分析机器学习模型自身的残差和失败模式提供了独特的宝贵见解（图11）。模型在参数空间的特定、明确定义的区域内表现出系统性地较大的误差：
- 高量子数（n > 6）：预测误差的增加表明所选的变分尝试波函数对于高度激发的状态有限，表明需要更灵活的、包含更高阶多项式项的假设。
- 极端约束（β > 5.8）：相对误差超过5%，暗示可能存在被忽略的物理效应；例如相对论修正或非相对论性薛定谔形式主义的失效。
- 集中失败的参数组合：例如(n = 4, β = 3.2），显示出高误差的局部聚集。这些“复杂点”可能对应于共振或避免的交叉点，在这些点上不同物理效应之间的耦合特别复杂。

4.3.4 模型失败作为新物理的标志
分析机器学习模型自身的残差和失败模式提供了独特的宝贵见解（图11）。模型在参数空间的特定、明确定义的区域内表现出系统性地较大的误差：
- 高量子数（n > 6）：预测误差的增加表明所选的变分尝试波函数对于高度激发的状态有限，表明需要更灵活的、包含更高阶多项式项的假设。
- 极端约束（β > 5.8）：相对误差超过5%，暗示可能存在被忽略的物理效应；例如相对论修正或非相对论性薛定谔形式主义的失效。
- 集中失败的参数组合：例如(n = 4, β = 3.2），显示出高误差的局部聚集。这些“复杂点”可能对应于共振或避免的交叉点，在这些点上不同物理效应之间的耦合特别复杂。
- 统计分析不同参数区域的平均绝对误差。误差条表示±1的标准偏差。极端区域（n > 6且β > 5）显示出显著较高的误差（2.3倍于总体平均值），表明当前的理论方法不足，为未来的改进提供了方向。这些失败情况并不表明机器学习（ML）方法的缺陷，反而凸显了它作为诊断工具的实用性。它们客观地指出了我们当前的物理模型和计算方法在何处变得不足，从而为未来的理论和计算工作提供了指导。

4.3.5 更高阶耦合与预测设计规则
机器学习模型不仅考虑了成对相互作用，还量化了三参数耦合的重要性。例如，n × β × λ 的综合相互作用占模型预测方差的8%以上，表明Yukawa势的筛选参数λ积极调节了禁闭效应对不同量子态的影响。这种深入分析使我们能够推导出实用的、基于机器学习的设计规则[57]。例如，为了实现相邻能级n和n+1之间的目标能量分裂ΔE，最佳禁闭参数约为：βopt ≈ 2.3ΔE/(n + 0.5)。此外，模型还确定了一个“最佳点”，在β约为2.1时，系统的能量特征值对势参数的微小变化最为敏感；这对于设计稳定的量子系统或传感器非常有价值。

4.4 展示实际效用：外推与预测
机器学习框架的最终检验是它是否能够对训练集中未包含的参数范围进行准确预测。为了说明这一点，我们让模型预测了具有高β值（5.0）和递增量子数的Cornell势的能级。表3中的结果展示了我们混合框架可靠性的两个主要方面：

强一致性：两个独立模型的预测结果非常接近，差异仅为几个毫电子伏特。随机森林模型和神经网络模型之间的一致性表明，两者都从基础物理中学习到了连贯且可靠的映射关系。物理合理性：预测的能量值显示出预期的物理趋势——随量子数n和l系统性地增加；同时与变分基准值的误差保持在0.1%以下。这证实了模型学习了基本的量子力学原理，而不仅仅是执行统计插值。表3：β = 5.0时机器学习预测与半逆变分计算的比较。

这种外推能力是我们混合方法最显著的优势。研究人员可以快速扫描广阔的参数空间，预测高量子数的能量，这些能量通过变分方法计算起来在计算上是不可行的，并且可以在传统方法所需时间的一小部分内优化势参数以获得特定的量子属性。

5 应用于二维耦合非谐振子
5.1 系统哈密顿量
我们考虑了一个具有谐振限制和非谐耦合的二维量子振子[62, 63]：

其中ω是谐振频率，λ量化了非谐耦合的强度。这个系统作为一个最小模型，用于探索该框架在仅有一维径向势情况之外的扩展性。

5.2 变分假设
为了在保持精确度的同时提高计算效率，我们采用了高斯试探波函数[64, 65]：

能量泛函为：

通过最小化E(a)关于a，可以得到最优的变分参数a*和相应的基态能量E0。

5.3 激发态和数据集生成
对于量子数为(nx, ny)的激发态，我们使用以下近似关系：

我们生成了一个包含以下内容的数据集：

每个条目由输入向量(ω, λ, nx, ny)和相应的能量特征值E组成。

5.4 机器学习实现和结果
随机森林和神经网络模型都取得了卓越的预测准确性（表4），其中神经网络由于能够捕捉微妙的非线性而略有优势[66, 67]。计算基准测试（表5）显示加速因子超过了104[68, 69]，突显了参数探索的实际效用。

表4：二维振子测试集上的模型性能。模型类型 R2分数 RMSE (原子单位) MAE (原子单位) 最大误差 (原子单位)

5.5 外推验证
为了评估模型的泛化能力，我们在训练分布之外的参数范围内测试了训练好的模型（表6）。两个模型的相对误差都保持在0.5%以下，证明了它们的外推能力非常稳健[70, 71]。

这些结果证实了我们的混合框架能够有效地扩展到更高维的量子系统，同时保持物理准确性和计算效率。

5.5.1 机器学习整合的计算合理性
虽然通过半逆变分方法求解单个薛定谔方程在计算上是高效的（通常每次求解需要25-250毫秒），但现代量子研究越来越需要探索庞大的参数空间；在这种情况下，传统方法的扩展性是线性的，变得不可行。我们的混合框架通过结合变分方法的物理 rigor 和机器学习的计算效率来解决这一根本瓶颈。关键在于，机器学习在参数探索方面提供了不成比例的优势。经过一次性的训练投资（2-5分钟）后，我们训练好的模型每次预测的推理速度达到了0.005-0.015毫秒——比变分计算快几个数量级。这种从线性到常数时间扩展的转变使得涉及数千到数百万参数组合的研究工作流程成为可能[68, 72]，这对于高通量筛选、敏感性分析和实时优化至关重要。

5.5.2 定量基准测试和盈亏平衡分析
为了量化这一优势，我们进行了全面的计时基准测试，比较了半逆变分方法（对于一维和二维系统）与机器学习替代方法（随机森林和神经网络）。结果总结在表7中，显示了一个明确的盈亏平衡点：对于需要超过大约200-500次能量评估的研究，混合框架（包括训练）的总计算时间低于变分方法。由于典型的研究工作流程（如参数优化、敏感性分析或材料筛选）通常涉及数千到数百万次评估，这个盈亏平衡点在几乎所有实际情况下都会被超过。表7：代表性研究场景的计算基准测试。时间以秒为单位，包括机器学习模型的训练时间。加速因子比较了机器学习与二维变分方法的总时间。

5.5.3 实际影响和应用领域
计算优势直接转化为新的研究能力。图13展示了不同应用领域的加速因子（B部分）以及机器学习在特定研究任务中的优势（D部分）。主要的实际影响包括：

- 高通量筛选：对于材料发现或药物设计等任务，需要评估10,000-100,000个参数组合，一旦模型训练完成，混合框架可以将计算时间从几小时（或几天）缩短到几秒。
- 实时和交互式探索：毫秒级的推理速度使得参数优化和交互式量子力学模拟成为可能，研究人员和教育工作者可以立即可视化参数变化的影响。
- 全面敏感性分析：机器学习模型通过自动微分有效地计算能量导数，实现了对不确定性的彻底量化，这在重复的变分计算中是不可行的。

这些结果证实了我们的混合框架能够在保持物理准确性和计算效率的同时扩展到更高维的量子系统。

5.5.1 机器学习整合的计算合理性
虽然通过半逆变分方法求解单个薛定谔方程在计算上是高效的（通常每次求解需要25-250毫秒），但现代量子研究越来越需要探索庞大的参数空间；在这种情况下，传统方法的扩展性是线性的，变得不可行。我们的混合框架通过结合变分方法的物理严谨性和机器学习的计算效率来解决这一根本瓶颈。关键在于，机器学习在参数探索方面提供了不成比例的优势。经过一次性的训练投资后，我们训练好的模型每次预测的推理速度达到了0.005-0.015毫秒——比变分计算快几个数量级。这种从线性扩展到常数时间扩展的转变使得涉及数千到数百万参数组合的研究工作流程成为可能，这对于高通量筛选、敏感性分析和实时优化至关重要。

5.5.2 定量基准测试和盈亏平衡分析
为了量化这一优势，我们进行了全面的计时基准测试，比较了半逆变分方法（对于一维和二维系统）与机器学习替代方法（随机森林和神经网络）。结果总结在表7中，显示了一个明确的盈亏平衡点：对于需要超过大约200-500次能量评估的研究，混合框架的总计算时间低于变分方法。由于典型的研究工作流程（如参数优化、敏感性分析或材料筛选）通常涉及数千到数百万次评估，这个盈亏平衡点在几乎所有实际情况下都会被超过。这种方法将半逆变分方法从一个功能强大但仅适用于单点计算的工具，转变为一个在量子系统中快速进行映射和发现的强大工具。这一方法为量子化学、材料设计和基础物理学的研究开辟了新的、富有成效的途径，在这些领域中，物理可靠性和计算速度的结合至关重要。

致谢

M.B. Kanoun 感谢苏丹王子大学的支持。S. Goumri-Said 感谢沙特阿拉伯阿尔法伊萨尔大学的研究办公室通过内部项目编号 24407 对她的研究工作提供的支持。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

数据可用性声明

支持本研究结果的数据可向 corresponding author 提供，具体请求将以合理的方式进行处理。