基于求解子的湍流尾流估计方法

《Journal of Fluid Mechanics》：Resolvent-based estimation of a turbulent wake

　　摘要 我们提出了一个基于解析函数的框架，用于估计马赫数为0.3、雷诺数为23000、攻角为6°的NACA0012翼型尾流中的湍流速度波动。在Jung等人（2025年，《流体力学杂志》1016卷，A41页）的方法基础上，我们将该方法扩展到更复杂的湍流尾流环境下，其中遇到了三个主要挑战：（i）线性化纳维-斯托克斯算子中的全局不稳定模式，（ii）多尺度湍流结构，以及（iii）高维数据集。为了解决这些挑战，我们采用了一种数据驱动的方法，该方法根据大涡模拟获得的交叉谱密度构建因果解析函数基估计核。这些核是通过Wiener-Hopf方法推导出来的，该方法能够最优地确保因果关系，从而提高实时估计的准确性。该框架能够捕捉到相干结构的频谱特征，并通过经验确定的交叉谱密度，隐式地考虑了作用于线性系统的非线性驱动的有色统计特性。为了应对高维估计问题的计算需求，我们利用在同一框架内开发的并行算法。此外，我们还通过分析单传感器估计误差及其与目标流量的一致性来研究传感器布置。结果表明，使用翼型表面的有限剪切应力测量数据，可以准确估计出展向平均、展向傅里叶变换和翼中间位置的流向速度。这项研究凸显了基于解析函数的框架在可压缩湍流环境中的高效估计潜力。

1. 引言 流体力学长期以来一直关注翼型尾流的湍流特性，数十年的实验和数值研究揭示了其在各种条件下的复杂动态（Gartshore 1967年；Reynolds 1972年；Ghaemi & Scarano 2011年；Shamsoddin & Porté-Agel 2017年；Gupta等人2023年；Schauerte & Schreyer 2024年）。在中等雷诺数（例如Re ≈ 20,000）和中等攻角（6°-10°）下，湍流尾流在层流分离泡的下游形成，并在基于翼型厚度的特征Strouhal数（Stα ≈ 0.2）附近发生涡脱落（Ducoin, Loiseau & Robinet 2016年；Yeh & Taira 2019年）。近年来，非物理基础的数据驱动模型——如神经网络替代模型、黑箱系统识别方法和降阶模型——已经证明，关键尾流特征（例如主导脱落频率、升力和阻力波动以及大尺度速度结构）可以直接从实验测量数据中预测出来，而无需显式纳入纳维-斯托克斯方程（Ho?evar等人2005年；Raissi, Perdikaris & Karniadakis 2019年；Sekar等人2019年）。尽管这些方法具有很高的准确性，但它们通常缺乏物理解释性，并且难以用于高维湍流的长期实时估计和控制。这一差距激发了本项工作的动机。我们寻求的估计方法应忠实于基本的流动物理，提供测量数据与目标流动结构之间的可解释性连接，并且成本足够低，可以实时应用，同时相对于最先进的数据驱动模型仍能保持竞争力。在基于模型的方法中，解析函数分析作为一种强大的工具，已被用于研究湍流中的相干结构，并开发估计和控制策略。通过将线性化纳维-斯托克斯方程视为一个受迫系统，解析函数分析识别出频率域中最显著的流动响应的输入-输出关系（Jovanovi? & Bamieh 2005年；McKeon & Sharma 2010年；Towne, Schmidt & Colonius 2018年）。这些研究表明，解析函数模式为湍流中的相干结构提供了有用的表示，并推动了基于解析函数的建模和控制的后续发展。该框架还被用于指导开环和闭环控制设计。例如，Yeh & Taira（2019年）应用解析函数分析为Re = 23,000、Ma = 0.3和攻角分别为6°和9°的NACA翼型确定分离控制参数。同样，Liu等人（2021年）利用基于解析函数的开环控制减少了腔体上的压力波动，而Jin, Illingworth & Sandberg（2022年）开发了一种基于解析函数的迭代算法用于圆柱流中的闭环估计和控制。基于这些基础，最近的工作侧重于利用解析函数模式与谱适当正交分解模式之间的紧密联系（Towne等人2018年）来构建基于数据的相干结构模型（Martini等人2020年；Towne, Lozano-Durán & Yang 2020年；Amaral等人2021年；Amaral & Cavalieri 2023年；Ying等人2023年）。尽管这些方法在捕捉可用测量数据中的相干结构方面显示出巨大潜力，但大多数现有实现主要依赖于非因果公式，这限制了它们在实时估计和控制中的直接应用。为了解决这一差距，我们最近的工作专注于使用Wiener-Hopf形式主义（Noble 1958年）开发因果解析函数估计器，该形式主义确保了因果关系（Daniele & Lombardi 2007年；Martinelli 2009年），并产生了适合不可压缩求解器的最优估计核（Martini等人2022年）。在此基础上，Jung, Bhagwat & Towne（2025年）开发了一种高效的计算实现，将其集成到可压缩求解器中，成功验证了层流尾流的因果估计和控制方法。在同一框架内，Towne等人（2024年）利用Nielsen & Kleb（2006年）和Bhagwat（2021年）提出的方法，证明了线性化纳维-斯托克斯算子对各种流动的准确性。虽然解析函数分析天然适用于全局稳定流动——在这种情况下，线性化算子$\unicode{x1D63C}$的所有特征值都在稳定半平面内，且解析函数$(i\omega \unicode{x1D644} - \unicode{x1D63C})^{-1}$（其中$\omega$是时间频率，$\unicode{x1D644}$是单位矩阵）在感兴趣的频率范围内定义良好——但将其扩展到全局不稳定系统则更具挑战性。在这种情况下，通常将解析函数解释为将驱动映射到有界的稳态时间周期响应的方法不再适用。因此，不稳定特征值会产生无界增长而不是稳态，必须特别注意或进行规范处理（Colonius & Towne 2025年）。一种减轻这种现象的策略是使用指数折扣将不稳定特征值移放到频谱的稳定区域内（Jovanovi? & Bamieh 2005年；Yeh等人2020年；Yeh等人2020年）。或者，提出了数据驱动的解析函数公式来绕过对全局稳定线性算子的依赖（Martini等人2022年；Jung等人2025年）。这些方法保持了基于解析函数估计的优势，特别是对全局流动不稳定性具有鲁棒性。线性随机估计及相关技术在湍流估计中有着悠久的历史（Cole, Glauser & Guezennec 1992年；Adrian 1994年；Tinney等人2006年；Murray & Ukeiley 2007年）。这些方法使用二阶统计量从测量量构建到未观测流动变量的线性映射。在基于解析函数的框架内，基于数据的非因果估计核的构建（Martini等人2020年）在数学上类似于频域随机估计器，因为它也基于先验数据产生线性、统计最优的映射。当前框架与这种传统方法有两个关键区别：首先，我们明确制定了一个因果估计器，它使用过去和当前的测量数据来预测当前状态，产生一个时间分辨的输入-输出算子，而不是纯粹的瞬时映射；其次，我们将估计问题嵌入到解析函数形式主义中，使得估计器直接与纳维-斯托克斯方程的线性输入-输出结构相关联。这种联系提供了一个基于物理的理解方法和结果的视角。在这种意义上，非因果估计器从测量数据中恢复了类似经典随机估计的映射，而基于解析函数的因果公式则系统地扩展了这些思想。传感器布置对于准确的流动估计至关重要，它影响基于传感器测量的准确性和后续控制策略。虽然正式的传感器布置优化可以显著提高估计准确性（Manohar等人2018年；Sashittal & Bodony 2021年；Jin等人2022年），但由于物理和操作限制，这些方法往往面临实际挑战。因此，本研究并不旨在优化现实的传感器布置。相反，我们通过评估单个传感器-目标对之间的相关性以及分析单传感器估计误差来经验性地确定有效的传感器位置，从而提供与现实实验场景相关的实用见解。在基于解析函数的框架内，空间相干性已成为评估传感器-目标对适用性的一个特别有价值的指标。最近的实验研究（Maia等人2021年；Audiffred等人2023年；Audiffred等人2024年；Jung等人2024年）和数值分析（Towne等人2024年；Jung等人2025年）表明，基于相干性的方法能够有效识别出产生准确估计和控制的区域。此外，分析单传感器估计误差可以直接指导传感器位置的选择，特别是在高相干区域或沿着可预测的扰动传播路径（Jung等人2025年）。或者，流线可视化可以有效地在 convectively 主导的流动中动态识别与目标区域相连的传感器布置（Jung 2024年）。本研究的目的是使用翼型表面有限的测量数据来估计Re = 23000时NACA0012翼型尾流中的非稳态湍流波动。在我们之前关于层流尾流的工作（Jung等人2025年）的基础上，我们采用了基于因果解析函数的估计方法，专注于估计湍流尾流中的速度波动，这种流动表现出宽带、多尺度动态，而不是周期性脱落。与层流情况不同，不需要上游驱动来诱导混沌波动；相反，我们估计自然发生的湍流波动。在这种状态下，线性化纳维-斯托克斯算子是全局不稳定的，使得传统的解析函数公式不适用。为了解决这个问题，我们采用了一种数据驱动的方法，该方法从非线性模拟数据构建传递函数，使用经验交叉谱密度来近似解析函数算子（Martini等人2022年；Jung等人2025年）。这些估计器利用了有色时间非线性驱动的统计结构（Zare, Jovanovi? & Georgiou 2017年；Towne等人2020年；Morra等人2021年），并且可以在不需要先验模型简化的情况下构建，保持了计算效率。此外，我们通过Wiener-Hopf形式主义（Noble 1958年）确保了因果关系，使得控制应用能够实现实时估计（Jung等人2020年；Martini等人2020年；Martini等人2022年）。这项工作表明，基于解析函数的方法可以通过利用相干流动结构，为展向周期性湍流尾流提供准确、可解释且可扩展的估计器（Towne等人2018年）。本文的其余部分安排如下。在第2节中，我们描述了流动配置、数值模拟、验证程序和用于构建数据驱动估计核的数据集。基于这次模拟，我们考虑了三种估计情况：（i）展向平均流动，（ii）单个展向傅里叶模式，以及（iii）翼中间位置的完整三维流场。第3节简要概述了基于解析函数的估计框架，包括理论公式、通过Wiener-Hopf方法推导因果解析函数估计核的方法以及基于解析函数的估计工具的实现。第4节详细讨论了三种情况的估计结果。最后，第5节提出了总结性的评论和未来研究方向。问题描述：我们考虑了在 moderate chord-based Reynolds number ${Re}_{L_{c}} = 23{\,}000$ 和 angle of attack $\alpha = 6^\circ$ 下的 NACA0012 翼型的湍流尾流，这在之前的几项研究中已有研究（Kojima 等人，参考文献 Kojima, Nonomura, Oyama 和 Fujii2013；Munday & Taira，参考文献 Munday 和 Taira2018；Yeh & Taira，参考文献 Yeh 和 Taira2019；Towne 等人，参考文献 Towne2023）。自由流马赫数设定为 $Ma_{\infty }\equiv U_{\infty }/c_{\infty }=0.3$，其中 $U_{\infty }$ 和 $c_{\infty }$ 分别表示自由流速度和声速。在翼型表面放置了剪切应力传感器，而目标位于湍流尾流的下游（详见第 4 节）。在本文中，我们提出了一种基于解析函数的估计方法，用于估计沿流向速度 $u_{x}^{\prime}$ 关于时间平均流速 $\bar {u}_{x}$ 的时间序列波动。

2.2. 仿真：采用 Cadence Design Systems 的高保真可压缩流动求解器 CharLES（Brès 等人，参考文献 Brès, Ham, Nichols 和 Lele2017；Brès, Jordan, Jaunet, Le Rallic, Cavalieri, Towne, Lele, Colonius 和 Schmidt2018；Brès, Bose, Ivey, Emory 和 Ham2022；Yeh & Taira，参考文献 Yeh 和 Taira2019）进行了大涡模拟（LES），以模拟湍流翼型流动。仿真在 Koehr 上进行，Koehr 是美国国防部的超级计算机，一台 HPE SGI 8600 系统，峰值性能为 3.05 PFLOPS。本研究使用了超级计算机的 50 个节点，每个节点配备 48 个核心。图 1(a) 中显示了使用 Pointwise 生成的 C 形网格。图 1(b) 和 1(c) 分别展示了平均和瞬时沿流向速度场。翼型的前缘位于原点，$x/L_{c} = y/L_{c} = 0$。计算域的范围为 $x/L_{c} \in [-20, 21]$，$y/L_{c} \in [-20, 20]$ 和 $z/L_{c} \in [-0.1, 0.1]$。与其他研究不同，我们没有采用自适应网格细化方法。相反，为了减少单元总数，我们在横向和展向方向上细化了网格。在域边界施加了特征边界条件 $[\rho , u_{x}, u_{y}, u_{z}, p] = [\rho _{\infty }, U_{\infty }, 0, 0, p_{\infty }]$，其中 $\rho$ 是流体密度，$U_\infty$ 是自由流速度，$p$ 是压力，在 $x/L_{c} \in [11, 21]$ 区域实现了海绵层，以减轻流出端的虚假反射。先前的研究表明，在 moderate Reynolds 数值下，翼型尾流对许多因素都很敏感，包括自由流扰动。本次仿真中没有施加任何入射扰动。网格包含大约 3950 万个单元。时间积分的最大 Courant–Friedrichs–Lewy 数为 0.84，与之前的研究一致（Yeh & Taira，参考文献 Yeh 和 Taira2019；Towne 等人，参考文献 Towne2023）。为了获得用于构建传递函数的数据集，以恒定时间步长 $\Delta t U_{\infty } / L_{c} = 4.32 \times 10^{-5}$ 收集了流场快照。图 1. 计算网格和仿真：(a) 完整的 C 形网格，以及插图中显示的靠近壁面的网格放大视图；(b) 平均沿流向速度 $u_{x}$；(c) 从大涡模拟中获得的瞬时沿流向速度 $u_{x}$ 的快照。我们通过将压力系数（$C_p$）和空气动力系数（$C_D$ 和 $C_L$）与表 1 和图 2 中的先前研究结果进行比较来验证 LES 的准确性。这些系数定义如下：
$$
\begin{align}
C_{p}=\frac {p-p_{\infty }}{\frac {1}{2} \rho _{\infty } U_{\infty }^{2}},\quad C_{D}=\frac {F_{D}}{\frac {1}{2} \rho _{\infty } U_{\infty }^{2} A},\quad \textrm {和} \quad C_{L}=\frac {F_{L}}{\frac {1}{2} \rho _{\infty } U_{\infty }^{2} A}
\end{align}
$$
其中 $C_D$ 是阻力系数，$C_L$ 是升力系数，$F_D$ 和 $F_L$ 分别是阻力和升力，$A$ 是参考面积。这里的上划线 $\bar {(\boldsymbol{\cdot })}$ 表示时间平均值。实验数据由 Kim 等人提供（参考文献 Kim, Yang, Chang 和 Chung2009）。与我们的仿真最相似的是 Yeh & Taira（参考文献 Yeh 和 Taira2019）的实验，它们采用了相同的物理设置和求解器，但使用了不同的网格。Kojima 等人（参考文献 Kojima, Nonomura, Oyama 和 Fujii2013）和 Munday & Taira（参考文献 Munday 和 Taira2018）的仿真由于使用了不可压缩流动求解器而有所不同。如表 1 所总结的，当前的 time-averaged 升力和阻力系数与 Yeh & Taira（参考文献 Yeh 和 Taira2019）的结果分别相差 4% 和 0.4%。这些差异在类似流动的独立仿真结果之间是典型的。此外，图 2 中的表面压力分布显示的趋势和总体行为与 Kim 等人（参考文献 Kim, Yang, Chang 和 Chung2009）的实验数据以及 Kojima 等人（参考文献 Kojima, Nonomura, Oyama 和 Fujii2013）的数值结果一致。这些比较支持了当前网格分辨率和 LES 设置对于本研究的适用性。

表 1. 在 ${Re}_{L_{c}} = 23\,000$ 和攻角 $6^{\circ}$ 下的 NACA0012 翼型的 time-averaged 阻力和升力系数与参考数据的比较。

图 2. 压力系数 $C_{p}$ 与先前研究的比较。

如图 3 所示，吸力表面的剪切层在 $x/L_{c}\approx 0.4$ 处发生卷起，导致展向涡旋。在 $0.1 \lesssim x/L_{c} \lesssim 0.84$ 区域的翼型吸力侧观察到了层流分离泡，如图 1(b) 中所示的平均沿流向速度所指示的。在 $x/L_{c}\approx 0.6$ 处检测到层流-湍流过渡，如图 2 中所示的压力系数平台终止所确定的。最终，在翼型后方形成了湍流尾流。

图 3. 使用 $Q$-准则可视化显示的关键流动特征。

2.3. 数据集：我们考虑了三种不同的展向周期性流动表示方法：展向平均、展向傅里叶和中展向平面情况。展向平均情况是最简单的表示方法，数学上定义为：
$$
{\boldsymbol{q}}_{\textit{span}\mbox{-}{avg}}(x,y,t) = \frac {1}{L_z} \int _{-L_{z}/2}^{L_{z}/2} \boldsymbol{q}(x,y,z,t) \, {\rm d}z,
$$
其中 $L_z$ 是展向长度。这里，$\boldsymbol{q}_{{span\mbox{-}avg}}$ 表示展向方向上的空间平均量。展向傅里叶分解是一种常用于三维流动的大局稳定性分析的技术（Theofilis 参考文献 Theofilis2003），之前已被用来研究不同展向波数的解析增益（Yeh & Taira 参考文献 Yeh 和 Taira2019；Towne 等人参考文献 Towne2023）。我们同样分析了由下式定义的展向傅里叶模式：
$$
\hat {\boldsymbol{q}}(x,y,k_{z},t) = \frac {1}{L_z}\int _{-L_{z}/2}^{L_{z}/2} \boldsymbol{q}(x,y,z,t)e^{-ik_{z}z} \, {\rm d}z,
$$
其中 $k_{z}$ 表示展向波数。这种方法通过检查展向傅里叶模式来逐步引入更复杂的流动结构。最后，中展向平面情况关注中心展向位置的流动，定义为：
$$
\boldsymbol{q}_{\textit{mid}}(x,y,t) = \boldsymbol{q}(x,y,z_{\textit{mid}},
$$
其中 $z_{\textit{mid}} = 0$ 是中展向位置。这种表示方法通过检查代表性的展向位置的流动来帮助捕捉展向效应，并且与传感器沿翼型单个展向位置分布的现实使用情况一致。这些表示方法增强了我们对展向效应对流动影响的理解，并支持了对展向周期性流动的传感器布置和流动估计策略的研究。数据集包括 $n_t = 75{\,}000$ 个时间分辨的三维快照，包含 $[\rho , \rho u_x, \rho u_y, \rho u_z, T]$，其中 $T$ 是温度，时间窗口为 $tU_\infty / L_c \in [0, 324]$。这些快照以均匀间隔 $\Delta t U_\infty / L_c = 0.00432$ 采样，该时间间隔能够解析出主导的涡脱落频率 $St_{\alpha } \equiv f L_c (\sin \alpha ) / U_\infty \approx 0.15$。与之前的数据集（Towne 等人参考文献 Towne2023）相比，这种更精细的时间分辨率和更长的持续时间使得能够捕捉到更小的湍流波动，并提供了更多的快照数量，从而提高了估计核的收敛性。时间窗口大约覆盖了 466 个脱落周期，提供了足够长的时间序列以确保谱量的统计收敛性，包括用于构建估计核的互谱密度。空间域覆盖 $x / L_c \in [-0.5, 2.5]$ 和 $y / L_c \in [-0.5, 0.5]$，以高空间精度捕捉了近尾流区域。为了构建基于解析函数的估计核，我们遵循了 Jung 等人（参考文献 Jung, Bhagwat 和 Towne2025）的实现方法。在估计之前，数据集通过从每个变量中减去时间平均值并应用汉明窗口（Hamming 参考文献 Hamming1997）来减少傅里叶变换中的谱泄漏。数据集被分为 80% 用于训练和 20% 用于测试，使用单一的固定划分。这种相同的训练-测试分割用于所有三种估计情况（展向平均、展向傅里叶和中展向）。鉴于数据集包含超过 400 个脱落周期，这种固定分割预计可以提供统计上具有代表性的训练和测试集。

3. 基于解析函数的估计框架：在本节中，我们简要回顾了近期研究中开发的基于解析函数的估计框架（Martini 等人参考文献 Martini, Cavalieri, Jordan, Towne 和 Lesshafft2020；Martini, Jung, Cavalieri, Jordan 和 Towne2022；Towne 等人参考文献 Towne, Lozano-Durán 和 Yang2020；Jung 等人参考文献 Jung, Bhagwat 和 Towne2025）。

3.1. 估计系统：我们从可压缩的 Navier–Stokes 方程开始，表示为：
$$
\frac {\partial \boldsymbol{q}}{\partial t}= \mathcal{F} (\boldsymbol{q}),
$$
其中 $\boldsymbol{q}$ 是流变量的状态向量 $[\rho ,\rho u_{x},\rho u_{y},\rho u_{z},\rho E]^{T}$，$\mathcal{F}$ 是非线性 Navier–Stokes 算子。使用 Reynolds 分解对方程进行线性化，得到：
$$
\frac {\partial \boldsymbol{q}'}{\partial t}-\unicode{x1D63C}\boldsymbol{q'}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\bar {q}},\boldsymbol{q'},
$$
其中 $\bar {\boldsymbol{q}}$ 和 $\boldsymbol{q}'$ 分别表示流变量的平均状态向量和扰动状态向量，$\unicode{x1D63C} = ( {\partial \mathcal{F}}/{\partial \boldsymbol{q}}\big )|_{\bar {q}}$ 是线性化的 Navier–Stokes 算子，$\boldsymbol{f}$ 表示剩余的非线性项。为了方便起见，从这一点开始我们省略了扰动的 $(\boldsymbol{\cdot })^{\prime }$ 上标。为了推导估计方法，我们考虑了 (3.1) 的线性时不变（LTI）系统形式 (3.3a)：
$$
\frac {{\rm d}\boldsymbol{q}}{{\rm d}t}(t)&= \unicode{x1D63C}\boldsymbol{q}(t)+\unicode{x1D63D}_{f}\boldsymbol{f}(t), \\[-12pt]
(3.3b)
\boldsymbol{y}(t)&= \unicode{x1D63E}_{y}\boldsymbol{q}(t)+\boldsymbol{n}(t), \\[-12pt]
(3.3c)
\boldsymbol{z}(t)&= \unicode{x1D63E}_{z}\boldsymbol{q}(t),
$$
其中强迫矩阵 $\unicode{x1D63D}_{f} \in {\rm \mathbb{C}}^{n \times n_{f}}$ 可以用来限制强迫 $\boldsymbol{f}$ 的形式，测量 $\boldsymbol{y}$ 和目标 $\boldsymbol{z}$ 分别表示通过测量矩阵 $\unicode{x1D63E}_{y}\in {\rm \mathbb{C}}^{n_{y} \times n}$ 和目标矩阵 $\unicode{x1D63E}_{z}\in {\rm \mathbb{C}}^{n_{z} \times n}$ 提取的状态扰动读数。传感器和目标的数量分别表示为 ${n}_{y}$ 和 $n_{z}$。向量 $\boldsymbol{n}$ 表示传感器噪声。测量 $\boldsymbol{y}$ 选择为翼型表面上一个或多个点的剪切应力 $\boldsymbol{\tau }_{w}$。它是使用适当定义的测量矩阵 $\unicode{x1D63E}_{y}$ 从状态 $\boldsymbol{q}$ 计算得出的，如 Jung 等人（参考文献 Jung, Bhagwat 和 Towne2025）中所述。目标 $\boldsymbol{z}$ 代表一个或多个高斯传感器，每个高斯传感器的空间支持由下式给出：
$$
\alpha e^{-(x-x_{c})^{2}/ 2 \sigma _{x} ^{2} -(y-y_{c})^{2}/ 2 \sigma _{y} ^{2}-(z-z_{c})^{2}/ 2 \sigma _{z} ^{2}},
$$
其中 $\sigma _{x}$、$\sigma _{y}$ 和 $\sigma _{z}$ 分别定义了每个坐标方向上高斯分布的宽度，$\alpha$ 是表示在高斯支持上积分贡献的权重因子。在本研究中，我们将所有高斯宽度设置为相同的值，$\sigma _{x} = \sigma _{y} = \sigma _{z} = 0.2$。这些目标是通过目标矩阵 $\unicode{x1D63E}_{z}$ 从状态中提取的。通过将线性系统傅里叶变换到频域并将其定义为解析算子 $\unicode{x1D64D} = (i \omega \unicode{x1D644} - \unicode{x1D63C})^{-1}$，其中 $\unicode{x1D644}$ 是单位矩阵，$\omega$ 是时间频率，我们推导出用于构建基于解析函数的估计核的修改后的解析算子。测量和目标向量可以写为：
$$
\boldsymbol{\hat {y}}&=\unicode{x1D64D}_{yf}\boldsymbol{\hat {f}}+\boldsymbol{\hat {n}}, \\[-12pt]
\boldsymbol{\hat {z}}&= \unicode{x1D64D}_{zf}\boldsymbol{\hat {f}}, \\
[9pt]
$$
其中 $\unicode{x1D64D}_{yf}=\unicode{x1D63E}_{y}\unicode{x1D64D}\unicode{x1D63D}_{f}$，$\unicode{x1D64D}_{zf}=\unicode{x1D63E}_{z}\unicode{x1D64D}\unicode{x1D63D}_{f}$。符号 $( \hat {\boldsymbol{\cdot }}$ 表示频域中的量。基于解析函数的估计核 我们使用了三种不同的核进行估计：非因果核、截断的非因果核（TNC核）和因果核（Martini等人，参考文献Martini, Jung, Cavalieri, Jordan和Towne2022）。在本研究的背景下，如果一个估计器仅依赖于过去和现在的传感器测量数据，而不依赖于未来的测量数据，则称其为因果估计器。为了明确这一点，我们引入了时间滞后$\tau$，在卷积中表示为$t-\tau$。对于给定的估计时间$t$，$\tau > 0$对应于过去的时间，$\tau = 0$对应于现在的时间，$\tau < 0$对应于未来的时间。因此，因果估计器仅使用$\tau \geqslant 0$，而使用$\tau < 0$的估计器是非因果的。首先，我们从一个完全非因果的估计器开始，使用卷积函数，表示为（3.6）
$$
\tilde {\boldsymbol{z}}_{nc}(t) = \int _{-\infty }^{\infty } \unicode{x1D64F}_{nc}(t-\tau )\,\boldsymbol{y}(\tau )\,\mathrm{d}\tau ,
$$
其中$\unicode{x1D64F}_{nc} \in \mathbb{R}^{n_{z} \times n_{y}}$是传感器测量数据与估计目标状态之间的非因果估计核。目标是选择一个核来最小化估计误差的期望值$e(t)=\tilde {\boldsymbol{z}}(t)-\boldsymbol{z}(t)$，通过成本函数（3.7）来形式化
$$
\unicode{x1D645}_{nc} = \int _{-\infty }^{\infty } \mathbb{E}\{ e(t)^{\dagger } e(t) \}\,\mathrm{d}t,
$$
其中$\mathbb{E}\{\boldsymbol{\cdot }\}$是期望运算符。整个估计框架在图4(a)的框图中进行了说明。通过最小化成本函数，我们得到了一个非因果估计核（3.8）
$$
\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D64F}}_{nc}(\omega ) = \bigl (\unicode{x1D64D}_{zf}\,\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}}\,\ unicode{x1D64D}_{yf}^{\dagger }\bigr ) \bigl (\unicode{x1D64D}_{yf}\,\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}}\,\unicode{x1D64D}_{yf}^{\dagger } + \kern1.5pt \hat {\kern-1.5pt \unicode{x1D649}}\bigr )^{-1},
$$
其中$\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}} = \mathbb{E}\{ \kern2.5pt \hat {\boldsymbol{\kern-2.5pt f}} \kern2.5pt \hat {\boldsymbol{\kern-2.5pt f}}^{\dagger } \}$和$\kern1.5pt \hat {\kern-1.5pt \unicode{x1D649}} = \mathbb{E}\{ \hat {\boldsymbol{n}} \hat {\boldsymbol{n}}^{\dagger } \}$分别表示强迫项和传感器噪声的互谱密度矩阵。注意，强迫项的时空颜色在（3.8）中明确包含，以便在传递函数中统计性地考虑流动的非线性动态。图4. 基于解析函数的估计框图：(a)基于线性系统的基于解析函数的估计器的设计，以及(b)应用于非线性系统。这里，$(\boldsymbol{\cdot })'$表示围绕平均量的波动，$(\bar {\boldsymbol{\cdot }})$表示平均量，$(\tilde {\boldsymbol{\cdot }})$表示估计量。其次，对于实时估计，只有当前和过去的（而不是未来的）传感器测量数据是可用的。因此，一种常见的实际方法是通过对与非未来测量数据相关的部分（$\tau \lt 0$）设置为零来截断非因果核。明确使用时间滞后变量，我们定义TNC核为（3.9）
$$
\unicode{x1D64F}_{\textit{tnc}}(\tau ) = \begin{cases} \unicode{x1D64F}_{nc}(\tau ), & \tau \geqslant 0,\\ 0, & \tau \lt 0,
\end{cases}
$$
以便TNC估计值计算为（3.10）
$$
\tilde {\boldsymbol{z}}_{\textit{tnc}}(t) = \int _{-\infty }^{0} \unicode{x1D64F}_{\textit{tnc}}(t-\tau )\,\boldsymbol{y}(\tau )\,\mathrm{d}\tau ,
$$
它仅使用相对于时间$t$的过去和现在的测量数据。TNC估计器在其所使用的信息方面是因果的；“非因果”这个形容词仅指核的构造方式（通过截断非因果解决方案），而不是其实际的时间支持。最后，我们通过在成本函数中直接应用维纳-霍普夫形式主义来推导出一个最优的因果估计核。因果估计器表示为（3.11）
$$
\tilde {\boldsymbol{z}}_{c}(t)= \int _{-\infty }^{0} \unicode{x1D64F}_{c}(t-\tau )\,\boldsymbol{y}(\tau )\,\mathrm{d}\tau ,
$$
其中$\unicode{x1D64F}_{c} \in \mathbb{R}^{n_{z} \times n_{y}}$是因果估计核。为了强制因果性，我们要求核在负时间滞后时消失，即$\unicode{x1D64F}_{c}(\tau \lt 0)=0$，以便估计器仅依赖于过去和现在的测量数据。通过引入拉格朗日乘子${\boldsymbol{\varLambda}}_{-}(t)$来强制执行这一约束，该乘子作用于核的非因果部分，即其逆傅里叶变换支持在$\tau \lt 0$的组成部分。然后成本函数（3.7）被修改为（3.12）
$$
\unicode{x1D645}_{c}= \int _{-\infty }^{\infty }\big ( \mathbb{E}\{ e(t)^{\dagger } e(t) \} + {\boldsymbol{\varLambda}}_{-}(t)\,\unicode{x1D64F}_{c}(t) + {\boldsymbol{\varLambda}}_{-}^{\dagger }(t)\,\unicode{x1D64F}_{c}^{\dagger }(t)\,\mathrm{d}t.
$$
这里，下标$(\boldsymbol{\cdot })_{+}$和$(\boldsymbol{\cdot })_{-}$分别表示矩阵或函数的组成部分，其逆傅里叶变换支持在$\tau \geqslant 0$（因果）和$\tau \lt 0$（非因果）上，通过维纳-霍普夫分解获得。因此，（3.12）中的优化问题寻求在因果约束$\unicode{x1D64F}_{c}(\tau \lt 0)=0$下最小化均方估计误差的核$\unicode{x1D64F}_{c}(\tau )$。在这个框架中，$\unicode{x1D645}_{c}$相对于${\boldsymbol{\varLambda}}_{-}$的变化强制了条件$(\unicode{x1D64F}_{c})_{-}=0$，即没有$\tau \lt 0$的支持，而相对于$\unicode{x1D64F}_{c}$的变化则得到了在该约束下的最优核。拉格朗日乘子${\boldsymbol{\varLambda}}_{-}$因此特别是与非因果组成部分$(\boldsymbol{\cdot })_{-}$相关联，其作用是将该核的这一部分驱动为零。维纳-霍普夫过程的简要总结及其进一步细节在附录A中提供。频率域中的结果因果核为（3.13）
$$
\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D64F}}_{c}(\omega )= \bigl [ \unicode{x1D64D}_{zf}\,\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}}\,\unicode{x1D64D}_{yf}^{\dagger }\, \bigl (\unicode{x1D64D}_{yf}\,\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}}\,\unicode{x1D64D}_{yf}^{\dagger } + \kern1.5pt \hat {\kern-1.5pt \unicode{x1D649}}\bigr )^{-1}_{-}\bigr ]_{+}\bigl (\unicode{x1D64D}_{yf}\,\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}}\,\unicode{x1D64D}_{yf}^{\dagger } + \kern1.5pt \hat {\kern-1.5pt \unicode{x1D649}}\bigr )^{-1}_{+}.
$$
我们考虑的所有传递函数都涉及可以统计上解释非线性的强迫互谱密度矩阵。然而，我们的方法更适合实时估计方法，因为因果性受到了限制。在本文中，我们展示了因果和TNC传递函数的结果，以评估强制因果性对湍流估计精度的最佳影响。关于湍流平均值的线性化在全局是不稳定的（Yeh和Taira，参考文献Yeh和Taira2019）。虽然解析算子$\unicode{x1D64D}(i\omega )=(i\omega \unicode{x1D644}-\unicode{x1D63C})^{-1}$是一个标准的频率域对象，但目前工作的中心难点不是它的正式定义，而是构建最优传递函数所需的假设。我们推导出的基于解析的估计器（及其等效的频率域传递函数）假设输入/输出过程是统计上稳定的，因此存在时间不变的相关性和互谱密度。这一假设被本工作中使用的统计上稳定的非线性（LES）数据所满足。相比之下，通过积分非稳定的线性系统生成的轨迹呈指数增长，并且不是统计上稳定的，因此维纳-霍普夫方法所需的相关性/谱在这里并不明确。因此，即使通过数值方法（例如通过折现）对不稳定积分进行规范化，得到的信号也将对应于一个修改过的、非物理的过程，并且不会为推导最优核的稳定湍流统计提供一个适当的代理。为了规避这个问题，我们采用了一种数据驱动的方法（Martini等人，参考文献Martini, Jung, Cavalieri, Jordan和Towne2022），该方法直接从统计上稳定的流动数据中估计所需的相关性/互谱（Audiffred等人，参考文献Audiffred, Cavalieri, Brito和Martini2023；Jung等人，参考文献Jung, Bhagwat和Towne2025），从而在不需要显式积分不稳定线性化算子的情况下构建相同的基于解析的核。遵循§3.1中LTI系统的符号，传感器和目标读数的数据集经过傅里叶变换，表示为（3.14）
$$
\begin{bmatrix} \kern2pt \hat {\kern-2pt \boldsymbol{y}}\\[5pt] \hat {\boldsymbol{z}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \unicode{x1D64D}_{yf} & 1 \\[5pt] \unicode{x1D64D}_{zf} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kern2.5pt \hat {\boldsymbol{\kern-2.5pt f}} \\[5pt] \hat {\boldsymbol{n}} \end{bmatrix} .
$$
假设加性传感器噪声与强迫无关，即$\mathbb{E}\{\hat{\boldsymbol n}\,\hat{\kern-3.5pt \boldsymbol f}^{\dagger}\}=\mathbb{E}\{ \ \hat{\kern-3.5pt \boldsymbol f}\hat{\boldsymbol n}^{\dagger}\}=0$，并定义无噪声测量信号$\hat{\boldsymbol y}_s=\unicode{x1D64D}_{yf}\,\hat{\kern-3.5pt \boldsymbol f}$，计算$[\hat{\boldsymbol y}_s \quad \hat{\boldsymbol z}]^T$的互谱密度得到（3.15）
$$
\begin{align}\begin{bmatrix}\unicode{x1D64E}_{yy} & \unicode{x1D64E}_{yz} \\[5pt] \unicode{x1D64E}_{zy} & \unicode{x1D64E}_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \unicode{x1D64D}_{yf}\,\hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}}\unicode{x1D64D}_{yf}^{\dagger} &;\unicode{x1D64D}_{yf}\,\hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}}\unicode{x1D64D}_{zf}^{\dagger} \\[5pt] \unicode{x1D64D}_{zf}\,\hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}}\unicode{x1D64D}_{yf}^{\dagger} & \ unicode{x1D64D}_{zf}\,\hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}}\unicode{x1D64D}_{zf}^{\dagger} \end{bmatrix},
$$
其中$\unicode{x1D64E}_{yy}=\mathbb{E}\{\hat{\boldsymbol y}_s\hat{\boldsymbol y}_s^{\dagger}\}$和$\unicode{x1D64E}_{zy}=\mathbb{E}\{\hat{\boldsymbol z}\hat{\boldsymbol y}_s^{\dagger}\}$。在形成估计核时，分别合并了传感器噪声互谱密度$\kern1.5pt \hat {\kern-1.5pt \unicode{x1D649}}=\mathbb{E}\{\hat{\boldsymbol n}\hat{\boldsymbol n}^{\dagger}\}$。实际上，这些互谱密度（CSD）矩阵是直接从时间分辨数据中获得的。具体来说，我们使用离散傅里叶变换计算测量时间序列的傅里叶变换，然后使用Welch方法（Welch参考文献Welch1967）形成CSD。由于（3.15）的右侧包含了构建估计核所需的项，这表明左侧的相关性可以在（3.8）和（3.13）中替代使用。数据驱动的非因果和因果估计核（3.8）和（3.13）是使用（3.15）中的CSD计算的，得到（3.16a）
$$
\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D64F}}_{nc} &= \unicode{x1D64E}_{zy} ( \unicode{x1D64E}_{yy} + \kern1.5pt \hat {\kern-1.5pt \unicode{x1D649}})^{-1}, \\[-12pt]
$$
（3.16b）
$$
\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D64F}}_{c} &= \big[\unicode{x1D64E}_{zy} ( \unicode{x1D64E}_{yy} + \kern1.5pt \hat {\kern-1.5pt \unicode{x1D649}})^{-1}_{-} \big]_{+} (\unicode{x1D64E}_{yy} + \kern1.5pt \hat {\kern-1.5pt \unicode{x1D649}})_{+}^{-1}.
$$
请注意，在推导过程中，强迫CSD $\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}}$明确出现在（3.16）中。因此，CSD本质上包含了关于流动非线性的统计信息。在数据驱动方法中，$\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}}$通过（3.15）中经验获得的CSD $\unicode{x1D64E}_{yy}$和$\unicode{x1D64E}_{zy}$被隐式考虑。从测量读数和目标值中减去了平均流动。估计核是针对线性系统离线计算的，如图4(a)所示。然后这些核用于实时（在线）估计尾流中的速度波动，将这种方法应用于非线性系统，如图4(b)所示。3.3. 基于解析函数的估计的实现 我们采用了最近开发的基于解析函数的估计和控制工具，并将其集成到可压缩流动求解器CharLES中（Towne等人，参考文献Towe, Bhagwat, Zhou, Jung, Martini, Jordan, Audiffred, Maia和Cavalieri2024；Jung等人，参考文献Jung, Bhagwat和Towe2025），该求解器被精心设计为可以扩展到大规模问题，例如湍流尾流。该方法最初受到Martini等人（参考文献Martini, Jung, Cavalieri, Jordan和Towne2022）所实现的不可压缩求解器的启发，然后由Jung等人（参考文献Jung, Bhagwat和Towe2025）扩展到使用C++编写的并行算法的可压缩流动。这些基于解析的工具与求解器紧密集成，使得在模拟过程中可以进行原位计算。此外，我们的模块化软件设计简化了与其他相关软件包的集成，并确保了在高性能计算环境中的直接部署。图5. 可压缩流动求解器中基于解析函数的估计工具的流程图。虚线框表示集成到现有计算流体动力学（CFD）求解器中的基于解析的工具（实线框参考Martini、Cavalieri、Jordan、Towne和Lesshafft（2020年）；Towne等人。参考Towne、Lozano-Durán和Yang（2020年）；Amaral等人。参考Amaral、Cavalieri、Martini、Jordan和Towne（2021年）；Amaral和Cavalieri（2023年）。因果估计器仅使用当前和过去的测量数据，并通过Wiener-Hopf方法优化了用于此目的的核函数（Martini等人）。这种因果性强制使得我们的方法适用于实时应用。这项工作是首次将Wiener-Hopf方法明确应用于湍流流动估计中的因果性强制，扩展了以往主要关注实验性流动控制研究（Audiffred等人）和层流流动场景（Martini等人；Jung等人）的努力。如前所述，我们的分析集中在横向平均、横向傅里叶和中跨平面情况，如图6所示。尾流区域分析的具体目标位置也在图6(a)中突出显示。横向平均情况提供了横向方向空间结构的简洁而丰富的视图，使得能够集中分析流沿线和平行于流方向的传感器定位。我们通过研究横向傅里叶模式逐步结合更复杂的流动结构，特别关注$k_{z}=10\pi$时最具能量的模式，以及中跨平面上的流动，以更好地捕捉估计过程中的横向效应。图6显示了（a）横向平均情况，（b）横向傅里叶模式$k_{z}=10\pi$和（c）中跨平面情况的流速波动场（$u_{x}'/U_{\infty}$）。目标位置（$z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$）用蓝色圆圈标出，并位于尾缘下游的流线坐标$x/L_{c} = [1.2,1.5,2.0,2.5]$，横向位置$y/L_c = -0.11$。在这项研究中，我们将因果估计性能与TNC估计器的性能进行了比较。完全非因果估计核不能直接用于实时应用，因为其时间支持延伸到未来。因此，任何实际的实时实现都必须截断核函数的时间范围，以便仅使用过去和现在的测量数据。如（3.9）所示，这种截断产生了实际中使用的TNC核（它是因果的但不是最优的），其性能可以直接与最优因果估计器的性能进行比较。鉴于三维机翼表面上有大量潜在的传感器位置，我们的调查首先基于单传感器估计误差指标和相干性分析选择最有效的传感器位置。随后，我们检查这些选定的传感器和目标位置的功率谱密度（PSD），以更好地了解它们的频域特性。然后，我们构建专为多传感器估计设计的估计核，分析它们在时间和频域中的特性，以便了解它们在估计性能中的作用。最后，我们展示了多传感器估计结果，量化了单个目标点和扩展目标区域上的误差，以证明基于响应方法的有效性。4.1 传感器布置的调查传感器布置是通过评估单传感器估计误差指标来指导的，类似于Jung等人（Jung、Bhagwat和Towe 2025年）的方法，以及评估传感器和目标位置之间的相干性（Maia等人；Audiffred等人）。本文中使用的估计误差由以下指标量化（Martini等人；Jung和Towe 2024年；Jung等人）：\[E=\frac {\sum _{i} \int (\boldsymbol{\tilde {z}}_{i}(t)-\boldsymbol{z}_{i}(t))^{2} {\rm d}t}{\sum _{i} \int (\boldsymbol{z}_{i}(t))^{2} {\rm d}t}\]，其中$\boldsymbol{\tilde {z}}_{i}$和$\boldsymbol{z}_{i}$分别代表第$i$个目标位置的估计值和真实值。此外，相干性提供了关于频率依赖性估计性能的宝贵见解，其定义为（Towne等人）：\[\hat {\gamma }_{yz}(\omega )=\frac {|\unicode{x1D64E}_{yz}(\omega )|}{\sqrt {\unicode{x1D64E}_{yy}(\omega )}\sqrt {\unicode{x1D64E}_{zz}(\omega )}\]，其中$\unicode{x1D64E}_{yz}$表示传感器和目标之间的CSD，$\unicode{x1D64E}_{yy}$和$\unicode{x1D64E}_{zz}$表示它们各自的PSD。CSD和PSD按照（3.15）中描述的方法计算。图7显示了单传感器-目标配置下流速波动$u_{x}'$的估计误差图：（a,b）横向平均流动，（c,d）横向傅里叶模式$k_{z}=10\pi$，以及（e,f）中跨平面流动。使用TNC方法的结果显示在面板（a,c,e）中，而因果估计结果显示在面板（b,d,f）中。图8显示了流速（a）和横向（b）速度的估计误差，作为机翼表面传感器位置的函数。蓝色、橙色和紫色线条分别代表横向平均（S-A）、中跨（M-S）和横向傅里叶（S-F）（$k_{z}=10\pi$）流动。实心菱形（$\diamond$）和虚线方形（$\square$）线条分别代表因果方法和TNC方法。图7展示了单个传感器在单个目标位置估计流速波动的空间误差图。结果在TNC（面板a,c,e）和因果（面板b,d,f）估计方法之间进行了比较，涵盖了三种不同的流动表示：横向平均情况（面板a,b）、横向傅里叶模式$k_{z}=10\pi$（面板c,d）和中跨平面情况（面板e,f）。对于横向傅里叶情况，我们特别关注波数$k_{z}=10\pi$，因为它代表了之前响应增益研究中确定的最低频率和最高能量模式（Yeh和Taira 2019年；Towne等人2023年）。传感器位置使用坐标$s$来表征，其中正值对应于机翼的吸力面，负值对应于压力面，其幅度代表标准化流线位置（$x/L_{c}$）。总体而言，因果估计器在所有测试配置中都优于TNC估计器，尤其是在非因果核在$\tau \lt 0$时具有显著能量的情况下，改进最为明显。对于$k_{z}= 10\pi$的横向傅里叶情况，改进较小，因为主要核峰出现在$\tau \gt 0$时。这个优势在尾缘区域（$1 \lt x/L_{c} \lt 1.5$）特别明显，当传感器位于机翼的前表面（$-0.5 \lt s \lt 0.5$）时更为显著。与中跨流动相比，横向平均流动的性能改进更为明显。这种差异主要是由于机翼表面$-0.5 \lt s \lt 0.5$的层流区域的特点，那里存在更大的横向结构，导致尾流中的湍流波动信息较少，从而降低了估计精度。层流区域对估计精度的负面影响在横向傅里叶模式中尤为明显。对于横向傅里叶模式，位于层流区域（$-0.5 \lt s \lt 0.5$）内的传感器，特别是在压力面（$-0.5 \lt s \lt 0$）上的传感器，表现出较差的估计性能。这种效应在低波数时更为明显，例如$k_{z}=10\pi$，这可能是由于与其相关的横向结构较大。然而，在层流到湍流过渡的下游，由于尾流中出现的大尺度湍流结构与测量数据更好地相关，估计性能显著提高。图8显示了尾流区域内平均误差作为传感器位置$s$的函数，比较了横向平均（S-A）、横向傅里叶（S-F）和中跨平面（M-S）流动。这些结果分别针对流速波动（$u_{x}'$，面板a）和横向流速波动（$u_{y}'$，面板b）进行了展示。这里，我们报告了一组沿线段$1 \lt x/L_{c} \lt 2.5$和$y/L_{c} = -0.11$均匀分布的目标的平均误差。基于响应的核函数固有地包括了线性化的Navier-Stokes算子，可以从剪切应力传感器测量中估计两个速度分量，尽管在某些情况下误差可能较大。这种有效性意味着我们的方法可能适用于估计其他相关的流动量，如涡度场，这些量是速度场的导数。放置在压力面上的传感器通常在横向平均和中跨流动中产生更高的精度。有趣的是，吸力面上的层流区域在横向平均流动中的估计也表现良好，这与图7中显示的结果形成对比。这种差异是因为图8中分析的目标横跨了尾缘下游的近尾流和远尾流区域，从而包含了不同相干性特征的区域。此外，我们观察到在层流分离泡区域（$0.4 \lt s \lt 0.7$）内的传感器估计精度有所下降，尽管随着传感器位置接近尾缘，精度逐渐提高。总体而言，与中心跨流动相比，横向平均流动的估计性能更优，横向傅里叶模式的性能处于中间水平。这主要是由于仅使用单个传感器所固有的限制。如图6所示，S-F和M-S情况在流动中表现出较小尺度的动态。使用单个传感器时，主要流动结构已经在有限的非因果窗口内被捕获，因此强制因果性只提供了有限的额外好处。在其他相关动态更广泛的空间设置中，因果估计器的优势更为明显，如S-A情况。随着我们使用更多传感器，这种改进变得更加显著。这些结果与我们将在§4.4中调查的多传感器估计结果一致。基于这些观察，我们确定尾缘附近（$0.5 \lt x/L_{c} \lt 1$）和上游吸力（$0 \lt x/L_{c} \lt 0.3$）以及压力（$-1 \lt x/L_{c} \lt -0.7$）表面的位置是实现高性能基于响应估计的特别有效位置。图9显示了横向平均、中跨和横向傅里叶（$k_{z}=10\pi$）情况下，流速与目标$z_{1} (x/L_{c}=1.2)$的相干性。在图9中，我们检查了传感器和尾流区域之间流速波动的相干性，这些位置是单传感器估计有效的位置，如图7和8所示。这些位置包括前吸力侧（$0 \lt x/L_{c} \lt 0.3$）、后压力侧（$-1 \lt x/L_{c} \lt -0.7$）和中弦区（$0.5 \lt x/L_{c} \lt 1$），如图9所示。由于我们在这项相干性研究中的目标是获得传感器位置与尾流波动之间物理见解，我们将分析重点放在$x/L_{c}=1.2$的近尾流目标位置。我们首先在图9(a)和9(b)中检查了横向平均和中跨情况，然后在图9(c)中研究了横向傅里叶情况。我们确认了更远尾流位置的相干性趋势相似，但幅度降低。具体来说，代表层流区域的传感器分别放置在1（吸力侧，层流区域$0 \lt x/L_{c} \lt 0.4$）和6（压力侧，层流区域$-1 \lt x/L_{c} \lt 0$），如图9所示。在每个层流区域内，相干性模式保持相似，仅幅度不同。值得注意的是，横向平均情况在感兴趣的频率（$St_{\alpha }\lt 0.2$）下表现出更强的相干性。这种增强的相干性源于与横向平均相关的空间较大的相干波动，导致传感器和目标波动之间的耦合更强。有趣的是，层流区域（传感器1和6）与近尾流目标表现出显著的相干性，这与之前的研究表明上游层流扰动可以与下游尾流波动强烈相关（Zaman 1987年；Dovgal、Kozlov和Michalke 1994年；Hain、K?hler和Radespiel 2009年；Yarusevych、Sullivan和Kawall 2009年；Yeh和Taira 2019年；Jung等人2025年）。此外，位于湍流区域的传感器5在广泛的频率范围内与目标表现出显著的相干性。在中间位置（传感器2、3和4），每个传感器在感兴趣的频率带（$St_{\alpha }\lt 0.2$）上显示出明显的相干性。这些位置是根据捕获目标处的主导频率经验选择的，这对于频域中的核放大至关重要。我们进一步研究了传感器与尾流区域之间在流向速度波动方面的相干性，特别是对于$k_{z}=10\pi$时的展向傅里叶模式，如图9(c)所示。我们特别感兴趣的是验证是否确实如图7中单传感器估计结果所示，在$-0.7 \lt x/L_{c} \lt 0$区域内相干性较弱。为了评估这一点，我们检查了位于$x/L_{c} = -0.3$的传感器7的相干性，该位置由图9(c)中的黄色实线标示。尽管在$St_{\alpha }\lt 0.2$时可以明显观察到冯·卡门涡脱落和其他主导频率，但传感器7在这个频率范围内并没有显示出显著的相干性。相比之下，传感器位置4（紫色）、5（蓝色）和6（红色）显示出明显的相干性峰值，这与有效的估计性能一致。图9(c)还表明，在$10\pi$的展向波数下，传感器5和6的相干性增强。最终，我们确定传感器1、5和6是最适合用于估计的，同时也在传感器2、3和4中选择了传感器4。

4.2 传感器和目标读数的功率谱密度
图10展示了传感器和目标信号的功率谱密度（PSD），这些信号分别对应于展向平均、展向傅里叶和跨展向平面流动。图(a)和(b)突出了在传感器位置$y_{3}$、$y_{4}$和$y_{5}$以及目标位置$z_{1}$处明显存在的三个主导频率。这些主导频率相关的能量向下游减弱，这一点通过图(b)中目标位置$z_2$、$z_3$和$z_4$的PSD得到了证实。众所周知，层流分离泡（LSB）在吸力表面的脱落会促进Kelvin–Helmholtz不稳定性，导致以较低频率振荡为特征的涡脱落（$St_{\alpha }\lt 0.12$）（Ducoin等人，参考文献Ducoin, Loiseau和Robinet2016）。这些低频峰值在图(a)和(b)中传感器位置$y_{3}$、$y_{4}$、$y_{5}$以及近尾流区目标$z_{1}$处被清晰地捕捉到。相比之下，机翼表面和近尾流区域的湍流区域表现出较高的冯·卡门涡脱落频率，这些频率位于高频带内（$0.152 \leqslant St_{\alpha } \leqslant 0.211$）（Yeh和Taira，参考文献Yeh和Taira2019）。

图10显示了流向速度波动$u_{x}'$的PSD，这些数据来自于图6中介绍的展向平均（a）和（b）、展向傅里叶（$k_z=10\pi$）（c）以及跨展向平面（e）和（f）情况。在(a)中，虚线表示层流区域的位置$y_1$和$y_6$。图10(c)和10(d)分别展示了$k_{z}=10\pi$时展向傅里叶模式的传感器和目标测量的PSD。PSD的计算使用了与展向平均情况相同的参数。与展向平均（a）和跨展向平面（e）情况相比，传感器和目标位置（c,d）的PSD没有显示出明显的主导峰值，这与图9(c)中显示的相干性结果一致。正如Yeh和Taira（参考文献Yeh和Taira2019）以及Towe等人（参考文献Towe2023）所观察到的，$k_{z}=10\pi$时的展向傅里叶模式的响应模式主要略微偏离机翼表面。因此，传感器位置的展向傅里叶模式相对较弱，导致PSD值较低，如图10(c)所示。较低波数的模式对应于更大、能量更强的展向结构，而较高波数的模式代表较小、能量较低的结构。我们确认$k_z=10\pi$和$20\pi$之间的主要区别在于它们PSD值的大小，而它们的PSD模式保持相似。

4.3 估计核
接下来，我们基于之前的研究（Martini等人，参考文献Martini, Cavalieri, Jordan, Towne和Leshafft2020；Jung等人，参考文献Jung, Bhagwat和Towe2025）进一步研究了估计核，最初我们在基于求解器的框架内探索了这些核。在本文中，我们采用了一种数据驱动的方法来推导核，该方法考虑了流动非线性的统计效应，隐含地纳入了CSD矩阵$\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}}$，它在线性动力学中作为激励作用。注意，当施加白噪声激励时，估计核对应于卡尔曼滤波器的传递函数（Kalman，参考文献Kalman1960），如Martini等人（参考文献Martini, Jung, Cavalieri, Jordan和Towe2022）所展示的。在本研究中纳入激励矩阵$\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D641}}$是合适的，因为我们的应用涉及强非线性湍流。对估计的非线性项进行建模可以提高性能。估计核的一个关键特征是存在“峰值点”，这些点是核中振幅达到最大值的时间。这些峰值点表明了传感器信号与目标最强相关的延迟时间，从而提供了从传感器位置到目标的主导流体动力扰动传播时间的估计。由于估计核基于可压缩线性化的纳维-斯托克斯算子，它们还捕捉到了声波，因此在流体动力波之外产生了次要峰值（Jung, Bhagwat和Towe参考文献Jung, Bhagwat和Towe2023；Towe等人，参考文献Towe, Bhagwat, Zhou, Jung, Martini, Jordan, Audiffred, Maia和Cavalieri2024）。换句话说，流体动力学和声学效应之间的相互作用已经内嵌在核的结构中。因此，从中获取估计核的输入-输出统计信息本质上反映了这两种效应之间的耦合，确保估计的动力学反映了流体动力学和声学的贡献及它们之间的相互作用。然而，在在线实现中，估计器在初始瞬态期间往往会低估目标值——在累积 enough 的过去测量历史之前，因此时间滞后尚未达到核的峰值。这种低估发生是因为核的部分支持位于可用时间窗口之外，所以相应的信息实际上缺失了。另一个重要特征是核的非因果部分（$\tau \lt 0$）中是否存在显著值，包括峰值点（Jung参考文献Jung2024）。这些信息对于估计至关重要，但如果估计器应用于卷积函数时，这些信息可能被截断，因为它们位于核的非因果部分。这种截断可能会导致因果方法和TNC方法之间性能的显著差异。从数值角度来看，估计核通过将传感器测量的频率信号与核相乘来放大目标信号，即$\hat {\tilde {\boldsymbol{z}}}(\omega )=\kern2.5pt \hat {\kern-2.5pt \unicode{x1D64F}}_{z}(\omega )\kern2pt \hat {\kern-2pt \boldsymbol{y}}(\omega )$。因此，分析频率域中的估计核以及第4.2节中传感器和目标读数的PSD为准确估计提供了宝贵的数值洞察。

我们检验了四种核，特别是在单输入和多输出配置中（传感器：$y_{1}$和目标：$z_{1}$、$z_{2}$、$z_{3}$、$z_{4}$），如图11所示。这一选择是基于这样的观察：当传感器位于有效位置的层流区域内时，核的峰值是清晰的，其他频率的噪声较少，显示出传感器和目标信号之间的明确相关性。在图11中，非因果核（a,c,e,g）在[$\tau _{{peak},z_{1}}^{},\tau _{{peak},z_{2}}^{},\tau _{{peak},z_{3}}^{},\tau _{{peak},z_{4}}^{}] = [-0.36, 0.17, 0.68, 1.25]$处观察到明显的峰值点。这些点代表了传感器和目标之间的主要流体动力波传播时间。图11(a)是一个很好的例子，说明了如何使用Wiener–Hopf分解的因果方法来提高估计精度。当将这个核应用于实时估计以评估卷积函数时，包含关键传播信息的$\tau =-0.36$处的峰值被截断了。频率域中的TNC核（洋红色虚线）的幅度明显低于因果核（蓝线），如图11(b)所示。重要的是要注意，核在主导频率（$0.1 \lt St_{\alpha } \lt 0.2$）处放大了传感器测量值。

图11显示了传感器$y_{1}$和目标$z_{1}$（a,b）、$z_{2}$（c,d）、$z_{3}$（e,f）以及$z_{4}$（g,h）之间的估计核，适用于展向平均情况。核在时间域（左列）和频率域（右列）中展示。黑线代表非因果核，蓝线代表通过Wiener–Hopf分解获得的因果核，洋红色虚线（当显示时）表示TNC核。为了确保PSD的反演是良性的，需要施加传感器噪声（Martini等人，参考文献Martini, Cavalieri, Jordan, Towne和Leshafft2020；Jung等人，参考文献Jung, Bhagwat和Towe2022）。假设传感器噪声协方差$\hat {\kern-1.5pt \unicode{x1D649}}$是对角的，即测量噪声被建模为不相关的（白色），具有指定的方差，类似于其他最优估计和控制方法（Chevalier等人，参考文献Chevalier, H?pffner, Bewley和Henningson2006；Schmid和Sipp参考文献Schmid和Sipp2016）。这种选择反映了常见的情况，即只有部分噪声统计信息是可用的，且传感器之间的详细噪声相关性是未知的。在这项研究中，用于规范核的噪声水平被设置为传感器测量最大PSD值的$10^{-2}$，这与之前的工作方法一致（Martini等人，参考文献Martini, Jung, Cavalieri, Jordan和Towe2022；Jung等人，参考文献Jung, Bhagwat和Towe2025）。为了评估估计对假设噪声水平的敏感性，我们进行了额外的测试，在这些测试中噪声方差的范围超过了$10^{-2}$的值。随着噪声水平的增加，估计误差增加；随着噪声水平的降低，估计误差减少。这些观察表明，尽管该方法对噪声水平的适度变化具有鲁棒性，但更好地表征传感器噪声，特别是相关噪声，可以进一步提高性能。因此，将部分已知或未知的噪声相关性纳入$\kern1.5pt \hat {\kern-1.5pt \unicode{x1D649}}$是未来工作的一个重要课题。

图12显示了$k_{z}=10\pi$时展向傅里叶模式下传感器$y_{5}$和目标$z_{1}$之间的估计核，在时间（a）和频率（b）域中。图6中标示了传感器和目标的位置。黑线代表非因果核，蓝线代表通过Wiener–Hopf分解获得的因果核。图12展示了$k_{z}=10\pi$时的展向傅里叶模式的核。根据图7，传感器位于层流区域的效果较差；因此，我们关注对应于传感器$y_{5}$而不是$y_{1}$，以及目标$z_{1}$的核，这与之前在图11中检查的位置一致。由于展向傅里叶变换后的状态是复数值的，估计的计算成本增加了四倍。此外，如图12所示，当$St_{\alpha }=0$时，核不再对称。在$\tau \gt 0$时，峰值清晰可见（见图12 a），表明流体动力波的占主导地位。因此，因果方法和TNC估计方法之间的性能差异很小。在$|St_{\alpha }|\lt 0.2$的范围内，核的值最大，有效放大了传感器测量值，从而产生准确的估计。图13. 在中跨平面情况下，传感器$y_{1}$（a,b）、$y_{5}$（c,d）和$y_{6}$（e,f）与目标$z_{1}$之间的估计核函数。核函数在时域（左列）和频域（右列）中展示。黑线代表非因果核函数，蓝线代表通过Wiener–Hopf分解得到的因果核函数。最后，我们在图13中展示了中跨平面流动的核函数。图中显示了位于层流区域（$y_{1}$）和湍流区域（吸力面：$y_{5}$；压力面：$y_{6}$）的传感器。传感器$y_{1}$、$y_{5}$与目标$z_{1}$之间的核函数中的显著峰值点与图11和图12中分别展示的$y_{1}$与$z_{1}$以及$y_{5}$与$z_{1}$之间的核函数观察到的峰值点非常吻合。$y_{6}$与$z_{1}$之间的核函数也与其他情况吻合良好，尽管在这里没有明确显示。然而，中跨平面流动的核函数在更大的$\tau$范围内显示出显著的振幅，这表明在时间收敛性方面存在更大的困难。图13(a)中的一个显著区别是，核函数的峰值位于正域（$\tau > 0$），而跨向平均流动中的对应核函数的峰值位于负域。这种差异可能是因为跨向平均情况整合了多个跨向位置的流动，捕捉到了在跨向方向上显著延伸的相干大尺度结构。这些大尺度结构更能够影响上游条件（非因果行为），在核函数的非因果部分（$\tau < 0$）中表现为峰值。相比之下，中跨平面情况代表的是单一的跨向切片，强调的是较小尺度、局部化的空间结构。这样的结构通常对上游的影响有限，因为它们的声学扰动较弱，迅速消散，在较大的跨向距离上传播时相干性较低。因此，这样的条件增强了中跨平面情况下的对流流动特性，从而提高了应用TNC估计时的准确性。此外，我们观察到传感器$y_{4}$与$z_{1}$之间的核函数与中跨平面流动中的$y_{5}$与$z_{1}$之间的核函数相似，因此在此图中省略了$y_{4}$与$z_{1}$之间的核函数。位于更下游的目标点$z_{2}$、$z_{3}$、$z_{4}$的因果核函数与跨向平均流动中的核函数（图11）非常相似，它们的峰值始终位于正$\tau$域。中跨平面情况包括了跨向平均模式（$k_{z}=0$）、特定谐波$k_{z}=10\pi$以及许多额外的跨向尺度。因此，得到的核函数是宽频的，相关的估计问题更具挑战性。

4.4. 多传感器估计 通过选择传感器位置$y_{1}$、$y_{4}$、$y_{5}$和$y_{6}$（来自图9 a和9 b的标记），基于使用单传感器估计和第4.1节中的相干性研究来确定最有效的位置，我们展示了随着引入更多传感器，沿尾缘的跨向平均流动和中跨流动的估计误差，如图14所示。仅使用传感器$y_{5}$（蓝色）并没有显著提高TNC估计的准确性。然而，添加一个额外的传感器$y_{6}$（黄色）显著提高了估计精度。使用这两个传感器时，TNC估计在尾缘附近表现不佳，而因果（C）估计仍然准确。再加入第三个传感器$y_{4}$（紫色）与$y_{5}$和$y_{6}$一起使用时，精度略有提高。使用所有四个传感器$y_{1}$、$y_{4}$、$y_{5}$、$y_{6}$（绿色）可以获得最佳估计结果。这些发现表明，与在机翼压力面上均匀分布的六个传感器相比，这种方法具有更高的准确性，正如我们之前的工作（Jung & Towne，参考文献Jung and Towne2024）中所报告的。此外，四个传感器的TNC情况（绿色虚线）可以略微优于两个和三个传感器的情况（黄色和紫色虚线）。这种行为反映了TNC估计的一个局限性。具体来说，TNC对最佳非因果多传感器核函数应用了有限的时间窗口截断。由于每个传感器都有不同的最佳相关结构，固定的截断窗口（$\tau < 0$）会不均匀地移除每个传感器核函数的不同部分，从而导致联合多传感器权重的扭曲，并产生较小的误差增加。相比之下，因果估计器不会表现出这种行为，因为它强制使用物理上一致的因果核结构。在中跨平面情况下，从一个传感器增加到两个传感器的改进幅度大于从两个传感器增加到三个传感器。这是因为第二个传感器通常能够捕捉到更多关于对流结构的额外独立信息（例如，提供第二个视图以帮助解决滞后不确定性），而额外的传感器在与当前传感器间距相同时，与目标的增量相干性较低。因此，增加超过两个传感器的效益逐渐减少。

图14. 使用单个传感器（$y_{5}$）、两个传感器（$y_{5}$、$y_{6}$）、三个传感器（$y_{4}$、$y_{5}$、$y_{6}$）和四个传感器（$y_{1}$、$y_{4}$、$y_{5}$、$y_{6}$）沿尾缘的跨向平均流动和中跨流动的估计误差。由于因果和TNC估计器对于这种模式产生的误差几乎相同，因此没有展示跨向橄榄（$k_{z}=10\pi$）的情况。图15. 使用四个传感器（$y_1$、$y_4$、$y_5$、$y_6$）对$u_x'$随时间的估计：跨向平均（面板a,d,g,j），中跨平面（面板b,e,h,k）和跨向橄榄情况（面板c,f,i,l）。目标位置由坐标$[x/L_c,\; y/L_c]$定义：面板（a–c）$z_{1}=[1.2, -0.11]$，（d–f）$z_{2}= [1.5, -0.11]$，（g–i）$z_{3} = [2.0, -0.11]$，以及（j–l）$z_{4}= [2.5, -0.11]$，如顶部图形所示。LES的真实数据以黑色显示，因果估计以蓝色显示，TNC估计以洋红色虚线显示。因果估计误差在每个面板的右下角以红色标出。图16. 使用四个传感器（$y_{1},y_{4},y_{5},y_{6}$）对跨向平均（面板a,c,e,g,i,k）和中跨平面（面板b,d,f,h,j,l）流动的扩展尾流区域中的$u_{x}'$进行LES和估计的快照。时间$t_1$、$t_2$和$t_3$的选择基于主导的涡脱落频率来代表三个不同的阶段。图15展示了使用四个传感器（$y_{1}, y_{4}, y_{5}, y_{6}$）对跨向平均（面板a,d,g,j）、中跨平面（面板b,e,h,k）和跨向橄榄（面板c,f,i,l）情况的流速波动的时间序列估计。因果估计误差使用（4.1）计算，在每个面板的右下角标出。正如预期的那样，估计误差随着传感器与目标位置之间的距离增加而增加。Wiener–Hopf方法显著提高了靠近尾缘的目标的估计精度，如图15(a)所示。随着目标向下游移动，TNC和因果方法之间的准确性差异减小。在研究的流动类型中，跨向平均流动的估计最为准确，其特征是空间结构较少混乱。对于图15中展示的中跨平面流动（面板b,e,h,k），波动更加宽频，包含更细尺度的变化。尽管这种复杂性增加了，但速度波动的广泛趋势仍然被有效捕捉。尽管传感器可能无法完全捕捉到湍流的详细轮廓，但估计仍然有效。这些结果与图14中显示的趋势一致。图15（面板c,f,i,l）展示了具有$k_{z}=10\pi$的跨向橄榄模式的$u_{x}'$实部的时间序列估计。正如预期的那样，由于空间相干性降低和壁面轮廓较弱，估计更高$k_{z}$内容通常更具挑战性；然而，跨向波数的系统研究超出了当前工作的范围。从与较低能量增益相关的频率派生的核函数提供的估计精度较低。由于TNC和因果估计对于跨向橄榄模式产生了相似的结果，因此图15中没有明确显示这些情况的TNC估计。图16展示了在中跨平面和扩展尾流区域中使用相同传感器配置的三个随机快照的因果估计。使用度量（4.1）计算的尾流区域的估计误差分别为因果估计的0.254和0.324，以及TNC估计的0.352和0.389，分别针对跨向平均和中跨平面情况。尽管由于传感器在检测湍流方面的限制，小尺度结构没有完全捕捉到，但基于因果逆向的估计器有效地估计了尾流波动。总体而言，该估计框架与测试配置中的参考场有很好的一致性，特别是在捕捉主导流动结构和整体趋势方面。这些结果值得注意，因为该方法仅依赖于有限数量的实时表面测量数据。同时，如图14(b)和15（面板b,e,h,k）所示，大多数中跨流动情况的归一化误差仍然在0.3或更高。图16（面板d,h,l）显示了完全三维中跨流动情况下的部分平滑和小尺度特征的丢失。尽管存在这些限制，这些结果表明该方法在实际感知约束下提供了有用的定量估计和可靠的定性重建。

5. 结论 在这项研究中，我们开发并展示了一个基于因果逆向的框架，用于估计中等雷诺数${Re}_{L{c}} = 23\,000$、$\textit{Ma}_{\infty } \equiv U_{\infty }/c_{\infty } = 0.3$和攻角$\alpha = 6^\circ$的NACA0012机翼尾流中的湍流速度波动。在之前主要关注层流和全局稳定流动情况的研究基础上（Jung等人，参考文献Jung, Bhagwat and Towne2025），我们的方法将基于逆向的估计扩展到了更复杂的湍流、全局不稳定尾流情况。为了应对这种湍流情况中的关键挑战，包括全局不稳定性、宽带多尺度动态和大型数据集，我们采用了数据驱动的方法。这允许我们直接从LES获得的CSDs构建基于逆向的核函数，从而隐式考虑了非线性驱动的随时间变化的统计特性。一个关键改进是采用了Wiener–Hopf方法来强制因果性（Martini等人，参考文献Martini, Jung, Cavalieri, Jordan and Towne2022），与传统的TNC估计相比，显著提高了实时估计的准确性，特别是在多传感器配置中观察到了最大的收益。为了处理来自高维数据集的计算复杂性，我们的方法利用了集成在现有可压缩流动求解器中的可扩展并行算法（Towne等人，参考文献Towne, Bhagwat, Zhou, Jung, Martini, Jordan, Audiffred, Maia and Cavalieri2024；Jung等人，参考文献Jung, Bhagwat and Towne2025）。我们的结果展示了仅使用机翼表面的有限剪切应力测量，就能成功进行跨向平均、跨向橄榄和中跨平面表示的湍流尾流的因果估计。虽然使用单个传感器 hanya 提供了相对于TNC估计的适度改进，但增加更多传感器通过更好地捕捉壁面剪切应力中的相关性，显著提高了性能。通过策略性地分析单传感器估计误差和传感器与目标位置之间的相干性，我们确定了显著提高估计保真的实际传感器放置策略。最终，我们的方法提供了准确、可解释且可扩展的尾流扩展部分的预测，捕捉了对科学理解和潜在流动控制应用至关重要的主导相干结构。这项研究提出的未来研究方向包括开发正式的传感器放置优化方法，并结合三维传感器配置以进一步提高估计精度。基于逆向的估计算法的成功表明，基于逆向的闭环流动控制策略可以帮助减轻湍流波动、减少阻力、增加升力并最小化空气动力噪声。当前的数据驱动公式需要每个传感器-目标配置的先前时间分辨数据，这限制了其在不同流动条件或几何形状上的即时通用性。将先进的机器学习技术（如神经网络）集成到基于逆向的框架中，将进一步提高实时计算效率，并有效处理更大的数据集。最后，建议在实际的风洞测试或飞行场景中实验验证所提出的基于逆向的估计方法，以确认其在现实世界中的适用性和鲁棒性。通过采用这些方法，我们基于解析解的估计框架有可能显著提升复杂湍流空气动力流的预测建模、实时监控和控制能力。本研究得到了美国空军科学研究办公室（AFOSR）的支持，资助编号为FA9550-20-1-0214。计算资源由美国国防部高性能计算现代化计划提供。作者声明没有利益冲突。

**附录A. 维纳-霍夫方法**
我们简要回顾了Martini等人（参考文献Martini, Jung, Cavalieri, Jordan和Towe 2022）、Audiffred等人（参考文献Audiffred, Cavalieri, Brito和Martini 2023）以及Jung等人（参考文献Jung, Bhagwat和Towe 2025）在基于解析解的估计和控制框架中使用的理论和数值维纳-霍夫分解方法。

**A.1. 理论维纳-霍夫分解**
维纳-霍夫方法（Noble参考文献Noble 1958）将频域函数分解为因果成分（在下半平面解析，即$(+)$）和非因果成分（在上半平面解析，即$(-)$）。这种方法被用来确保估计和控制核函数具有因果性，其原理基于Daniele和Lombardi（参考文献Daniele和Lombardi 2007）以及Martinelli（参考文献Martinelli 2009）的理论。我们考虑以下维纳-霍夫问题：
$$
\hat {\unicode{x1D643}}(\omega ){\hat {\varGamma }}_{+}(\omega ) = {\hat {\varLambda }}_{-}(\omega )+\hat {\unicode{x1D642}}(\omega ),
$$
其中$\hat {\unicode{x1D643}}$和$\hat {\unicode{x1D642}}$是已知矩阵，而${\hat {\varGamma }}_{+}$和${\hat {\varLambda }}_{-}$是未知矩阵。维纳-霍夫方法涉及加法和乘法分解，具体表示为：
$$
{\hat {\varGamma }}(\omega )=[{\hat {\varGamma }}(\omega )]_{-}+[{\hat {\varGamma }}(\omega )]_{+}, \quad {\hat {\varGamma }}(\omega )=({\hat {\varGamma }}(\omega ))_{-}({\hat {\varGamma }}(\omega ))_{+},
$$
上述问题的显式解为：
$$
{\hat {\varGamma }}_{+}(\omega )=\big [\hat {\unicode{x1D642}}(\omega )(\hat {\unicode{x1D643}}(\omega ))_{-}^{-1}\big ]_{+}(\hat {\unicode{x1D643}}(\omega ))_{+}.
$$

**A.2. 数值维纳-霍夫分解**
在数值上，加法分解相对简单，而乘法分解需要解一个积分方程。根据Martini等人的研究（参考文献Martini, Jung, Cavalieri, Jordan和Towe 2022），该积分方程可以表示为：
$$
\hat {\boldsymbol{x}}_i(\omega )+\frac {1}{2 \mathrm{i}}\mathcal{H}(\hat {\boldsymbol{x}}_i)(\omega )-\frac {1}{2 \mathrm{i}}\hat {\unicode{x1D642}}^{-1}(\omega )\mathcal{H}(\hat {\unicode{x1D642}}\hat {\boldsymbol{x}}_i)(\omega )=\hat {\unicode{x1D642}}^{-1}(\omega )\frac {\hat {\boldsymbol{w}}_{i,-}(\omega _0)}{\omega -\omega _0},
$$
其中$\mathcal{H}$表示希尔伯特变换，其定义为：
$$
\mathcal{H}(\hat {\boldsymbol{x}})=P.V.\frac {1}{\pi }\int _{-\infty }^{\infty }\frac {\hat {\boldsymbol{x}}(u)}{\omega -u}\,\mathrm{d}u.
$$
关于维纳-霍夫方法的详细讨论，请参考Noble（参考文献Noble 1958）、Daniele和Lombardi（参考文献Daniele和Lombardi 2007）、Martinelli（参考文献Martinelli 2009）以及Martini等人（参考文献Martini, Jung, Cavalieri, Jordan和Towe 2022）。我们采用广义最小残差迭代方法在CFD求解器中直接求解这个积分方程，这种方法确保了计算效率，并减少了对外部后处理的需求（Jung等人，参考文献Jung, Bhagwat和Towe 2025）。

**附录B. 数据驱动估计内核的收敛性**
使用数据驱动方法构建估计内核时，需要仔细选择离散傅里叶变换（DFT）参数。特别是，流式傅里叶变换（Schmidt和Towe参考文献Schmidt和Towe 2019）依赖于几个关键参数，包括频率数量（$N_{\textit{freq}}$）、数据块数量（$N_{\textit{blk}}$）以及重叠窗口数量（$N_{ovlp}$）。为了减少数据块之间的频谱泄漏（$N_{\textit{blk}}$），我们采用了50%的重叠汉明窗口（Trethewey参考文献Trethewey 2000）。表2总结了一项收敛性研究，评估了这些参数如何在最佳传感器布置条件下影响横向平均流的估计精度。基于这项分析，选择了参数集6，并将这些DFT参数应用到本研究所研究的横向傅里叶和中跨平面案例中。

**表2. 估计内核的收敛性**
表2展示了所使用的DFT参数对估计精度的影响，这些参数用于计算横向速度分量（CSDs）。