摘要
本文提出了一种对称正定（SPD）耦合方法，将边界元方法（BEM）与有限元方法（FEM）结合在数值流形方法（NMM）框架内，用于求解二维线性弹性静态问题。BEM子域被视为一个单一的数学片段，其局部近似是通过对位移边界积分方程进行求解得到的，从而保留了BEM的非局部特性。剩余域由有限元网格覆盖，每个节点定义一个片段，并且相关的形状函数作为权重函数。权重函数在整个数学覆盖区域内定义，在每个片段的支撑区域之外其值为零。这种全局定义确保了单位分解在任何地方都成立，并使全局位移近似可以表示为所有片段的叠加。在这个统一的框架中，BEM和FEM子域之间的界面自然地表现为权重函数的过渡区，而不是一个明确的边界。通过单位分解自动满足位移连续性，通过变分公式近似实现牵引力平衡。为了将耦合公式完全纳入最小势能框架，使用位移边界积分方程（BIE）消除了BEM片段的牵引力，转而采用位移来表示。BEM片段上的预定牵引力通过惩罚方法来强制实现。由此产生的代数系统在构造上是对称的，并且当使用恒定或等参边界元素时仍然保持正定性。这项工作是对带有恒定元素的对称正定耦合框架的概念验证研究。数值示例展示了该方法的准确性和收敛性。结果表明，耦合过程保持了每个子域的固有收敛特性：BEM部分的位移收敛速度接近于1，应力部分的收敛速度约为2.0；同时，FEM部分在位移和应力上都实现了二次收敛。研究还发现，当元素尺寸变得足够小时，应变BIE中的奇异积分可能会影响收敛速度。
