数字孪生驱动的TLE误差校正技术，用于精准的低地球轨道卫星轨道预测 徐新晨（Xinchen Xu）、 文红（Hong Wen）、 侯文静（Wenjing Hou）、 陈亮（Liang Chen）、 赵英伟（Yingwei Zhao） 以及 刘天（Tian Liu）

《Aerospace》：Digital Twin-Driven TLE Error Correction for Precise LEO Satellite Orbit Prediction Xinchen Xu, Hong Wen, Wenjing Hou, Liang Chen, Yingwei Zhao and Tian Liu

　　摘要 低地球轨道（LEO）卫星轨道预测是补偿位置误差和确保位置精度的关键措施之一，这在航天通信网络中扮演着重要角色，用于执行路由中继、实时通信和信号转发等功能。然而，现有的基于学习的卫星轨道预测模型尽管被认为是最佳解决方案，但也不可避免地面临分布偏差的问题。由于不同类型的卫星（LEO和SSO）以及不同的时间尺度，轨道预测可能会导致模型性能下降。在本文中，我们探索了一种新的方法来克服这些不足。与以往研究不同，这种方法通过傅里叶变换将卫星轨道数据转换到频域，并使用三阶傅里叶导数卷积框架进行处理。具体而言，所提出的傅里叶扩张卷积（FDC）模型通过结合频域分析和扩张卷积，展现出更好的泛化能力，适用于不同类型的卫星和不同的时间尺度。我们使用两个真实数据集进行了实验验证，结果证明了FDC模型的有效性。同时，与基于Loess（STL-TCN）模型的时间卷积网络进行季节性和趋势分解相比，FDC模型在平均绝对误差（MAE）值上有所降低。定量比较显示，FDC模型在不同轨道维度上将MAE降低了大约10%到85%。最后，我们对模型的可解释性进行了进一步分析。

1. 引言 集成太空-空中-地面网络通过协同卫星星座、高空气平台和地面基础设施，建立了一个无处不在的三维连接框架，消除了通信盲点，实现了实时全球信息流动[1]。这一范式转变不仅增强了应急响应、海上作业和偏远地区发展的公平性，还是数字经济的基础支柱，深刻重塑了社会合作模式，并加速了向智能物联网的过渡。作为集成太空-空中-地面的重要组成部分，卫星提供了信号转发、实时通信和地面导航等基本功能[2]。上述功能的实现依赖于精确的LEO卫星位置。传统上，开发人员通过轨道动力学建立微分方程并求解理想的开普勒卫星轨道[3]。然而，LEO卫星运行的空间环境受到许多难以准确建模的扰动力作用，例如太阳辐射压力、大气阻力和地球的非球形重力场[4]。这些扰动力的影响导致LEO卫星轨道持续偏离。研究人员开发了各种简化模型来模拟轨道扰动力并获得精确的轨道数据，包括SGP4、SDP4[5]和HPOP模型[6]。SGP4（简化通用扰动4）和SDP4（简化深空扰动4）模型是由北美航空航天防御司令部（NORAD）开发的标准化算法，用于处理两线要素（TLE）数据，考虑了地球的重力和大气阻力扰动[5]。相比之下，高精度轨道传播器（HPOP）模型是一种数值积分方法，它结合了高保真力模型（如高阶位势和第三体引力），以实现更高的精度[6]。尽管如此，这些模型仍存在某些局限性，需要地面观测站及时传输卫星相关信息以进行计算和校正。随着人工智能（AI）的出现，一些研究人员[7,8,9,10]发现，利用AI算法学习轨道数据中的内在模式进行轨道预测是一种可行的方法。与传统建模和估计扰动力方法相比，人工智能的学习过程更像是一个“黑箱”[11]。训练好的模型不需要理解扰动力的影响或轨道偏离的原理，它只需要揭示轨道本身的自相关性并生成预测结果。无疑，这从另一个角度解决了准确建模轨道扰动力的难题。在我们之前的研究中，我们提出了一个用于卫星轨道预测的卫星数字孪生系统[12]。此外，我们在数字孪生系统中提出了基于季节性趋势损失（STL）分解的时间序列预测模型[13]。通过将卫星轨道分解为三个部分：季节性、趋势和残差，我们分析了不同成分对轨道的影响。随后，使用时间卷积网络（TCN）算法揭示了轨道的时间相关性。实验证明了所提出的STL-TCN模型的有效性。然而，我们也发现了两个缺点。首先，STL-TCN模型在不同类型的卫星（LEO和SSO）和时间尺度上的表现不令人满意。其次，STL-TCN直接使用轨道序列作为特征，这对模型的可解释性构成了一定的挑战。为了解决这个问题，我们将LEO卫星轨道坐标和速度视为时域信号，并利用信号分析和处理方法进行预测。据我们所知，这代表了此类方法在卫星轨道预测领域的首次应用。首先，应用快速傅里叶变换（FFT）将轨道信号从时域转换到频域，得到卫星轨道的频谱图。接下来，利用现有研究中的三阶自适应傅里叶导数变换将频域数据分解为三个频率分量[14]。然后，使用扩张卷积网络对这些频率分量进行回归任务，以预测它们在未来时间间隔内的相应频谱值。最后，应用逆傅里叶分化和逆傅里叶变换获得每个频率分量的时域表达式，再将它们组合起来生成最终的卫星轨道预测结果。本文的主要研究贡献可以总结如下：提出了一种基于频域分析的傅里叶扩张卷积（FDC）模型，这是一种新的卫星轨道预测范式。该模型通过傅里叶变换探索了卫星轨道的内在频域转换规律。基于轨道动力学的轨道误差定性分析，提出了一种新的三阶分解策略。在此基础上，为不同的频域分量设计了三阶傅里叶扩张卷积。应用两个真实数据集进行模拟实验，结果不仅证明了所提方法的有效性，还表明该模型比我们之前的方法具有更好的泛化能力。此外，通过结合Shapley加性解释（SHAP）分析[15]和物理定性分析，证明了FDC模型的高可解释性。本文的其余部分组织如下：第2节概述了卫星轨道预测和傅里叶卷积的相关工作。第3节详细介绍了所提出的数字孪生系统和FDC模型。第4节介绍了使用FDC算法进行轨道预测的具体过程。第5节展示了所提模型的模拟结果。第6节总结了本文。

2. 相关工作 在本节中，我们回顾了使用AI方法进行卫星轨道预测的相关研究以及通过频域分析处理时间序列的现有成就。最早使用机器学习（ML）方法进行轨道预测的提议可以追溯到2017年。Peng等人[7]使用支持向量机（SVM）进行了回归任务，并纠正了TLE数据和高精度ILRS数据之间的误差[8]。此外，他们还探讨了卫星轨道数据训练集大小对SVM模型的影响[8]。Li等人[9]提出了一种使用提升树（BT）算法来学习卫星轨道数据时间相关性的方法。Zhai等人[10]提出了一种结合主成分分析（PCA）和极端梯度提升（XGBoost）的ML模型来纠正卫星轨道误差[10]。这些工作为卫星轨道预测中的ML模型奠定了基础。此外，由于神经网络具有更高的预测精度和更好的可解释性，也引起了研究人员的关注。Peng等人[16]应用人工神经网络（ANN）模型进行轨道误差校正[16]。Li等人[17]采用了一种结合梯度增强决策树（GBDT）和卷积神经网络（CNN）的数据挖掘方法来提高TLE目录的轨道预测精度[17]。Xu等人[12]提出了一个用于卫星轨道预测的数字孪生系统，并应用TCN模型预测时间序列轨道数据[12]。2025年，他们通过加入STL分解进一步改进了TCN模型，以提高其轨道预测精度[13]。卫星轨道数据作为时间序列，面临着非平稳性、噪声和多频率模式的挑战。传统模型和大多数AI方法往往难以应对这些挑战。傅里叶变换（FT）将时域信号分解为频率分量，从而实现周期性建模和噪声降低。我们简要回顾了最近关于FT和机器学习整合的研究。Zhou等人[18]提出了FEDformer模型，该模型结合了频率分析和分解，利用傅里叶稀疏性进行高效的注意力操作。Wu等人[19]在他们的Affirm模型中引入了交互式Mamba块和自适应傅里叶滤波器，以抑制噪声并捕捉频率间相互作用。Tang等人[20]应用小波驱动集成方法与统计建模相结合，用于重构周期性分量进行合成。除了变换器之外，Nikseresht等人[21]结合了改进的经验傅里叶分解（IEFD）和模糊认知图，从智能制造系统中的非平稳数据中提取特征。在方法多样性方面，Cui和Gong[22]使用短时傅里叶变换（STFT）与深度学习相结合，用于分离网络流量预测中的时间不变和变化分量。重要的是，有效的建模需要强大的数据处理能力；Yuan等人[23]在TFITS框架中结合了时间和特征视图，通过双视角融合解决了缺失数据问题。此外，Wu等人[24]引入的自相关机制等基础分解技术为许多这些混合频谱-时间模型提供了结构基础。总的来说，这些研究表明，结合全局频谱分析与时间动态预测对于解开不同领域的复杂模式至关重要。总之，FFT对于时间序列预测非常有价值。它将时域信号分解为频率分量，有效地分离了周期/趋势部分和噪声——这是解决非平稳性的关键。因此，本文提出的FDC模型采用FFT将卫星轨道数据转换为频域进行分析，减少了其非平稳性和噪声干扰，并提高了模型的泛化能力。尽管上述AI方法在各个领域显示出潜力，但卫星轨道数据具有独特的挑战，需要专门的处理方法。轨道数据本质上是一个高动态时间序列，具有强烈的非平稳性和多频率扰动模式。具体来说，卫星轨道受到复杂力的影响——从周期性扰动（如大气阻力、日月引力）到随机噪声（如太阳辐射压力）——这些在信号中表现为不同的频率分量。传统的时域模型往往难以有效分离这些混合频率信号。高频噪声和低频趋势的纠缠可能导致过拟合或长期周期性的丧失，导致在不同时间尺度和卫星类型上的泛化能力较差。因此，为了解决这些特点，我们提出了从时域分析到频域分析的转变。通过傅里叶变换将数据转换为频域，我们可以分别隔离和处理这些扰动分量（高、中、低频率），这构成了我们提出的FDC模型的理论基础。

3. 系统模型 在本节中，我们简要回顾了我们在之前研究中提出的卫星数字孪生系统，并介绍了其工作原理。接下来，在之前提出的DT系统基础上，提出了基于频域分析的FDC模型用于卫星轨道误差预测。最后，我们简要解释了数据处理和序列建模。

3.1. 数字孪生系统 所提出的卫星轨道预测数字孪生系统如图1所示，包括三个部分：物理实体层、数字孪生系统层和应用层[13]。这些模块的具体功能和交互逻辑如下：卫星生成实时传感器数据和运行状态信息，而雷达站则跟踪卫星以提供精确的观测数据。这一层作为整个系统的数据来源。数字孪生系统层：这是核心处理单元，主要位于卫星数据中心内。它通过一个闭环交互逻辑运作，包括三个关键步骤：数据收集：从物理层聚合原始数据形成“设计数据集”，其中包含真实轨道数据和初始预测误差。具体来说，本文中使用ILRS数据作为真实轨道。建模：该模块包含两个并行但相互作用的模型。首先，动态轨道预测模型根据轨道力学计算理论轨道。同时，误差预测模型（提出的FDC模型）利用FFT和深度学习来预测由动态模型产生的残差误差。评估：将预测的误差反馈回去校正动态模型的输出。然后系统评估校正的准确性和泛化能力以确保可靠性。应用层：基于孪生层的高精度轨道确定，这一层提供下游服务，包括实时状态分析、轨道监测和卫星操作优化策略。3.2. 问题表述通过动态预测模型获得的轨道定义为状态向量????，其中t表示时间戳。在特定的时间戳t，预测状态表示为：???? =[^????,^????,^????,^????,??,^????,??,^????,??]??。不同维度中的预测值分别代表卫星在地球中心固定（ECEF）坐标系三个方向上的位置和速度变量。同样，真实的卫星轨道数据表示为????。在特定的时间戳t，???? =[????,????,????,????,??,????,??,????,??]??。通过从动态轨道预测值中减去真实轨道数据得到的误差向量为???? =???? ????? =[????,??,????,??,????,??,???????,??,???????,??,???????,??]??。选择一个时间窗口长度L并从时间k回溯以获得误差序列作为初始误差???? ={???????+1,???????+2,…,?????1,????}，其中?? ∈(0,??)。选择另一个时间u回溯时间窗口L以获得另一个误差序列作为预测误差???? ={???????+1,???????+2,…,?????1,????}。预测的目的是找到一个映射关系????，使得?????(????) =????。在本文中，这个函数????被应用为FDC模型，其具体实现原理将在以下小节中详细说明。3.3. 方法在之前的研究中，我们发现了STL-TCN模型的不足[13]。当使用间隔超过一个月的轨道数据作为测试数据集时，模型的性能会显著下降。具体来说，一旦预测范围超过一个月，STL-TCN模型的MAE会迅速上升，超过1的阈值。这对应于几公里范围内的位置偏差，使得该模型不适用于高精度应用，如卫星碰撞避免。造成这一结果的原因可能是时间序列预测模型学习到的特征具有强烈的时间相关性，预计随着时间间隔的增加，模型的性能会下降。为了解决这个问题，我们采用了频域分析方法。与依赖序列依赖性的时域模型不同，频域方法将信号转换为频谱成分，捕捉轨道误差的全球和稳定的周期性模式。这使得模型能够学习到不太受时间间隔长度影响的不变特征。这种方法包括两个步骤：频域变换和频率导出。轨道误差信号通过傅里叶变换从时域转换为频域。具体来说，使用给定的时域误差信号???(??)，?? ∈[0,??]，它以标量形式表示为轨道误差向量????。参数T满足条件?? =3 ×??，其中n表示滑动窗口内的采样点数量。因此，频率积分被限制在有效带宽[?Ω,Ω]内，表示从轨道数据中捕获的有限频谱成分。我们通过以下方程将其转换为频域信号： ???(??)=??(???(??))=∫??0???(??)???????ω??????? (1) ???(??)=12????∫+Ω?Ω???(??)??????ω??????? (2) 在完成频域转换后，我们将频率信号分解为多个成分并分别导出用于预测。因此，我们参考了参考文献[14]中的方法。整个频谱用于在重构的时域中表示时间信号。具体方法是通过设计傅里叶导数算子来分解频谱的多阶信息，以提高准确性。我们将此操作定义为傅里叶导数变换（FDT）。傅里叶导数算子????的设计如下 ?????(???(??))=(???2??????)??×???(??) (3) 其中????表示m阶傅里叶导数算子。逆变换可以定义为 ???(??)=1(???2??????)??×?????(???(??)) (4) 然后，我们使用三个并行的滤波器同时处理信号成分。这三个滤波器旨在将信号分解为中间频率（IF）、低频率（LF）和高频率（HF）成分。我们使用了具有平坦通带特性的巴特沃斯滤波器。过滤后的成分被输入到傅里叶扩张卷积网络中进行回归。这种架构利用傅里叶卷积将卷积转换为逐元素乘法，从而降低计算成本。同时，扩张卷积扩展了感受野，使模型能够有效捕获来自成分的全频谱信息。傅里叶卷积网络的思想源于经典的傅里叶卷积定理：时域中的卷积等同于频域中的逐点乘法。这一特性被巧妙地引入到神经网络设计中，以提高计算效率并增强全局建模能力。定义两个连续时间信号???(??)和??(??)；它们之间的卷积可以写为 (????)?(??)=∫??0???(??)???(?????)???? (5) 如果我们定义两个信号的傅里叶变换为???(??)和???(??)，我们可以得到 ??{???(??)???(??)}=???(??)·???(??) (6) 这种频域乘法策略大大提高了计算效率。它通过使用傅里叶变换将卷积操作的复杂度从???(??2)降低到???(??????????????)。扩张卷积如下图所示。扩张卷积起源于图像分割领域[25]。全卷积网络（FCN）中的池化操作减少了网络的感受野，导致了信息丢失。为了解决这一限制，提出了扩张卷积。其原始设计目的是使网络能够在不进行池化的情况下获得更大的感受野。图2显示了常规卷积和双扩张卷积之间的比较。扩张卷积引入了一个扩张系数??。??的值决定了参与卷积的元素之间的间隔。如图2右侧所示，当?? =2时，参与卷积的元素之间的间隔为1。其原始设计使网络能够在不进行池化的情况下获得更大的感受野。图2. 常规卷积和扩张卷积之间的比较。灰色方块代表参与卷积操作的活动像素，而白色方块是非活动的。FDT和卷积网络的集成通过三阶段机制实现：分解、自适应映射和重构。首先，FDT将输入分解为m个导数成分。其次，FDT的阶数m直接调节后续卷积层的扩张率和深度，创建了一个“自适应感受野”。最后，逆FDT在输出重构阶段充当物理正则化器。4. 傅里叶扩张卷积预测模型通常，之前的预测无法满足综合空间-空气-地面网络[7]的高需求。FDC模型的具体过程如图3所示。首先，按时间顺序排列的卫星轨道变换数据将被预处理为时间序列信号。我们通过傅里叶变换将时域信号转换为频域信号。在接下来的步骤中，通过FDT将频域数据分解为三个频域成分。然后，我们对不同的成分分别执行扩张傅里叶卷积。根据傅里叶变换的定义，时域中信号的卷积可以转换为频域中的乘积。因此，对于频域数据，这种方法大大降低了计算复杂性。此外，引入扩张卷积使整个模型能够感知比传统卷积网络（如CNN）更大的频域范围。频域卷积结果经过逆傅里叶导数变换和逆傅里叶变换，将频域预测结果转换回时域。最后，将时域中的三个成分相加得到最终的卫星轨道预测结果。傅里叶导数变换和扩张卷积将在以下内容中详细解释。图3. 傅里叶扩张卷积模型的工作流程。4.1. 数据预处理在本节中，我们简要解释数据预处理的过程。我们使用了两个真实的卫星轨道数据集TLE和ILRS。Two-line element是一种标准格式，用于描述卫星的轨道参数。它由两行文本组成，包含计算卫星在任何给定时间的位置和速度所需的所有关键信息。第一行通常包含卫星编号、NORAD目录号、发射年份、轨道类型等信息。第二行包含卫星的轨道参数，如半长轴、偏心率、赤经和近地点角[10]。我们将TLE数据的采样间隔设置为3分钟，而ILRS数据的采样间隔由NASA给出，通常为3分5秒。在本文中，我们收集了公开可用的TLE数据集，并使用SGP4动态模型[6]生成了TLE轨道数据??????????。国际激光测距服务成立于1998年，旨在组织和协调全球卫星激光测距（SLR）和月球激光测距（LLR）活动[11]。在本文中，我们使用ILRS数据?????????????作为卫星轨道的真实数据。卫星轨道误差E使用以下方程计算 ??=???????????????????????? (7) 假设已知一系列轨道误差???? ={??1,??2,??3,…,?????1,????}。我们使用滑动窗口方法将序列????分成几个批次进行训练。过程如图4所示。首先，序列????被分成n个批次，得到序列{??1,??2,…,?????1,????}，其中???? ={???????/??+1,???????/??+2,…,?????1,????}。每个批次通过时间窗口向前滑动k个时间戳，得到序列{????1,????2,…,???????1,??????}，其中?? - 一级分量对应于周期性扰动误差，其特征频率为中低频。因此，我们使用带通滤波器进行过滤。
- 二级分量对应于动态模型中未包含的扰动力所产生的加速度残差，其特征频率为低频。因此，我们使用低通滤波器进行过滤。
- 三级分量对应于突发扰动误差，其特征频率范围为高频。因此，我们使用高通滤波器进行过滤。

基于轨道动力学的分析，我们设计了三个滤波器来处理这三个分量，以保留它们的主要频域特征。三个滤波器的参数设计如表1所示。

**4.3 三阶 dilation卷积**
预测过程是通过傅里叶扩张卷积完成的。在本文中，我们根据三个频域分量的物理含义设计了一个三阶傅里叶扩张卷积。具体参数如表2所示。
具体来说，一级分量对应于周期性扰动因素，例如大气阻力、太阳和 lunar 引力。因此，应选择适度的扩张卷积率来捕捉周期波动特征。卷积核的大小为3×3，卷积层的大小设置为3，这符合我们定性分析中选择的中级卷积大小。激活函数选择为 Relu，以捕捉周期波动。
二级子模型对应的加速度反映了轨道误差，这与趋势扰动因素有关，例如地球的非球形引力和大气密度的长期变化。这类扰动力通常具有几个月或几年的周期；因此，应选择较高的扩张率和较深的卷积层来捕捉长期趋势特征。卷积核的大小为5×5，卷积层设置为5，这符合远距离特征捕捉和深度卷积层分析的定性分析。激活函数选择为 Relu，以捕捉趋势波动。
三级分量反映了误差的突变程度，这与太阳耀斑和地磁风暴等突发空间天气事件有关。因此，选择较低的扩张率和较浅的卷积层来捕捉突然的脉冲特征。卷积核的大小为5×5，卷积层设置为5，这符合远距离特征捕捉和深度卷积层分析的定性分析。激活函数选择为 Sigmoid，以捕捉频域中的突变特征并保留更多细节。

频域分量的卷积预测结果定义为 ??????(?????(??))。卷积的目的是使 ????????????{?????(?????(??))} 接近 ?????(???????(??))，可以表示为
??????(?????(??))→?????(???????(??)) （11）

我们通过均方绝对误差（MAE）作为损失函数来控制卷积网络的收敛过程。它可以表示为
??????????=1???∑??=1|(?????(???????(??))???(??????(?????(??)))??| （12）
其中 ?? 是样本数量，?????????? 是损失函数，? 是序列中的数据数量。

在卷积模型收敛后，我们对预测结果 ????????????{?????(?????(??))} 进行逆 FDT 处理。首先，根据方程（4），我们对频域分量进行逆导数变换：
????????(??)=1(???2??????)??×??????(?????(??)) （13）
其中 ????????(??) 被定义为频域分量预测结果的逆导数变换。然后，我们通过对 ????????(??) 进行逆傅里叶变换（方程（2）来获得每个预测频率的分量时域表达式：
????????(??)=12????∫+∞?∞??????(??)??????ω??????? （14）
其中 ????????(??) 被定义为每个预测频率的分量时域表达式。最后，我们将每个预测的时域分量相加，并在滑动窗口中提取重复部分，以获得最终预测结果 ????? = {???1,???2,???3,…,??????1,?????}。

**4.4 算法与评估**
FDC 模型的完整轨道预测过程如图5所示。为了评估 FDC 预测误差的性能，我们应用了三个指标：MAE、RMSE 和 ??2。它们的计算方法如下：
????????=1???∑??=1∣(?????^????)∣ （15）
???????????=√√ √ √ √ √?1???∑??=1(?????^????)2 （16）
??2=1?∑???=1(?????^????)2∑???=1(??????????)2 （17）
其中 ? 是序列中的数据数量，????? 是实值的平均值。通常，MAE 和 RMSE 的值越小，模型性能越好；值越大，模型性能越差。??2 的值范围是 ??2 ∈(?∞,1]。??2 的值越接近1，模型性能越好；越远离1，模型性能越差。

此外，为了分析 FDC 模型的可解释性，我们应用了 SHAP 值。SHAP 值的主要思想来自合作博弈论，这是一种评估玩家贡献和分配利润的方法 [15]。在机器学习中，SHAP 值用于解释学习模型中每个特征值对给定输入状态的预测输出的贡献。假设一个 n 维空间 ?? ={??1,??2,??3,…,?????1,????} 和集合 S 满足 ?? ??? 且 ???? ???，则 S 被定义为特征 ???? 的并集。???? 的 SHAP 值定义为所有可能并集的贡献之和，计算公式为：
?????(??)=∑??????|??|!(???|??|?1)!??!?[???(??∪{????}????(??))] （18）
其中 ?????(??) 被定义为 SHAP 值，???(??) 被定义为 S 的预测值，?? 是特征的总数。在本文中，SHAP 值 ?????(??) 用于衡量三个频域分量对 FDC 模型输出的“边际贡献”，并以期望值的形式输出。因此，SHAP 值的范围定义为 ?????(??) ∈[?∞,+∞]。

**5. 实验结果**
在本节中，我们进行了广泛的实验来验证所提出的 FDC 模型。首先，使用 STK 11.6 软件构建了一个卫星轨道的仿真运行环境。使用两个卫星数据集 TLE 和 ILRS 验证了所提模型的有效性。然后，将 FDC 模型的性能与现有研究中的各种模型进行了比较。最后，使用五颗真实卫星和不同时间的轨道数据验证了 FDC 模型的泛化能力。

**5.1 仿真环境**
如图6所示，我们使用来自五颗真实卫星的公开可用 TLE 数据，并使用 STK 11.6 软件构建了一个仿真环境。图中的不同颜色曲线代表不同卫星的 TLE 轨道。黄色曲线代表 Ajisai 卫星，白色曲线代表 Lares 卫星，绿色曲线代表 Larets 卫星，红色曲线代表 Starlette 卫星，紫色曲线代表 Stella 卫星。关于这五颗卫星的更详细数据见表3，其中列出了 NORAD ID、轨道类型、发射年份、近地点和远地点。

如图6所示，我们使用 STK 构建了卫星仿真实验场景。表3列出了五颗卫星的参数。如前所述，通过 TLE 数据和 SGP4 模型生成的卫星轨道数据的准确性不高。因此，采用了另一个高精度数据集 ILRS 来计算轨道误差。

**5.2 有效性评估**
为了验证 FDC 模型的有效性，我们选择了 Stella 卫星的轨道数据。训练数据集包含总共 174,720 条记录，涵盖了 Stella 卫星 2022 年 1 月 2 日至 2022 年 12 月 31 日的 1 年轨道数据；测试数据集包含总共 14,780 条记录，涵盖了 2023 年 1 月 1 日至 2023 年 1 月 31 日的约 1 个月轨道数据。采样间隔设置为 3 分钟。每条数据有六个维度，表示卫星在地球坐标系中的 X、Y、Z 方向的位置和速度。每批包含 256 条数据，共有 683 批数据，设置 ?? =4。

FDC 模型在测试数据集上的性能如图7所示。图7a–c 表示模型在位置变量上的性能，图7d–f 表示模型在速度变量上的性能。横轴表示时间戳，纵轴表示 FDC 模型的预测误差值与真实误差值之间的差异。从图7可以看出，FDC 模型在位置变量上的预测差异值大多不超过 0.0254 km，速度变量上的误差不超过 2.9 ×10?? km/s。这证明了我们提出的 FDC 模型的有效性，其预测结果精度很高（位置误差 < 25.4 m），显著优于标准粗略轨道数据（TLE 数据）。

**5.3 FDC 算法的可解释性分析**
为了分析 FDC 模型的可解释性，我们应用了 SHAP 值。SHAP 值的主要思想来自合作博弈论，这是一种评估玩家贡献和分配利润的方法 [15]。在机器学习中，SHAP 值用于解释学习模型的每个特征值对给定输入状态的预测输出的贡献。假设一个 n 维空间 ?? ={??1,??2,??3,…,?????1,????} 和一个集合 S 满足 ?? ??? 且 ???? ???，则 S 被定义为特征 ???? 的并集。???? 的 SHAP 值定义为所有可能并集贡献的加权总和，计算公式为：
?????(??)=∑??????|??|!(???|??|?1)!??!?[???(??∪{????}????(??))] （18）
其中 ?????(??) 被定义为 SHAP 值，???(??) 被定义为 S 的预测值，?? 是特征的总数。在本文中，SHAP 值 ?????(??) 用于衡量三个频域分量对 FDC 模型输出的‘边际贡献’，并以期望值的形式输出。因此，SHAP 值的范围定义为 ?????(??) ∈[?∞,+∞]。本研究提出的FDC模型利用了FFT的???(??????????????)效率，实现了大约0.5毫秒至0.6毫秒的推断时间。与传统机器学习模型（如LSTM）相比，TCN通常需要4毫秒到15毫秒的时间，因为它们需要进行大量的矩阵乘法运算。这些实证结果表明，FDC模型的速度比其深度学习对手快一个数量级。鉴于显著降低的执行时间和参数数量（仅数百个），所提出的FDC模型在能效方面表现出色，每次推断消耗的能量大约比循环神经网络少一个数量级。

5.3. 鲁棒性评估
在本小节中，为了进一步验证FDC模型的鲁棒性，我们施加了不同的噪声影响来评估它们对性能的影响，然后使用来自不同卫星的轨道数据作为测试集来评估模型的性能。根据轨道动力学分析，卫星轨道不仅受到三体摄动力的影响，还受到大气密度的影响。尽管大气密度摄动力远小于地球重力，但长期效应也可能导致卫星轨道偏离。我们将大气密度摄动作为噪声干扰添加到轨道数据中以修改测试集，然后使用修改后的数据集来测试训练有素的FDC模型，以评估其鲁棒性。Ding Yigao等人[27]回顾了多种大气密度模型。在这项研究中，我们使用了这八种模型来引入密度摄动。大气阻力摄动被作为噪声干扰引入。大气阻力引起的加速度建模为?????????????=?12????????????????2???????????????????|??????????|（19），其中??代表卫星高度处地球大气的质量密度，????代表表征卫星几何形状及其与大气流动相互作用的无量纲参数，??代表卫星垂直于速度向量的投影面积，??代表卫星的总质量，??????????代表卫星相对于共旋的速度大小，??????????代表相对速度向量。我们应用了这八种模型并计算了它们的MAE值以进行比较。具体结果如表6所示。表6显示了经过八种大气密度模型修正后的FDC模型预测结果的MAE值。总体而言，引入这些模型会导致MAE值略有增加，但偏差的程度各不相同。DTM2000模型表现出最高的整体稳定性，在大多数变量上的MAE值最接近初始数据，特别是在速度变量????上的偏差可以忽略不计。J71模型在位置变量????和????上也表现良好，与初始值紧密匹配，但在????变量上显示出明显的偏差。相比之下，JB2006模型引起的误差增加最为显著，尤其是在位置变量上，而DTM78和NRLMSISE00模型则表现出中等程度的影响。总体而言，DTM2000被证明是最健壮的模型，对基准预测准确性的干扰最小。

5.4. 分布偏移评估
此外，Stella卫星是一颗太阳同步轨道（SSO）卫星。为了验证其对其他类型卫星轨道的预测性能，我们使用了另外四颗卫星一个月的轨道误差作为测试集来预测FDC模型。预测评估结果使用三个指标进行评估：MAE、RMSE和??2。评估结果如图8所示。图8显示了FDC模型在不同卫星轨道上的预测性能。(a) FDC模型对五颗卫星的MAE；(b) FDC模型对五颗卫星的RMSE；(c) FDC模型对五颗卫星的??2。图8a–c分别代表MAE、RMSE和??2指标。横轴代表卫星，纵轴代表指标值。每一组柱子包含六列，代表卫星的位置和速度变量。每个条形图簇对应于位置（????, ????, ????）和速度（????, ????, ????）变量。观察到FDC模型在Lares和Stella卫星上表现出最佳性能，显示出最低的误差和最高的??2值。这种卓越的性能归因于它们近乎圆形的轨道和稳定的轨道动力学，这些特性赋予了FDC模型易于捕捉的频率域特性。相比之下，Ajisai卫星的预测性能略有下降。这可能是由于其独特的物理特性，特别是其高面积质量比（AMR），作为测地球体，使其更容易受到太阳辐射压力的影响，从而引入复杂的非引力摄动。FDC模型在Starlette卫星上的预测误差最大。这一结果主要是由于Starlette的轨道偏心率较高和近地点高度较低所致。这些因素导致了显著的周期性速度变化和更强的大气阻力摄动，产生了高频非线性，使得模型更难以拟合。尽管存在这些变化，FDC模型仍表现出很强的鲁棒性。虽然性能会根据轨道复杂性的不同而波动，但模型在大多数测试卫星上保持了高精度，验证了其在处理多样化轨道制度方面的有效性。

在之前的研究[9]中，我们发现STL-TCN模型对未来数据的泛化能力较弱。当测试集和训练集之间的时间间隔超过一个月时，STL-TCN模型的预测准确性会大幅下降，使其不适合工程应用。因此，我们提出了基于频率域分析的预测方法，因为卫星轨道频率的时间相关性较弱。在本小节中，为了验证FDC模型对时间分布偏移的抗干扰能力，我们每隔一周收集一次Stella卫星的轨道数据。测试数据集还涵盖了卫星一周内的轨道信息，每三分钟采样一次。每个测试集共有3360个数据点，并计算了每个预测的MAE、RMSE和??2指标。FDC模型的性能评估如图8所示。图9a–c分别代表了不同时间尺度上MAE、RMSE和??2值的变化。横轴代表测试数据集和训练数据集之间的时间间隔，每个尺度代表1周。蓝色、绿色和紫色分别代表X、Y和Z方向的位置变量，而黑色、黄色和红色分别代表X、Y和Z方向的速度变量。图9显示了FDC模型在不同时间尺度上的预测性能。(a) FDC模型在9周内的MAE变化；(b) FDC模型在9周内的RMSE变化；(c) FDC模型在9周内的??2变化。总体趋势表明，随着时间间隔的增加，模型的性能持续下降。但在1–7周的时间间隔内，模型表现良好。在8周间隔的数据集上，MAE和RMSE值突然增加，而??2值突然下降。这一结果表明，模型的有效性周期大约在第六/第七周。表7基于特定的MAE故障阈值，定量比较了FDC和STL-TCN模型之间的有效性周期。虽然STL-TCN模型的有效性大约为15–19天，但所提出的FDC模型将这一持续时间显著延长至所有六个轨道变量的42天。

5.5. 可解释性分析
为了更好地揭示FDC模型的内在规律，采用了SHAP分析方法来分析三个频率域组件对FDC模型性能的影响。图10显示了3阶频率域变量的SHAP分析。图10a–c表示FDC模型对位置变量的SHAP值，图10d–f表示FDC模型对速度变量的SHAP值。在每个子图中，从上到下的分散簇分别代表1阶、2阶和3阶频率分量，横轴表示SHAP值，纵轴表示特征值。图10显示了FDC模型对Stella卫星三个频率分量的SHAP分析结果。(a–c)表示位置变量（????, ????, ????）的SHAP值，(d–f)表示速度变量（????, ????, ????）的SHAP值。为了提供一个量化的视角，我们分析了每个组分的SHAP值分布范围。如图所示，1阶和2阶分量的分布范围相对较宽（分别大约从?0.4到0.4和?0.2到0.2），而3阶分量则紧密聚集在零附近。这表明1阶和2阶分量分别对模型输出贡献了大约50%和40%，而3阶分量的贡献较小（不到10%）。从轨道动力学的角度来看，1阶分量反映了误差的变化率，与大气阻力、太阳和月球重力等周期性摄动直接相关。这种摄动的特征周期与卫星轨道周期一致，对应于频率域的中低频范围。2阶分量代表由周期性或准周期性摄动引起的加速度调制，反映了未建模摄动在加速度层面的残差。它主要是由周期性或准周期性摄动（如地球的扁率和太阳、月球重力）的长期累积效应引起的，对应于频率域的低频范围。1阶和2阶分量构成了轨道误差的主要能量组成部分，因此这两个分量的准确预测对轨道误差预测的准确性有显著影响。换句话说，它们对轨道误差预测的边际贡献最大。3阶分量反映了误差的突然变化程度，与动态模型中的噪声或残差有关。这种摄动具有随机性和宽带特性，对应于频率域的高频部分。在频率域中，这部分误差通常以高频噪声的形式出现。一方面，这类误差在频率域表达中的比例远小于由一阶和二阶分量代表的周期性和未建模的摄动力；另一方面，ILRS公共数据集的采样间隔通常是3–5分钟，这种低频采样使得捕捉显著的高频噪声变得困难。因此，第三阶分量对FDC模型的边际贡献最小。

6. 结论
本研究通过将轨道数据视为时间序列信号，并应用信号分析和处理技术，解决了低地球轨道（LEO）卫星轨道预测的问题。在本文中，我们提出了一种新的频率域分析范式用于轨道误差预测，建立在现有研究的基础上。首先，使用快速傅里叶变换（FFT）将轨道数据从时域转换到频域，生成相应的频谱。然后详细阐述了所提出的FDC模型的工作流程和建模过程，其中采用了三阶自适应傅里叶导数变换来将频域信号分解为三个不同的组分。接下来，应用扩张卷积网络对每个组分分别进行回归预测。最后，使用逆傅里叶微分和逆傅里叶变换通过组合估计的频率分量来重建预测的时域轨道值，生成最终的轨道预测结果。此外，FDC模型的有效性通过仿真实验以及两个真实数据集得到了验证。具体而言，FDC模型能够将卫星Stella的位置成分的均方绝对误差（MAE）稳定保持在约3.7 ×10?3 km/s的水平，速度成分的MAE则稳定在约4.0 ×10?3 km/s的水平。实验结果还表明，该模型具有良好的鲁棒性，并且能够有效抵抗数据分布的变化。