涉及运动性能和故障相关的飞机机械系统可靠性分配方法 沈林杰（Linjie Shen）， 王Lu（Lu Wang）， 肖峰（Feng Xiao）， 杜家伟（Jiawei Du）

《Aerospace》：Reliability Allocation Method for Aircraft Mechanical Systems Involving Motion Performance and Failure Correlation Linjie Shen, Lu Wang, Feng Xiao and Jiawei Du

　　摘要
飞机机械系统最重要的设计要求之一是确保其运动功能能够顺畅执行。本文提出了一种不受约束的可靠性分配方法，该方法考虑了飞机机械系统的特点。提出了一种评估飞机机械系统运动性能的分解原理，并分析了每个子系统的贡献。提出了系统分配的权重因素并进行了优化，并且提出了一种故障相关性指数，以考虑子系统之间的相互作用对潜在失效率的影响。此外，在子系统的潜在改进中考虑了可能对运动性能产生重大影响的非破坏性故障事件。随后，使用Copula函数建立了系统的可靠性预测模型，并引入了一种计算方法来区分和量化不同子系统之间的相关性。最后，通过一个工程案例证明了所提出方法的适用性和有效性。结果表明，当考虑故障相关性时，分配给子系统的可靠性显著低于使用传统方法获得的结果，为飞机机械系统的可靠性设计提供了理论指导。

1. 引言
运动机构是飞机机械系统的一个重要子系统，旨在实现运动功能。对于复杂的机械系统（如航空航天飞机以及武器和设备的控制系统），运动机构在完成规定任务时的可靠性和准确性也变得越来越重要。在设计飞机机械系统（包括运动机构）时，必须充分考虑结构的组成和组件之间的协调性。之后，应合理分配每个组件的可靠性[1,2,3]。
可靠性分配方法主要分为两类：受限方法和非受限方法[4,5]。受限方法的一个关键要求是明确定义系统可靠性与相关成本之间的关系[6,7]。如果在系统设计的初始阶段无法获得这种功能关系，则可以优先选择非受限方法[8]。非受限方法的本质是在分配指数和各种影响因素之间建立映射关系[9]。对于非受限方法，通常使用故障模式与影响分析（FMEA）提供的信息来评估子系统的故障风险。在[10,11,12,13]中，基于FMEA对故障发生和故障严重程度进行了非线性转换。这使得转换后的分配因素更符合工程实践要求。然而，基于FMEA的故障模式评级主要是通过专家或决策者的主观综合来确定的。此外，在系统设计的初始阶段，分配因素大多比较模糊。因此，许多学者引入了模糊理论来减少直观评估中的主观性[14,15]。此外，还结合了分析层次法（AHP）来提高可靠性分配的实用性。在关于再制造设备可靠性分配方法的研究中，杜等人[16]对每个组件故障的重要性和影响进行了模糊评估，并使用AHP方法确定了分配标准的相对重要性。吴等人[17]基于改进的模糊分析层次法（FAHP）提出了适用于风力涡轮发电机系统的可靠性分配模型。白等人[18]使用AHP方法评估了影响因素的权重，并利用犹豫模糊语言集来评估各种影响因素。上述研究表明，模糊理论的应用可以有效减少评分的主观性。
然而，上述可靠性分配方法适用于电子系统或简单的结构机械系统。对于涉及运动性能的飞机机械系统[19,20,21,22]，系统的设计不仅必须确保子系统的强度满足要求，更重要的是，必须确保各个子系统能够协同工作并传递运动以实现其预期功能。因此，在为飞机机械系统分配可靠性时，必须考虑运动性能。Yadav等人[23,24]首先将系统设计分解为三个维度：物理结构、系统功能和服务时间。基于此，构建了一个将系统各个组件与其功能联系起来的二元映射矩阵，从而量化了组件和功能之间的相互关系。此外，对于包含运动机构的机械系统，除了由于组成单元的结构损坏导致的故障外，非破坏性故障也可能导致系统故障[25]。最近，元动作理论被引入到可靠性分配中，以考虑非破坏性故障、功能可靠性和系统性能[26,27,28]。这些研究表明，合理评估和量化影响运动功能的因素对于运动机构的可靠性分配方法至关重要。基于上述文献中描述的用于可靠性分配的运动性能分析方法，有必要更彻底地整合运动功能的特性，将其扩展到飞机机械系统，并进行相应的可靠性分配方法研究。然而，这些研究都有一个共同缺点：它们都没有考虑机械系统内的故障相关性。
在复杂的机械系统中，组件和运动功能是相互关联的，导致不同功能的故障模式之间存在相关性[29,30,31]。在可靠性分配过程中必须适当考虑这种相关性。为了考虑系统可靠性分配中的故障相关性，现有方法主要采用两种方法：使用copula函数建立可靠性模型和设计故障相关性因素来优化分配因素。曹等人[32]提出并量化了组件间共因故障对系统潜在影响的权重因素。作为解决故障相关性问题的有效工具，Copula函数也逐渐应用于机械系统可靠性分配的研究中。杨等人[33]使用Copula函数进行系统可靠性分配，并利用模糊集理论建立了组件故障相关性因素来修改可靠性分配系数，尽管他们没有考虑不同组件之间故障相关性的变化。张等人[4]通过相对分散因素表征了组件故障相关性，调整了组件复杂性和故障发生率。然而，他们对故障发生率的修改需要进一步改进。吴等人[34]使用藤copula函数描述了多组件故障相关性，将高维相关性分解为成对关系。然而，应用该模型需要使用历史数据估计相关系数。因此，当前关于故障相关性的可靠性分配方法研究仍然面临两个主要挑战：如何在建模分配因素时考虑子系统之间的相互作用，以及在构建可靠性预测模型时如何正确区分和量化不同组件之间的故障相关性。为了解决这些问题，本文将探讨组件相关性对分配因素模型和系统可靠性预测模型的影响。
总之，本文的贡献旨在建立一种同时考虑运动性能和故障相关性的飞机机械系统可靠性分配方法。考虑到飞机机械系统的特点，系统结构和运动功能被分解。提出了系统分配的权重因素并进行了优化，并提出了一种故障相关性指数，以考虑子系统之间的相互作用对权重因素的影响。然后，使用Copula函数建立了系统的可靠性模型，并引入了一种计算方法来量化不同子系统之间的相关性。最后，通过一个工程案例验证了所提出方法的适用性。
本文的其余部分组织如下。第2节介绍了系统分解的原则和模糊语言集。第3节首先介绍了分配权重因素及其评估。随后，建立了考虑故障相关性的系统可靠性模型，并推导出了具体的分配解决方案。第4节提出了所提方法在飞机负载机构中的应用示例。第5节总结了本文的主要贡献。

2. 前期工作
2.1. 飞机机械系统的系统分解原理
对于涉及运动性能的飞机机械系统，必须从三个维度对其进行分析，如图1所示。从物理结构维度来看，系统设计必须满足其组成子系统和组件的结构要求。从运动性能维度来看，系统必须满足不同层次的运动功能要求。从使用寿命维度来看，系统设计必须确保在不同服务间隔内符合相应的状态要求，建立适当的保修条件，并保证指定的操作寿命。
图1. 飞机机械系统的三维分解
对于飞机机械系统，设计阶段首先必须满足组件的结构强度要求。其次，必须确保系统能够高精度和可靠地执行相应任务。最后，必须保证系统具有一定的服务寿命。基于这一理念，在为飞机机械系统分配可靠性时，方法与传统结构系统不同。系统必须分解为三个方面。首先，从系统的组成结构开始，分析结构故障模式，如环境强度故障、疲劳故障、断裂故障和强度故障。其次，从系统的整体功能开始，分析运动故障模式，如启动故障、定位精度故障和解锁故障。第三，考虑系统的服务寿命，检查系统功能随时间的变化，以建立故障模式与时间之间的功能关系模型。如图2所示，图2展示了结合组成和功能的机械系统综合可靠性分配框架。
图2. 考虑结构功能和运动功能的飞机机械系统的功能分解图
为了便于分析，系统功能的分解也可以以表格形式呈现，如表1所示。
表1. 子系统功能的统计信息
因此，在为涉及运动性能的飞机机械系统分配可靠性时，必须同时考虑结构功能和运动功能。由于可靠性分配的结果与分配因素密切相关，本文采用上述分解原理，通过评估六个指标来分配系统可靠性目标：子系统贡献、复杂性、严重性、潜在改进、动态性能和运行时间。

2.2. 犹豫模糊语言集
在评估分配因素时，专家可能在几个评分之间难以做出决定。为了减少主观评估过程中的不确定性，提出了一种犹豫模糊语言集来评估不同的影响因素。引入模糊数来描述相应的评级。最常用的模糊数是三角形模糊数和梯形模糊数。这些数的隶属函数定义如下：
??~???(??)=?{ { { { {?{ { { {???????????,??≤??≤??;??????????,??≤??≤??;0,?????????????????????????。
(1)
??~???(??)=?{ { { { {?{ { { { {?(?????)?????,??≤??≤??;1,??≤??≤??;??????????,??≤??≤??;0,?????????????????????????。
(2)
其中 ??~???(??) 是元素x在模糊集???中的隶属度。
通过去模糊化模糊集~??，它们可以转换成确定的数值。最广泛使用的方法是中心点去模糊化方法[35]。
对于三角形模糊数~?? =(??,??,??)，??~?? =??+??+??/3，其中??~?? 是去模糊化后的模糊集~??的值。
对于梯形模糊数~?? =(??,??,??,??)，去模糊化公式可以表示为[35]：
??~??=??/2+??/2+??3???2/2???2/2?????3(???+????????)

3. 飞机机械系统的可靠性分配方法
采用非受限分配方法来分配飞机机械系统的可靠性。为了真正反映飞机机械系统的性能特点，选择了以下六个分配因素并进行扩展，即贡献、复杂性、严重性、潜在改进、动态性能和运行时间。其中，复杂性是定量因素，通过历史数据量化；其余五个因素是定性因素，由经验丰富的专家进行评估。

3.1. 可靠性分配因素
3.1.1. 贡献 Ci
各个子系统相互协作以执行飞机机械系统的各种功能。对系统进行彻底的分析和分解对于可靠性分配至关重要。因此，基于第2.1节概述的系统功能分解原则，并利用AHP方法，提出了一个定量的子系统贡献分配因素。贡献较大的子系统应被分配更高的可靠性。各子系统的贡献通过以下方法进行评估。首先，评估每个子功能的相对重要性；其次，评估每个子系统对每个子功能的贡献。具体实施步骤如下：

步骤1：使用AHP方法量化每个子功能的相对重要性。子功能i相对于子功能j的重要性用???????表示，???????的含义在表2 [28]中列出。子功能相对重要性矩阵V的形成如下：
\[ \begin{bmatrix}
\mathbb{V} = \begin{array}{cc}
\mathbb{V}_{11}, & \mathbb{V}_{12}, & \ldots, & \mathbb{V}_{(m+q)} \\
\mathbb{V}_{21}, & \mathbb{V}_{22}, & \ldots, & \mathbb{V}_{(m+q)} \\
\ldots, & \ldots, & \ldots, & \mathbb{V}_{(m+q)} \\
\mathbb{V}_{(m+q)}^1, & \mathbb{V}_{(m+q)}^2, & \ldots, & \mathbb{V}_{(m+q)}
\end{array}
\end{bmatrix} \]
其中m表示结构子功能的数量，q表示运动子功能的数量。表2为比较矩阵的尺度。然后，可以通过以下公式获得子功能i的相对重要性：
\[ \mathbb{V}_i = \frac{1}{\sqrt{\sum_{j=1}^{q}} \mathbb{V}_{ij} \]
步骤2：使用模糊集理论评估组件对子功能的贡献，具体评估标准如表3所示；形成每个子系统的贡献矩阵～??：
\[ \begin{bmatrix}
\tilde{\mathbb{U}} = \begin{array}{cc}
\tilde{\mathbb{U}_{11}, & \tilde{\mathbb{U}_{12}, & \ldots, & \tilde{\mathbb{U}_{(m+q)} \\
\tilde{\mathbb{U}_{21}, & \tilde{\mathbb{U}_{22}, & \ldots, & \tilde{\mathbb{U}_{(m+q)} \\
\ldots, & \ldots, & \ldots, & \tilde{\mathbb{U}_{(m+q)} \\
\ldots, & \ldots, & \ldots, \tilde{\mathbb{U}_{(m+q)}
\end{array}
\end{bmatrix} \]
步骤3：引入TOPSIS（基于理想解相似性的排序偏好技术）[16]方法，并结合子功能的相对重要性来获得子系统的贡献。根据模糊数乘法运算，子系统的综合评估矩阵为～?? = (～???????)(m+q)×n：
\[ \begin{bmatrix}
\tilde{\mathbb{A}} = \begin{array}{cc}
\tilde{\mathbb{A}_{ij} &= \mathbb{V}_i \cdot \tilde{\mathbb{U}_j
\end{array}
\end{bmatrix} \]
然后得到中间值，即正理想解和负理想解：
\[ \begin{bmatrix}
\mathbb{M}_+ &= (m+1, m+2, \ldots, m+n) \\
\mathbb{M}_- &= (m-1, m-2, \ldots, m-n)
\end{bmatrix}
\]
其中??+?? = m∑_{j=1}^{q} \mathbb{V}_{ij}, ????? = m∑_{j=1}^{q} \tilde{\mathbb{U}_j \]
计算贡献评估与理想解之间的欧几里得距离：
\[ \begin{bmatrix}
\mathbb{D}_i &= \sqrt{\sum_{j=1}^{q} (\mathbb{A}_{ij} - \mathbb{M}_+)^2 + \mathbb{A}_{ij} - \mathbb{M}_-)^2}
\end{bmatrix} \]
然后获得每个子系统的贡献：
\[ \begin{bmatrix}
\mathbb{C}_i &= \mathbb{D}_i - \mathbb{D}_+ + \mathbb{D}_-
\end{bmatrix} \]
最后，子系统的标准化贡献????表示为：
\[ \begin{bmatrix}
\mathbb{C}_i = \frac{\mathbb{C}_i}{\sum_{j=1}^{n} \mathbb{C}_j}
\end{bmatrix}
\]

3.1.2. 复杂度Ki
根据传统方法，子系统的复杂度Ki是子系统中组件数量与整个系统组件总数的比率，即：
\[ \mathbb{K}_i = \frac{n_i}{\sum_{j=1}^{n} n_j} \]
对于飞机机械系统，不同子系统之间会有相互关联的负载。因此，子系统的复杂度也与它们所承受的负载分散程度有关。随着系统负载分散程度的增加，子系统之间的故障相关性也会逐渐增加。此时，子系统的复杂度不能仅由其包含的组件数量来确定。负载的分散程度与系统环境条件有关。环境条件恶化时，负载的分散程度会增加。系统性能的分散程度与材料加工技术、部件制造技术和组件组装技术有关，并且可以通过技术水平来定性描述。因此，工作条件和技术水平可以用来近似描述子系统负载的相对分散程度[4,34]。??????????表示负载分散系数，可用于衡量子系统之间的故障相关性。??????????可以通过以下公式获得：
\[ \mathbb{L}_{s????} = \mathbb{E}_i \cdot \mathbb{E}_j \]
其中????表示环境条件因子，????表示技术水平因子。两者都可以通过参考文献[4,33]获得。为了考虑负载分散的影响，子系统复杂度修改如下：
\[ \mathbb{K}_*i = \frac{n_i}{1 - \mathbb{L}_{s????} \sum_{j=1}^{n} \mathbb{L}_{s????} \]
具体来说，当??????????趋于0时，即子系统的故障是独立的，??*??等于????。当??????????趋于1时，子系统的故障是完全相关的，意味着子系统的复杂度与????无关。子系统的标准化复杂度??????????表示为：
\[ \mathbb{K}_*i = \frac{\mathbb{K}_i}{\sum_{j=1}^{n} \mathbb{K}_*i} \]

3.1.3. 严重性Si
对于飞机机械系统，应同时考虑结构故障和运动故障。换句话说，当运动误差超过允许限度时，会发生运动故障。尽管在这种情况下结构功能仍然正常，但具有高运动精度要求的子系统将无法满足用户需求。需要优先改进严重性较高的子系统，并在可靠性分配过程中仔细考虑。然而，基于FMEA的传统10级排序尺度方法无法准确反映故障模式的严重性。因此，为了更准确地反映故障模式的严重性，对严重性进行以下指数变换[10]：
\[ \mathbb{S}_*i = \exp^2(\theta \cdot \mathbb{S}_i) \]
其中???????是从表4所示的10级尺度中得出的严重性评分，～???????表示故障严重性的非线性变换，??表示变换系数。表4为故障严重性的模糊评估等级。假设系统包含n个子系统，?? =1,2,…,??。与排序尺度相比，这种非线性变换放大了严重性评分之间的差异。当子系统i包含多个故障模式时，选择最严重的故障模式来代表子系统i的潜在严重性：
\[ \mathbb{S}_i = \max(\mathbb{S}_*1, \mathbb{S}_*2, \ldots, \mathbb{S}_*f) \]
其中??是子系统i的故障模式总数。严重性如下标准化：
\[ \mathbb{S}_i = \sum_{j=1}^{n} \mathbb{S}_j \]

3.1.4. 改进潜力Pi
故障率较高的子系统可能具有较大的改进潜力，可以在相对较低的成本下实现进一步的增强，并会被赋予更高的可靠性。子系统的改进潜力Pi如下得出[11]：
\[ \mathbb{P}_i = -\lambda \cdot \mathbb{F}_i \]
其中????表示故障率，r是一个正常数。子系统的故障率可以根据历史故障数据或测试数据确定。当故障样本数量有限时，可以根据FMEA中提供的故障率信息推断子系统的概率故障率[10,12]：
\[ \mathbb{F}_i = \exp(\gamma \cdot \mathbb{O}_i) \]
其中???????表示子系统i中第j个故障模式的故障率，??_i表示子系统i中第j个故障模式的发生评级，如表5所示。表5为故障发生评级的模糊评估等级。上述故障率的计算假设每个子系统独立故障。子系统之间的相关性可能导致每个子系统的故障有一定的集中趋势。因此，基于负载分散的计算，提出了一个故障相关指数????来定量描述子系统之间的故障相关性：
\[ \mathbb{??}_i = \exp(\xi \cdot \mathbb{L}_{s????}) \]
其中??是一个未确定的系数，?? >0。修改后的发生评级??*?????可以表示为：
\[ \mathbb{O}_*i = \mathbb{??}_i \cdot \mathbb{O}_i \]
对于飞机机械系统，各种运动的执行依赖于子系统之间的协调。因此，在考虑发生评级时，不仅要考虑传统的故障事件（包括零件断裂、疲劳等），还要考虑无损故障事件[4]。无损故障事件包括零件的组装、润滑、协调等，所有这些都会影响飞机机械系统的运动性能[25,36]。此外，组件的退化不会导致机构停止运行，但会影响运动性能[18]。因此，本文还评估了这些异常行为引起的故障率。同样，零件的异常行为也会导致子系统之间的故障相关性。然后，异常行为引起的故障率可以表示为：
\[ \mathbb{F}_*i = \exp(\xi \cdot \mathbb{??}_i \cdot \mathbb{O}_i) \]
假设第i个子系统有f个故障模式，其总故障率可以表示为：
\[ \mathbb{F}_i = \sum_{j=1}^{f} \mathbb{F}_j \]
标准化后的?????????计算如下：
\[ \mathbb{Τ}_i = \frac{\mathbb{Τ}_i}{\sum_{j=1}^{n} \mathbb{Τ}_j} \]

3.1.5. 动态性能Di
对于飞机机械系统，由于子系统可以实现更多类型的运动并执行更多的运动功能，因此其故障的可能性比静态子系统更高。应给予具有较少运动组件的子系统更高的可靠性。使用模糊集理论评估每个子系统的动态性能，具体评估标准如表6[37]所示。Di表示描述动态性能的权重因子。表6为动态性能的模糊评估等级。标准化动态性能因子??????????表示为：
\[ \mathbb{Τ}_i = \sum_{j=1}^{n} \mathbb{Τ}_j \]

3.1.6. 运行时间Ti
某些子系统的运行时间将短于整个系统。因此，运行时间较短的子系统可能会被赋予较低的可靠性等级。因为对于运行时间较短的子系统，降低其故障率是一个更合理的选择[35,38]。评估每个子系统的运行时间，如Ti。使用模糊集理论评估每个子系统的运行时间，具体评估标准如表7[18]所示。表7为运行时间的模糊评估等级。标准化运行时间因子?????????表示为：
\[ \mathbb{Τ}_i = \frac{\mathbb{Τ}_i}{\sum_{j=1}^{n} \mathbb{Τ}_j} \]

3.2. 整体可靠性分配指数的计算
在飞机机械系统的设计阶段，需要为每个子系统分配系统的目标可靠性，即：
\[ \mathbb{R}_i = \mathbb{R}_????\mathbb{O}_???? \]
其中????是分配权重因子，?????????是目标可靠性，????是分配给第i个子系统的可靠性。根据方程(29)，当????的范围是(0, 1)时，分配给子系统的????值越小，????的值越大。因此，受到Yadav和Zhuang [11]的启发，并结合上述分配因子的定义，贡献、严重性和运行时间与分配权重成反比，即???? ∝1/????、???? ∝1/????、???? ∝1/????，而复杂度、改进潜力和动态性能与分配权重成正比，即???? ∝????、???? ∝????、???? ∝????。因此，分配权重??*??计算如下：
\[ \mathbb{??*?? = \mathbb{K}_i \cdot \mathbb{Τ}_i \cdot \mathbb{Ρ}_i \cdot \mathbb{E}_i \cdot \mathbb{O}_i \cdot \mathbb{Τ}_i \]
分配权重可以进一步推导为：
\[ \mathbb{??*?? = \sum_{j=1}^{n} \mathbb{??*??} \]

3.3. 考虑故障相关性的飞机机械系统可靠性模型
3.3.1. 可靠性模型
可靠性模型旨在建立系统与其组成部件之间的可靠性映射；这是合理分配可靠性的关键前提。如图1的系统分解图所示，大多数子系统相互关联以执行系统的各种功能。因此，基于子系统之间统计独立性、随机独立性和故障独立性假设的传统可靠性模型不再适用。本文将应用Copula函数来建立考虑故障相关性的飞机机械系统的可靠性模型。假设第i个子系统的可靠性为????，其中???? = P?(??? ≥0)，???表示极限状态函数。????是故障概率，通过???? = 1 ? ???获得，其中???可以概括为??? = Γ? > θ?。???表示第i个子系统的广义强度，θ?表示第i个子系统的广义应力。例如，对于飞机机械系统的运动功能，???可以表示允许的运动范围，θ?可以表示实际的运动误差。串联系统的故障概率??????????计算如下：
\[ \mathbb{F}_s?????? = P(???≤0) \cdot \prod_{j=1}^{n} (???≤0) \cdot \ldots \cdot (???≤0) \]
Copula函数为解决故障相关性提供了有效的解决方案。变量(???,???,…,???)的多重联合累积分布函数(CDF)可以表示为[39]：
\[ \mathbb{F}(x_1,…,x?) = P(x_1≤x_1) \cdot \prod_{j=1}^{n} (x_j≤x_j) = \mathbb{C}(F_{x?}(x_1),…,F_{x?}(x?); \eta \]
其中??(x?,???,…,???)表示变量(???,???,…,???)的联合CDF，???(x?) = P(x? ≤ x?)是变量???的边际CDF，η是相关系数。有不同的Copula函数C来建立变量之间的各种依赖结构。在实际工程应用中，各种子系统是相互关联的，并表现出正相关。Gumbel copula函数具有较高的上尾系数和较低的下尾系数，非常适合描述表现出上尾相关的变量之间的正相关性。因此，Gumbel copula特别适合使用寿命较长的系统[4,40]。Gumbel copula的表达式如下：
\[ \mathbb{C}(F_{x?},???,…,x?) = \exp\left(1 - \left[ \sum_{j=1}^{n} \left[ \exp(-θ?^{(x?(x_j)} \right]^{(1-θ?^{(x_j}) \right] \right) \right) \]
其中??是相关系数，?? ∈[1,∞]。当?? =1时，变量之间没有相关性。随着??的增加，校正也会增加例如，对于两个子系统，相关系数可以表示为：????,??=1?2√???????????×??????????；对于三个子系统，相关系数可以表示为：????,??,??=1?3√??????????×??????????×??????????。应用的Copula函数，???????3??可以重写为?????????3??=∑????=1?????(0)?∑1≤??
3.3.2 可靠性分配
可靠性分配可以基于飞机机械系统的可靠性模型来进行。为了便于计算，采用了相对权重方法。假设第l个（1 ≤?? ≤??）子系统的相对权重??′??可以表示为??′?? =????/????，其中第k个（1 ≤?? ≤??）子系统的标准权重为????。分配给第l个子系统的可靠性为??? =????′????。因此，系统的可靠性???可以表示为变量????的函数，其中???可以根据前述的可靠性模型获得。设???等于目标可靠性???????????。由此可以得出????。???也可以通过??? =????′????来得到。特别是，并联系统的分配过程是从故障概率的角度进行的。分配给子系统i的可靠性为??? =1 ?(??????????)????????。因此，并联系统的分配权重与串联系统中的分配权重不同。因此，并联系统的分配权重应修改为??? =1/??*??∑????=1/??*??。

4. 工程案例
作为飞机方向舵控制系统中的关键执行器，飞机负载机构能够以高精度执行复杂任务[41,42,43]。飞机负载机构是一个典型的串联机械系统，涉及运动特性，如图3所示。该系统要求每个运动部件协同工作以准确且稳定地执行任务；因此，这些部件的可靠性必须非常高。特别是在现代战斗机中，飞机负载机构的运动性能直接影响飞机的作战能力。因此，在飞机负载系统内准确且适当地分配可靠性至关重要。

图3. 飞机负载机构的组成。根据设计要求，飞机负载机构的任务是为方向舵控制系统提供稳定可靠的阻力。飞机负载机构主要有五个功能，即加载功能、循环操作功能、启动功能、传输功能和重置功能。其中，前两个子功能是由部件断裂引起的，而后三个子功能是由子系统的运动故障触发的。详细来说，飞机负载机构的主要功能是将输入 Angle 转换为扭矩输出。因此，必须确保机构的传输误差保持在规定的范围内。一旦超出这个范围，传输功能就会失效。同时，考虑到运动过程中存在关节间隙和磨损，机构在启动阶段允许有一定的空行程。然而，当空行程过大时，启动功能也会失效。当机构没有运动输入时，在预紧力的作用下，机构会自动移动到平衡状态。因此，当弹簧提供的预紧力不足以克服返回阻力时，机构的重置功能就会失效。

系统中主要有七个子系统：辅助支架、底座、主支架、支撑轴、盘式凸轮机构、摇臂和组合弹簧。接下来，考虑这个案例在其早期设计阶段，并使用所提出的方法，将飞机负载机构的可靠性目标值?????????????分配给这些子系统，其值为0.9。飞机负载机构的系统分解如图4所示。图4. 飞机负载机构的系统分解。飞机负载机构的系统级别和子系统级别之间的映射关系也在表8中显示。表8中的索引编号按从左到右的顺序列出，对应于图4中显示的子系统。

4.1 分配因素的计算
在飞机负载机构的运动传输过程中，每个子系统的动作是由前一个子系统触发的。因此，系统的运动功能主要受运动子系统的影响。因此，基于图1中的系统分解原则，进行了子系统贡献分析。首先，应用AHP模型来处理每个子功能的相对重要性，如表9所示。然后，通过应用方程（5），得到每个子系统的相对重要性指数????，结果显示在表9的最后一列。

其次，得到贡献矩阵~??并列表在表10中。表10. 每个子系统的贡献矩阵。

最后，应用方程（7）–（11）并使用TOPSIS方法得到子系统贡献的值。得到欧几里得距离和归一化贡献指数????，如表11所示。表11. 子系统贡献指数。收集每个子系统的环境条件、技术水平和组件数量；然后使用方程（13）–（15）计算归一化复杂度??????????。结果展示在表12的最后一列。表12. 子系统复杂度指数。根据FMEA信息和系统的特点，对每个子系统的故障模式、严重性、发生概率、动态性能和运行时间进行模糊评估，如表13所示。表13. 每个子系统的模糊评估。评估结果使用第2.2节中的方法进行去模糊处理。假设转换系数?? =0.8，可以使用方程（16）–（18）得到归一化严重度?????????。结果展示在表14的最后一列。表14. 子系统严重度指数。对于飞机负载机构，主要的故障模式包括断裂、关节卡住、关节磨损、装配松动和应力松弛。其中，后三种故障模式主要受部件之间异常动作的影响。表13中的发生概率评估首先转换为模糊数，并通过方程（3）去模糊化后得到发生概率的得分，如表15所示。表15. 子系统发生概率指数。飞机负载系统的子系统受到相同环境变量的影响，并共同执行系统功能，因此子系统之间存在故障相关性。通过应用方程（21）并假设?? =0.2，可以得到故障相关性指数????。然后，根据方程（19）–（25），假设常数参数?? =100，可以得到潜在的可靠性改进指数，如表16所示。表16. 子系统的潜在可靠性改进指数。表13中的动态性能评级和运行时间评级首先转换为模糊数，并通过方程（3）去模糊化后得到动态性能指数和运行时间指数，如表17所示。表17. 子系统的动态性能和运行时间。最后，表18总结了六个权重因素。可以使用方程（30）和（31）得到分配权重????。应用相对权重方法，得到相对分配权重??′?? =????/???，如表18的最后一列所示。表18. 权重因素总结。由于飞机负载机构是一个串联系统，在独立假设下，系统的可靠性可以表示为???????=∏7??=1???。每个子系统的可靠性可以表示为??*?? =(????????????)????，其中?? =1,2,3,4,5,6,7。然而，根据飞机负载机构的工作原理，系统的主要功能是实现运动和扭矩传输，这是通过不同子系统的协调操作来完成的。例如，盘式凸轮机构、摇臂和组合弹簧在系统的传输功能和重置功能中都起着关键作用。因此，这三个子系统之间存在故障相关性。类似地，辅助支架和主支架之间也存在故障相关性。基于方程（38），可以推导出飞机负载机构的可靠性模型：

??? =???×???=???×???×???,3×???,?,7，其中???,3 =(1????????+????????(???,???;???,3))，而???,?,? =??? ×??? ×??? =1 ?∑???=5???? +????????(???,???;???,?) +????????(???,???;???,?) +????????(???,???;???,?) ?????????(???,???,???;???,?,7)。通过应用方程（36），可以得到不同子系统之间的相关系数??。基于相对权重方法，即??′?? =????/???，然后可以将???表示为???的函数。将???设为???????????=0.9，使用MATLAB R2023a软件中的fminbnd函数来解决它。应用fminbnd函数的计算原理如下：

??????????????????????????(???)=???????????????????.??。?{ { { { { { {?????????????≤????;????=???×???=???×???×???,3×???,?,7;???,?????????≤???≤???,????????;???=????′??1,??=2,3,4,5,6,7

方程使用黄金分割法和抛物线插值法[44]求解最优值。表19列出了分配给每个子系统的可靠性。此外，表19还展示了在故障独立情况下的分配结果，以及这两种模型得出的分配结果的相对误差。表19. 飞机负载机构的可靠性分配结果。飞机负载机构的可靠性分配值从高到低排列在表19的最后一列。因此，飞机负载系统的可靠性分配值排序如下：盘式凸轮机构 > 支撑轴 > 组合弹簧 > 主支架 > 摇臂 > 底座 > 辅助支架。盘式凸轮机构的严重性和动态性能评级较高，而潜在改进评级较低。因此，盘式凸轮机构被分配了最高的可靠性级别，这意味着在系统设计的初始阶段，对盘式凸轮机构的设计要求最为严格。由于支撑轴是系统的重要连接子系统，并且与盘式凸轮机构和主支架相连，它有许多设计参数。因此，分配给支撑轴的可靠性仅次于盘式凸轮机构。另外，因为底座和辅助支架对系统子功能的贡献较小，并且由成熟的技术部件组成，它们的可靠性等级较低。

表19中显示的相对差异定义为：????????????=?????????????????????? ?????????????=??????????????×100%。从结果可以看出，辅助支架的相对差异最大，达到0.165%。因此，在飞机机械系统内分配可靠性时，必须考虑故障相关性。分配结果表明，当考虑从实际角度来看，降低子系统的可靠性水平也会降低设计和制造成本，从而使子系统更容易达到标准。这一结论也可以从工程学的角度来解释。由于系列飞机机械系统的可靠性取决于其最弱单元的可靠性，而其他尚未发生故障的单元的积极影响可以提高这一可靠性。因此，最弱单元的可靠性比各单元独立时更高。4.2 参数敏感性分析为了研究参数μ和λ对可靠性分配结果的影响，设置了不同的案例来分析它们的敏感性。μ是一个用于描述子系统之间相互作用的参数，它影响潜在改进的分配因子。已经推导出不同μ值的可靠性比率，其中μ=0.1时的分配结果作为参考基准。结果如图5所示。图5. 参数μ的可靠性敏感性。从图5可以得出结论，随着μ值的增加，分配给辅助支架、基础和组合弹簧的可靠性相应降低，其中辅助支架的变化最为明显；同时，分配给主支架、支撑轴、盘式凸轮机构和摇臂的可靠性相应增加，其中摇臂的增加最为显著。由于辅助支架和摇臂的当前可靠性相对较低，这两个子系统的变化特别明显。此外，由于这两个子系统与其他子系统有相互作用，它们受到μ值的显著影响。λ是Copula函数的一个参数，用于描述子系统之间的故障相关性。已经推导出不同λ值的可靠性比率，参考值使用方程（36）得到的λ值进行计算。这些结果如图6所示。图6. 参数λ的可靠性敏感性。从图6可以得出结论，随着λ值的增加，分配给每个子系统的可靠性都会降低。这表明，随着子系统故障相关性的增加，只要满足整个系统的可靠性目标，每个子系统就更容易达到预期的可靠性目标。辅助支架、基础和摇臂的趋势尤其明显；这可能是因为这些子系统目前分配的可靠性相对较低。因此，敏感性的排名也与子系统的当前可靠性有关。总体而言，上述敏感性分析表明，子系统之间的相互作用不可忽视；在建模系统可靠性以及分配因子时必须考虑这些相互作用。它还强调了正确量化故障相关关系的重要性。4.3 对比与讨论为了进一步验证所提出方法的有效性，还将该工程示例应用于与Yadav和Zhuang [11]、Zhang [4]、Yang [33]、Chen [37]提出的方法以及综合因素方法（IFM）[45]进行比较。根据Yadav [11]的方法，考虑了非线性严重性和故障率。在Zhang [4]、Yang [33]和Chen [37]的方法中，考虑了故障相关性。IFM是一种传统的分配方法，它考虑了更全面的加权因素。为了便于直观比较，结果通过图形展示，如图7所示。图7. 不同分配方法的结果对比图。从图7可以明显得出结论，由于考虑了运动性能和子系统的贡献，所提出方法中辅助支架的可靠性分配值低于之前的方法。同样，在Yadav [11]和Zhang [4]提出的方法中，基础的可靠性分配值最小，这与工程实践不符。这是因为它们没有考虑基础对飞机载荷机构载荷和循环操作的影响。IFM [45]未能考虑由载荷分散引起的子系统之间的相互作用，这意味着分配结果受到组件数量的显著影响，这与工程实践不一致。此外，Yadav [11]提出的方法和IFM [45]都没有考虑故障相关性，因此得到的总体分配结果较高。此外，Yang的方法[33]采用了一种平均方法来处理子系统的影响因素，导致每个子系统的分配权重变得集中。这导致了相似的分配结果，从而削弱了权重因素的影响，未能充分反映子系统之间的差异。使用Chen的方法[37]获得的结果分析显示，这些结果与本文提出的方法相对接近。然而，Chen的方法[37]未能在分配因子中考虑子系统之间的相互作用，导致分配给主支架、支撑轴和盘式凸轮机构的可靠性几乎没有差异。在4.2节的敏感性分析结果中还可以观察到，随着组件之间相互作用的增加，分配给支撑轴和盘式凸轮机构的可靠性增加。相反，随着子系统之间相互作用的增加，辅助支架和基础的可靠性降低。此外，在建模系统可靠性时，Chen的方法[37]缺乏有效的计算方法来区分不同子系统之间的相关性，这进一步验证了所提出方法的全面性。总之，建立正确的系统功能分解模型、量化每个子系统对系统整体运动特性的影响以及在因子分配模型和系统可靠性预测模型中考虑子系统之间的相互作用是非常重要的。5. 结论本文旨在解决飞机机械系统中关于运动性能的可靠性分配问题，并提出了一种可靠性分配方法。主要贡献如下：（1）为了全面评估飞机机械系统的运动性能，建立并扩展了一个系统分解模型，从而建立了子功能与子系统之间的映射关系。此外，采用AHP方法来量化每个子系统对系统结构功能和运动功能的贡献。（2）提出了系统分配的权重因子，并根据载荷分散进行了调整，同时考虑了子系统之间的相互作用。还提出了一种故障相关性指数，以突出这些相互作用对故障发生率评级的影晌。（3）在潜在故障率中考虑了可能对运动性能产生重大影响的非破坏性故障事件。此外，还开发了动态性能指数和运行时间指数。（4）使用Copula函数建立了要分配的系统的可靠性预测模型，该模型适用于串联和并联系统。引入了一种计算相关系数的方法，以区分和量化不同子系统之间的相关性。最后，本文提出的方法也可以应用于复杂的系统，如飞机襟翼机构、飞机齿轮门锁系统、工业机器人等。通过在可靠性分配中考虑运动可靠性、故障相关性和系统性能，该方法可以更好地反映实际情况，从而为可靠性工程提供重要参考。