高超音速撞击流体动力学与对流加热研究方法（HI-Mach）及其敏感性分析 Jeremiah Goates、Logan Freeman、Nathan Hoch 和 Douglas Hunsaker

《Aerospace》：Hypersonic Impact Method for Aerodynamics and Convective Heating (HI-Mach) with Sensitivities Jeremiah Goates, Logan Freeman, Nathan Hoch and Douglas Hunsaker

　　**摘要**
本研究探讨了构建具有韧性的低空垂直起降机场（vertiport）的拓扑网络。为了解决传统拓扑优化问题中因过度追求代数连通性而导致的冗余问题，我们采用了代数连通性这一关键谱度量方法作为网络拓扑韧性的评估标准。目标函数使用了归一化的代数连通性，同时考虑了网络的总距离，从而在模型层面上实现了全局容错性与建设成本之间的有效平衡。为了应对这一具有挑战性的组合优化问题，我们对Gray Wolf优化器（GWO）算法进行了机制性的改进。实验表明，所提出的方法在目标函数值和网络总距离等关键指标上表现优异，显著提高了网络韧性，并有效控制了建设成本。对于优化后的网络拓扑解决方案，通过对节点和边的六种故障模式的模拟，分析了垂直起降机场网络的最大连通子图比例和全局效率在逐步移除节点和边过程中的响应特性。结果表明，设计的垂直起降机场拓扑网络展现了强大的韧性：它能够在随机攻击和基于度的定向节点攻击下保持高连通性和全局效率，展现出很强的工程适用性。

**1. 引言**
近年来，快速的城市化和日益密集的城市空间结构给传统的城市交通系统带来了巨大压力。这些主要依赖地面交通的系统现在面临着一系列结构性瓶颈，包括旅行效率下降、交通拥堵加剧以及应急响应能力不足等问题[1]。在这种背景下，为低空空域设计的新型交通方式受到了学术界和工程界的越来越多的关注。以电动垂直起降（eVTOL）飞行器为代表的低空飞行器被认为是缓解城市交通拥堵和扩大城市三维交通能力的关键技术途径。这得益于它们对跑道依赖性的降低、操作灵活性的提高以及适用于短距离、高频运行的特点。随着推进系统、电池技术、飞行控制和空域管理能力的不断成熟，低空飞行操作已从孤立的试验或示范运行发展到系统化和网络化的集成阶段。在这一过程中，低空垂直起降机场作为低空交通系统中的关键基础设施节点，其空间布局和互连方式直接决定了低空交通网络的操作效率、服务覆盖能力和整体安全性。与传统航空枢纽系统相比，低空垂直起降机场数量更多且分布更广，因此呈现出复杂网络结构的典型特征。这使得仅依靠经验规则或局部最优策略进行规划难以满足系统级的运行要求。从系统工程的角度来看，低空垂直起降机场网络不仅需要在正常条件下具备高可访问性和操作效率，还必须在面临节点故障、段中断或突发事件影响时保持核心功能。这类干扰可能由多种因素引起，包括极端天气、设备故障、临时空域限制和突发公共安全事件等。如果网络结构缺乏足够的内在韧性，局部故障很容易在拓扑中传播，引发连锁反应，导致广泛的运行退化甚至系统瘫痪。因此，在规划阶段建立具有“内在韧性”的低空垂直起降机场网络已成为实现大规模低空空中交通运行的关键前提。

**2. 文献综述**
研究表明，基础设施网络的拓扑结构对其韧性有着决定性影响。不同的拓扑特性（如节点分布、连接冗余和层次间依赖性）会显著改变网络对随机故障和恶意攻击的敏感性[2]。在交通网络、电网和电信网络等领域，合理的拓扑设计可以显著提高系统对随机故障和蓄意攻击的韧性[3]。本研究探讨了构建具有韧性的低空垂直起降机场的拓扑网络。传统的拓扑优化方法通常会过度增加网络冗余，为此本研究采用代数连通性作为网络韧性的关键评估指标，并在目标函数中考虑了网络的总距离。通过半定规划（SDP）对模型进行简化，以实现全局容错性和建设成本之间的有效平衡。为了应对这一具有挑战性的组合优化问题，对GWO算法进行了改进。实验结果表明，所提出的方法在目标函数值和网络总距离等关键指标上优于基准方法，同时提高了网络韧性并有效控制了建设成本。对于优化后的网络拓扑解决方案，通过对节点和边的五种故障模式的模拟，分析了垂直起降机场网络的最大连通子图比例和全局效率在逐步移除节点和边过程中的响应特性。结果证明，设计的垂直起降机场拓扑网络展现了强大的韧性：它在随机攻击和基于度的定向节点攻击下都能保持高连通性和全局效率，具有很强的工程适用性。

交通网络的韧性直接关系到社会稳定、经济发展和公共安全。这种重要性源于现代社会对交通连接性和及时性的高度依赖。目前，各学科的学者们对交通网络进行了广泛研究。在道路交通研究中，韧性被定义为道路段抵御和从交通流干扰中恢复的能力[4]。对美国战略公路网络基础设施系统的韧性研究表明，该网络具有很强的结构韧性，能够更好地抵御干扰并维持整体功能，而铁路网络在定向攻击场景下表现出更大的连通性脆弱性[5]。对香港公共交通网络的实证分析表明，多模式系统之间的连通性提高了整体韧性，使其更能抵御随机干扰或定向攻击。在航空网络研究中，研究了不同高度层对空域效率的影响，并评估了系统的生存能力[6]。对综合空铁网络复杂拓扑特性的分析显示，虽然集成网络提升了效率，但也增加了对枢纽节点的依赖性，使得网络容易受到干扰[7]。随着低空空中交通系统向网络化和高密度操作的发展，分散式空域交通管理受到了越来越多的关注。Veytia等人提出的方法[8]为低空航线网络的运行机制提供了有价值的见解，他们将城市低空空域抽象为受限城市空域内的航线网络，并引入了基于交通复杂性的动态控制策略，实现了无需集中控制的自主优化流量。通过降低交通复杂性，他们有效减少了潜在冲突和拥堵的风险[8]。Clarke等人研究了城市空中 Mobility（UAM）系统在分布式拒绝服务（DDoS）网络攻击下的韧性控制策略，引入图论中的K-割问题来量化节点脆弱性，并提出了一种分布式控制框架，该框架结合了脆弱性评估、自重构和分布式优化，以适应无人机的行为调整[9]。Ma团队开展了一系列关于城市多模式交通网络韧性的研究，提出了基于约束的聚类模型和邻域搜索来确定垂直起降机场的位置，并基于渗透理论开发了级联故障韧性评估框架；通过北京案例研究，他们评估了网络在结构连通性和需求满足方面的性能，证明了将地铁系统与城市空中移动网络集成可以提升连通性，从而提高整体城市多模式交通（UMT）网络的韧性约9-11%[10,11]。Zhang等人提出了一个包含连通性约束的垂直起降机场网络优化框架，实现了交通成本和建设成本的最小化双重目标，并开发了一种结合最小生成树（MST）和贪婪初始化的混合遗传算法，能够处理不同规模的问题，其韧性性能可与基准解决方案媲美，同时显著减少了计算时间，为复杂城市环境中的UAM规划提供了有效的决策支持[12]。Song等人提出了一种基于网络拓扑的垂直起降机场位置分配方法，强调整体系统性能主要由全局结构特性决定，而非传统的局部优化，并通过全面的网络度量评估分析了不同布局策略对网络效率和结构特性的影响[13]。Fung提出了一种面向韧性的UAM系统设计方法，利用大规模的非标称扰动（如垂直起降机场关闭和空域管理故障）的仿真来诊断运营脆弱性，并从系统响应中提取设计启发式规则，为复杂现实世界UAM环境中的韧性评估和基础设施规划提供了指导[14]。Liu等人考虑了在城市聚集区规划低空交通网络时的空间连续性和可访问性，强调网络连通性和冗余性对于确保未来系统的运行安全至关重要[15]。Cheng等人研究了风速和降雨对低空物流网络的影响，以深圳基于UAV起降点的低空物流网络为案例，比较分析了不同节点移除策略下的网络韧性，并提出了增强网络韧性的优化建议[16]。

通过将低空垂直起降机场系统抽象为拓扑网络，并应用复杂网络和谱图论的关键指标，这种方法有效揭示了其整体结构特性，将理论深度与工程可行性结合起来。当前优化网络韧性的方法主要集中在提高拓扑连通性和冗余性上，通常采用动态控制或布局优化等策略来提高干扰下的生存能力。虽然从全局视角描述连通性和韧性之间的内在关系有助于识别在规划过程中对系统韧性有显著影响的关键连接，为网络建设提供了宝贵的理论和方法论支持，但仍存在一个根本性挑战：垂直起降机场的建设和飞行段的建立涉及高昂的经济成本和严格的空域限制，仅通过增加冗余连接来实现韧性是不切实际的。因此，规划方法必须在网络性能和建设成本之间取得更精细的平衡。这凸显了 urgently需要一种新的拓扑优化范式，能够在韧性和建设经济性之间实现有效且根本性的平衡。

**3. 模型构建**
城市空中移动（UAM）系统的有效稳定运行在很大程度上依赖于其基础设施网络的可靠性。作为eVTOL飞行器的运营基础，低空垂直起降机场网络的拓扑结构直接决定了交通流的组织效率和系统的生存能力。从UAM规划框架的角度来看，网络规划可以分为三个层次：战略层面的拓扑网络规划、战术层面的航线网络设计和运营层面的飞行路径规划和障碍物避让。本章重点关注战略层面的交通网络拓扑初步规划，旨在实现规划节点之间的连通性，并构建具有内在韧性的基础网络骨干，为后续的UAM操作提供稳定基础。一个设计良好的着陆点网络拓扑应具备以下特性：

1. **内在韧性**：当部分节点或边因设备故障、恶劣天气、空域限制或其他不可预见事件发生故障时，网络必须保持其余组件的连通性，以防止局部故障导致整个系统崩溃。

2. **经济可行性**：虽然建立每对着陆点之间的直接连接（即创建一个完全连接的网络）可以实现极高的韧性，但由此产生的建设投资和运营成本将非常高。因此，必须在网络性能和建设费用之间寻求最佳平衡。

因此，本文的核心研究问题可以定义为：在最小化总网络距离的同时，构建一个具有最高可能韧性的网络，确保即使在面临局部故障时也能保持强大的连通性。

为了突出网络拓扑对系统韧性的影响，本研究在保留核心研究问题的同时抽象了实际系统。排除了非关键因素，并引入了以下假设：
- 由于垂直起降机场之间所需的水平间距远远超过它们的垂直位移，因此忽略了地形起伏和垂直高度变化对网络拓扑的影响；只考虑二维连接网络规划问题。
- 假设eVTOL飞机仅在批准的空域内陆地上和水域上飞行；这不包括穿越限制空域的豁免路线，也不包括跨洋或区域间的飞行。
- 网络中所有垂直起降机场之间的边都被假定为具有相同通信和导航支持能力的双向无向边。
- 假设网络中的所有垂直起降机场都集成到一个单一的连接网络中，忽略孤立节点或子图。
- 节点和边只存在于两种状态：“完全运行中”或“完全失效”，不考虑性能下降的情况。

在图论的理论框架中，拉普拉斯矩阵??数学上定义为度矩阵????与邻接矩阵??之间的差：
$$
\mathbf{L} = \mathbf{D??} - \mathbf{A} \quad (1)
$$
$$
\mathbf{L}_{ij} = \begin{cases}
0 & \text{如果 } \mathbf{v}_i = \mathbf{v}_j \\
1 & \text{否则}
\end{cases}
$$
其中$\mathbf{v}_i$表示网络中的第$i$个节点；$\mathbf{v}_j$表示第$j$个节点；$\mathbf{δ}_{ij}$是一个二元变量，表示$\mathbf{v}_i$和$\mathbf{v}_j$是否连接。

设$\lambda_i$表示拉普拉斯矩阵的特征值。将特征向量排序为$0 \leq \lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_N$，使得最小的特征值为0，下一个最小的特征值$\lambda_2$被称为图的代数连通度。如果代数连通度为0，表示网络中至少有一对节点无法通过直接或间接路径连接。较高的代数连通度值意味着需要移除更多的边才能将图分割成不连通的部分，从而表明网络的全球韧性更强。

通常，网络拓扑优化问题旨在最大化代数连通度$\lambda_2$。然而，追求更高的值往往会将图转变为一个密集的、完全连接的网络，给基础设施带来更大的负担。由于$\lambda_2$与网络距离之间的巨大差异，加权拉普拉斯方法——常用于复杂网络问题——在确定适当的权重时面临困难。为了在全局韧性和网络成本之间取得平衡，本研究采用归一化代数连通度$\mathbf{F}$作为目标函数，其中网络距离作为分母。$\mathbf{F}$表示每单位建设成本所实现的全局网络韧性的增益。作为一个无量纲指标，该目标解决了权重选择问题，同时确保在解决过程中，算法将优先考虑建设对全局韧性有显著贡献的关键连接，且成本相对较低。因此，它选择了具有最高韧性回报的拓扑网络结构，同时考虑了成本。归一化代数连通度的计算方法如下：
$$
\mathbf{F} = \max_{\lambda_2} \left( \sum_{i < j} \mathbf{D}_{ij} \mathbf{δ}_{ij} \right) \cdot \mathbf{G} \quad (3)
$$
其中$\mathbf{G} = (\mathbf{W}, \mathbf{E}' ) \quad \mathbf{E}' = \{(i, j) \mid \mathbf{δ}_{ij} = 1\}, \quad \mathbf{E}' \subseteq \mathbf{E} \quad \forall (i, j) \in \mathbf{E}' \quad (4)
$$
$\mathbf{D}_{ij}$表示节点$\mathbf{v}_i$和$\mathbf{v}_j$之间的飞行距离；$\mathbf{δ}_{ij}$是用于确定节点$\mathbf{v}_i$和$\mathbf{v}_j$是否连接的决策变量。$\mathbf{F}$的值越大，网络拓扑的成本效益和韧性就越好。

由于$\lambda_2$是一个非线性特征值，当问题涉及矩阵不等式约束时，很难精确求解。因此，在旨在最大化代数连通度的网络优化问题中，通常难以评估设计的最优性与性能极限之间的差距。本节通过将二进制决策变量$\mathbf{δ}_{ij}$扩展为区间[0, 1]上的连续变量$\mathbf{δ}'_{ij}$来降低解决方案的难度。放宽后的公式（3）变为：
$$
\mathbf{F} = \max_{\lambda_2} \left( \sum_{i < j} \mathbf{δ}'_{ij} \right) \cdot \mathbf{L} \quad (4)
$$
其中$\mathbf{L} = \sum_{i < j} \mathbf{δ}'_{ij} \mathbf{E}'_{ij} \quad \forall (i, j) \in \mathbf{E}' \quad (5)
$$
由于公式（4）的可行集比公式（3）大，因此可以找到一个最大的下界$s$，使得矩阵的所有特征值都大于$s$，除了最小的零特征值。为了解决原始目标函数中的非凸性问题，引入了一个辅助变量$\tau > 0$来进行Charnes-Cooper变换。设置$\mathbf{w}_{ij} = \tau \cdot \mathbf{δ}'_{ij}$将原始问题映射到一个更高维的凸空间。变换后，问题可以重新表述为一个等效的放宽的SDP问题[17]。完整的放宽模型如下：
$$
\mathbf{F} = \max_{\lambda_2} \quad (5)
$$
$$
\sum_{i < j} \left[ \mathbf{W} \mathbf{L} \mathbf{w}_{ij} + \mathbf{t} \mathbf{t} \mathbf{T} \leq s \quad (6)
$$
$$
\sum_{i < j} \mathbf{D}_{ij} \mathbf{w}_{ij} = 1 \quad (7)
$$
$$
\mathbf{w}_{ij} \in [0, t] \quad (8)
$$
$$
1 \leq \sum_{i \in \mathbf{W}, \mathbf{w}_{j} \in \mathbf{W} \quad (9)
$$
$$
\mathbf{S} \subset \mathbf{W}, \quad \mathbf{S} \neq \emptyset, \quad \mathbf{S} \neq \mathbf{W} \quad (10)
$$
$$
\sum_{i \in \mathbf{W}, \mathbf{w}_{j} \in \mathbf{W}, \quad j \neq i \quad (11)
$$
$$
\mathbf{R}_{ij} \cdot \mathbf{δ}_{ij} \leq \mathbf{R}_{\max} \quad \forall (i, j) \in \mathbf{E}' \quad (12)
$$
$$
\mathbf{w}_{ij} \cdot \chi(\mathbf{v}_i \cap \mathbf{v}_j) \neq 0, \quad \forall \mathbf{r} \in \{1, \cdots, \mathbf{Q}, \quad (i, j) \in \mathbf{E}' \quad (13)
$$
$$
\mathbf{w}_{ij} = \begin{cases}
1 & \text{如果 } \mathbf{v}_i \text{和} \mathbf{v}_j \text{相连} \\
0 & \text{否则} \quad \forall \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \in \mathbf{W}, \quad i \neq j \quad (14)
$$
其中$\mathbf{I}_N$表示单位矩阵，$\mathbf{T}$表示全1矩阵，$\mathbf{R}_{\max}$表示飞机的最大运营范围限制；$\mathbf{P}$是所有禁飞区的集合；$\chi(\cdot)$是一个特征函数，当线段内的点与禁飞区相交时，$\mathbf{δ}_{ij} = 0$。

目标函数（5）指的是SDP下的目标函数；约束（6）表示SDP下的谱约束；约束（7）指定了归一化约束；约束（8）定义了辅助变量的范围；约束（9）确保每个垂直起降机场至少连接到一条边；约束（10）保证生成的图$\mathbf{G} = (\mathbf{W}, \mathbf{E}' $是连通的，即不存在与图其余部分完全断开的非空子集$S$。约束（11）表示最大节点度约束。鉴于每个低空垂直起降机场的空域资源和着陆平台有限，这限制了每个节点的度值不超过最大处理能力。约束（12）确保连接起来的垂直起降机场之间的距离满足最大运营范围要求，保证站点之间的连通性在操作上是可行的。约束（13）禁止边穿过禁飞区。公式（14）定义了变量域。

由于最大化代数连通度的问题是NP难的[18]，目前没有高效的确切解决方法来优化大规模网络中的代数连通度。因此，本文采用了一种元启发式算法来解决这个问题。

4.1. **基本灰狼优化算法**
灰狼优化算法（GWO）是一种群体智能优化算法，模拟了灰狼群体的社会层次结构和协作狩猎行为，将个体分为四个社会等级$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$。每个灰狼个体承担不同的责任，如表1所示。灰狼的狩猎过程包括以下三个阶段：
- **包围猎物**：在包围阶段，狼群根据猎物的实时位置动态调整其空间位置，确保搜索逐渐集中在潜在的最优区域。
- **协作狩猎**：灰狼的狩猎行为主要依赖于$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$的引导，使用种群中的三个最优解来指导其他个体的位置更新。
- **追逐猎物**：当猎物停止移动时，追逐阶段开始。GWO算法通过迭代逐渐减小$\tau$的值来模拟这一接近过程。

4.2. **改进的GWO算法**
- **圆形混沌映射初始化**：在标准的灰狼优化算法中，初始种群通常是随机生成的，这可能导致种群分布不均匀，影响算法的收敛效率。混沌映射可以产生更均匀分布的初始种群。这样的方法为全局搜索提供了坚实的基础，并广泛应用于智能算法的种群初始化优化中。常用的混沌序列包括Logistic映射、Tent映射和Circle映射。然而，Logistic映射呈现出Chebyshev分布，倾向于[0, 0.1]和[0.9, 1]之间的值，导致分布不均匀；Tent映射产生均匀分布，但经过一定次数的迭代后，混沌序列可能会收敛到一个固定点或开始循环，失去其混沌特性。因此，本研究采用Circle映射进行种群初始化，它提供了均匀分布，并且比Tent映射更稳定。
- **非线性收敛因子**：GWO算法中分配给系数参数的值显著影响其搜索行为。基线GWO算法将收敛因子$\tau$设置为在迭代过程中从2线性减少到0，这通常无法与实际优化过程对齐。在迭代的早期阶段，收敛因子$\tau$的快速下降率可能会阻止算法彻底探索解决方案空间。因此，本研究引入了一个非线性收敛因子$\tau'$，表示为：
$$
\tau' = 2^{-2 \cdot (T_{max}_I t \cdot e^t) \quad (15)
$$
图2显示了随着迭代次数的增加，改进的非线性收敛因子$\tau'$的减小趋势。
- **动态反射反向学习策略**：由于GWO算法过度依赖Alpha Wolf的位置，当陷入局部最优解时，它缺乏有效的逃逸机制。因此，本研究将基于折射的反向学习策略引入GWO的种群更新过程中，以提高算法克服局部优化的能力。基于折射的反向学习是一种受光学折射原理启发的智能优化策略。它通过在不同介质之间的界面模拟光折射来生成新的解决方案。与传统反向传播方法相比，当优化算法陷入局部最优解时，标准反向传播仅将解决方案映射到另一个对称区域。相比之下，折射反向传播由于其可变的搜索方向，有更高的概率逃脱当前困境。它引导种群继续向有前景的区域移动，从而重新激活算法的搜索能力[19]。

图3中，$\mathbf{X}_max$和$\mathbf{X}_min$分别表示问题的上下界。$\mathbf{A}^*$表示折射后的$\mathbf{A}$的着陆点。$\mathbf{X}, \mathbf{A}^*, \mathcal{H}, \mathcal{H}^*$分别表示$\mathbf{A}$和$\mathbf{A}^*$在x轴和y轴上的投影。逆解$\mathbf{X}^* (\mathbf{T})$的表达式和保持解决方案的原则如下：
$$
\mathbf{X}^* (\mathbf{T}) = \mathbf{X}_max - \mathbf{X}_min \cdot \left( 1 - \frac{\mathbf{X}^2 + \mathbf{X}_max^2}{\mathbf{X}^2} \cdot \mathbf{X}_min^2 \cdot \mathbf{X}^2 - \mathbf{X}^2 \right) \quad (16)
$$
$$
\mathbf{X}^* (\mathbf{T}) = \begin{cases}
\mathbf{X}^* (\mathbf{T}) & \mathbf{f}_i \cdot \mathbf{t}_i \cdot \mathbf{n} \cdot \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{s}_i \cdot \mathbf{s}_i (\mathbf{X}^* (\mathbf{T}) > \mathbf{f}_i \cdot \mathbf{t}_i \cdot \mathbf{n} \cdot \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{s}_i (\mathbf{X}^* (\mathbf{T})) \\
0 & \text{否则}
\end{cases}
$$
其中$\mathbf{\chi} = \mathcal{H}/\mathcal{H}^* $表示折射指数参数；$\mathbf{X}^* (\mathbf{T})$表示动态反射反向学习后保留的最优解；$\mathbf{f}_i \cdot \mathbf{t}_i \cdot \mathbf{n} \cdot \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{s}_i (\cdot)$是适应度评估函数。通常，$\mathbf{\chi}$是一个常数。然而，由于折射区域也可能陷入局部最优解，$\mathbf{\chi}$被设置为一个在迭代过程中适应的动态值，表示如下：
$$
\mathbf{\chi} = \left\{ \begin{array}{ll}
1 & \mathbf{R}_{\max}_I t \cdot \mathbf{t} \geq \mathbf{T}_I \cdot \mathbf{t} \\
0 & \text{否则}
\end{array} \quad (18)
$$

图4显示了改进的IGWO算法的流程图。

5. **实验结果**
5.1. **研究区域**
深圳市位于广东省南部，地形多样，气候条件复杂。该市拥有中国最多的超高层建筑，面积达1997平方公里。全市管理着9个区和2个功能区，常住人口为1798.95万人。到2024年，深圳已建立了250条无人机飞行路线，并进行了28,000次客运直升机飞行。本研究利用深圳的33个垂直起降机场作为研究对象，以验证所提出方法的有效性，证明了其研究合理性和在建设指导中的实际意义。垂直起降机场的位置如图5和表2所示：
- **图5. 研究区域内的垂直起降机场位置**
- **表2. 研究区域内垂直起降机场的WGS84坐标**

5.2.**网络连通性距离的计算**

鉴于欧几里得距离无法准确反映在空域限制下的实际可航行距离，本节使用A*算法根据建筑数据、禁飞区和栅格化系统来计算节点之间的实际可航行路径距离，从而为网络优化模型提供更精确的输入。首先，我们将低空空域划分为分辨率为250米的网格系统。接下来，根据《国际民航组织附件2》中的最低安全高度规定，飞越人口密集区、城镇或居民区的飞机必须保持在横向半径600米范围内最高障碍物上方至少300米的高度。考虑到eVTOL（电动垂直起降飞机）的典型最大飞行高度为地面以上600米，我们将600米设为飞行高度的上限。我们识别出所有海拔超过300米的建筑物，并为每栋这样的建筑物建立了一个水平半径为600米、垂直范围从建筑物顶点到600米空域顶部的圆柱形飞行限制区。

关于禁飞区，它们是根据深圳市区域的公开空域分类图和监管文件定义的。这些禁飞区主要包括商业和通用航空机场、无线电设施以及核电站周围区域。

与这些限制飞行区和禁飞区在空间上重叠的网格单元被标记为不可用。可用空域如图6所示。在建模了受限空域并获取了一组可用空域网格后，使用A*算法在可用空域网格模型描述的自由空间内搜索近似最优的无碰撞路径，从而确定任何两个起降场节点之间的实际可飞行路径距离。生成的垂直起降站之间的连通路径如图7所示。

**5.3. 最大节点度的敏感性分析**

为了确定预定义上限对单个节点可以建立的连接数量（即本研究案例研究中单个网络节点同时支持的最大连接数）的影响，以及对连接网络性能的影响，最大度约束K被限制在3到10的范围内。然后使用IGWO算法求解具有最高归一化代数连通性的垂直起降站连接网络。结果网络特性如图8所示。可以看出，随着最大度约束的增加，总网络距离、代数连通性、网络效率和平均路径长度呈单向变化：当最大度约束放松时，网络逐渐变得更为密集和高效。当K = 3时，网络约束过于严格，导致边数减少、平均路径变长、连通性较差。在K = 4到7的范围内，总网络距离和网络效率随着K的增加而稳步提高，而平均最短路径长度逐渐减少。在此阶段，算法通过增加边数来提升网络性能。当K = 8时，总网络距离的增加速度超过了代数连通性的提高速度，导致目标值下降。当K在9到10的范围内时，目标值再次上升。

因此可以得出结论，当最大度约束K设置为7或10时，目标函数的表现最佳。K值为7时网络效率较高，而K = 10时可实现更优的总网络距离。K取5、7和10时的网络结构分别如图9、图10和图11所示。

**5.4. 有效性分析**

为了比较本研究中构建的低空垂直起降站网络拓扑的有效性以及IGWO算法解决垂直起降站网络拓扑优化问题的能力，同时使用IGWO算法与标准的GWO算法和其他六种启发式算法来解决问题，以便对比分析算法性能。对于模型参数，节点的最大度被设置为7。由于当前电池技术的限制，用于客运运输的主流全电动eVTOL飞机的标称航程通常在160–250公里范围内。在实际操作中，为了确保安全，必须考虑功率储备、天气条件以及返程飞行或替代着陆的需要等因素。因此，最大距离??max被设置为100公里。为了保证比较的公平性，所有算法的人口规模统一设置为50，最大迭代次数为1000次，当200次迭代内适应度没有改进时认为算法已经收敛。每种算法独立运行20次，并使用平均值进行比较。这些元启发式算法的其他参数设置见表3。

使用上述算法，基于深圳的垂直起降站选址计划，解决了旨在实现最大归一化代数连通性的连通网络拓扑优化问题。算法使用Python 3.13.7实现，并在配备Intel? Core? i5-14600KF CPU（5.30 GHz，32.00 GB RAM）的PC上执行。每种算法的结果见表4。实验结果显示，与标准GWO算法相比，改进后的IGWO算法设计的连接网络的平均归一化代数连通性提高了16.00%（从0.000819提高到0.000950）；??2提高了18.26%（从0.671697提高到0.794373）。这些结果验证了改进策略的有效性：混沌初始化增强了初始种群的多样性和探索能力，非线性收敛因子在算法的全局搜索和局部探索能力之间实现了动态平衡，动态折射反向学习机制有效地避免了原始GWO算法的缺点，如过早收敛和陷入局部最优解。在收敛性和计算性能方面，IGWO算法在484次迭代后收敛，比GWO的308.2次迭代多出了5.70%。相应的平均运行时间为325.46秒，比GWO的306.65秒增加了6.13%。这表明IGWO算法的解决方案效率没有显著下降；相反，迭代次数和运行时间的略微增加是由于算法在优化过程中保持了更全面的全局搜索阶段，从而避免了由于快速收敛导致陷入局部最优解的问题。

与其他元启发式算法相比，IGWO算法在目标函数（0.000950）和??2（0.794373）上取得了最优值，表明IGWO算法设计的网络具有更强的抗碎片化能力。在边数方面，IGWO构建的网络平均边数最少（81.2），比边数最多的BOA算法（90.2）减少了9.98%，有效降低了网络连通性冗余。在收敛性能方面，IGWO算法的平均终止迭代次数和运行时间高于其他评估算法；因此，在涉及实时规划问题的情况下，它并不具有竞争优势。对于离线规划问题（如低空垂直起降站网络拓扑规划），解决方案的准确性比实时计算效率更为重要。IGWO算法的改进策略有效地避免了元启发式算法中常见的“过早收敛”问题，迭代时间和运行时间的轻微增加是由于算法在优化过程中保持了更全面的全局搜索阶段。

**5.5. 网络拓扑分析**

为了进一步分析垂直起降站网络拓扑的属性，统计检查了K = 7时连接网络中节点的度中心性和介数中心性分布。统计结果如图13所示。可以看出，节点的度中心性相对均衡。大约24%的节点的度中心性集中在0.10左右，而其他中心性区间的节点比例分布在[0.05, 0.15]范围内。此外，网络中没有节点的度中心性明显超过0.20。这表明网络中没有资源高度集中的高连接枢纽节点。关于节点的度中心性分布，27%的节点是度中心性为零的终端节点。其余节点的度中心性分布相对分散，表明中继功能在多个节点之间分布较为均匀。基于上述分析，该网络具有去中心化特性，大多数节点的连接数相似。这种分散的结构有效降低了单个关键节点故障导致的全网故障风险，从而增强了网络的韧性和公平性。

**5.6. 垂直起降站网络拓扑的韧性分析**

韧性分析评估了网络在部分节点或边故障导致碎片化时维持连通性、效率和功能完整性的能力。因此，攻击策略决定了扰动下节点或边故障的顺序和严重程度。在研究网络韧性时，通常考虑两种形式的破坏：随机攻击和恶意攻击。随机攻击模型模拟了自然设备老化、恶劣天气或偶发性故障。它涉及随机以一定概率使网络中的某些比例的节点或边失效，而不考虑网络的特性或性质。个别随机故障事件是不可预测的，其影响通常是局部的和渐进的；除非这些事件累积到一定程度，否则它们不太可能导致整个系统的失败。故意攻击模式模拟恶意破坏、高流量引起的过载或其他形式的有针对性的网络破坏。攻击者利用他们对网络的了解，积极和策略性地对其进行破坏，旨在最大化破坏性影响。常见的攻击策略包括动态最大度攻击，这种攻击针对连接数最多的节点或边，在其失败后，依次识别当前网络中连接数最多的节点或边；以及动态最大介数攻击，这种攻击针对所有最短路径中最关键的节点或边，在其失败后，依次识别当前网络中介数最大的节点或边。恶意攻击可以有效扰乱网络内的信息流动，常常引发连锁故障，并对网络造成快速而严重的损害。

在这项研究中，采用了五种攻击模式来分析这些干扰下垂直港口连通网络的性能：随机节点故障、随机边故障、基于节点度排序的恶意攻击、基于节点介数中心性排序的恶意攻击以及基于边介数中心性排序的恶意攻击。为了量化网络弹性，使用了巨分量比率（????????）和全局网络效率作为拓扑弹性的评估指标。???????? 衡量了网络中断后最大连通分量在原始网络中的比例，反映了网络的分裂程度。????????=??′?? （20）其中 ??′ 表示网络遭受攻击或发生故障后剩余部分中最大连通子图所含的节点数量。全局网络效率（????）衡量网络中节点之间的通信效率。通常，平均最短路径长度 ??????? 表示节点之间的连通便捷性。然而，网络弹性分析面临一个挑战：当没有路径连接两个节点时，它们的距离被视为无限大。这导致当网络分裂成两个不连接的子图时，该指标失效。全局网络效率使用最短路径距离的倒数来解决这个问题。????=1???(???1)?∑??≠??1??????????????,????∈?? （21）其中 ??????? 是节点 vi 和 ???? 之间的最短路径距离。

???????? 和 ???? 指标反映了网络在干扰下保持结构完整性的能力，因此被广泛用于网络弹性分析。

5.6.1 在随机攻击下的鲁棒性比较
为了更直观地展示本文构建的低空垂直港口网络拓扑的弹性，本节基于hub-and-spoke网络模型和通过添加边来保护关键节点的混合网络模型构建了垂直港口网络。这些网络用于与旨在实现最大代数连通性的模型构建的网络的弹性水平进行比较[20,21]。本案例研究中使用这两种网络模型构建的网络如图14所示。图14. 对比弹性的网络模型：(a) Hub-and-poke；(b) hybrid。图15展示了在随机攻击下使用三种网络模型生成的垂直港口网络的 ???????? 和 ???? 的变化。可以观察到，使用本研究方法构建的网络在随机节点攻击和随机边攻击下，在最大连通子图的比例和整体效率方面都优于比较网络。即使攻击率达到60%，该网络仍保持良好的连通性和效率。这表明，该拓扑网络在日常运行中表现出高度稳定性，减少了设备故障和意外事件对交通网络服务水平的影响。

5.6.2 在故意攻击下的鲁棒性比较
在故意攻击场景下，使用三种网络模型生成的垂直港口网络的 ???????? 和 ???? 的变化如图16所示。可以观察到，在所有恶意攻击场景下，使用本研究提出的方法构建的垂直港口连通网络始终能够实现最佳性能，优于hub-and-spoke网络和混合网络。在最大连通子图的比例方面，使用本研究提出的模型构建的网络在度优先节点攻击下的表现与混合网络模型相当；在度优先边攻击下，其表现略优于混合网络；在度优先边攻击下，其显著优于其他网络。这表明，本文提出的低空垂直港口连通网络能够有效应对垂直港口节点之间的连通性中断，同时也表现出良好的节点故障抵御能力。总体而言，本研究构建的网络在大多数威胁场景下表现良好，显示出内在的安全性和可靠性。

6. 结论
本研究探讨了低空垂直港口网络拓扑弹性的优化问题，建立了一种网络建模和优化方法，该方法在弹性性能和经济可行性之间取得了平衡。其核心理论贡献在于成功地将网络弹性优化问题从传统的“最大化代数连通性”范式转变为“最大化标准化代数连通性”范式。其深远意义在于将弹性和成本之间的多维权衡嵌入到单一目标优化模型中。这种方法识别并优先考虑了能够显著提高整体弹性的关键连接，同时保持相对较低的建造成本。因此，它避免了在现实世界场景中难以维持的冗余投资。这种优化理念对规划低空基础设施网络具有重要的实际指导价值，这类网络的特点是建造成本高且空域资源有限。

本研究的核心理论贡献在于将网络容错优化的目标从传统的“最大化代数连通性”范式转变为“最大化标准化代数连通性”范式。这种转变实现了容错性和建造成本之间的有效权衡。此外，它通过目标函数设计将多维优化目标嵌入到单一目标模型中，从而提高了模型的工程适用性。具体来说，所提出的方法智能地识别并优先考虑了那些对提高整体弹性有显著贡献的关键连接的建造，同时降低了建造成本。这种方法显著增强了网络鲁棒性，同时控制了总网络距离。例如，实验结果表明，在相同的约束条件下，IGWO算法生成的网络在20次重复实验中的平均标准化代数连通性比传统的GWO算法高出16.00%。在弹性分析中，五个节点和边故障模式的模拟显示，所构建的网络在最大连通子图比例和全局效率方面显著优于hub-and-spoke网络和混合网络。特别是在随机攻击和基于度的目标攻击下，即使有60%的节点或边故障，网络仍保持高连通性，显示出强大的内在弹性和工程适用性。

尽管本研究推进了低空垂直港口网络的容错优化，但仍存在一些局限性，指出了未来的研究方向：
首先，该模型没有考虑节点或边的性能退化或动态故障传播。在现实世界的低空交通网络中，由于交通饱和，垂直港口可能会经历吞吐效率下降。未来的工作可以纳入节点容量约束和动态边权重（例如，传输时间、交通量）来更准确地反映网络的运行动态。本研究的弹性分析主要集中在静态拓扑上。后续工作可以结合动态负载重新分配模型和地理块攻击模拟，进一步丰富网络弹性评估的维度。
其次，该模型将三维空域问题投影到二维平面上，并使用直线距离简化了飞行路径成本。这种方法忽略了实际低空飞行中的重要因素，如三维轨迹规划、地形避让和建筑物障碍物避让。例如，位于高层建筑上的垂直港口可能有较短的直线距离，但实际上飞行路径需要复杂的上升和绕行。因此，将3D地理信息系统（3D-GIS）与空域障碍物模型结合起来，构建更接近实际飞行环境的成本模型，是提高解决方案工程可行性的关键方向。
最后，尽管改进的IGWO算法在33个垂直港口的案例研究中表现优异，但其在解决更大规模网络（例如覆盖粤港澳大湾区的数百个节点）时的效率和稳定性需要进一步验证。未来的研究可能会探索将分布式并行计算框架与元启发式算法结合，或采用基于社区检测的问题分解策略来克服超大规模组合优化问题中的计算瓶颈。

总之，本研究为弹性优化的低空垂直港口网络提供了理论基础和方法支持。所提出的模型和算法显著增强了网络的弹性，同时保持了成本控制。未来的研究将深入探讨三维环境建模、动态运行约束和大规模解决方法，推动低空交通网络从静态拓扑设计向动态智能规划的转变。