利用拼接边缘分布和基于SJC Copula的联合建模技术进行极端地震损失评估

《Geomatics, Natural Hazards and Risk》：Extreme earthquake loss assessment using spliced marginal distributions and SJC Copula based joint modeling

　　摘要
地震灾害虽然发生频率不高，但可能导致灾难性的损失，其特点为经济损失和人员伤亡具有明显的右偏态和重尾特征。在极端条件下，这些影响往往会同时加剧，给可靠的区域灾害风险评估带来挑战。本研究利用1980年至2024年中国某些省份（自治区和直辖市）的地震记录，开发了变权重拼接的Gumbel–GPD和Weibull–GPD分布来模拟极端损失的边际行为。通过SJC Copula捕捉经济损失与伤亡之间的依赖性，特别是上尾部的依赖性，从而允许不对称的共极端行为。由于历史上的高损失事件数量有限，我们通过数值模拟分析了参数估计对样本大小的敏感性。在确认GAN生成的样本与原始数据在统计上一致后，利用这些样本增强了参数估计的稳健性。将拼接的边际模型与基于Copula的依赖性框架结合起来，本研究评估了在不同历史地震条件下不同地区的极端损失水平。所得估计结果为识别需要加强地震防护的关键区域提供了定量支持，并为区域灾害风险管理提供了依据。

关键词：地震灾难性损失；拼接边际分布；尾部依赖性；基于GAN的数据增强；极端风险评估

1. 引言
地震虽然不频繁发生，但可能造成严重的经济损失和人员伤亡。观察到的损失通常具有高度的右偏态，少数灾难性事件占总损失的很大比例。持续的城市化和日益相互连接的灾害过程增加了风险暴露度，因此理解地震损失的统计行为变得至关重要。同时，地震活动、人口和资产集中的区域差异加剧了观察到的模式复杂性。因此，开发定量方法来识别高风险区域已成为地震风险管理中的核心任务。

许多现有的分区研究遵循风险-暴露-脆弱性范式，并依赖于人口、经济水平、建筑存量和设计强度等外部指标（Sun和Zhang，2017年）。包括分析层次流程、熵权重和综合指数在内的技术被广泛用于突出空间对比。然而，这些方法主要提供相对排名，很少转化为关于实际损失的明确概率陈述。因此，它们对历史记录中的不确定性（特别是在罕见但严重的事件中多个损失维度同时升级的可能性）提供的洞察有限（You，2023年）。

实证证据一致表明，经济损失和人员伤亡都遵循重尾分布（Daniell等人，2011年）。虽然大多数地震造成的影响适中，但少数极端事件主导了累计损失。标准的参数模型如Gamma、Weibull和Lognormal通常无法捕捉这种远尾行为，特别是在关注超越值的情况下（Cai等人，2020年；Gamet等人，2022年；D’Innocenzo等人，2024年）。将极端事件视为异常值可能会忽略关于灾难性风险的关键信息。

极值理论提供了一个自然的替代方案。在峰值超过阈值框架下，超过高水平的值可以通过广义Pareto分布（Pickands，1975年）来近似，这已成为尾部建模的常规工具（McNeil，1997年；Bader等人，2018年；Pan等人，2022年）。然而，地震样本通常包含大量中等程度的观测值，而极端事件的数量有限。因此，纯粹的POT描述是不完整的。拼接或复合模型通过将一个总体分布与GPD尾部结合来解决这个问题。例如lognormal–Pareto、Weibull–Pareto和Gamma–GPD公式（Cooray和Ananda，2005年；Alzaatreh等人，2013年；Tencaliec等人，2020年；Gamet等人，2022年）。在阈值处保持连续性，可以在保留极端情况下的理论有效性的同时对中心质量进行建模（Lechner等人，1993年）。类似的方法在其他灾害应用中也已被证明是有效的，如洪水和干旱（Shiau等人，2006年；Zhao等人，2017年；Ayangtobo等人，2018年）。

然而，仅使用边际建模是不够的。严重的地震经常会在不同的损失维度上同时产生冲击波，这种现象不能通过线性相关性来描述（Goda和Ren，2010年）。Copula理论将边际分布与依赖性分开，并提供了一个灵活的框架来捕捉不对称的尾部关联。自Frees和Valdez（1998年）的工作以来，Copulas已被广泛用于灾害风险分析（Zhonghui和Xueqin，2019年；Zhou等人，2020年；Wen等人，2023年）。当与拼接的边际模型结合使用时，它们允许在统一的概率结构内分析联合极端事件（Scollnik，2007年；Klugman等人，2012年），并且其适用于地震损失的情况已被证明（Xiao和Meng，2013年）。

地震损失还显示出可识别的结构模式，包括非线性的危险-损害关系、重尾极端值和变量间的依赖性，这在极值和灾害风险文献中有广泛记录。实证研究进一步表明，尽管社会经济发展和工程改进可能会改变绝对损失水平，但它们通常表现为围绕相对持续的分布形式的参数变化（Zhou等人，2020年；Goda和Ren，2010年）。因此，历史观测为在异质发展条件下的跨区域比较提供了概率基准。

另一个实际挑战是灾难性观测的数量有限。小样本可能会削弱估计的稳定性。最近的研究探索了深度生成技术来补充稀缺数据（Ma等人，2024年）。当适当限制时，GAN可以再现多变量依赖性，同时保留关键的实证属性（Zhao等人，2024年）。与试图通过模拟重建物理机制的工程方法（Liang等人，2025年；Dahal等人，2025年）不同，本研究侧重于观察到的损失所揭示的统计结构。因此，使用GAN来增强稳健性，而不是替换真实数据。

基于这些考虑，本研究在统一的概率框架内分析了地震的经济损失和人员伤亡。采用变权重拼接分布来表示边际分布，并使用Copula来捕捉不对称的尾部依赖性。通过GAN辅助增强的数值实验，在数据有限的情况下评估参数的稳定性。根据拟合的联合模型，推导出多个置信水平的风险度量，以比较历史经验中的区域极端暴露情况。结果为地震风险分区和灾害缓解规划提供了概率基础。

2. 材料和方法
2.1. 材料
2.1.1. 数据
本研究使用了1980年至2024年中国各省、自治区和直辖市的地震直接经济损失和人员伤亡数据。数据集整合了《中国现代地震目录（1912–1990）》（中国地震局，1999年）、《中国地震案例（1981–1985）》（Zhang，1990年）、《中国大陆地震灾害损失评估汇编（1990–1995）》（中国地震局；国家统计局，1996年）、年度地震灾害损失评估（Zheng等人，2010年；Zheng和Zheng，2012年；Xie等人，2024年）、国家地震科学数据中心的数据（2025年），以及Li等人编制的破坏性地震综合目录（MCCDE-CAT，2021年），共225个事件。为了消除通货膨胀的影响，所有经济损失均使用消费者价格指数（CPI）转换为2024年的价格水平，并以万元为单位表示。

2.1.2. 重尾特征
表1报告了两类损失数据的描述性统计。两者都表现出明显的偏度和峰度，表明分布的右偏态和重尾特性。样本值范围广泛，直接分析原始数据可能会掩盖关键的分布特征并引入显著的偏差。因此，应用对数变换来减少数值尺度。下文提到的所有地震损失统计数据均假设已经进行了对数变换，实际应用中可以通过指数运算恢复原始值。

表1. 地震损失数据的描述性统计。
应用对数变换后，图1a和b中的经济损失和人员伤亡直方图以及图2a和b中的箱形图显示出明显的右偏态尾部。图3进一步显示了两个损失变量之间的明显正相关，表明它们之间存在内在联系。

图1. 对数地震损失数据的直方图。(a) 经济损失（ln）；(b) 人员伤亡（ln）。

并排排列的双面板条形图显示了地震损失数据。a面板标题为“经济损失（ln），纵轴上的密度范围从0.00到0.25，横轴上的经济损失范围从0到14。条形图显示一个从0增加到2到4之间的峰值，然后逐渐下降到14的分布。b面板标题为“人员伤亡（ln），纵轴上的密度范围从0.00到0.25，横轴上的人员伤亡范围从0到14。条形图显示一个从0增加到2到4之间的峰值，然后逐渐下降到14的分布。两个面板都显示出右偏态尾部。

图2. 对数地震损失数据的箱形图。(a) 经济损失（ln）；(b) 人员伤亡（ln）。

该图表显示了两个箱形图，比较了经济损失和人员伤亡。纵轴标记为“损失（ln），范围从0到15。横轴显示两个类别：经济损失和人员伤亡。对于经济损失，箱子从大约7延伸到10，中位数线约为9。 whiskers从大约2延伸到15，异常值存在于15以上和2以下。对于人员伤亡，箱子从大约2延伸到5，中位数线约为3。 whiskers从大约1延伸到9，异常值存在于9以上。图例表示箱子代表四分位间距（25%到75%），实线是中位数，虚线是平均值，带水平顶部的垂直条代表1.5倍四分位间距的whisker，圆圈是异常值。经济损失显示出更高的中位数和更大的分布范围。

图3. 对数经济损失和人员伤亡的散点图。

散点图显示了横轴上的经济损失（ln）与纵轴上的人员伤亡（ln）之间的关系。两个轴的范围都大约从0到16。数据点集中在左下象限，并向右上方对角线分布，表明正相关。随着经济损失（ln）的增加，人员伤亡（ln）也倾向于增加。图表显示了一般的上升趋势，并伴有相当多的散点。统计值显示在右下角：Pearsons r等于0.744，Spearmans rho等于0.721，Kendalls tau等于0.539。这些值证实了两个变量之间存在强烈的正相关。

2.2. 方法
2.2.1. EVTEVT
EVTEVT为建模罕见和极端事件的统计行为提供了理论基础。极值分布提供了一个理论基础，表明不同类型的现象在极端情况下可能收敛到相同的极限分布（Shi，2006年）。根据Fisher-Tippett定理，对于一系列独立同分布的随机变量X1,?Xn，最大值Mn表示样本最大值，存在标准化常数an>0和bn，使得：
(1) limn→∞ Pr(Mn?bnan≤x)=H(x)，x∈R
(1) 如果极限关系成立且H(x)是一个非退化的极限分布，那么H必须属于三个极值家族之一——Gumbel、Fréchet或Weibull。引入位置参数μ和尺度参数ξ后，这三个极值分布可以写成以下统一形式：
(2) H(x;μ,σ,ξ)=exp(?(1+ξx?μσ)?1ξ)，1+ξ(x?μ)σ>0
(2) 为了充分利用极值信息，Pickands（1975年）引入了基于GPD的POT模型。该模型分析了所有超过指定阈值的样本。Pickands–Balkema–de Haan（PBdH）定理指出，当最大值Mn近似遵循广义极值分布时，超额量Yi=Xi?u近似遵循GPD，其累积分布函数（CDF）如下：
(3) G(y;ξ,σ)=1?(1+ξyσ)?1ξ，1+ξyσ>0
(3) 在方程中，ξ∈R是形状参数，σ>0是尺度参数。当ξ>0时，y>0；当ξ≤0时，0≤y≤?σ/ξ。引入位置参数μ∈R后，GPD的CDF和概率密度函数（PDF）分别为：
(4) G(x;μ,ξ,σ)=1?(1+ξx?μσ)?1ξ，x≥μ，1+ξx?μσ>0
(4) (5) g(x;μ,ξ,σ)=1σ(1+ξx?μσ)?1ξ?1，x≥μ，1+ξx?μσ>0
(5) PBdH定理是一个理论范式，它将高阈值以上的极值描述为GPD。它为分析极端损失提供了理论基础和实用方法。

2.2.2. 拼接分布
拼接分布模型通过链接多个组成部分分布，为描述偏态和重尾数据集提供了一种灵活的方法。Scollnik（Citation2007）提出的变权重拼接框架自那时起已成为统计建模中的一个有影响力的方法论。该模型通过结合不同组分分布的概率密度函数（PDF）来构建拼接分布的PDF。其公式如下：(6) f(x)={a1f1*(x) if c00。在适当条件下，由两个不同分布的PDF组合而成的拼接分布模型的PDF可以表示为：(7) f(x)={a1f1*(x) if x<θ, a2f2*(x) if>0。

2.3. 共轭函数（Copula函数）
共轭函数提供了一种连接多个随机变量的边际分布以形成它们联合分布的方法。根据Sklar定理，任何二元联合分布都可以表示为F(x1,x2)=C(F1(x1),F2(x2))，其中C(?)表示适当的共轭函数。共轭模型为表示非线性、非对称以及其他复杂的依赖模式提供了一个灵活的框架。在地震灾害研究中，通常观察到直接经济损失和人员伤亡之间存在依赖性。它们的联合分布可以使用共轭函数来描述，依赖强度通过尾部依赖系数和Kendall的τ来量化。以下表达式给出了经济损失和伤亡的联合PDF：(13) fX,Y(x,y)=c(FX(x),FY(y))fX(x)fY(y) (13) 其中，c(u,v|θ)=?2C(u,v;θ)?u?v是共轭密度函数。FX和fX分别代表经济损失的CDF和PDF，FY表示伤亡的拼接分布函数。为了描述这两个损失成分之间的依赖关系，本研究采用了四种常用的二元共轭函数：Clayton、Gumbel、t-Copula和SJC Copula。它们的具体公式列在附录A中。

2.4. 生成对抗网络（GANs）
生成对抗网络（GANs）是基于博弈论原理的深度学习框架，最初由Goodfellow等人（Citation2014）提出。GAN由两个部分组成：生成器G和鉴别器D。通过交替训练，生成的样本逐渐趋近于真实分布。图4展示了GAN的基本结构。该模型的训练目标在方程(14)中表示：(14) minGmaxDV(D,G)=E[x～Pdata(x)[logD(x)]+E[z～Pz(z)[log(1?D(G(z))] (14) 图4. GAN的基本架构。生成器将随机噪声映射成合成样本，而鉴别器试图区分真实样本和生成样本。为了隔离样本大小的影响，根据以下考虑制定了一个固定的真实参数集：参数的大小应与经验估计保持一致，以避免偏离现实条件；它们必须位于确保统计可识别性和计算稳定性的范围内；每个参数都应保持可解释的统计意义。因此，Gumbel–GPD模型的真实参数被设定为β=1,σ1=2,ξ1=?0.15,θ1=11，而Weibull–GPD模型的真实参数被设定为λ=4,k=1.8,ξ2=?0.1,θ2=4。为了最小化样本变异性并确保不同样本大小之间的可比性，头部分和尾部分样本的大小是根据阈值分割理论来设定的。对两个部分都应用了拉丁超立方采样，使用逆变换采样来配对变量并减少噪声，然后使用相应的分位数函数生成观测值。对每个样本大小进行多次独立模拟，并计算均方根误差（RMSE）来评估估计偏差：(17) RMSE=1/m∑i=1m(μ?(i)?μ)2（17）这里，m=100表示用于模拟各种样本大小的迭代次数。项μ?(i)代表第i次迭代中的估计值，而μ是真实值。表3显示了不同样本大小下Gumbel–GPD模型参数估计的RMSE。结果表明，随着样本大小的增加，RMSE减小。当样本大小从2000增加到3000时，下降速率减慢，这表明一旦样本大小达到3000，参数估计就变得稳定。表3. 不同样本大小下Gumbel–GPD模型参数估计的RMSE。显示表Weibull–GPD模型在表4中的伤亡人数结果表现出一致的行为，随着样本大小的增加，RMSE逐渐减小。RMSE的早期稳定表明参数估计过程已经达到了相对稳定的状态。表4. 不同样本大小下Weibull–GPD模型参数估计的RMSE。显示表3.2.2. 基于GAN的模型鲁棒性增强方案本研究应用GAN来增强地震损失数据，将样本大小增加到3000，并如第3.2.1节所建立的那样提高拼接分布模型的性能。采用了四个诊断视角来验证GAN生成的样本的统计有效性。首先，必须确认网络的收敛状态。对于地震损失数据，生成器的损失为0.6418，判别器的损失为1.3241，表明网络已经达到了基本收敛。其次，基于分布可视化进行了比较分析。图7a–b和8a–b展示了原始样本和增强样本之间的直方图比较，用于经济损失和人员伤亡。生成的数据有效地学习了原始数据的右偏和重尾特性。图7. 经济损失的直方图比较。(a) 原始数据；(b) GAN增强数据。阅读此图的详细描述这个双面板直方图显示了经济损失的频率。面板a显示了原始数据。横轴是经济损失，范围从5.0到20.0。纵轴是频率，范围从0到30。条形图在大约10.5的经济损失处显示出一个频率峰值，然后下降。面板b显示了GAN增强数据。横轴是经济损失，范围从5.0到20.0。纵轴是频率，范围从0到400。条形图在大约10.5的经济损失处显示出一个频率峰值，然后下降。两个面板都显示了右偏和重尾分布。显示全尺寸图8. 人员伤亡的直方图比较。(a) 原始数据；(b) GAN增强数据。阅读此图的详细描述这个双面板条形图显示了人员伤亡的频率。面板a，标记为原始数据，显示了从0到16的横轴，标记为人员伤亡的纵轴，以及从0到35的纵轴，标记为频率。条形图在2人伤亡处显示出一个频率峰值，然后稳步下降到16人伤亡处的频率0。面板b，标记为GAN增强数据，显示了从0到16的横轴，标记为人员伤亡的纵轴，以及从0到400的纵轴。条形图在2人伤亡处显示出一个频率峰值，然后稳步下降到16人伤亡处的频率0。两个面板都显示了右偏和重尾分布。显示全尺寸图第三，进行了统计指标的比较分析。表5显示，GAN生成的数据在平均值、方差、中位数、偏度和峰度方面与原始数据具有很高的一致性。此外，图9展示了地震引起的经济损失和伤亡人数之间的强烈正相关。原始样本和增强样本的相关系数只有微小的差异，表明基于GAN的增强没有改变两个变量之间的依赖结构。表5. 经济损失和人员伤亡的统计指标。(a) 原始数据；(b) GAN增强数据。下载CSV图9. 经济损失和人员伤亡之间的相关矩阵。(a) 原始数据；(b) GAN增强数据。阅读此图的详细描述这个双面板热图显示了相关矩阵。面板a显示了原始数据，面板b显示了GAN增强数据。两个面板都有标记为经济损失和人员伤亡的横轴，以及标记为经济损失和人员伤亡的纵轴。右侧的垂直颜色条表示从-1.00到1.00的相关值，更深的红色表示更高的正相关，更深的蓝色表示更高的负相关。在两个面板中，经济损失与经济损失和人员伤亡与人员伤亡的对角线单元格显示了1的相关性。非对角线单元格显示了正相关。在面板a中，经济损失与人员伤亡的相关性为0.74，人员伤亡与经济损失的相关性也为0.74。在面板b中，经济损失与人员伤亡的相关性为0.73，人员伤亡与经济损失的相关性也为0.73。原始数据和增强数据之间的相关值非常相似。显示全尺寸图第四，检查了分布距离的指标。本研究通过使用Kullback–Leibler散度（KL(O‖G)和对称Jensen–Shannon（JS）散度客观评估真实样本O和GAN生成样本G之间的分布差异，从而扩展了定性分析的结果。KL(O‖G)表明生成样本捕捉真实分布的主要概率质量的效率，而KL(G‖O)反映了生成观测值偏离真实数据支持的程度。JS散度提供了一个总体指标，表明两个概率分布在结构上的相似性。表6显示，对于两种损失类型，KL(O‖G)和KL(G‖O)都保持在较窄的范围内，JS散度约为0.002。这些结果表明生成数据与真实数据结构之间有很强的一致性。表6. 原始数据和GAN增强数据之间的分布距离度量。下载CSV表总之，经过多阶段质量验证后，GAN增强数据可以有效地扩展原始样本。表7总结了关键GAN网络参数的配置。表7. 数据增强用关键GAN网络参数的配置。下载CSV表3.3. 参数估计3.3.1. Gumbel–GPD拼接分布模型鉴于拼接分布模型的复杂性（见附录C，方程（Equation20）），参数估计需要在最大似然框架下进行数值优化。在本研究中，采用了差分进化（DE）算法，因为其基于种群的全局搜索有助于避开局部最优解，并有效地适应受限参数域。第3.1.1节中确定的阈值仅用于分布选择的诊断目的，在本节中不对阈值参数的估计施加限制。表8展示了直接经济损失的Gumbel–GPD模型的参数估计。通过基于增强样本的最大似然估计获得最优参数后，将估计值代入在原始数据上评估的似然函数中，以计算观测信息矩阵。然后使用观测信息矩阵的逆来推导协方差矩阵和标准误差（见附录D）。如表8所示，所有参数的标准误差都很小，表明估计精度高且结果稳定。累积分布函数显示在方程（Equation18）中，图10中的密度拟合表明拼接模型捕捉了经济损失分布的关键特征。KS检验的统计量为0.0486，p值为0.6433，超过了0.05的阈值。KS统计量反映了经验分布和拟合分布之间的最大差距，较小的值表明一致性更大。因此，不能拒绝模型分布与经验分布一致的零假设，进一步确认拼接模型对观测到的经济损失数据有很好的拟合。(18) Fe(x)={1.0960[1?exp(?1.5700exp(x?11.26871.2530))],0< />< />地震损失数据通常呈现出明显的对比：大多数观测值处于一个稳定的范围内，而极值则呈现重尾分布的特征。这种设定能够在统一的模型中同时容纳这两种行为，限制参数的数量，并降低过拟合的可能性。基于这一考虑，系统地比较了单一分布和拼接分布。尽管某些单一模型在孤立情况下可能满足KS检验标准，但它们的表现并不适用于所有类型的损失数据。相比之下，拼接模型在两个数据集上都能表现出更稳定的行为。进一步基于负对数似然（NLL）和赤池信息量（AIC）的评估证实，拼接方法在拟合优度和模型简洁性之间取得了更好的平衡，表明其与实证证据的兼容性更强。

对于直接经济损失，Gumbel–GPD分布提供了最有利的结果，而对于人员伤亡情况，Weibull–GPD分布表现更好。因此，这两种边缘分布被选为后续依赖性建模和极端风险评估的基础（表12）。

表12. 基于原始数据的单一分布与两段拼接分布的拟合性能比较。下载CSV显示表格

3.4.2. 最终选定模型的诊断分析
第3.3节获得的参数随后被用来拟合实际的地震案例数据，诊断结果如图12和图13所示。在P–P图和Q–Q图中，样本点都紧密地靠近45°参考线，表明Gumbel–GPD模型和Weibull–GPD模型分别能够充分捕捉到经济损失和人员伤亡的分布特征。

图12. 经济损失的拟合模型的QQ图和PP图。阅读该图的详细描述
这个双面板图显示了经济损失拟合模型的QQ图和PP图。图a中的PP图显示了垂直轴上的模型累积分布函数（CDF）从0.0到1.0，水平轴上的经验CDF从0.0到1.0。一条虚线对角线代表理论曲线。数据点紧密跟随这条理论曲线，表明拟合效果良好。图b中的QQ图显示了垂直轴上的模型分位数从6到16，水平轴上的经验分位数从5.0到15.0。同样，一条虚线对角线代表理论曲线。该图中的数据点也与理论曲线紧密对齐，表明Gumbel–GPD模型和Weibull–GPD模型能够充分捕捉到经济损失和人员伤亡的分布特征。全尺寸显示

图13. 人员伤亡的拟合模型的QQ图和PP图。阅读该图的详细描述
这个双面板图显示了人员伤亡的QQ图和PP图。图a中的PP图显示了垂直轴上的模型CDF从0.0到1.0，水平轴上的经验CDF从0.0到1.0。一条虚线从左下角对角线延伸到右上角。许多数据点紧密沿着这条线聚集。图b中的QQ图显示了垂直轴上的模型分位数从2到12，水平轴上的经验分位数从2.5到12.5。另一条虚线对角线也从左下角对角线延伸到右上角。许多数据点紧密沿着这条线聚集，表明Gumbel–GPD模型和Weibull–GPD模型拟合效果良好。全尺寸显示

4. 构建copula联合分布模型
在联合建模之前，采用了基于生成对抗网络（GAN）的增强技术来丰富极端区域的信息并提高参数估计的稳定性。然后使用伪观测值通过最大似然法推断copula参数。模型选择后，通过观察到的地震记录来评估边缘分布、联合分布以及相关的风险度量，确保结论基于真实数据。

4.1. copula函数的选择
通过将第3.3节构建的经济损失和人员伤亡的混合边缘分布与copula函数结合，可以形成一个联合分布。鉴于不同copula家族在依赖性特征上的差异，本研究对候选copula进行了比较拟合，并选择了最优结构以进行后续的联合建模和风险评估。表13显示，所有候选copula都产生了正的Kendall’s τ值，表明对数变换后的经济损失和人员伤亡之间存在正相关，支持联合建模。根据NLL、AIC和BIC的比较，SJC Copula在拟合优度和简洁性之间提供了最佳的平衡，因此被选为描述依赖性的模型。表13显示了copula联合分布模型的估计参数。下载表格
在这种选择下，上层和底层尾部依赖系数分别估计为0.4180和0.6785，显示出明显的不对称性。结果表明，在严重的地震中，经济损失和人员伤亡倾向于同时增加，这与对生命和财产的综合影响一致。
为了确保结构的一致性，并允许跨地区进行比较，保留了相同的SJC形式，而地区差异主要体现在不同置信水平下的超越概率模式上。基于1980-2024年间选定的省份、自治区和城市的拼接边缘模型和地震记录，构建了基于copula的联合分布。使用附录A中的公式和估计的参数，联合模型表示如下：
(20) CSJC = 1 / (1 - {[(1 - (1 - Fe(x))^(1.5/11) - 1.7871) + (1 - (1 - Fp(x))^(1.5/11) - 1.7871)^(-1)]^(-1/1.7871) + 1 - {[(1 - Fe(x)^(1.7871) - 1.5/11) + (1 - Fp(x)^(1.7871) - 1.5/11)^(-1)]^(-1/1.7871) + Fe(x) + Fp(x) - 1})
其中Fe(x)和Fp(x)分别在方程(Equation18)和(Equation19)中定义。

4.2. 模型诊断
使用第4.1节描述的SJC Copula联合分布框架评估了实际的地震损失数据，诊断结果如图14所示。P–P图和Q–Q图表明，实证copula值在广泛的概率范围内与拟合模型所暗示的值紧密对齐，这条45°参考线表明模型成功捕捉到了经济损失和人员伤亡之间的依赖结构，并提供了总体上的良好拟合。此外，在尾部区域没有观察到系统性偏差，表明SJC Copula在极端条件下能够稳健地表征非对称尾部依赖性。

图14. 拟合的SJC Copula模型的QQ图和PP图。阅读该图的详细描述
这个双面板散点图显示了模型拟合情况。图a中的PP图显示了垂直轴上的模型CDF与水平轴上的经验CDF。两个轴的范围都是0.0到1.0。一条虚线从0.0, 0.0对角线延伸到1.0, 1.0。散点紧密沿着这条对角线分布，显示出强烈的正相关性。图b中的QQ图显示了垂直轴上的模型分位数与水平轴上的经验分位数。两个轴的范围也是0.0到1.0。一条虚线从0.0, 0.0对角线延伸到1.0, 1.0。散点同样紧密沿着这条对角线分布，显示出强烈的正相关性。点从较低值处的深色渐变到较高值处的浅色。全尺寸显示

5. 地震灾难的风险评估与讨论
5.1. 极端地震损失风险的估计
风险价值（VaR）和预期亏损（ES）是广泛用于量化地震事件引起的极端损失的可能性和严重性的风险度量。VaR表示在给定置信水平下的最大潜在损失，定义如下：
(21) VaR(x;p) = FX - 1(p)
ES是一个衡量超过VaR的条件预期损失的指标，定义如下：
(22) ES(x;p) = E(X | X > VaR(x;p))
VaR和ES的估计反映了地震损失的中心经验特性，特别是重尾特性以及极端条件下经济损失和人员伤亡同时增加的趋势。在相似的时间跨度内，这些规律性为风险评估提供了实际参考。这些估计值可以说明在给定置信水平下的可能损失，并支持财政规划、灾难储备、基础设施优先级排序和应急管理。
使用SJC Copula框架，对直接经济损失和人员伤亡的风险值进行了多置信水平的评估。为了使这两个维度可比较，采用了生命统计价值（VSL）方法将人员伤亡转换为货币术语。每条生命损失被赋予一百万元人民币，每人受伤损失三百万元人民币，平均每人损失四十万元人民币（Zhou等人，2020年引用）。这种转换遵循中国现有的赔偿实践，仅用于分析一致性；它并不意味着对生命的任何社会估值。然后将转换后的人员伤亡损失与直接经济损失结合在SJC Copula模型中。结果见表14。
表14. 地震灾害损失的风险度量估计。下载表格
如表14所示，随着置信水平从80%上升到99%，经济损失的VaR、人员伤亡的VaR及其总损失都有显著增加。在80%的置信水平下，经济损失的VaR估计值为28.5826亿元人民币，人员伤亡的VaR为1.88亿人次，总损失为33.0903亿元人民币。在90%的置信水平下，相应的VaR值上升到72.9100亿元人民币，死亡人数为4.83亿人次，总损失为86.7393亿元人民币。在95%的置信水平下，经济损失的VaR增加到177.8451亿元人民币，人员伤亡的VaR达到14.52亿人次，总损失的VaR上升到221.0283亿元人民币，反映了更加极端的情景。
在99%的置信水平下，经济损失的VaR增加到119.10163亿元人民币，人员伤亡的VaR达到32.430亿元人民币。在SJC Copula下，总损失的VaR进一步上升到119.96498亿元人民币，表明尾部依赖性引入了额外的效应。
对于ES来说，这种对比更加明显。经济损失的预期亏损估计为74.791800亿元人民币，人员伤亡的预期亏损为83.523亿元人民币，总损失的预期亏损为84.847071亿元人民币，远高于相应的VaR值。这些数字表明，在极端地震中，经济损失和人员伤亡可能同时发生，copula框架有助于减少低估灾难严重性的风险。

5.2. 地区地震风险级别的分类
地区地震风险的分类基于共同的结构特性以及参数差异。不同地区的数据有几个共同特征，特别是重尾特性和经济损失与人员伤亡之间的依赖性，这使得统一的联合框架变得合理。因此，地区差异主要体现在超越概率行为上，而不是依赖结构的变化上。保留了通用的SJC Copula，而异质性则通过边缘模型和由此产生的风险度量来体现。这种安排有助于保持稳定性，支持比较，并避免了拟合完全独立模型的数据和计算负担。
如第5.1节所述，实际损失很少超过给定置信水平下的VaR，但罕见的超额事件可能会非常大。2008年汶川地震就是一个例子：其CPI调整后的直接经济损失达到了1142.62亿元人民币，超过了99%置信水平下的ES值。为了研究极端风险的空间变化，将VaR基准与1980-2024年间选定的省份、自治区和城市的地震记录相结合。统计了在不同置信水平下超过VaR阈值的事件次数，并在图15中展示了结果。为了避免重复计算，一旦事件超过一个更高的阈值，就不会在较低的水平上再次记录。

图15. 不同置信水平下超过最大损失的频率
这个三面板条形图显示了13个地区的经济损失、人员伤亡和总损失。水平轴标记了地区，包括四川、云南、新疆、西藏、青海、甘肃、内蒙古、山东、山西、河北、江西、福建、黑龙江和吉林。面板a的垂直轴标记为经济损失，面板b标记为人员伤亡，面板c标记为总损失。图例表示置信水平：80%到85%、85%到90%、90%到95%、95%到99%以及大于或等于99%。每个地区都有多个条形代表这些置信水平。在面板a中，四川和云南显示出最高的经济损失。在面板b中，四川和云南也显示出最高的人员伤亡。在面板c中，四川和云南再次显示出最高的总损失。在所有面板中，大于或等于99%置信水平的条形通常比其他置信水平的高度要低。全尺寸显示
如图15所示，云南在不同VaR水平下的超越频率最高，表明长期暴露于极端损失之中。四川地区的超出阈值事件较少，但其特点是一旦发生，损失的严重程度较高。新疆、青海和甘肃的超出阈值事件较为间歇性，且其频率和损失幅度都相对较小。需要强调的是，图15中的极端风险模式是基于历史事件实际超出各个VaR基准值的统计数据得出的，而不是模型预测的损失结果，因此反映了各地区的实际历史风险状况。由于较高的VaR置信水平对应更严重的损失后果，损失范围根据表14中的VaR值被划分为五个类别：80%–85%、85%–90%、90%–95%、95%–99%以及超过99%。这些区间用j=1,?,5来标记，其中j仅表示区间的顺序标签，而不是特定VaR置信水平的数值。

对于每个地区，记录了经济损失、人员伤亡或总损失落在这些区间内的历史地震事件频率，并使用相应的频率比率来表征极端损失的严重程度。设Nij表示地区i落在置信区间j内的事件数量（j=1,?,5），Mi=∑iNij表示所有地区落在区间j内的事件总数。地区i的极端风险指数定义为：
Ri=∑j=15(jNij/Ni)
这里，Nij/Mj表示地区i在区间j内的地震事件数量占该区间内总事件数量的比重。指数j作为区间权重，其值越大表示损失越严重。

为了对地区风险进行分类，使用自然断裂法对综合指数Ri进行了分组。这种方法通过最小化组内变异的同时扩大组间差异来确定划分点，从而限制了阈值选择的主观性。最终得到的风险等级为：低风险，Ri∈[0,0.25)；相对低风险，Ri∈[0.25,3.53)；相对高风险，Ri∈[3.53,9.69)；高风险，Ri∈[9.69,19.24]。相应的地区分类如下表所示。

表15显示，四川和云南在经济损失风险方面最为严峻，形成了一个高风险的集群。青海、甘肃、新疆、内蒙古、山东和江西被归为中等至高风险地区，而其余省份则属于低风险类别。

表16表明，四川和云南在人员伤亡风险方面暴露程度最高。青海、甘肃、新疆、内蒙古、河北和山东的风险处于中等至高风险水平，而大多数其他地区属于低风险类别。

当同时评估经济损失和人员伤亡风险时，会发现明显的地区间差异。例如，虽然四川和云南在两个维度上的排名都最高，但河北等地的人员伤亡风险很高，而经济损失风险相对较低。这种差异性表明，单一的边缘指标不足以全面描述地震风险，这突显了基于copula的联合评估的必要性。通过排名联合风险值并按分位数进行分类，得到了表17所示的总体地震风险分布。

表17总结了基于SJC Copula联合模型及多个置信水平下的VaR超出频率得出的中国综合极端损失风险的空间分布。总体而言，西部的风险较高，东部较低，这反映了地震灾害与社会经济暴露之间的相互作用。四川和云南是最脆弱的地区，由于位于青藏高原的活跃边缘，这些地区多次遭受破坏性地震。青海、甘肃、新疆、内蒙古、山东、河北和江西的风险也较高，因为持续的地震活动和中等程度的暴露，潜在损失仍然较大。尽管如此，这些地区仍需要基本的预防和应急准备措施。

5.3. 讨论
结果表明，在对数尺度上，经济损失和人员伤亡都表现出重尾特性以及在高水平下的非对称依赖性。Gumbel–GPD和Weibull–GPD拼接边缘分布描述了普通观测值和极端观测值，而SJC Copula则表征了它们在尾部的关联性。在最高置信水平下，期望损失（ES）远高于VaR，说明极端情况下的依赖性会加剧总体影响。这强调了需要综合考虑这两种类型的损失。

总体而言，边缘分布和copula共同提供了地震损失的连贯统计描述。历史数据显示，极端事件往往同时发生，且总体分布特性在样本期间基本保持稳定。发展、人口或工程能力的变化可能会改变绝对损失幅度，但通常表现为在现有结构基础上的波动。因此，联合模型应被视为比较和调整情景的参考，而不是直接预测工具。

从地区角度来看，四川和云南的历史风险暴露程度最高，这与它们的地质构造环境相符。青海、甘肃、新疆、内蒙古、山东、河北和江西属于中等风险组，而黑龙江、吉林和西藏的风险较低。这些差异表明，实际影响不仅取决于灾害强度，还取决于暴露程度、韧性和应对经验。

需要指出几个限制因素。1980年至2024年的事件数量有限，极端事件的稀缺可能导致尾部估计、copula拟合和风险分组的稳定性受到影响。历史记录的差异也可能引入不确定性。此外，copula方法属于统计手段，不涉及损伤的物理机制，而基于VaR的分类依赖于区间定义。随着记录时间的延长和数据质量的提高，对尾部行为和地区模式的识别将更加准确。

尽管存在这些限制，该框架提供了一种在数据有限的情况下描述重尾现象和联合极端事件的实用方法，并为地区地震风险评估提供了实证依据。

6. 结论
地震发生频率不高，但一旦发生，其对经济和人员的负面影响可能是毁灭性的。数据显示明显的重尾特性，两个维度上的极端事件经常同时发生。本研究基于1980年至2024年间中国选定省份、自治区和直辖市报告的225起破坏性地震事件，结合了拼接边缘模型和基于copula的规范来描述尾部行为、依赖性和地区对极端事件的暴露程度。

从统计学的角度来看，历史观测结果为比较不同发展背景地区的风险提供了实际参考。在尾部识别出的结构以及变量之间的依赖性可以在未来的工作中用于参数调整和情景探索。主要结果可以总结为以下几点：
- 对数转换后，经济损失和人员伤亡仍然具有强烈的右偏特性。
- MEF和Hill诊断方法有助于确定合理的阈值，Gumbel–GPD和Weibull–GPD拼接形式能够再现普通观测值的行为，同时在极端情况下保持灵活性。
- 经过NLL、AIC和BIC综合评估，SJC Copula的表现优于其他候选copula。
- 联合模型计算的VaR和ES进一步说明了这一点：在99%置信水平下，预期损失远高于VaR，表明极端依赖性会迅速放大总负担。假设独立性会导致估计值显著偏低，从而低估风险。
- 当超出频率转化为地区指数时，四川和云南的风险最为突出。青海、甘肃、新疆、内蒙古、山东、河北和江西的风险次之，而黑龙江、吉林和西藏的风险较低。这些结果与过去几十年的历史经验大体一致。

从方法论角度来看，将拼接分布与SJC Copula结合，并通过GAN生成的样本来稳定估计，在数据有限的情况下非常有用。随着记录时间的延长和暴露信息的丰富，该框架可以得到进一步完善和适应更广泛的决策需求。

总之，该方法将过去的损失经验组织成可比较的概率度量。它不是预测未来的灾难，而是提供了一种结构化的方法，用于理解历史上联合极端事件的发生情况以及地区差异的统计解释。

数据可用性声明
本研究的数据可由通讯作者Wenkai Chen提供，如需请求可予以获取。