一种用于反渗透膜的格子玻尔兹曼方法的启发式方案

《Mathematics and Computers in Simulation》：A heuristic scheme of lattice Boltzmann method for reverse osmosis membrane

本文提出一种基于晶格玻尔兹曼方法的新型 heuristic边界方案，用于处理反渗透膜边界条件。该方案直接通过经验规则确定未知的分布函数，避免传统方法重构分布函数的繁琐步骤，并建立微观参数与宏观系数的数学关联。数值验证表明，该方案能准确满足van’t Hoff定律和溶液扩散模型预测，同时开发了基于动量交换的渗透通量量化方法，二维三维模拟均验证了其工程适用性。

　　

王正道|魏一坤|钱月红|朱祖超

中国浙江省科学技术大学多流与流体机械重点实验室

摘要

我们提出了一种新的启发式方案，用于解决反渗透膜的边界条件问题。该方案借鉴了溶质和溶剂分子通过膜的微观动力学特性，强制执行局部守恒定律并确保物理一致性。与以往依赖于从宏观变量重构分布函数的方案不同，所提出的方案直接根据启发式规则确定未知分布。我们建立了跨膜流动模型中介观参数与宏观系数之间的理论框架。数值验证表明，所提出的边界方案能够准确满足范特霍夫定律，并与溶液-扩散模型的预测结果一致。此外，我们还开发了一种基于动量交换的方法来精确量化渗透通量。对二维和三维配置的模拟结果表明，所提出的方案在工程应用中具有便捷性和高效性。

引言

在过去的几十年中，格子玻尔兹曼方法（LBM）已成为计算流体动力学（CFD）中广泛采用的算法[1]、[2]、[3]、[4]。随着计算机技术的进步和大规模并行计算的广泛应用，其出色的并行性使其在CFD领域变得越来越重要。最先进的研究表明，在使用超过一千万个核心的极细网格上可以实现高效的并行计算[5]。LBM提供了一个清晰直观的物理框架，以及独特的启发式边界方案，确保了计算并行性和模拟结果中物理量的严格守恒[6]、[7]。LBM不是直接求解纳维-斯托克斯方程，而是通过选择适当的平衡分布函数，利用查普曼-恩斯科格展开技术[8]、[9]来恢复不可压缩流动的纳维-斯托克斯方程。

双分布函数（DDF）方法最初是为在布辛涅斯克近似下模拟热对流而引入的[9]、[10]。其高稳定性使其成为模拟各种热流（如瑞利-贝纳德对流[11]、[12]、瑞利-泰勒系统[13]以及其他对流系统[14]、[15]、[16]）的有效且广泛采用的方法。通过重新定义第二分布函数的求和，DDF方法可以有效地模拟对流-扩散系统[17]、[18]、[19]，包括本文中的渗透流应用。研究人员已广泛利用这一改进，研究表明DDF框架内的内能模型能够更好地求解对流-扩散方程[9]。为了扩大其适用范围，已经提出了几种算法来提高高普朗特数或施密特数场景下的稳定性[20]、[21]。这些改进突显了DDF方法的多功能性和可靠性，使其适用于广泛的流体动力学应用。

反渗透（RO）膜广泛应用于海水淡化、浓缩等领域[22]、[23]。已经提出了多种模型来解释溶液的跨膜流动过程[24]、[25]、[26]、[27]。RO膜的主要功能是阻挡溶质分子，同时为水分子（或溶剂）提供一条特殊的通道，使其能够渗透并通过膜。这一过程在图1的上两个子图中进行了说明，其中蓝色球体代表水分子，红色球体代表其他溶质分子。对于完全拒盐的RO膜，溶质分子是完全不可渗透的。虽然实际膜通常存在微小缺陷，允许极少量的溶质分子通过RO膜。

在跨膜流动的数值模拟中，主要采用两种方法。一种方法是分子动力学（MD）模拟，它在分子层面提供详细的见解[28]、[29]。另一种方法是通过理论分析关联膜两侧的极限宏观物理量，并使用基于实验观察的经验公式来修改结果[23]、[26]、[30]。目前，在LBM框架内，研究人员主要采用第二种方法[21]、[31]、[32]、[33]。这种方法涉及确定宏观量，然后通过离散化方案重构介观离散分布函数。在计算宏观变量时，主要有两种方法：（1）“扩展”方案[21]、[31]、[34]，通过部分分布函数展开计算极限浓度；（2）“有限差分”方案[33]、[35]，通过有限差分方案离散化宏观边界条件来计算极限浓度。这两种方法都通过溶液-扩散模型（SDM）来量化渗透通量。为了重构介观分布函数，大多数方案倾向于使用非平衡展开方案[36]。作为介观方法，LBM具有独特的启发式边界方案，这些方案与微观物理过程密切相关。因此，本研究采用启发式边界方案来处理跨膜流动模拟中的边界问题，从而利用了介观方法固有的强大边界处理优势。需要强调的是，尽管文献中已经使用过部分反弹方案来模拟多孔介质，但这些方法通常处理代表体积元素以捕捉多孔结构内的孔隙尺度渗透过程[37]、[38]。相比之下，我们提出的部分反弹-部分流动方案关注的是跨膜渗透的结果，将膜视为零厚度界面。

本文的其余部分组织如下。第2节简要介绍了控制跨膜流动的宏观和介观方程。第3节阐述了所提出方案背后的灵感并推导了其表达式。第4节详细介绍了从启发式方案到范特霍夫定律和溶液-扩散模型（SDM）的恢复过程，以及渗透压和渗透通量背景下介观参数与宏观参数之间的关系。第5节进行了二维和三维情况下的数值模拟，以验证所提方案的准确性和稳健性。第6节总结了本文的主要发现和贡献。

格子玻尔兹曼方法中的双分布函数方法

LBM中的DDF方法[10]代表了一个介观框架，可以视为玻尔兹曼方程的特定离散化。基于分子动力学，查普曼-恩斯科格分析使该方法能够恢复以下控制方程[7]： ${?}_t\rho +??\left(\rho \overrightarrow{u}\right)=0,$ 其中 $\rho$ 是局部密度，$C$ 是质量分数[在之前的参考文献中是温度]，u→ 表示局部速度。$S(=\frac{1}{2}\left(?\overrightarrow{u}+?{\overrightarrow{u}}^T\right))$

RO膜的启发式边界方案

受到稀溶质跨膜流动微观情景的启发（见图1），我们提出了以下启发式边界方案，用于解决$f_{}$ 和 g 在RO膜上的流动问题。溶质的宏观浓度通过g 分布来解决。通过将膜边界定位在两个相邻格点之间，g 分布在这些边界点上的流动步骤可以分解为两个部分：一个反弹部分

渗透压和渗透通量

渗透压（$\pi$）满足范特霍夫定律，而溶剂的渗透通量（Js）和溶质的渗透通量（Jw）由SDM控制。所提出的启发式边界方案直接作用于分布函数，而无需计算任何宏观变量。为了阐明所提出的启发式方案如何控制宏观变量之间的关系，本节提供了从该方案中得出的宏观边界条件的数学推导。

数值示例

为了评估所提出的启发式边界方案的准确性和可靠性，我们进行了跨RO膜的流动模拟和分析。本节涵盖了各种配置，包括无间隔配置和含间隔配置。值得注意的是，两个反射概率描述了溶剂和溶质渗透未能穿透RO膜的可能性。在实际场景中，这几乎是一个必然事件，意味着两者

结论

在本文中，我们提出了一种新的启发式边界方案，用于在LBM的DDF方法框架内处理RO膜边界。该方案通过将流动步骤分为反弹部分和渗透部分来处理渗透过程。两个反射概率，${\alpha }_{}$ 对于溶质，以及 αw 对于溶剂，分别控制反弹部分和渗透部分之间的比率。

CRediT作者贡献声明

王正道：撰写 - 审稿与编辑，撰写 - 原始草稿，可视化，验证，软件，项目管理，方法论，研究，资金获取，正式分析，数据管理，概念化。魏一坤：监督，资源，项目管理，资金获取，正式分析。钱月红：验证，资源，方法论，概念化。朱祖超：验证，监督，资源，项目管理，研究，资金

致谢

本工作得到了国家自然科学基金（12472296）、国家自然科学基金-山东联合基金（U2006221）和浙江省重点研发计划 （2022C01159）的支持。