多值复数Fermatean中性哲学EDAS方法在不确定的ESG环境下用于绿色投资组合排名

《Array》：Multi-Valued Complex Fermatean Neutrosophic EDAS method for green investment portfolio ranking in uncertain ESG environments

　　K. Gomathi | G. Deepa
印度泰米尔纳德邦韦洛尔市Katpadi区Tiruvalam Road路韦洛尔理工学院高级科学学院数学系，632014

**摘要**
在现实世界环境中，决策过程经常面临信息不精确、多维且动态变化的问题。传统方法往往难以有效处理这种复杂性，特别是在涉及多种专家意见的多属性群体决策情境中。为了解决这些限制，本研究引入了多值复杂费马中性集（MVCFNS），这是一种先进的模糊框架，它整合了三个关键能力：（i）真值、不确定性和假值的多值表示；（ii）用于捕捉幅度和周期性变化的复数值建模；以及（iii）用于增强不确定性量化的费马约束。在MVCFNS结构的基础上，建立了多值复杂费马中性数（MVCFNNs）的基本算术运算，并开发了两种新的聚合运算符（MVCFNWA和MVCFNWG）。严格证明了其基本理论属性，包括幂等性、有界性和单调性。此外，还提出了改进的评分和准确性函数，以便更好地比较和排名备选方案。这些组件被系统地集成到一个基于MVCFNS的EDAS（基于与平均解距离的评估）决策框架中。使用2021-2023年的真实主权级ESG数据，验证了所提出方法的实用性，以在不确定的ESG环境下对十个国家进行绿色投资组合备选方案的排名。实证结果表明，MVCFNS-EDAS框架提供了强大、透明和可靠的决策支持，同时有效保留了ESG指标中固有的多值、复杂和不确定信息。

**0. 引言**
现实世界场景中的决策过程常常因为信息不精确、多维和动态而变得复杂。传统数学模型依赖于清晰的（二进制）数据，往往无法有效管理这种复杂和模糊的信息。这一根本性限制导致了模糊集理论的出现。Zadeh [1]提出的模糊集（FSs）概念通过允许元素具有部分隶属关系（用区间[0,1]中的隶属度表示）标志着一个重大进步，这与经典集合论相比提供了更灵活的模糊性建模方式。在此基础上，Atanassov [2]将模糊集扩展到了直觉模糊集（IFSs），其中包含隶属度和非隶属度，它们的总和小于或等于一，从而考虑到了某些犹豫或缺乏完整信息的情况。后续的发展包括Yager [3]提出的毕达哥拉斯模糊集（PFSs），它放宽了隶属度和非隶属度之和的条件，使其平方小于或等于一，从而在处理不确定性方面提供了更多灵活性。最近，Senapati和Yager [4]提出了费马模糊集（FFSs），通过允许隶属度和非隶属度的立方和小于或等于一，进一步推广了PFSs，为模糊信息建模提供了更广泛的范围，特别是在不确定性较高的情况下。Simic等人[5]在公共交通投资税收的CODAS方法中应用了费马模糊群体决策，展示了其在复杂金融决策中的实际应用。

尽管取得了这些进展，模糊集主要处理的是静态和一维的不确定性。然而，许多现实世界问题涉及的信息不仅具有不确定性，还具有动态性和周期性。为了解决这个问题，Ramot等人[6]引入了复模糊集（CFs），通过赋予复数值隶属度来扩展模糊集。这些复数包含了振幅项（表示隶属强度）和相位项（表示周期性或循环变化），使其适用于时间序列数据或振荡现象。Rahman [7]基于t-范数和t-余范数开发了新的对数聚合运算符，用于群体决策问题，进一步扩展了复杂模糊系统的工具箱。

与模糊集的发展并行，Smarandache [8]介绍了中性集（NSs），它为处理不确定和不一致的信息提供了一个更全面的框架。NSs的特点是三个独立的隶属函数：真值（T）、不确定（I）和假值（F），它们的总和可以从0到3变化。这种独立性允许更细致地表示模糊性和中性。Sweety和Jansi [9]后来将NSs扩展到了费马中性集（FNSs），结合了费马逻辑的灵活性和中性集的不确定性，实现了更精确的不确定性量化。Saeed等人[10]进一步展示了FNSs在复杂生物系统中的实用性，利用它们检测感染引起的生育模式。此外，Martina和Deepa [11]通过研究粗糙中性矩阵的一些代数属性及其在多标准决策（MCDM）中的应用，为这一领域做出了贡献，展示了中性集与粗糙集理论的整合，用于处理不精确和不确定的数据。

为了有效建模复杂和动态的不确定信息，Ali和Smarandache [12]提出了复中性集（CNSs），它为真值、不确定性和假值隶属函数赋予复数值等级。这种整合使CNSs能够捕捉不确定信息的强度和周期性。Ali等人[13]进一步提出了区间复中性集，提供了更广泛的隶属度范围。Mahmood等人[14]探索了基于Dombi-标准化加权Bonferroni平均值运算符与多值复中性不确定语言集的应用，展示了复杂多值信息的先进聚合技术。Karaaslan等人[15]也通过定义犹豫复中性集的距离度量，进一步完善了复杂模糊环境的工具。Chen等人[16]的最新工作还发展了基于复费马模糊信息的Aczel-Alsina聚合运算符，突显了对复杂模糊环境的高级聚合技术的持续研究。

虽然这些发展显著增强了建模各种不确定性形式的能力，但在群体决策背景下，存在一个关键差距，即多值、复杂和费马不确定性信息的场景。现有模型通常无法同时捕捉所有这些方面。例如，多值中性集（MVNSs）[17],[18]可以处理多个隶属值，但通常缺乏复数值功能。相反，复中性集（CNSs）[19],[20]可以处理复杂信息，但通常是单值的。此外，费马逻辑的增强精度并未普遍集成到复杂多值框架中。Attaullah等人[21]探索了费马犹豫模糊粗糙聚合运算符及其在多标准群体决策中的应用，进一步证明了这一领域需要强大的方法。Xu等人[22]提出了一种扩展的EDAS方法，使用单值复中性集进行绿色供应商选择，表明了这类方法在实际应用中的相关性。

近年来，EDAS方法已被扩展到中性环境，用于管理多属性决策问题中的不确定性。Mallick和Pramanik [23]在梯形中性环境中开发了一种TrNN–EDAS方法，使用基于熵的权重和聚合运算符，通过数值和比较分析证明了其魯棒性。费马模糊方法已被应用于在不确定性下的绿色供应商评估，结合了FF幂赫罗尼亚平均值与EDAS和BWM–熵框架进行鲁棒排名[24]。

本文通过提出MVCFNS来解决现有局限性，MVCFNS整合了多年数据的多值表示、用于捕捉幅度和时间相位变化的复数值结构，以及用于模拟MAGDM问题中高不确定性的费马约束（T3+I3+F3≤2）。基于MVCFNS，开发了一个全面的决策框架，包括运算律、聚合运算符（MVCFNWA和MVCFNWG）和改进的评分函数，这些被集成到一个基于MVCFNS的EDAS方法中，以确保在不确定环境下的稳定和可靠排名。使用2021-2023年的主权级ESG数据[25]验证了该模型的适用性，其中国家根据环境、社会和治理标准被评估为绿色投资组合备选方案。结果证实，所提出的MVCFNS–EDAS框架有效处理了多周期、复数值和不确定信息，在不确定性下产生了一致且可靠的投资排名。

**研究差距**
PFS和FFS的发展是为了克服直觉模型的局限性，以处理更高的不确定性。特别是FFS，受T3+F3≤1的约束，比PFS（T2+F2≤1）提供了更大的灵活性，能够更好地建模模糊的决策环境。然而，基于模糊的模型并没有明确将不确定性作为一个独立组件纳入。中性集通过引入真值、不确定性和假值度来解决这一限制。进一步的扩展，如多值和复中性集，允许表示多种专家意见和动态或周期性信息。尽管如此，现有模型要么在没有相位表示的情况下处理多值信息，要么在未完全整合费马基不确定性灵活性的情况下使用复数结构。

**动机**
在2021-2023年的真实主权ESG评估中，决策涉及异质的专家判断（多值）、时间动态（复数值相位）以及由于经济和治理波动导致的高不确定性。当前框架无法同时捕捉所有这些特征。受此驱动，本研究开发了MVCFNS，它在单一框架内统一了多值结构、复数表示和费马不确定性，为基于ESG的绿色投资组合选择提供了坚实的基础。

**1. 基础知识**
**定义1.1 [4]**
一个在通用集U上的费马模糊集（FFS）F定义为：
F=〈u, σF(u), τF(u)〉∣u∈U，
其中函数σF(u)和τF(u)都从U映射到[0,1]，并且满足：
0≤(σF(u))3+(τF(u))3≤1，
对于每个u∈U。
这里，σF(u)是隶属度，τF(u)是非隶属度。犹豫值或不确定性程度由下式给出：
?F(u)=1?(σF(u))3?(τF(u))3/3。

**定义1.2 [8]**
设U为通用集，每个元素a∈U在中性集中具有真值度、不确定度和假值度，记为N。则可以表示为N={(a, σN(a), ?N(a), τN(a))：a∈U}，
其中0≤σN(a)+?N(a)+τN(a)≤3。
真值隶属函数σN:U→[0,1]，不确定性隶属函数?N:U→[0,1]，假值隶属函数τN:U→[0,1]。

**定义1.3 [9]**
一个在讨论宇宙U上的费马中性集（FNS）F定义为：
F=〈u, σF(u), ?F(u), τF(u)〉∣u∈U，
其中：
• σF(u):U→[0,1]表示元素u∈U对集合F的真值隶属度，
• ?F(u):U→[0,1]表示不确定度隶属度，
• τF(u):U→[0,1]表示假值隶属度。
这些函数对于所有u∈U满足以下条件：
0≤(σF(u))3+(τF(u))3≤1，0≤?F(u)3≤1，0≤(σF(u))3+(?F(u)3+τF(u))3≤2。
这里，σF(u)和τF(u)是依赖组件，而?F(u)是独立组件。

**定义1.4 [6]**
一个在讨论宇宙U上定义的复模糊集S，其特征是具有隶属函数gS(u)，它为U中的任何元素u分配一个复数值的隶属等级。gS(u)的所有值位于复平面内的单位圆内，因此形式为pS(u)?ei?θS(u)，其中pS(u)和θS(u)都是实数值，且pS(u)∈[0,1]。pS(u)称为振幅项，ei?θS(u)称为相位项。复模糊集可以用集合形式表示为S=(u, gS(u))：u∈U。

**定义1.5 [12]**
一个在讨论宇宙U上定义的复中性集S，其特征是具有真值隶属函数TS(u)、不确定度隶属函数IS(u)和假值隶属函数FS(u)，它们为U中的任何元素u分配复数值的等级。TS(u), IS(u), FS(u)及其总和可能都在复平面内的单位圆内，因此形式为：
TS(u)=pS(u)?eiωS(u)；IS(u)=qS(u)?eiψS(u)；FS(u)=rS(u)?ei?S(u)，
其中pS(u), qS(u), rS(u)和ωS(u), ψS(u)分别是实数值，且pS(u), qS(u), rS(u)∈[0,1]，满足0≤pS(u)+qS(u)+rS(u)≤3。

**2. 多值复费马中性集**
在现实世界的决策环境中，特别是在ESG投资分析中，决策者必须处理不精确、多维和动态变化的信息。传统的二进制逻辑不足以捕捉这种复杂性。中性集引入了三个独立组件——真值、不确定性和假值——以更好地表示不确定性。随后，费马中性集发展起来，通过立方约束来模拟更高程度的不确定性，而复中性集则结合了相位信息以捕捉时间和动态行为。然而，真实的ESG数据本质上是多方面的和动态的，需要一个能够同时处理多样化专家意见、不断演变的绩效趋势和高程度模糊性的统一框架。为了解决这些综合挑战，本文引入了MVCFNS。该框架整合了三个基本能力：（i）多值隶属度以表示多样化的评估，（ii）复数值表示，其中振幅捕捉ESG绩效的幅度或严重性，相位捕捉时间动态或趋势，以及（iii）费马立方约束以确保精确和灵活的不确定性量化。

相位组件θ∈[0,2π]在模拟真实ESG指标的时间行为中起着关键作用。这个标准的数学范围代表了一个完整的循环，允许对绩效变化进行连续解释。在真实ESG数据集的背景下，相位值反映了指标随时间的变化方向和势头。例如，接近0或2π的相位值表示相对稳定，接近π的值可能表示绩效下降，而中间值表示正面或负面趋势的不同强度。因此，相位组件实现了动态ESG行为的有结构和可解释的表示。为了确保Fermatean结构内的数学一致性，相位项被规范化到区间[0,1]，使用θ2π，并且它们的三次形式被纳入Fermatean约束：0≤θσ2π3+θ?2π3+θτ2π3≤2。这种规范化将Fermatean理论的立方特性从振幅域扩展到时间域，确保静态大小和动态趋势都非线性地贡献于不确定性结构。立方变换增强了模型对实际ESG性能显著变化的敏感性，例如快速的环境改善或持续的社会治理下降。因此，MVFNS提供了一个数学上严谨且在实际上有意义的框架，用于分析现实世界的动态ESG数据。

定义2.1 设U为全集，u是U的一个元素。U中的一个多值Fermatean中庸集（MVFNS）M由三个函数TM(u), IM(u), 和FM(u)表征，每个函数都在区间[0,1]内，可以定义为：M=〈u,TM(u),IM(u),FM(u)〉∣u∈U，其中TM(u), IM(u), 和FM(u)分别表示真值隶属度、不确定隶属度和假值隶属度，满足0≤(TM(u))3+(IM(u))3+(FM(u))3≤2，并且满足条件：0≤(σM(u))3+(τM(u))3≤1, 0≤(?M(u))3≤1, 0≤(σM+(u))3+(?M+(u))3+(τM+(u))3≤2，这里σM∈TM(u), ?M∈IM(u), 和 τM∈FM(u)，σM+=supTM(u), ?M+=supIM(u) 以及 τM+=supFM(u)。如果u只有一个元素，则M被称为多值Fermatean中庸数（MVFNN），表示为M=〈TM(u),IM(u),FM(u)〉。为了方便，MVFNN也可以表示为M=〈TM,IM,FM〉。所有MVFNN的集合表示为MVFNS。

定义2.2 设U为全集（所有可能的条目或对象）。U上的一个MVFCFNS M描述为：M=u,TM(u),IM(u),FM(u)|u∈U，其中TM(u), IM(u), 和FM(u)是多值复数集合。具体来说，对于每个元素u∈U：
- 对于任何复数σ∈TM(u)，它以极坐标形式表示为σ=pσ?eiθσ，其中pσ∈[0,1]是其振幅，θσ∈[0,2π]是其相位。
- 对于任何复数?∈IM(u)，它以极坐标形式表示为?=q??eiθ?，其中q?∈[0,1]是其振幅，θ?∈[0,2π]是其相位。
- 对于任何复数τ∈FM(u)，它以极坐标形式表示为τ=rτ?eiθτ，其中rτ∈[0,1]是其振幅，θτ∈[0,2π]是其相位。
这些值必须满足基于它们的振幅和相位分量的上界的Fermatean条件：0≤pσM3+rτM3≤1,0≤q?M3≤1, 0≤pσM3+q?M3+rτM3≤2, 0≤θσM,θ?M,θτM≤2π, 0≤θσM2π3+θ?M2π3+θτM2π3≤2, 0≤suppσM3+supq?M3+suprτM3≤2, 0≤supθσM2π3+supθ?M2π3+supθτM2π3≤2。如果U只包含一个元素，则M被称为MVFNN，表示为M=〈TM(u),IM(u),FM(u)〉。为了方便，MVFNN也可以表示为M=〈TM,IM,FM〉。所有MVFNN的集合表示为MVFNS。

定义2.3 设U为全集（所有可能的条目或对象）。U上的一个MVCFNS M描述为：M=u,TM(u),IM(u),FM(u)|u∈U，其中TM(u), IM(u), 和FM(u)是多值复数集合。具体来说，对于每个元素u∈U：
- 对于任何复数σ∈TM(u)，它以极坐标形式表示为σ=pσ?eiθσ，其中pσ∈[0,1]是其振幅，θσ∈[0,2π]是其相位。
- 对于任何复数?∈IM(u)，它以极坐标形式表示为?=q??eiθ?，其中q?∈[0,1]是其振幅，θ?∈[0,2π]是其相位。
- 对于任何复数τ∈FM(u)，它以极坐标形式表示为τ=rτ?eiθτ，其中rτ∈[0,1]是其振幅，θτ∈[0,2π]是其相位。
这些值必须满足基于它们的振幅和相位分量的上界的Fermatean条件：0≤pσM3+rτM3≤1,0≤q?M3≤1, 0≤pσM3+q?M3+rτM3≤2, 0≤θσM,θ?M,θτM≤2π, 0≤θσM2π3+θ?M2π3+θτM2π3≤2, 0≤suppσM3+supq?M3+suprτM3≤2, 0≤supθσM2π3+supθ?M2π3+supθτM2π3≤2。如果U只包含一个元素，则M被称为MVFNN，表示为M=〈TM(u),IM(u),FM(u)〉。为了方便，MVFNN也可以表示为M=〈TM,IM,FM〉。所有MVFNN的集合表示为MVFNS。

表1提供了FS、PNS、FNS、CNS、CFNS、MVFNS和所提出的MVCFNS模型的全面比较。

定义2.3 设M=〈TM,IM,FM〉, M1=〈TM1,IM1,FM1〉 和 M2=〈TM2,IM2,FM2〉是三个MVCFNN。那么，MVCFNN的一些基本运算律定义如下：

表1. FS、PNS、FNS、CNS、CFNS、MVFNS和所提出的MVCFNS模型的比较。

模型约束 主要特征
FS 0≤p≤1 仅使用单一隶属度；无法表示不确定或假值
PNS 0≤p2+q2+r2≤2 对真值、不确定和假值引入二次限制；灵活性有限
FNS 0≤p3+q3+r3≤2 使用三次约束，允许比PNS更高的不确定性建模
CNS 0≤p+q+r≤3,0≤θp,θq,θr≤2π 结合振幅和相位来模拟动态行为
CFNS 0≤p3+q3+r3≤2,0≤θp3+θq3+θr3≤2π 将Fermatean三次控制与复杂结构结合用于动态不确定性
MVCFNS 0≤p3+q3+r3≤2 允许多个隶属值；捕捉犹豫和不同的意见

MVCFNS 0≤p3+q3+r3≤2,0≤θp,θq,θr≤2π 整合了多值隶属性、复数表示和Fermatean约束；是最全面的框架。

(i) 并集 (M1∪M2) M1∪M2=?σ1∈TM1,σ2∈TM2max(pσ1,pσ2)?eimax(θσ1,θσ2),??1∈IM1,?2∈IM2min(q?1,q?2)?eimin(θ?1,θ?2),?τ1∈FM1,τ2∈FM2min(rτ1,rτ2)?eimin(θτ1,θτ2)
(ii) 交集 (M1∩M2) M1∩M2=?σ1∈TM1,σ2∈TM2min(pσ1,pσ2)?eimin(θσ1,θσ2),??1∈IM1,?2∈IM2max(q?1,q?2)?eimax(θ?1,θ?2),?τ1∈FM1,τ2∈FM2max(rτ1,rτ2)?eimax(θτ1,θτ2)
(iii) 补集 (Mc) Mc=?σ∈TMrτ?ei(2π?θσ),??∈IM(1?q?)?ei(2π?θ?),?τ∈FMpσ?ei(2π?θτ)

3. 多值复数Fermatean中庸数的算术运算
设M=〈TM,IM,FM〉, M1=〈TM1,IM1,FM1〉 和 M2=〈TM2,IM2,FM2〉是三个MVCFNN。设α>0是一个标量。
- 对于任何复数σ∈TM, ?∈IM, τ∈FM，让它们的振幅和相位分量分别为pσ,θσ；对于?，分别为q?,θ?；对于τ，分别为rτ,θτ。同样地，对于M1，让分量分别为pσ1,θσ1。对于M2，让分量分别为pσ2,θσ2。
- 为了在MVCFNS框架内进行计算和聚合，基本的算术运算是必不可少的。这些运算允许我们以尊重它们的多值、复数和Fermatean属性的方式来组合MVCFNN。

定义3.1 MVCFNN的算术运算定义如下：
(i) 加法 (M1⊕M2) M1⊕M2=?σ1∈TM1,σ2∈TM2pσ13+pσ23?pσ13pσ231/3?ei2πθσ12π3+θσ22π3?θσ12π3θσ22π31/3,??1∈IM1,?2∈IM2(q?1q?2)?ei2πθ?12π?θ?22π,?τ1∈FM1,τ2∈FM2(rτ1rτ2)?ei2πθτ12π?θτ22π
(ii) 乘法 (M1?M2) M1?M2=?σ1∈TM1,σ2∈TM2(pσ1pσ2)?ei2πθσ12π?θσ22π,??1∈IM1,?2∈IM2q?13+q?23?q?13q?231/3?ei2πθ?12π3+θ?22π3?θ?12π3θ?22π31/3,?τ1∈FM1,τ2∈FM2rτ13+rτ23?rτ13rτ231/3?ei2πθτ12π3+θτ22π3?θτ12π3θτ22π31/3
(iii) 标量乘法 (αM) αM=?σ∈TM1?(1?(pσ)3)α1/3?ei2π1?1?θσ2π3α1/3,??∈IM(q?)α?ei2πθ?2πα,?τ∈FM(rτ)α?ei2πθτ2πα
(iv) 标量幂 (Mα) Mα=?σ∈TM(pσ)α?ei2πθσ2πα,??∈IM1?(1?(q?)3)α1/3?ei2π1?1?θ?2π3α1/3,?τ∈FM1?(1?(rτ)3)α1/3?ei2π1?1?θτ2π3α1/3

MVCFNN运算的示例 (α=2)：
考虑两个MVCFNN：M1={0.8ei0.2π,0.7ei0.1π},{0.3ei0.5π},{0.1ei0.8π}, M2={0.9ei0.3π},{0.4ei0.4π,0.5ei0.6π},{0.2ei0.7π}。
使用定义3.1中定义的算术运算律，我们得到以下结果：
1. 加法 (M1⊕M2): M1⊕M2={0.95ei2π(0.16),0.94ei2π(0.15)},{0.12ei2π(0.05),0.15ei2π(0.08)},{0.02ei2π(0.14)}
2. 乘法 (M1?M2): M1?M2={0.72ei2π(0.03),0.63ei2π(0.02)},{0.48ei2π(0.19),0.55ei2π(0.23)},{0.21ei2π(0.28)}
3. 标量乘法 (αM1): αM1={0.91ei2π(0.13),0.83ei2π(0.06)},{0.09ei2π(0.06)},{0.01ei2π(0.16)}
4. 标量幂 (M1α): M1α={0.64ei2π(0.01),0.49ei2π(0.00)},{0.38ei2π(0.31)},{0.13ei2π(0.50)}
详细的振幅和相位计算过程在附录A中提供。

定义3.2 设M=〈TM,IM,FM〉, M1=〈TM1,IM1,FM1〉, 和 M2=〈TM2,IM2,FM2〉是三个MVCFNN。设α,α1,α2>0。那么，以下是一些基本运算律：
1. M1⊕M2=M2⊕M1;
2. M1?M2=M2?M1;
3. α(M1⊕M2)=αM1⊕αM2,α>0;
4. (α1+α2)M=α1M⊕α2M,α1,α2>0;
5. (M1?M2)α=M1α?M2α,α>0;
6. Mα1?Mα2=Mα1+α2α,α1,α2>0;

这个定义的证明在附录A中提供。

4. 多值复数Fermatean中庸数算术聚合运算符
在本节中，我们介绍了几种使用所提出的运算开发的算术聚合运算符，并检验了与这些运算符相关的关键期望属性。

4.1. 多值复数Fermatean中庸数加权平均运算符
定义4.1 设Mj=TMj,IMj,FMj是j=1,2,…,n的MVCFNN集合。设w=(w1,w2,…,wn)T是Mj的权重向量，满足wj>0且∑j=1nwj=1。那么，MVCFNWA运算符是一个Mn→M的函数，定义为MVCFNWA(M1,M2,…,Mm)=?j=1n(wjMj)=w1M1⊕w2M2⊕?⊕wnMn，其中?表示MVCFNN的加法运算。

定理4.1 设Mj=TMj,IMj,FMj是j=1,2,…,n的MVCFNN集合。设wj=(w1,w2,…,wn)T是Mj的权重向量，满足wj>0且∑j=1nwj=1。那么MVCFNWA(M1,…,Mn) (M1,…,Mn)=〈T?,I?,F?〉，wj≥0，∑j=1nwj=1，T?=?σMj∈TMjTAei2πTP，TA=(1?∏j=1n(1?(pσMj)3)wj)1/3，TP=(1?∏j=1n(1?(θσMj2π)3)wj)1/3，I?=??Mj∈IMjIAei2πIP，IA=∏j=1n(q?Mj)wj，IP=∏j=1n(θ?Mj2π)wj，F?=?τMj∈FMjFAei2πFP，FA=∏j=1n(rτMj)wj，FP=∏j=1n(θτMj2π)wj。以下表达式给出了上述运算符定义的统一紧凑表示：(1)=?σMj∈TMj1?∏j=1n1?(pσMj)3wj1/3?ei2π1?∏j=1n1?θσMj2π3wj1/3，??Mj∈IMj∏j=1n(q?Mj)wj?ei2π∏j=1nθ?Mj2πwj，?τMj∈FMj∏j=2021–2023年期间公开可获得的ESG指标被用作评估标准，以评估它们的绿色投资吸引力和可持续性表现。数据来源：数据仅来源于主权ESG数据门户，涵盖了四个关键指标。•环境（C1）：人均二氧化碳排放量（吨二氧化碳/人），成本标准（数值越低越好）。•社会（C2）：出生时的预期寿命（年），收益标准（数值越高越好）。•治理（C3）：政府效能评估（无单位分数），收益标准（数值越高越好）。•经济（C4）：人均GDP（现价美元），收益标准（数值越高越好）。备选国家：A1=巴西，A2=中国，A3=德国，A4=法国，A5=英国，A6=印度尼西亚，A7=印度，A8=日本，A9=美国，A10=南非。评估年份：对2021年、2022年和2023年进行了评估。对于每个年份，指标值被标准化并映射为语言变量（非常差、差、中等、好、非常好），以便用MVCFNN表示。语言术语的MVCFNN表示：表2将每个语言术语映射到MVCFNN中，保留了真理的多值性、不确定性和虚假性，以捕捉ESG评估中的不确定性和变化。在MVCFNN中，真理、不确定性和虚假性的多个值反映了年度变化和不确定性。每个成员表示为aeiθ，其中a是幅度（满意度、犹豫或未表现的程度），θ是相位，编码了备选方案之间的微妙时间或基于专家的差异。这种简化将多值和复杂的中立主义结构压缩为满足μ3+ν3≤1.3的简单Fermatean模糊对（μ,ν）。聚合运算符的应用：转换后的数据集在EDAS框架下使用以下方法进行处理：•MVCFNWA（提出的）•MVCFNWG（提出的）•SVCNWA [22]•SVCNWG [22]•基于FFWPHM运算符的Fermatean Fuzzy EDAS [24]然后计算得分函数以确定备选方案的最终排名。从表9可以看出，最优备选方案（A9）在所有方法中一致地被视为最佳选择，这证实了决策结果的稳定性。然而，当使用FFWPHM运算符的Fermatean Fuzzy EDAS时，中间排名的备选方案出现了显著差异。由于多值成员信息、复数值相位成分和明确不确定性表示的丢失，A2、A5和A10的排名发生了显著变化。表9. 使用真实ESG数据进行排名结果比较。备选方案MVCFNWARMVCFNWGRSVCNWA [22]RSVCNWG [22]RFFWPHM-EDAS [24]RA10.000100.002100.000100.000010A20.17660.29260.18660.25960.40435A30.74420.85920.76620.82720.53492A40.46650.65450.53650.65150.41104A50.60730.74830.62130.70030.31776A60.07070.14870.06370.10370.00348A70.06880.14180.05980.09680.00339A80.55740.74740.59340.69740.49373A90.99511.00010.99611.00010.99971A100.03090.03490.00490.00490.25227提出的基于MVCFNS的EDAS方法的优势：1. 保留多值信息：与传统Fermatean模糊模型不同，该方法保留了多个成员度，而不会将它们合并为一个代表值。2. 结合复相位信息：复数值结构能够捕捉ESG数据（2021–2023年）中固有的周期性或时间变化，这是经典Fermatean模糊集无法模拟的。3. 明确处理不确定性：中立主义表示明确考虑了不确定性和犹豫，而Fermatean模糊集仅考虑真假。4. 减少信息损失：转换为SVCNNs或FFNs会压缩数据集，可能扭曲评估模式。MVCFNS框架避免了这种压缩。5. 更高的区分能力：提出的MVCFNWA运算符提供的排名行为比基于FFWPHM的EDAS方法更一致和稳定。总体而言，提出的基于MVCFNS的EDAS方法为在不确定和多期ESG环境下的绿色投资决策提供了更丰富的结构表示、更好的鲁棒性和更强的区分能力。6.9. 结果的统计验证为了验证所获得排名结果的可靠性和一致性，使用了Spearman等级相关系数。该统计量评估了提出的方法与现有方法产生的排名之间的一致程度。为此分析，从表9中提取了每个备选方案的排名值（R）。提出的MVCFNWA方法得到的排名序列为：（10,6,2,5,3,7,8,4,1,9），其中每个值分别代表备选方案A1到A10的排名。Spearman等级相关系数的计算公式为：ρ=1?6∑d2/n(n2?1)，其中d表示两种方法排名之间的差异，n是备选方案的数量。排名中没有平局；因此，应用标准的Spearman等级相关公式，n=10。表10展示了提出的MVCFNWA方法和FFWPHM-EDAS方法之间的排名差异的详细计算。将值∑d2=18和n=10代入Spearman等级相关公式：ρ=1?6∑d2/n(n2?1)=1?6×18/10(102?1)=1?10/89=1?0.109=0.8909。此外，提出的MVCFNWA方法与现有方法SVCNWA和SVCNWG之间的Spearman相关系数均为1.00，表明备选方案的排名完全一致。这一精确对应关系证实了提出的方法产生的结果与既定方法完全一致。此外，使用FFWPHM-EDAS方法得到的相关系数为0.8909，也反映了强烈的正相关关系。一致的高相关值证明了该方法的稳健性、稳定性和可靠性。因此，提出的方法被验证为在不确定环境下解决多属性群体决策问题的有效且可靠的工具。表10. MVCFNWA和FFWPHM-EDAS之间的Spearman等级相关性计算。备选方案R1（MVCFNWA）R2（FFWPHM-EDAS）d=R1?R2d2A1101000A26511A32200A45411A536?39A678?11A789?11A84311A91100A109724∑d2186.9.1. 计算复杂性和可扩展性提出的基于MVCFNS的EDAS方法在一个结构化的决策框架内集成了聚合运算符、算术运算以及改进的得分和准确性函数。计算复杂度随着备选方案数量、标准数量和时间周期（或决策者数量）的增加而线性增加。聚合过程和EDAS排名程序仅需要基本的算术运算，使得整个方法在计算上高效。尽管该框架包含了多值和复数值组件，但它不会导致计算量的指数级增长。因此，提出的方法具有可扩展性，适用于更大的ESG数据集，同时保持可靠和精确的决策支持。7. 结论本研究引入了MVCFNS作为在复杂、多值和动态不确定环境下进行多属性群体决策的新框架。开发了MVCFNN算术运算、聚合运算符（MVCFNWA和MVCFNWG）和改进的得分函数，并将其集成到基于MVCFNS的EDAS方法中。一个使用ESG指标（2021–2023年）对十个国家进行排名的真实世界案例研究验证了该框架在提供稳健、透明和可靠的国家级决策支持方面的有效性。与单值方法相比，提出的方法保留了更丰富的信息并减少了聚合损失。通过其多值结构，它还通过更好地处理更高的不确定性和动态ESG数据优于基于Fermatean模糊的模型。总体而言，这项研究增强了模糊决策理论，并展示了MVCFNS–EDAS在不确定条件下的绿色投资组合评估中的实际应用价值。7.1. 局限性和未来工作虽然基于MVCFNS的EDAS方法取得了显著进展，但仍应认识到几个局限性。首先，该方法目前依赖于专家的语言评估来定义MVCFNNs，这可能会引入一定程度的主观性。其次，处理多值、复杂和年度ESG及社会经济数据的固有计算强度可能对实时或超大规模的国家级决策问题构成挑战。第三，尽管这项研究使用（2021–2023年）的十个国家（巴西、中国、德国、法国、英国、印度尼西亚、印度、日本、美国和南非）的真实世界数据展示了其实用性，但实证验证仍仅限于这个单一数据集，需要在更多的国家、年份或社会经济背景下进行更广泛的测试。基于这些局限性和MVCFNS框架的潜力，未来研究可以关注几个方向。这些方向包括通过数据驱动或机器学习方法自动化MVCFNN生成以减少主观性，通过优化算法或并行处理提高大规模或长期数据集的计算效率，以及使用更广泛、多样化的数据集和指标进行更广泛的实证验证。此外，探索与其他MCDM方法的集成以及开发专门的软件工具可以进一步增强可持续发展和社会经济绩效的国家级评估的实际采用和可扩展性。CRediT作者贡献声明K. Gomathi：写作 – 审稿与编辑，编写 – 原稿，验证，方法论，概念化。G. Deepa：可视化，验证，监督，概念化。关于写作过程中生成式AI和AI辅助技术的声明在准备这项工作时，作者使用了Grammarly来改进语言。使用该工具/服务后，作者根据需要审阅和编辑了内容，并对出版内容负全责。资金声明这项研究工作得到了印度泰米尔纳德邦Vellore Institute of Technology的支持和资助。