一种用于一类奇异扰动抛物型问题的有限差分移动网格方法

《Journal of Computational Science》：A finite difference moving mesh method for a class of singularly perturbed parabolic problems

　　严占阳|杨继明
中南林业科技大学计算机科学与数学学院，湖南，中国

**摘要**
奇异摄动问题本质上是多尺度的，当小参数趋近于零时，通常会表现出边界层或快速变化。这些问题常见于流体动力学、反应-扩散系统、热传递等相关领域。传统的在均匀网格上的数值方法常常无法解决陡峭的梯度问题，从而导致较大的误差甚至数值不稳定。为了解决这些挑战，我们开发了一种针对受Dirichlet、Neumann和Robin边界条件约束的奇异摄动抛物型偏微分方程的完全离散化公式。时间上采用后向Euler方法，空间上采用上风有限差分格式进行离散化。为了有效求解离散系统，提出了一种自适应移动网格方法。建立了严格的稳定性和?-一致误差估计。数值实验表明，与传统的层适应网格（如Shishkin网格和Bakhvalov网格）相比，所提出的自适应移动网格方法在不预先知道层结构的情况下能够实现更高的精度和效率。总体而言，该方法在有效解决时变奇异摄动抛物问题方面展现出强大的鲁棒性和实际潜力。

**引言**
奇异摄动问题[1]是指涉及极小参数（通常用?表示，0
传统的在均匀网格上处理奇异摄动问题的数值方法常常会引起数值振荡。近年来，研究人员提出了多种在非均匀网格上的数值方法来解决奇异摄动问题，例如shishkin网格、bakhvalov网格和自适应移动网格方法[2]、[3]、[4]。然而，shishkin网格和bakhvalov网格都存在一定的局限性，它们通常需要事先知道边界层位置或关于精确解的详细信息才能得到满意的结果。相比之下，自适应移动网格方法对解特征的需求较少，因此适用范围更广。

在过去的几十年中，针对奇异摄动问题的数值方法引起了相当大的关注。对于椭圆型奇异摄动问题，已经研究了强大的自适应和层适应方法。kopteva和stynes[5]开发了一种用于准线性一维对流-扩散问题的强大自适应方法，而chen[6]提出了在适应网格上的有限差分格式的均匀收敛性分析。此外，还提出了在shishkin网格上处理奇异摄动volterra积分-微分方程[7]和具有积分边界条件的非线性一阶问题的参数一致数值方法[8]。此外，还分析了在bakhvalov型网格上的有限元方法[9]、[10]，以及在[11]、[12]中研究了局部不连续galerkin方法用于奇异摄动问题。在[13]中研究了用于偏微分方程的移动网格有限元方法。

近年来，越来越多的研究致力于奇异摄动抛物问题。kumar等人[14]提出了用于二维非稳态奇异摄动问题的adi型算子分裂弱galerkin有限元方法。对于对流-扩散方程，singh等人[15]在bakhvalov型层适应网格上开发了一种高阶数值方法，在预先知道层结构时能够实现最优收敛。在[16]中进一步分析了在非均匀网格上的鲁棒弱galerkin有限元方法，用于两参数奇异摄动抛物问题，并在[17]中为一般多边形网格上的半线性对流主导的奇异摄动方程建立了严格的收敛性结果。尽管取得了这些进展，大多数现有方法要么依赖于关于边界层或内部层位置的先验信息，要么是在有限元框架内制定的，要么采用固定的网格拓扑。相比之下，关于结合有限差分格式的自适应移动网格方法的研究相对较少。

经典的层适应网格技术（如shishkin网格和bakhvalov网格）通过根据关于边界层结构的显式分析信息来构建网格，从而实现参数一致收敛。尽管这些方法在数学上是严谨且高效的，但它们的性能严重依赖于对层宽度和位置的准确先验估计。在适应网格上的有限元方法在更高维度设置中提供了更大的几何灵活性。然而，大多数现有工作是在变分框架内制定的，并依赖于固定的网格拓扑或预定义的网格分级策略。抛物问题中的时间演化和空间层动态之间的交互通常是通过细化静态网格来处理的，而不是动态重新分配网格点。相比之下，本研究采用基于等分布原理和mmpde公式的移动网格策略。网格根据解的特征动态演化，允许在梯度陡峭的区域自动集中网格点，而无需预先知道层结构。此外，与许多在半离散设置中开发的自适应方法不同，所提出的方法是在完全离散的层面上制定的，并附带稳定性和?-一致收敛性分析。这种动态网格移动、有限差分离散化和严格理论论证的结合使本研究方法区别于文献中的现有层适应和自适应方法。

尽管自适应和移动网格技术已经广泛用于奇异摄动问题，但大多数现有工作集中在常微分方程、椭圆方程或稳态对流-扩散模型上，其中层结构是静态的或仅依赖于空间变量。相比之下，对于时变奇异摄动抛物问题的关注相对较少，在这些问题中，边界层可能会演化、移动或与时态动态相互作用。本文的主要创新之处在于将自适应移动网格方法扩展到有限差分框架内的时变奇异摄动抛物方程类。通过将网格适应与解的时间演化相结合，所提出的方法能够在不需要预先知道它们的位置或宽度的情况下捕捉动态发展的层。这使本研究方法区别于传统的层适应网格技术，后者通常是针对静止问题设计的，并依赖于问题相关的网格构建。

此外，与许多在连续或半离散设置中制定的自适应策略不同，本文提供了一种完全离散的方案以及相应的稳定性和误差分析，用于抛物奇异摄动问题。数值实验进一步证明，所提出的自适应移动网格方法能够有效解决时变边界层，并且对摄动参数具有鲁棒性。

基于上述研究背景，本文研究了结合上风有限差分格式的自适应移动网格方法，用于处理奇异摄动问题，重点关注以下问题：
由于奇异摄动问题的多尺度性质和边界层的存在，它们带来了重大的数值挑战。现有的移动网格技术主要是为常微分方程（odes）开发的。将这些方法扩展到偏微分方程（pdes）引入了新的理论和实践困难，特别是在建立适用于pdes的严格框架方面。此外，动态演化的网格可能会发生变形，除非采用精心设计的离散化策略，否则可能会影响数值稳定性。这些问题激发了专门为pdes开发自适应移动网格方法的动机，特别是在奇异摄动问题的背景下强调稳定性和准确性。

**主要贡献如下：**
(1) 从odes到pdes的自适应网格方法的理论扩展，为奇异摄动抛物方程中的移动网格技术提供了严格的框架，为开发可靠的数值算法奠定了理论基础。
(2) 通过结合空间自适应移动网格和均匀时间离散化，提出了一种稳定的有限差分离散化方案。该设计解决了动态演化网格带来的稳定性挑战，同时确保了计算效率和数值精度。
(3) 所提出的方法为奇异摄动问题的数值处理提供了新的见解。通过有效捕捉尖锐的边界层和快速变化的区域，自适应移动网格方案显著提高了精度和效率。这些结果突显了该方法在流体动力学和化学工程等科学和工程应用中的潜力。

本文的组织结构如下：第2节介绍问题描述，第3节提供自适应移动网格方法，第5节展示数值实验，最后一部分得出结论。

**控制方程和物理解释**
为了简化分析，我们考虑以下具有dirichlet边界条件的奇异摄动抛物型偏微分方程：
$$
\frac{\partial u}{\partial t} - \epsilon \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + p(x) \frac{\partial u}{\partial x} + q(x) u = f(x,t),
(x,t) \in \omega := [a,b] \times [c,d],
u(a,t) = \phi(t), \quad u(b,t) = \psi(t), \quad t \in [c,d],
u(x,c) = \rho(x), \quad x \in [a,b],
$$
其中 $0 < \epsilon \ll 1$ 是一个小的摄动参数。假设系数和数据满足 $p, q \in c([a,b]), f \in c^1(\omega^{}), \phi, \psi \in c^1([c,d]), \rho \in c^2([a,b])$，或在弱解空间中所需的相应规则性。

**自适应移动网格方法**
为了克服传统方法的这一限制，现代数值分析引入了基于事后信息的自适应移动网格方法。这些方法迭代监控解的行为（大梯度或曲率），并在解快速变化的区域自动细化网格。这种方法避免了预先调整参数的需求，显著提高了奇异摄动问题求解的自动化和效率。

**具有dirichlet边界条件的问题**
在本章中，我们考虑以下奇异摄动抛物问题作为统一测试模型：
$$
\frac{\partial u}{\partial t} - \epsilon \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + p(x) \frac{\partial u}{\partial x} + q(x) u = f(x,t),
0 < x < 1, \quad 0 < t \leq 1,
u(x,0) = 1 - e^{-x/\epsilon}, \quad 0 \leq x \leq 1,
u(0,t) = 0, \quad u(1,t) = 1 - e^{-1/\epsilon \cos(\pi t)}, \quad 0 < t \leq 1.
$$
为了研究不同系数函数 $p(x)$ 和 $q(x)$ 对数值方法行为的影响，我们考虑了两个测试案例：
**案例i：具有恒定反应项的线性对流。** \(p(x) = 1 + x, \quad q(x) = 1, \quad f(x,t) = -\epsilon \pi(1 - e^{-x/\epsilon} \sin(\pi t) + 1 + 1 + x \epsilon e^{-x/\epsilon} \cos(\pi t) + (1 - e^{-x/\epsilon} \cos(\pi t)).\)

**所提方案的推广**
在前一节中，所提出的有限差分移动网格方法已针对受dirichlet边界条件的问题进行了验证。然而，在流体动力学、热传递和扩散-反应过程中遇到的许多应用中，经常遇到neumann和robin边界条件。因此，研究当前移动网格框架是否可以自然扩展到这些边界配置在理论和实践上都有重要意义。

**理论贡献**
本文提出的自适应移动网格方法在解决奇异摄动问题方面具有重要的理论价值。
一方面，它克服了传统固定网格策略的局限性，这些策略严重依赖于对边界层位置的精确先验知识。这导致了一种更通用和自动化的算法。另一方面，通过适当设计监控函数和采用迭代网格更新方案，该方法有效地控制了...

**作者贡献声明**
严占阳：撰写 - 原稿，软件；
杨继明：撰写 - 审阅与编辑，监督，方法论。

**支持信息**
本工作得到了湖南省自然科学基金（项目编号2026jj50108）、长沙市自然科学基金（项目编号kq2402246）以及国家环境保护重金属污染物监测重点实验室开放资金（项目编号sklmhm202320）的支持。

**利益冲突声明**
不存在利益冲突。我们希望确认与本出版物无关的已知利益冲突，且没有对该工作产生重大财务影响的支持。 传统的在均匀网格上处理奇异摄动问题的数值方法常常会引起数值振荡。近年来，研究人员提出了多种在非均匀网格上的数值方法来解决奇异摄动问题，例如shishkin网格、bakhvalov网格和自适应移动网格方法[2]、[3]、[4]。然而，shishkin网格和bakhvalov网格都存在一定的局限性，它们通常需要事先知道边界层位置或关于精确解的详细信息才能得到满意的结果。相比之下，自适应移动网格方法对解特征的需求较少，因此适用范围更广。 在过去的几十年中，针对奇异摄动问题的数值方法引起了相当大的关注。对于椭圆型奇异摄动问题，已经研究了强大的自适应和层适应方法。kopteva和stynes[5]开发了一种用于准线性一维对流-扩散问题的强大自适应方法，而chen[6]提出了在适应网格上的有限差分格式的均匀收敛性分析。此外，还提出了在shishkin网格上处理奇异摄动volterra积分-微分方程[7]和具有积分边界条件的非线性一阶问题的参数一致数值方法[8]。此外，还分析了在bakhvalov型网格上的有限元方法[9]、[10]，以及在[11]、[12]中研究了局部不连续galerkin方法用于奇异摄动问题。在[13]中研究了用于偏微分方程的移动网格有限元方法。 近年来，越来越多的研究致力于奇异摄动抛物问题。kumar等人[14]提出了用于二维非稳态奇异摄动问题的adi型算子分裂弱galerkin有限元方法。对于对流-扩散方程，singh等人[15]在bakhvalov型层适应网格上开发了一种高阶数值方法，在预先知道层结构时能够实现最优收敛。在[16]中进一步分析了在非均匀网格上的鲁棒弱galerkin有限元方法，用于两参数奇异摄动抛物问题，并在[17]中为一般多边形网格上的半线性对流主导的奇异摄动方程建立了严格的收敛性结果。尽管取得了这些进展，大多数现有方法要么依赖于关于边界层或内部层位置的先验信息，要么是在有限元框架内制定的，要么采用固定的网格拓扑。相比之下，关于结合有限差分格式的自适应移动网格方法的研究相对较少。 经典的层适应网格技术（如shishkin网格和bakhvalov网格）通过根据关于边界层结构的显式分析信息来构建网格，从而实现参数一致收敛。尽管这些方法在数学上是严谨且高效的，但它们的性能严重依赖于对层宽度和位置的准确先验估计。在适应网格上的有限元方法在更高维度设置中提供了更大的几何灵活性。然而，大多数现有工作是在变分框架内制定的，并依赖于固定的网格拓扑或预定义的网格分级策略。抛物问题中的时间演化和空间层动态之间的交互通常是通过细化静态网格来处理的，而不是动态重新分配网格点。相比之下，本研究采用基于等分布原理和mmpde公式的移动网格策略。网格根据解的特征动态演化，允许在梯度陡峭的区域自动集中网格点，而无需预先知道层结构。此外，与许多在半离散设置中开发的自适应方法不同，所提出的方法是在完全离散的层面上制定的，并附带稳定性和?-一致收敛性分析。这种动态网格移动、有限差分离散化和严格理论论证的结合使本研究方法区别于文献中的现有层适应和自适应方法。 尽管自适应和移动网格技术已经广泛用于奇异摄动问题，但大多数现有工作集中在常微分方程、椭圆方程或稳态对流-扩散模型上，其中层结构是静态的或仅依赖于空间变量。相比之下，对于时变奇异摄动抛物问题的关注相对较少，在这些问题中，边界层可能会演化、移动或与时态动态相互作用。本文的主要创新之处在于将自适应移动网格方法扩展到有限差分框架内的时变奇异摄动抛物方程类。通过将网格适应与解的时间演化相结合，所提出的方法能够在不需要预先知道它们的位置或宽度的情况下捕捉动态发展的层。这使本研究方法区别于传统的层适应网格技术，后者通常是针对静止问题设计的，并依赖于问题相关的网格构建。 此外，与许多在连续或半离散设置中制定的自适应策略不同，本文提供了一种完全离散的方案以及相应的稳定性和误差分析，用于抛物奇异摄动问题。数值实验进一步证明，所提出的自适应移动网格方法能够有效解决时变边界层，并且对摄动参数具有鲁棒性。 基于上述研究背景，本文研究了结合上风有限差分格式的自适应移动网格方法，用于处理奇异摄动问题，重点关注以下问题： 由于奇异摄动问题的多尺度性质和边界层的存在，它们带来了重大的数值挑战。现有的移动网格技术主要是为常微分方程（odes）开发的。将这些方法扩展到偏微分方程（pdes）引入了新的理论和实践困难，特别是在建立适用于pdes的严格框架方面。此外，动态演化的网格可能会发生变形，除非采用精心设计的离散化策略，否则可能会影响数值稳定性。这些问题激发了专门为pdes开发自适应移动网格方法的动机，特别是在奇异摄动问题的背景下强调稳定性和准确性。 **主要贡献如下：** (1) 从odes到pdes的自适应网格方法的理论扩展，为奇异摄动抛物方程中的移动网格技术提供了严格的框架，为开发可靠的数值算法奠定了理论基础。 (2) 通过结合空间自适应移动网格和均匀时间离散化，提出了一种稳定的有限差分离散化方案。该设计解决了动态演化网格带来的稳定性挑战，同时确保了计算效率和数值精度。 (3) 所提出的方法为奇异摄动问题的数值处理提供了新的见解。通过有效捕捉尖锐的边界层和快速变化的区域，自适应移动网格方案显著提高了精度和效率。这些结果突显了该方法在流体动力学和化学工程等科学和工程应用中的潜力。 本文的组织结构如下：第2节介绍问题描述，第3节提供自适应移动网格方法，第5节展示数值实验，最后一部分得出结论。 **控制方程和物理解释** 为了简化分析，我们考虑以下具有dirichlet边界条件的奇异摄动抛物型偏微分方程： $$ \frac{\partial u}{\partial t} - \epsilon \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + p(x) \frac{\partial u}{\partial x} + q(x) u=f(x,t), (x,t) \in \omega :=[a,b] \times [c,d], u(a,t)=\phi(t), \quad u(b,t)=\psi(t), \quad t \in [c,d], u(x,c)=\rho(x), \quad x \in [a,b], $$ 其中 $0 < \epsilon \ll 1$ 是一个小的摄动参数。假设系数和数据满足 $p, q \in c([a,b]), f \in c^1(\omega^{}), \phi, \psi \in c^1([c,d]), \rho \in c^2([a,b])$，或在弱解空间中所需的相应规则性。 **自适应移动网格方法** 为了克服传统方法的这一限制，现代数值分析引入了基于事后信息的自适应移动网格方法。这些方法迭代监控解的行为（大梯度或曲率），并在解快速变化的区域自动细化网格。这种方法避免了预先调整参数的需求，显著提高了奇异摄动问题求解的自动化和效率。 **具有dirichlet边界条件的问题** 在本章中，我们考虑以下奇异摄动抛物问题作为统一测试模型： $$ \frac{\partial u}{\partial t} - \epsilon \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + p(x) \frac{\partial u}{\partial x} + q(x) u=f(x,t), 0 < x < 1, \quad 0 < t \leq 1, u(x,0)=1 - e^{-x \epsilon}, \quad 0 \leq x \leq 1, u(0,t)=0, \quad u(1,t)=1 - e^{-1 \epsilon \cos(\pi t)}, \quad 0 < t \leq 1. $$ 为了研究不同系数函数 $p(x)$ 和 $q(x)$ 对数值方法行为的影响，我们考虑了两个测试案例： **案例i：具有恒定反应项的线性对流。** \(p(x)=1 + x, \quad q(x)=1, \quad f(x,t)=-\epsilon \pi(1 - e^{-x \epsilon} \sin(\pi t) + 1 + 1 + x \epsilon e^{-x \epsilon} \cos(\pi t) + (1 - e^{-x \epsilon} \cos(\pi t)).\) **所提方案的推广** 在前一节中，所提出的有限差分移动网格方法已针对受dirichlet边界条件的问题进行了验证。然而，在流体动力学、热传递和扩散-反应过程中遇到的许多应用中，经常遇到neumann和robin边界条件。因此，研究当前移动网格框架是否可以自然扩展到这些边界配置在理论和实践上都有重要意义。 **理论贡献** 本文提出的自适应移动网格方法在解决奇异摄动问题方面具有重要的理论价值。 一方面，它克服了传统固定网格策略的局限性，这些策略严重依赖于对边界层位置的精确先验知识。这导致了一种更通用和自动化的算法。另一方面，通过适当设计监控函数和采用迭代网格更新方案，该方法有效地控制了... **作者贡献声明** 严占阳：撰写 - 原稿，软件； 杨继明：撰写 - 审阅与编辑，监督，方法论。 **支持信息** 本工作得到了湖南省自然科学基金（项目编号2026jj50108）、长沙市自然科学基金（项目编号kq2402246）以及国家环境保护重金属污染物监测重点实验室开放资金（项目编号sklmhm202320）的支持。 **利益冲突声明**>
传统的在均匀网格上处理奇异摄动问题的数值方法常常会引起数值振荡。近年来，研究人员提出了多种在非均匀网格上的数值方法来解决奇异摄动问题，例如shishkin网格、bakhvalov网格和自适应移动网格方法[2]、[3]、[4]。然而，shishkin网格和bakhvalov网格都存在一定的局限性，它们通常需要事先知道边界层位置或关于精确解的详细信息才能得到满意的结果。相比之下，自适应移动网格方法对解特征的需求较少，因此适用范围更广。

在过去的几十年中，针对奇异摄动问题的数值方法引起了相当大的关注。对于椭圆型奇异摄动问题，已经研究了强大的自适应和层适应方法。kopteva和stynes[5]开发了一种用于准线性一维对流-扩散问题的强大自适应方法，而chen[6]提出了在适应网格上的有限差分格式的均匀收敛性分析。此外，还提出了在shishkin网格上处理奇异摄动volterra积分-微分方程[7]和具有积分边界条件的非线性一阶问题的参数一致数值方法[8]。此外，还分析了在bakhvalov型网格上的有限元方法[9]、[10]，以及在[11]、[12]中研究了局部不连续galerkin方法用于奇异摄动问题。在[13]中研究了用于偏微分方程的移动网格有限元方法。

近年来，越来越多的研究致力于奇异摄动抛物问题。kumar等人[14]提出了用于二维非稳态奇异摄动问题的adi型算子分裂弱galerkin有限元方法。对于对流-扩散方程，singh等人[15]在bakhvalov型层适应网格上开发了一种高阶数值方法，在预先知道层结构时能够实现最优收敛。在[16]中进一步分析了在非均匀网格上的鲁棒弱galerkin有限元方法，用于两参数奇异摄动抛物问题，并在[17]中为一般多边形网格上的半线性对流主导的奇异摄动方程建立了严格的收敛性结果。尽管取得了这些进展，大多数现有方法要么依赖于关于边界层或内部层位置的先验信息，要么是在有限元框架内制定的，要么采用固定的网格拓扑。相比之下，关于结合有限差分格式的自适应移动网格方法的研究相对较少。

经典的层适应网格技术（如shishkin网格和bakhvalov网格）通过根据关于边界层结构的显式分析信息来构建网格，从而实现参数一致收敛。尽管这些方法在数学上是严谨且高效的，但它们的性能严重依赖于对层宽度和位置的准确先验估计。在适应网格上的有限元方法在更高维度设置中提供了更大的几何灵活性。然而，大多数现有工作是在变分框架内制定的，并依赖于固定的网格拓扑或预定义的网格分级策略。抛物问题中的时间演化和空间层动态之间的交互通常是通过细化静态网格来处理的，而不是动态重新分配网格点。相比之下，本研究采用基于等分布原理和mmpde公式的移动网格策略。网格根据解的特征动态演化，允许在梯度陡峭的区域自动集中网格点，而无需预先知道层结构。此外，与许多在半离散设置中开发的自适应方法不同，所提出的方法是在完全离散的层面上制定的，并附带稳定性和?-一致收敛性分析。这种动态网格移动、有限差分离散化和严格理论论证的结合使本研究方法区别于文献中的现有层适应和自适应方法。

尽管自适应和移动网格技术已经广泛用于奇异摄动问题，但大多数现有工作集中在常微分方程、椭圆方程或稳态对流-扩散模型上，其中层结构是静态的或仅依赖于空间变量。相比之下，对于时变奇异摄动抛物问题的关注相对较少，在这些问题中，边界层可能会演化、移动或与时态动态相互作用。本文的主要创新之处在于将自适应移动网格方法扩展到有限差分框架内的时变奇异摄动抛物方程类。通过将网格适应与解的时间演化相结合，所提出的方法能够在不需要预先知道它们的位置或宽度的情况下捕捉动态发展的层。这使本研究方法区别于传统的层适应网格技术，后者通常是针对静止问题设计的，并依赖于问题相关的网格构建。

此外，与许多在连续或半离散设置中制定的自适应策略不同，本文提供了一种完全离散的方案以及相应的稳定性和误差分析，用于抛物奇异摄动问题。数值实验进一步证明，所提出的自适应移动网格方法能够有效解决时变边界层，并且对摄动参数具有鲁棒性。

基于上述研究背景，本文研究了结合上风有限差分格式的自适应移动网格方法，用于处理奇异摄动问题，重点关注以下问题：
由于奇异摄动问题的多尺度性质和边界层的存在，它们带来了重大的数值挑战。现有的移动网格技术主要是为常微分方程（odes）开发的。将这些方法扩展到偏微分方程（pdes）引入了新的理论和实践困难，特别是在建立适用于pdes的严格框架方面。此外，动态演化的网格可能会发生变形，除非采用精心设计的离散化策略，否则可能会影响数值稳定性。这些问题激发了专门为pdes开发自适应移动网格方法的动机，特别是在奇异摄动问题的背景下强调稳定性和准确性。

**主要贡献如下：**
(1) 从odes到pdes的自适应网格方法的理论扩展，为奇异摄动抛物方程中的移动网格技术提供了严格的框架，为开发可靠的数值算法奠定了理论基础。
(2) 通过结合空间自适应移动网格和均匀时间离散化，提出了一种稳定的有限差分离散化方案。该设计解决了动态演化网格带来的稳定性挑战，同时确保了计算效率和数值精度。
(3) 所提出的方法为奇异摄动问题的数值处理提供了新的见解。通过有效捕捉尖锐的边界层和快速变化的区域，自适应移动网格方案显著提高了精度和效率。这些结果突显了该方法在流体动力学和化学工程等科学和工程应用中的潜力。

本文的组织结构如下：第2节介绍问题描述，第3节提供自适应移动网格方法，第5节展示数值实验，最后一部分得出结论。

**控制方程和物理解释**
为了简化分析，我们考虑以下具有dirichlet边界条件的奇异摄动抛物型偏微分方程：
$$
\frac{\partial u}{\partial t} - \epsilon \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + p(x) \frac{\partial u}{\partial x} + q(x) u = f(x,t),
(x,t) \in \omega := [a,b] \times [c,d],
u(a,t) = \phi(t), \quad u(b,t) = \psi(t), \quad t \in [c,d],
u(x,c) = \rho(x), \quad x \in [a,b],
$$
其中 $0 < \epsilon \ll 1$ 是一个小的摄动参数。假设系数和数据满足 $p, q \in c([a,b]), f \in c^1(\omega^{}), \phi, \psi \in c^1([c,d]), \rho \in c^2([a,b])$，或在弱解空间中所需的相应规则性。

**自适应移动网格方法**
为了克服传统方法的这一限制，现代数值分析引入了基于事后信息的自适应移动网格方法。这些方法迭代监控解的行为（大梯度或曲率），并在解快速变化的区域自动细化网格。这种方法避免了预先调整参数的需求，显著提高了奇异摄动问题求解的自动化和效率。

**具有dirichlet边界条件的问题**
在本章中，我们考虑以下奇异摄动抛物问题作为统一测试模型：
$$
\frac{\partial u}{\partial t} - \epsilon \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + p(x) \frac{\partial u}{\partial x} + q(x) u = f(x,t),
0 < x < 1, \quad 0 < t \leq 1,
u(x,0) = 1 - e^{-x/\epsilon}, \quad 0 \leq x \leq 1,
u(0,t) = 0, \quad u(1,t) = 1 - e^{-1/\epsilon \cos(\pi t)}, \quad 0 < t \leq 1.
$$
为了研究不同系数函数 $p(x)$ 和 $q(x)$ 对数值方法行为的影响，我们考虑了两个测试案例：
**案例i：具有恒定反应项的线性对流。** \(p(x) = 1 + x, \quad q(x) = 1, \quad f(x,t) = -\epsilon \pi(1 - e^{-x/\epsilon} \sin(\pi t) + 1 + 1 + x \epsilon e^{-x/\epsilon} \cos(\pi t) + (1 - e^{-x/\epsilon} \cos(\pi t)).\)

**所提方案的推广**
在前一节中，所提出的有限差分移动网格方法已针对受dirichlet边界条件的问题进行了验证。然而，在流体动力学、热传递和扩散-反应过程中遇到的许多应用中，经常遇到neumann和robin边界条件。因此，研究当前移动网格框架是否可以自然扩展到这些边界配置在理论和实践上都有重要意义。

**理论贡献**
本文提出的自适应移动网格方法在解决奇异摄动问题方面具有重要的理论价值。
一方面，它克服了传统固定网格策略的局限性，这些策略严重依赖于对边界层位置的精确先验知识。这导致了一种更通用和自动化的算法。另一方面，通过适当设计监控函数和采用迭代网格更新方案，该方法有效地控制了...

**作者贡献声明**
严占阳：撰写 - 原稿，软件；
杨继明：撰写 - 审阅与编辑，监督，方法论。

**支持信息**
本工作得到了湖南省自然科学基金（项目编号2026jj50108）、长沙市自然科学基金（项目编号kq2402246）以及国家环境保护重金属污染物监测重点实验室开放资金（项目编号sklmhm202320）的支持。

**利益冲突声明**
不存在利益冲突。我们希望确认与本出版物无关的已知利益冲突，且没有对该工作产生重大财务影响的支持。>