一种用于同步离散时间三维混沌系统的水库计算方法 Vismaya V. S, Swetha P, Jubin K. Babu, Diya Gijo, Varada M. T, Adithya K. K, Ekaterina Kopets, Sishu Shankar Muni

《Big Data and Cognitive Computing》：A Reservoir Computing Approach for Synchronizing Discrete-Time 3D Chaotic Systems Vismaya V. S, Swetha P, Jubin K. Babu, Diya Gijo, Varada M. T, Adithya K. K, Ekaterina Kopets and Sishu Shankar Muni

　　摘要：水库计算（Reservoir Computing，RC）是一种高效的框架，用于处理时间序列数据。本研究探讨了两个独立训练的水库计算机之间的同步问题。这些计算机在训练完成后，无需混沌系统的外部输入即可运行，并仅通过对称线性耦合进行交互。这种方法填补了现有基于水库计算的同步研究中的空白，因为现有的研究主要依赖于主从架构或系统驱动的配置。在这项工作中，我们首先基于3D非线性混沌映射和超混沌系统构建并训练了两个水库计算模型，然后引入了它们之间的对称线性耦合机制。研究表明，水库计算能够准确再现混沌系统的短期动态，并提供了关于学习到的动态模型之间相互作用的见解，同时也有助于我们理解复杂系统如何连接和集体运行。我们使用这种系统方法来建立一个框架，以了解两个训练有素的水库计算机在不同耦合强度下的交互情况，从而能够详细研究它们的同步行为。为了证明所提出框架对多种动态行为的适用性，我们系统地研究了三个离散的混沌和超混沌系统：（1）带有离散Lorenz吸引子的3D正弦映射，（2）带有相连Lorenz孪生吸引子的3D正弦映射，以及（3）3D二次超混沌映射。为了评估性能，我们训练了耦合的水库计算机，并计算了不同耦合强度下的同步误差。我们还展示了吸引子和水库计算机的相位图和时间序列图，以及耦合强度函数的同步误差，从而证明了在离散的三维混沌和超混沌系统上独立训练的两个线性耦合的水库计算机之间的同步可能性。

1. 引言
水库计算（RC）作为一种高效且稳健的框架，已被用于模拟复杂的时序动态[1]，尤其是在非线性和混沌系统中[2,3]。通过使用固定高维动态系统（水库）并仅训练线性读出层，RC为传统的循环神经网络提供了一个计算效率更高的替代方案[4]。这种简单性，加上其捕捉非线性时间依赖性的能力，使得RC非常适合于混沌动态系统的实时预测和分析[5,6,7]。近年来，RC在预测混沌时间序列[8]、重建吸引子[9]以及建模复杂动态行为[10]方面表现出了强大的性能，而无需明确知道控制方程[11,12,13]。由于回声状态属性（Echo State Property，ESP），由外部输入驱动的水库可以与底层系统动态同步，从而实现准确的短期预测和状态重建。这导致了其在物理学[14]、工程学[15]以及非线性系统的数据驱动建模[16]中的广泛应用。

越来越多的研究探索了水库计算框架中的同步问题。早期的研究主要集中在外部驱动的同步[17]，其中水库持续从原始系统接收输入信号。后续的工作将这一概念扩展到主从配置，其中一个从水库通过单向耦合与驱动系统同步[18,19]。更近期的研究考虑了多个水库之间的耦合[20]。然而，这些方法依赖于外部输入或层次化的驱动机制[21]。这些方法的一个共同局限性是它们依赖于外部信号或预定义的层次结构来强制同步。在许多实际场景中，多个在相似数据上训练的智能单元必须能够在没有连续外部输入或集中协调的情况下运行。分布式感知、去中心化控制、安全通信[22]等都需要在没有连续访问外部信号的情况下实现同步。在这种情况下，同步必须源于系统内部的相互作用，而不是外部强迫。因此，了解学习到的动态模型是否能够通过简单的交互规则彼此同步仍然是一个重要的未解问题[23]。特别是，目前尚不清楚两个各自能够再现混沌系统动态的独立训练的水库是否能够仅通过相互交互来实现同步。

从动态系统的角度来看，这个问题与一个更广泛的问题密切相关，即学习到的模型是否能够表现出类似于耦合物理系统的集体行为[24]。在经典的同步理论中，系统之间的交互通常通过扩散或线性耦合来建模，这可以在保持个体系统动态的同时实现信息交换[25]。将这一概念扩展到水库计算中，引发了关于学习到的表示和耦合机制之间相互作用的重要问题。特别是，有必要研究在这些系统中观察到的同步是否反映了内在动态的真实对齐，而不是训练或数值近似的产物。

在这项工作中，我们提出了一种使用对称线性耦合来同步两个独立训练且完全自主的水库计算机的框架[23]。在训练了混沌时间序列数据之后，两个水库在无需进一步外部输入的情况下以闭环配置运行。系统之间的交互仅通过它们输出的凸组合来实现，从而实现无需主从层次的相互耦合。这种设置使我们能够研究同步是否可以纯粹从学习到的动态系统之间的交互中产生。与依赖于外部驱动信号或单向耦合的现有水库计算方法不同，所提出的框架能够在完全自主的环境中实现同步。这代表了从外部强制同步到由交互引起的同步的转变，其中集体行为本质上来自于耦合学习模型的动态。为了进一步阐明这种区别，表1提供了与现有方法的比较总结。水库计算已经广泛用于模拟、预测和同步混沌动态系统。早期工作确立了回声状态网络从观察到的时间序列中学习复杂动态和重建吸引子的能力。后续研究显示，水库计算机在外部驱动条件下可以与混沌系统同步，通常是在主从或驱动-响应配置中。最近的研究探讨了多个水库之间的交互；然而，这些方法通常依赖于连续的外部输入或不对称的耦合结构。与这些现有方法相比，本研究关注的是在完全自主环境中运行的两个独立训练的水库计算机之间的同步，其中交互仅通过对称线性耦合发生。这种设置消除了对外部驱动信号的依赖，并使得研究学习到的系统之间的内在集体动态成为可能，这在之前的文献中相对较少受到关注。

2. 工作流程
在水库计算中，通常会区分训练阶段和闭环阶段：在训练阶段，系统由外部输入信号驱动；在闭环阶段，训练好的模型在没有外部驱动的情况下演化。在这项工作中，我们考虑了两种训练后的模式。首先，我们研究了完全自主的模式，其中每个水库在自己的输出反馈下独立运行，没有任何耦合或外部输入。其次，我们研究了耦合自主的模式，其中水库通过对称线性机制相互耦合。在这两种情况下，动态都是完全自维持的，训练后不施加任何外部输入。这种区分使我们能够分别分析每个水库学习到的内在动态以及仅由于水库间耦合而产生的同步。

图1提供了完整的同步工作流程的概述，并作为下一节描述的方法论的视觉指南。该流程图总结了实现由离散时间混沌系统驱动的水库计算机之间同步的顺序程序。该过程从定义底层的离散时间混沌或超混沌系统开始。在这项工作中，动态是使用3D正弦映射、带有相连Lorenz孪生吸引子的3D正弦映射以及3D二次超混沌映射生成的。通过丢弃初始瞬态来获得时间序列数据，确保轨迹位于吸引子上。然后使用这些时间序列数据来训练水库计算机。

本文的组织结构如下：第2节介绍了同步水库计算机的整个过程中的关键步骤。第3节描述了耦合方案、训练程序和模拟设置。第4节展示了在不同耦合强度下的实验结果，包括同步行为。文章以对研究结果的总结和未来研究的方向作为结尾。

3. 系统架构和同步方法
3.1. 水库计算机配置
在这项工作中，我们首先使用混沌系统生成的时间序列数据构建并训练了两个水库计算模型。训练完成后，通过对称线性耦合方案将这两个模型配对，以研究它们随时间的交互和同步行为。水库计算是一种源自循环神经网络（RNNs）[29]的机器学习框架，特别适合于建模和分析时间数据。在本研究中，水库计算机使用离散时间混沌输入信号进行训练。

本研究中使用的水库计算架构包括三个主要组成部分：输入层、水库层和输出（读出）层（见图2）。输入层将混沌时间序列信号注入水库。水库层由大量稀疏连接的非线性节点组成，作为系统的动态核心，将输入转换为高维状态表示。水库的连通性是使用Erd?s–Rényi（ER）随机图模型[30]生成的，这是构建随机网络最广泛使用和研究的模型之一。最后，输出层是一个可训练的线性读出器，它将水库状态和输入信号映射到所需的系统输出。图2展示了水库计算架构的示意图。输入信号通过输入权重矩阵映射到高维水库中。水库由N个稀疏连接的节点组成，具有平均度d。水库权重矩阵的非零条目是随机分配的，并随后重新缩放以达到所需的谱半径。输入权重矩阵是从均匀分布中随机初始化的，水库状态在训练开始时初始化为零。然后使用相同的时间序列数据独立训练两个水库计算机。在训练过程中，水库状态由输入信号驱动，输出权重使用岭回归[28]计算。这种训练程序使每个水库能够学习混沌系统的底层动态，并以自主模式再现其行为。

训练完成后，水库在闭环配置中运行，它们的输出被反馈作为输入。在两个水库之间引入了对称线性耦合。耦合强度由参数控制。具体来说，每个水库的输入是其自身输出和另一个水库输出的凸组合，从而实现两个自主系统之间的交互。为了量化同步，耦合的水库在固定数量的时间步长内演化，同步误差计算为它们输出轨迹之间的平均欧几里得距离。这一过程重复进行一系列耦合强度，从而可以构建耦合强度函数的同步误差曲线。

这项分析的主要目标是确定最小化同步误差的耦合强度范围，从而表明两个水库计算机之间出现了同步动态。系统架构和同步方法在第3节中有详细描述。我们没有采用“泄漏整合”（leaky integration）方法，因为对于此处考虑的基于映射的混沌系统来说，离散时间公式已经足够进行建模。状态更新方程由公式（2）给出，其中 表示水库状态向量， 表示输入向量， 表示水库（循环）权重矩阵， 表示输入权重矩阵。水库的输出是通过线性读取水库状态和输入来计算的，公式为（3），其中 表示输出向量， 表示输出权重矩阵。水库计算机的主要参数包括网络规模 N（指水库中节点的总数）、平均度数 d（表示每个节点在水库内的平均连接数）以及谱半径（即水库权重矩阵 A 的最大绝对特征值）。我们使用了 tanh 激活函数来确保水库状态是有界且稳定的。水库权重矩阵 A 是用来自均匀分布的非零值初始化的，然后进行调整以获得所需的谱半径。输入权重矩阵也是从均匀分布中初始化的。初始水库状态是从小幅度均匀分布中随机生成的。更详细的描述见表格 2。混沌系统的时间序列数据是在固定的离散时间步长下生成的。在用作水库输入之前，每个时间序列都被标准化为均值为零、方差为单位。表 3 总结了用于三个离散时间混沌系统的具体水库参数。表格 2. 所有实验中使用的水库计算机架构和训练参数。表格 3. 用于模拟混沌系统的水库计算机参数。

3.2 训练过程和自主运行
训练过程涉及将来自三个离散混沌系统之一（离散的 3D 正弦映射、带有连接的 Lorenz 双重吸引子的 3D 正弦映射以及 3D 二次超混沌映射）的时间序列数据输入到水库网络中。这种设置能够实现精确的时间序列预测，并便于短期模拟系统的吸引子，如 [23] 中所述。在训练过程中，水库计算机被提供来自混沌系统的输入时间序列，水库的状态根据方程（2）进行更新，并在每个时间步长与相应的输入一起记录下来。设 N 为水库的规模，D 为输入系统的时间序列维度，T 为用于训练系统的时间步数。为了消除初始条件的影响，在训练期间会应用一个初始洗脱期，在此期间水库状态会被更新但不会被记录。这确保了用于训练的状态反映了水库的内在动态特性，而不是初始化的伪影。时间 t 的扩展水库状态定义为公式（4），其中 表示输入向量， 表示水库状态。随时间收集这些扩展状态得到状态矩阵（5）和相应的目标矩阵（6），其中 包含目标输出。

输出权重矩阵的岭回归解由公式（7）给出，其中 和 是非负正则化参数。正则化通过惩罚较大的权重来防止过拟合。被求逆的矩阵 的维度与训练样本数量 T 无关。

如上所述，水库计算机使用通过固定采样率提取相应混沌系统的状态变量所得到的输入信号进行训练，共进行了 10,000 次迭代。这些提取的信号作为训练数据，使水库能够学习到系统的底层动态。为了生成输入信号，我们使用了前面描述的离散时间混沌系统。表 3 总结了用于三个离散时间混沌系统的具体水库参数。水库的超参数（包括水库规模 N、谱半径和平均度数 d）是根据初步实验 empirically 为每个系统选定的，以确保水库动态的稳定性以及底层吸引子的准确重建。特别是，参数值的选取使得水库在能够可靠捕捉驱动混沌系统特性的动态范围内运行。系统参数设置的不同反映了它们内在动态特性的差异。对参数敏感性和优化的系统研究，包括这些参数对同步性能的影响，超出了本文的范围，将在未来的研究中考虑。

训练完成后，原始系统的外部输入被完全移除，两个水库计算机以自主模式运行。在这个训练后阶段，每个水库在闭环（完全自主）配置下独立演化一段时间步长。这种自主运行在引入耦合之前提供了一个一致的基线状态。

3.3 耦合机制设计
在训练阶段完成后，两个水库计算机作为自主动态系统运行。然后我们引入线性耦合机制以实现它们之间的交互。选择线性耦合是因为它代表了动态系统中最简单和最基本的交互形式之一。在实际场景中，它自然出现于信号通过加权平均或叠加结合的情况下，例如在通信系统、分布式传感器网络和网络控制系统中。此外，线性（扩散）耦合在耦合振子和非线性动力学的背景下已经被广泛研究，它作为信息交换的基本机制，导致同步。其简单性和分析可行性使其特别适合研究集体行为。在本研究中，使用线性耦合使我们能够系统地研究同步是否可以纯粹来自独立训练的水库计算机之间的交互，而无需引入额外的非线性复杂性。文献 [23] 中也报道了连续系统的类似耦合方法。这使得它成为研究学习到的水库之间的同步特性的合适选择，同时保持水库内的动力学特性。两个水库计算机之间的耦合机制是线性和对称的，由公式（8）和（9）给出，其中 和 分别表示水库计算机 1 和 2 的输入信号， 和 是它们相应的输出。参数 表示耦合强度。如果 值非常小（即接近零），那么水库计算机之间的交互最小，因此几乎不会发生同步。当 达到中间值时，相互交互变得强烈，从而导致同步。当耦合强度 接近 1 时，耦合变得实际上是单向的，即每个水库主要由另一个系统的输出驱动。因此，下一个时间步长的输入是两个水库当前输出的加权组合。在本文中，耦合强度在区间 [0, 1] 内以 100 个均匀间隔的步骤变化，并分析了两个水库计算机之间的同步情况。

当在高度不可预测的混沌信号上进行训练时，水库计算机能够有效地近似底层系统的动态，直到一定的精度。水库计算机生成的相位图与原始系统的相位图非常吻合。这一点也通过文献 [23] 中的功率谱和 Poincaré 回归图得到了验证。如前所述，训练后，水库计算机自主运行。现在我们研究两个水库计算机在相互交互下的集体行为，并分析它们在耦合在一起时是否能够实现同步。在这种情况下，同步指的是两个水库计算机动态状态随时间的一致性，即 ，其中 和 分别表示它们在时间 t 的输出向量。

3.4 同步误差计算
为了定量评估两个水库计算机之间的同步程度，我们使用了方程（1）中定义的同步误差指标。这个指标量化了两个系统的输出随时间对齐的紧密程度。通过这种系统方法，我们建立了一个框架，用于研究在不同耦合强度下两个训练有素的水库计算机如何交互，从而详细研究它们的同步行为。为了应对水库和输入权重的随机初始化对水库计算性能的敏感性，所有同步实验都在多次独立试验中重复进行。具体来说，对于每个耦合强度，我们进行了 10 次独立试验，每次试验使用不同的随机输入权重初始化，同时保持水库拓扑结构不变，遵循算法 1 中概述的程序和表格 4 中给出的描述。然后将同步误差在试验中平均，并计算相应的标准差。因此，所有报告的同步曲线代表平均同步误差。这个程序通过确认观察到的同步行为不是由于特定的随机初始化而产生的，从而确保了结果的统计稳健性。

表 4. 提出的水库计算框架和算法 1 中使用的符号和变量的定义。它包括与网络结构、训练、耦合和同步评估相关的参数。

4. 结果
在本节中，我们展示了在本研究中训练的三个离散时间混沌系统的水库计算机的同步分析结果。同步性能主要通过平均同步误差（）作为耦合强度（）的函数来量化。对于每个系统，分析了同步误差与耦合强度的曲线，以确定最佳耦合制度。本研究的所有系统都表现出同步误差对耦合强度的定性相似的 U 形依赖性。然而，不同系统之间的同步性能存在差异。这些差异似乎受到底层映射的内在动态特性的影响。特别是，具有多个正利潘诺夫指数的系统（如超混沌映射）对耦合强度的敏感性更高，同步准确性降低。这些观察结果表明，耦合水库计算机中的同步受到学习到的动态系统的复杂性和稳定性的影响。此外，还展示了水库输出的相位图和时间序列图，以进一步了解同步行为。相位图表明，水库输出位于与底层混沌系统相同的吸引子上，轨迹在重构的相空间中显示出一致性。这表明训练有素的水库能够捕捉到渐近动态，并可以被视为自主动态系统。

4.1 带有离散 Lorenz 吸引子的离散 3D 正弦映射
在这项工作中，我们使用了一个由方程（10）定义的离散时间三维非线性系统。参数固定为、、，对于这些参数，离散 3D 正弦映射表现出混沌行为 [31]。该系统由于其非线性项和对初始条件的强烈敏感性而表现出混沌。这些特性使其成为水库计算的理想候选者，因为其非线性特性和混沌行为使其能够对输入的微小变化做出独特响应。其动力学的复杂性确保了它能够捕获时间模式。包含正弦函数增加了其复杂性，丰富了其动态特性。在本文中，模型化了一个单独的水库节点，并研究了它与另一个具有线性耦合的相同系统之间的同步情况。3D正弦波映射显示了一个离散的洛伦兹型吸引子，其拓扑结构与由3D连续洛伦兹系统生成的连续洛伦兹吸引子相似；需要注意的是，3D正弦波映射的项与3D洛伦兹流系统的项并不相同（见图3）。这使得该系统非常适合用于研究耦合 reservoir 计算框架中的同步现象。图3显示了由方程（10）定义的离散时间3D正弦波映射的相图，其中参数为 ， ，和 。该图展示了离散3D正弦波映射所产生的密集、双叶状的吸引子。为了研究耦合强度对同步的影响，我们分析了两个耦合 reservoir 计算机在[0, 1]范围内100个均匀分布的耦合强度值下的同步误差（）。实验按照算法1中概述的程序重复进行了10次独立的试验，并在每次试验中对10次试验的平均同步误差进行了统计，结果展示在图4中。最小的误差出现在耦合强度接近时，表明这个值对应于最佳同步耦合强度。图4显示了非线性离散时间3D正弦波映射在10次试验中的平均同步误差与耦合强度的关系。随着耦合强度的增加，同步误差减小，在接近时达到最小值，之后又开始增加。在图5a和图5b中，我们分别展示了耦合强度为 和 的两个 reservoir 的相图。表示完全自治（闭环）状态，在这种状态下，训练有素的 reservoir RC1和RC2独立演化，每个 reservoir仅使用自己的输出作为下一个时间步的输入。图5c和图5d显示了相应的时间序列图，我们在同一试验的最后100个时间步中绘制了 和 。从时间序列图中可以看出，在最佳耦合条件下实现了同步，而在未耦合的情况下则没有观察到同步现象。图5。(a)和(b)分别展示了耦合强度为 和 的两个 reservoir 的相图。(c)展示了同一试验最后100个时间步的相应时间序列，以及原始吸引子的时间序列。(d)展示了同一试验最后100个时间步中RC1和RC2的x分量之间的绝对差值。在分析了具有离散洛伦兹吸引子的3D正弦波映射之后，接下来我们研究了具有联合洛伦兹孪生吸引子的3D正弦波映射的同步行为（见图6）。图6显示了具有联合洛伦兹孪生吸引子的3D正弦波映射（方程（11））的相图，其中参数为 ，在 平面上显示了混沌吸引子。

4.2. 具有联合洛伦兹孪生吸引子的3D正弦波映射
我们考虑一个三维离散时间非线性映射，定义为 （11），其中 ， 和 分别表示离散时间n时的状态变量， 和 是控制参数[32]。该映射结合了线性耦合、非线性正弦波项和立方项，导致了多种动态行为，包括周期性、准周期性和混沌状态。由于其在变换下的不变性，系统表现出中心对称性，从而产生了特征性的双叶状联合离散洛伦兹吸引子。在[32]中讨论了形成离散联合洛伦兹孪生吸引子的各种途径。需要注意的是，3D正弦波离散映射的项与3D洛伦兹流系统的项并不相同。生成的三维时间序列被作为 reservoir 计算框架的输入。我们使用具有联合洛伦兹孪生吸引子的3D正弦波映射训练了 reservoir 计算机，并评估了同步误差作为耦合强度的函数。当耦合强度较小时， reservoirs 独立演化，导致相对较大的同步误差。随着耦合强度的增加，水库之间的信息交换得到促进，导致同步误差迅速减小，随后逐渐减小（见图7）。同步误差的减小并不是严格单调的；由于系统固有的非线性和混沌特性，观察到小的波动。同步误差在耦合强度接近时达到最小值，表明这是最佳的同步耦合强度。图7显示了在具有联合洛伦兹孪生吸引子的3D正弦波映射中，同步误差随耦合强度的变化情况。图8a和图8b分别展示了在两种耦合条件下的原始吸引子和相应 reservoir 系统的相图。当耦合强度较小时，两个 reservoir 独立演化，导致轨迹明显不同。相比之下，当耦合强度较大时，两个 reservoir 的相图紧密重合，表明同步现象的出现。图8c展示了同一试验最后100个时间步中状态变量 和 的相应时间序列，以及原始系统的时间序列。可以观察到，在耦合强度接近时， 和 的轨迹几乎重合，显示出强同步。然而，在耦合强度较大时，时间序列之间明显不匹配，表明出现解同步。图8(d)进一步提供了定量证据，显示了最后100个时间步中的绝对同步误差。对于较小的耦合强度，误差接近零，确认了同步行为。对于较大的耦合强度，误差出现显著波动，表明缺乏同步。图8中，(a)和(b)分别展示了具有耦合强度 和 的两个 reservoir 的相图。(c)展示了同一试验最后100个时间步的相应时间序列，以及原始吸引子的时间序列。(d)展示了同一试验最后100个时间步中RC1和RC2的x分量之间的绝对差值。在分析了具有离散洛伦兹吸引子的3D正弦波映射之后，接下来我们研究了具有联合洛伦兹孪生吸引子的3D正弦波映射的同步行为。

4.3. 3D二次超混沌映射
一个3D二次超混沌映射由方程（12）定义，其中参数为 ， ， ，和 [33]。图9展示了一个超混沌吸引子的三维相图。图中的三个轴分别标记为x、y和z，表示在给定参数集下系统的状态。在这种情况下，吸引子表现出具有所有三个 Lyapunov 指数的超混沌行为。这表明它们对初始条件极其敏感，起始时的微小变化可能会产生不同的结果[23]。这就是为什么图中的点分散在较广的区域，而不是形成简单的形状，如环或螺旋。这个超混沌吸引子看起来呈立方体形状，因为它在所有方向（x、y、z）上均匀扩散。reservoir 计算机能够再现这个超混沌吸引子，表明它已经成功学习了该行为。这表明该模型不仅能够预测未来事件，还能模拟系统的长期行为。它成功地学习和再现了原始超混沌系统的复杂、混沌行为。

图9显示了具有参数 ， ， 的3D二次超混沌映射（方程（12）的三维相图。轨迹在空间中形成了一个有界的立方体形状的吸引子，表现出具有所有三个正Lyapunov指数的超混沌行为。图10展示了随着我们改变 reservoir 计算机之间的耦合强度 ，同步误差的变化情况[25]。耦合强度 是一个介于0和1之间的值，决定了两个系统之间的耦合强度。当 接近零时，耦合较弱， reservoirs 几乎独立演化，导致较大的同步误差。随着 的增加，两个系统之间的耦合变强，同步误差减小。在中等耦合强度下观察到最佳同步状态，同步误差达到最小值。在这种情况下，尽管两个 reservoir 计算机表现出高度同步，但同步误差并不为零。这种行为是由于底层系统的超混沌性质所致。在超混沌系统中，即使在强耦合下，也无法实现完美的同步。随着耦合强度进一步增加，同步误差再次增加，表明在非常强的耦合下同步性下降。总体而言，同步误差对耦合强度呈现出特征性的U形依赖性，在非常弱和非常强的耦合下同步效果较差。图10显示了3D超混沌系统的同步误差与耦合强度的关系。最佳同步发生在 = 0.4到0.6之间。U形曲线表明，无论是弱耦合还是强耦合都会导致较高的同步误差。图11a和图11b分别展示了耦合强度为 和 的两个 reservoir 的相图。图11c和图11d展示了相应的时间序列图，在同一试验的最后100个时间步中绘制了 和 。从时间序列图中可以清楚地看到，在耦合强度 处两个 reservoir 计算器紧密同步，但在耦合强度为0时则不紧密同步。图11中，(a)和(b)分别展示了具有不同耦合强度 和 的两个 reservoir 的相图。(c)展示了同一试验最后100个时间步的相应时间序列，以及原始吸引子的时间序列。(d)展示了同一试验最后100个时间步中RC1和RC2的x分量之间的绝对差值。图12展示了在对称耦合下原始系统和相应 reservoir 计算机的二维投影图。具体来说，图12a-c分别展示了x–y、y–z和x–z平面上的投影图。每一行中，左侧面板对应原始系统，中间和右侧面板分别显示RC1和RC2的输出。可以观察到，两个 reservoir 的投影吸引子结构在所有三个平面上都与原始系统非常相似。RC1和RC2的投影之间的强烈重叠表明，在选定的耦合强度下，两个 reservoir 良好地同步。这些结果表明，对称线性耦合使得 reservoir 计算机不仅能够学习系统的固有动态，还能在多个状态空间投影上保持一致的同步行为。

表1提供了用于模拟和同步混沌系统的不同 reservoir 计算方法的比较概览。比较基于关键特性，包括对外部输入的依赖性、耦合结构、自主性水平以及每种方法的主要目标。具有外部驱动的 reservoir 计算方法，如基于Chua电路的模型，依赖于来自底层混沌系统的连续输入信号。在这些方法中，reservoir 被外部时间序列驱动，主要目标是准确预测系统动态，而不是独立系统之间的同步。因此，这些方法不表现出自主行为或多个 reservoir 之间的相互作用。主从 reservoir 计算同步方法通过引入单向耦合机制扩展了这一框架，其中一个从属 reservoir 由主系统驱动。虽然在这种设置中实现了同步，但它是通过连续输入信号和层级结构外部强制的。这种方法在去中心化场景中的适用性受到限制，因为从属系统依赖于主系统进行同步。耦合的水库计算方法与输入驱动的表示相结合，构成了一类更先进的方法，其中多个水库通过传输或共同的输入信号相互连接并共享信息。尽管存在部分耦合，但这些系统仍然依赖于外部输入来维持同步。因此，水库并不能完全自主地运行，同步仍然是由外部输入驱动的，而不是从系统动态中自然产生的。相比之下，所提出的方法在训练阶段之后消除了对外部输入的需求，并不依赖于主-从配置。两个水库计算机可以自主运行，并且仅通过对称的相互耦合进行交互。这使得同步能够从独立学习的动态系统之间的相互作用中自然产生。因此，所提出框架的主要目标是实现自主同步，这标志着从外部驱动的同步向水库计算系统中由交互引起的同步的根本转变。

本研究介绍了一种基于自主运行且具有对称线性耦合的水库计算的新颖同步框架。其主要目的是证明在这种设置下同步的可行性，并展示其在不同混沌系统中的有效性。因此，这项研究更倾向于概念验证，而不是与现有同步方法进行全面的性能比较。未来研究的一个重要方向是针对上述经典方法，从同步误差、收敛速率和鲁棒性等方面进行系统评估。

表5总结了基于水库的框架在三个代表性离散混沌系统中的同步性能。对于所有考虑的系统，同步误差都明显表现出对耦合强度的U形依赖性，最小误差始终出现在某个特定的耦合强度附近。

在这项工作中，使用了简单的对称线性耦合来连接两个独立训练的水库计算机。选择线性耦合的原因在于其简单性，以及为了判断这种简单的线性耦合机制是否能够促进在混沌和超混沌系统上训练的水库计算机之间的同步。研究了三个代表性的离散时间混沌和超混沌系统，分别是离散正弦映射、带有联合洛伦兹孪生吸引子的三维正弦映射以及二次超混沌映射。对于所有系统，同步误差都显示出对耦合强度的特征性U形依赖性。随着耦合强度的增加，同步误差最初会减小，在某个临界值附近达到最小值，之后又随耦合强度的增加而增大。这表明存在一个最优的中间耦合范围，可以在保持混沌动态的同时最大化同步效果。在低耦合强度下，水库系统独立演化；而过于强的耦合会改变动态行为，导致同步误差增加，从而降低系统的集体动态一致性而非实现稳定同步。

对于三维正弦映射，同步行为明显依赖于耦合强度。随着耦合强度的增加，同步误差会减小，在某个中间值达到最小值，之后又再度增加。这表明存在一个平衡交互强度和动态一致性的最佳耦合范围。与某些系统相比，正弦映射在较宽的耦合强度范围内表现出相对稳定的同步性能，同步误差的变化较为温和。同步性能通过平均同步误差来量化，并通过相位图重合和输出时间序列的定性一致性得到了支持。训练有素的水库计算机能够在适当的耦合条件下成功再现底层混沌吸引子的几何结构并实现一致的同步。然而，正如预期的那样，由于对初始条件的敏感性，混沌系统的动态再现主要局限于短时间范围。这些结果证明了系统动态的有效学习，同时也承认了在混沌状态下长期预测的固有局限性。

通过同步水库计算机，多个自主的、数据驱动的模型可以在不依赖于集中控制的情况下协调工作。这在实际应用中特别有用，例如分布式感知、协同预测和安全通信等领域，这些领域需要从去中心化系统中产生可靠且一致的行为。目前的研究仅限于离散时间的三维混沌和超混沌系统，并考虑了简单的对称线性耦合机制。未来的工作可以将这一框架扩展到连续时间系统和更高维度的动态系统。探索非线性、自适应或时变耦合机制也是未来研究的重要方向。