《PLOS One》：Stability analysis of nonlinear algebraic-differential equations with 2-delays and numerical methods
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本研究针对含双时滞的非线性时滞微分代数方程（Delay Differential-Algebraic Equations, DDAEs）开展稳定性分析与数值方法研究。基于Hessenberg型时滞微分代数方程的渐近稳定性理论，研究人员采用直接线性化方法建立稳定
本研究针对含双时滞的非线性时滞微分代数方程（Delay Differential-Algebraic Equations, DDAEs）开展稳定性分析与数值方法研究。基于Hessenberg型时滞微分代数方程的渐近稳定性理论，研究人员采用直接线性化方法建立稳定性分析框架。该分析为离散化过程中稳定性性质的保持机制提供了深入见解。本研究的主要贡献在于：基于局部线性化建立了系统的稳定性分析体系，并推导了隐式欧拉法（Implicit Euler Method）与两步向后差分公式法（2-step Backward Differentiation Formula, BDF）保持非线性连续系统稳定性及渐近稳定性的充分条件。数值结果表明，所提出的数值方法能够有效维持原系统的稳定性，从而支持时滞微分代数方程的实际求解。
时滞微分方程系统广泛应用于数学建模领域，尤其适用于当前系统行为受历史状态影响的场景。与此同时，微分代数方程（Differential-Algebraic Equations, DAEs）被用于刻画化学工程、流行病学及生态学等过程中的约束动力学行为，例如闪蒸分离过程——该过程描述在给定热力学条件下原料流如何分离为液相与气相。将时滞特性与代数约束相结合的系统称为时滞微分代数方程（DDAEs），在工程领域具有重要应用价值。尽管关于DAEs和DDAEs的数值分析已取得显著进展，但现有研究主要集中于线性系统，非线性DDAEs的数值方法拓展仍面临严峻挑战，相关文献相对匮乏。这些困难源于DAEs本身的固有刚性、时滞项的非局部特性以及解分量之间的非线性耦合等多重因素的复杂交织。该论文发表于《PLOS One》，研究人员针对含双时滞的非线性DDAEs提出了一种基于直接线性化的创新性数值分析方法，构建了允许推导数值离散化保持原非线性DDAEs稳定性及渐近稳定性性质的充分条件的理论框架。
**主要技术方法：** 研究人员采用直接线性化方法（Direct Linearization Method）对非线性DDAEs进行局部线性化处理，运用隐函数定理（Implicit Function Theorem）将原系统转化为时滞常微分方程（Delay Ordinary Differential Equations, DODEs）；通过 Schur 分解定理对对称负定矩阵进行正交变换；构造向量内积运算建立稳定性判据；应用隐式欧拉法和两步BDF方法进行时间离散化；采用数学归纳法证明数值格式的稳定性与渐近稳定性；通过稳定性区域分析和收敛性分析验证数值方法的有效性。
**研究结果：**
**第2节 非线性DDAEs的直接线性化方法**
研究人员在d维欧几里得空间中考虑含双时滞非线性DDAEs的初值问题。基于已有文献证明的直接线性化等价性——即直接线性化DDAE与线性化其状态空间形式产生相同的线性时滞常微分方程——研究人员运用隐函数定理在定常解邻域内对原系统进行线性化。在假设局部线性化及相应系数有界性的条件下，通过忽略泰勒展开中的高阶项，得到扰动方程。研究人员进一步给出了DDAEs稳定性及渐近稳定性的标准定义：稳定性要求在一致的初始函数条件下解满足特定有界性不等式；渐近稳定性则要求当时间趋于无穷时解趋于零。
**第3节 非线性DDAEs解析解的稳定性结果**
3.1 稳定性分析：研究人员利用Schur分解定理，对对称矩阵P(t)寻找正交矩阵H使得P(t)对角化。在适当初始条件下，通过构造辅助函数并取内积运算，结合引理3.1提供的线性非齐次系统解的先验估计，推导出系统稳定性的充分条件。定理3.1表明：若对称矩阵P(t)的特征值满足特定条件，且相关参数满足不等式条件，则原系统稳定。
3.2 渐近稳定性：在定理3.1条件基础上，若系统进一步满足特定的衰减条件，则原系统渐近稳定。定理3.2通过引理3.2的时滞微分不等式衰减准则，结合适当的内积运算，建立了系统渐近稳定性的判定条件。
**第4节 数值方法的稳定性与渐近稳定性**
4.1 隐式欧拉法：将隐式欧拉法应用于原系统并在定常解邻域线性化，得到离散化的扰动方程。定理4.1证明在定理3.1条件下，隐式欧拉法对非线性DDAEs保持稳定；定理4.2进一步证明在满足特定衰减条件时，隐式欧拉法保持渐近稳定性。研究人员通过数学归纳法对不同时滞区间进行分类讨论，验证了数值格式的稳定性。
4.2 两步BDF方法：将两步BDF方法应用于系统并线性化，得到相应的离散方程。定理4.3和定理4.4分别建立了两步BDF方法保持稳定性和渐近稳定性的充分条件。与隐式欧拉法相比，两步BDF方法在初始计算时需要特殊处理，研究人员采用隐式欧拉法启动计算，并通过逐层递推的归纳论证完成证明。
**第5节 数值算例**
算例5.1：针对具有时变系数矩阵的DDAEs系统，验证了两个定理条件的满足性。稳定性区域分析显示：隐式欧拉法在复平面上几乎覆盖整个左半平面，表现出A-稳定性；两步BDF方法的稳定性区域虽覆盖左半平面大部分区域，但在虚轴附近存在不稳定性。两种方法在不同时间步长下的数值解均呈现收敛行为。
算例5.2：针对另一具有特定形式系数矩阵的系统，验证了理论假设的满足性。收敛性分析表明：隐式欧拉法的误差以O(h)速率衰减，两步BDF方法的误差以O(h2)速率衰减。步长 refined 试验显示，当步长从0.1减小到10??时，隐式欧拉法误差降低约四个数量级，而两步BDF方法误差降低约八个数量级，展现了高阶方法的显著效率优势。
**第6节 结果与讨论**
本研究基于直接线性化建立了非线性DDAEs的稳定性分析框架，证明隐式欧拉法和两步BDF方法在适当条件下能够保持原系统的稳定性性质。通过理论分析和数值验证，建立了稳定性保持的充分条件，确保了从连续系统到离散系统转换过程中稳定性特征的维持。数值结果表明，隐式欧拉法具有良好的稳定性保持能力，而两步BDF方法在保证稳定性的同时具有更高的计算效率。
**研究结论：** 本研究呈现了基于直接线性化的稳定性分析框架用于含双时滞非线性DDAEs的数值求解。研究表明，隐式欧拉法和两步BDF方法在适当条件下能够保留原系统的稳定性性质。通过理论分析和数值验证，建立了确保稳定性保持的充分条件，从而保证连续系统向离散系统转化过程中稳定性和渐近稳定性特征的维持。数值结果表明隐式欧拉法具有良好的稳定性保持能力，而两步BDF方法在保持稳定性的同时具有更高的计算效率。该研究为时滞系统的数值模拟提供了理论基础，有助于指导网络化控制系统、生物建模及电力系统分析等应用场景中可靠仿真工具的选择。
