混合非线性最小二乘法与高斯基函数拟合方法在同步辐射束强度分布重建仿真中的应用 罗旭林（Xulin Luo）、 约兰达·贝拉·克里斯蒂（Yollanda Bella Christy）、 李雅辉（Yahui Li）、 欧圆（Yuan Ou）、 陈宏丽（Hongli Chen）、 施家轩（Jiaxuan Shi）、 罗文云（Wenyun Luo） 郭强（Qiang Guo）

《Photonics》：Hybrid Nonlinear Least Squares and Gaussian Basis-Function Fitting Method for Synchrotron Beam Intensity Distribution Reconstruction Simulation Xulin Luo, Yollanda Bella Christy, Yahui Li, Yuan Ou, Hongli Chen, Jiaxuan Shi, Wenyun Luo and Qiang Guo

　　摘要 横向束尺寸是表征同步辐射源性能的关键参数。准确测量横向束尺寸对于评估束质量至关重要。在本研究中，开发了一种基于光纤阵列-光电倍增管（PMT）的束测量系统，以实现高精度地采样束轮廓信息以进行束尺寸测量。此外，提出了一种结合非线性最小二乘（NLLS）拟合和高斯基函数拟合的混合方法，从离散采样数据中重建束强度轮廓。在进行NLLS拟合之前，采用基于中值绝对偏差（MAD）的阈值过滤器来去除异常值并抑制随机噪声，从而提高参数估计的稳定性和鲁棒性。随后使用NLLS对过滤后的数据进行拟合，以获得重建的分布。为了捕捉束轮廓中可能存在的更高阶模态特征，还引入了高斯基函数拟合模型进行比较，并在复杂强度分布下评估了其性能。此外，实验验证了半高宽（FWHM）与束强度之间的关系，同时考虑了系统中的测量效应。结果表明，所提出的混合算法提高了重建的准确性和鲁棒性，使得在光纤阵列PMT系统中能够精确恢复束强度轮廓。

1. 引言
横向束尺寸通常是通过测量束斑来间接确定的，束斑表征了束的横向分布。它被认为是电子储存环和同步辐射设施中的关键束参数之一。已经进行了大量关于该参数测量的研究，从而发展出了各种技术，例如基于同步辐射的光学成像方法[1]和X射线束斑测量方法[2,3]。随着高速光电检测技术的进步，多通道光电设备也越来越多地用于横向束尺寸监测[4,5]。在光学成像测量中，M. Ross等人于2002年在KEK-ATF低发射度电子束线上开发了一种基于光学过渡辐射（OTR）成像的高分辨率束轮廓监测系统。该系统实现了约2 μm的空间分辨率。测量结果通过位于目标附近的线扫描仪得到了进一步验证。这项研究表明，所提出的系统适用于单脉冲、高分辨率的束斑测量[6]。2016年，K. Manukyan等人在SESAM同步辐射设施中实施了用于注入后测量的束成像和监测系统。为此，他们使用了荧光屏、束位置监测器（BPM）和同步辐射监测器[7]。然而，由于CCD系统的曝光时间和帧率有限，此类测量通常是对多次回转进行时间平均的结果，因此无法逐回转或逐束解析瞬态行为。为了测量单个束的尺寸和位置，需要高速光电探测器结合快速数据采集系统来捕捉光强度信号的瞬态变化。

为了研究单束和逐回转的束行为，研究人员越来越多地使用高速光电探测器结合快速数据采集系统来捕捉瞬态光强度分布。2004年，Meshkov等人在Budker核物理研究所（BINP）的VEPP-4M对撞机上实施了一种升级的光学束诊断系统。他们开发了一种基于多阳极光电倍增管（PMT，R5900U-00-L16，滨松光子学，日本）的快速束轮廓监测设备。该系统能够在16个采样点记录横向束轮廓，在217个回转中逐回转测量，并在10 Hz到1 MHz的范围内进行频率分析[8,9]。2007年，M. Palmer等人在康奈尔电子储存环（CESR）使用了一个32通道多阳极PMT（H7260K，滨松光子学）作为核心读出设备。该PMT具有1 mm的通道间距和亚纳秒的上升时间。结合定制的72 MHz数据采集卡，该系统实现了间距为14 ns的束的同步多束和逐回转数据采集[10,11]。2014年，J. Alexander等人在CESR-TA储存环中实施了一种X射线束尺寸监测器（xBSM），结合了32通道InGaAs光电二极管阵列。该系统能够在逐回转和逐束时间尺度上单次测量垂直束尺寸，范围从10到100 μm[12]。2016年，C. C. Cheng等人在合肥光源II（HLS II）使用了一个四通道多阳极PMT（R5900U-00-L16，滨松光子学）结合场可编程门阵列（FPGA）进行数据采集和处理，并成功测量了横向束尺寸。随后他们提出了基于该系统的对数处理算法用于横向束尺寸和位置的测量，从而实现了高速采集方案下的逐回转测量[13]。2018年，H. J. Chen在上海同步辐射设施（SSRF）开发了一个系统，结合了直接成像光学链和高速PMT阵列探测器。开发了一个高带宽线性放大和数据采集模块，实现了间距为2 ns的束的逐束测量[14]。该系统随后得到了改进并应用于进一步的研究[15,16]。2023年，J. Liu在HLS-II基于相同原理建立了类似的系统，并也实现了逐束测量[17]。2024年，R. Wu等人提出了基于已建立的束诊断系统的原位轮廓提取算法，用于HLS-II的逐束横向束轮廓测量。该算法实现了单个束轮廓的快速重建[18]。大多数现有的快速拦截测量方法依赖于PMT进行数据采集，并使用专用算法进行重建。因此，对于基于PMT的束测量系统，不仅要优化光学耦合方案，还要处理采集的离散数据以实现高效的束轮廓重建。

从同步辐射束中重建离散采样数据需要分析多个参数[19]。除了传统的参数拟合方法[14,20]，最近的研究还探索了鲁棒拟合方法、非高斯束表征和更灵活的重建策略。为了提高传统最小二乘方法的鲁棒性，通常采用基于阈值的异常值拒绝和加权策略来减少噪声和异常值对参数估计的影响[21,22]。束轮廓可能呈现非高斯或其他复杂形状，单一高斯模型往往不足以准确描述实际的强度分布。因此，提出了更灵活的拟合方法来重建非高斯束。对于二维非高斯束，已经报道了误差函数拟合和双高斯拟合等方法[23,24]。对于多峰非高斯束轮廓，双高斯模型往往缺乏足够的灵活性。在这种情况下，基于基函数展开的加权多项式拟合可以更好地满足这一要求[25,26]。此外，优化算法和自适应策略在提高重建适应性方面日益显示出优势[24,27]。然而，现有的束轮廓重建方法仍面临若干挑战。在基于多通道PMT的传统直接束耦合方案中，有限的采样点数量和固定的通道间距通常导致空间采样密度不足[11,13,14,28]，这可能限制了对复杂束分布的重建精度。同时，基于最小二乘准则的传统参数估计对异常值敏感[29,30]，在实际噪声条件下可能导致参数偏差或不稳定拟合。此外，许多单高斯模型不足以完全描述具有更高阶模式、多峰或非高斯束形状的实际分布[31]。为了解决这些问题，本文提出了一种基于光纤阵列-PMT的束采集系统和束轮廓重建方法，该方法结合了前端采集设计和算法优化。对高斯和非高斯束进行了统一的建模和重建测试，以验证采集系统的可用性和重建方法的可行性。所提出的方法引入了基于中值绝对偏差（MAD）的鲁棒阈值过滤方法来抑制噪声和异常值，并在自适应重建框架中结合非线性最小二乘（NLLS）和高斯基函数拟合进行束重建。

2. 实验和方法
为了验证光纤阵列对同步辐射源的束采样和重建过程，使用激光束来模拟同步辐射束，并随后进行了束斑测量实验。实验设置如图1所示。使用了一种外部腔体He-Ne激光器（RLE-CA02，RealLight，北京，中国）作为光源。激光的中心波长为632.8 nm，具有良好的空间相干性和输出稳定性。通过调整外部谐振器的腔长，可以生成基模和更高阶的横向模式。这使得能够在不同束斑形状和空间强度分布下系统地评估检测系统，从而验证其测量复杂束轮廓的能力。激光束首先通过一组中性密度滤波器来调整强度并满足不同的动态范围要求。然后，束通过分束器分为两部分，一部分引导至CCD相机，另一部分引导至光纤阵列-PMT系统进行束斑监测和离散信号采集。光纤阵列由直径为125 μm的紧密排列的光纤组成。根据测量目标选择不同类型的光纤以适应不同的束斑特性。在空间采样束斑后，光纤阵列收集的光学信号被传输到PMT进行光电转换和强度测量，从而提供每个采样位置的光强度信息。最后，使用所提出的拟合算法重建了激光束斑的强度轮廓。

图1. 实验设置。(a) 单模光纤阵列，(b) 多模光纤阵列，(c) 紫外（UV）光纤阵列，(d) 激光束斑图像。在本文中，使用了配备三个可更换光纤阵列的PMT检测模块进行实验，包括单模光纤阵列、多模光纤阵列和UV光纤阵列，如图1a–c所示。单模和多模光纤阵列都排列成紧凑的一维线性结构，芯间距约为125 μm。UV光纤阵列在横向紧密排列，纵向由三行紧密排列的光纤组成，光纤间距也约为125 μm。每个光纤阵列在水平方向上有16根光纤。单模、多模和UV光纤阵列的芯直径分别为8 μm、50 μm和105 μm。所有三种阵列都由石英光纤制成。每根光纤都连接到一个FC端接的尾纤，可以直接与法兰安装的PMT模块匹配，使光子信号完全通过光纤传递到PMT。在本研究中，这三种阵列用于不同的目的。单模光纤阵列主要用于在可见光条件下进行单峰轮廓重建和系统波动分析。UV光纤阵列主要用于在弱光条件下的信号采集和轮廓重建。多模光纤阵列作为另一种结构，用于与其他两种阵列进行后续的定量比较。尽管UV光纤阵列具有多行结构，但在本研究中仅使用了中间行的横向强度分布。其他两行保留用于涉及多点区域检测的未来研究以及在极弱光条件下的光收集效率提升。还使用了CCD相机来获取参考束斑图像，如图1d所示。为了与光纤阵列测量结果进行比较，通过积分或平均像素强度来处理CCD图像，以获得相应的一维截面强度分布，并从中计算半高宽（FWHM）。经过空间校准后，得到的三维分布直接与光纤阵列的测量结果进行比较。

3. 结果与分析
为了从光纤阵列采集的离散采样信号中重建连续的强度分布，使用NLLS来估计束斑模型参数。离散采样点处的测量强度作为输入数据。通过最小化模型预测值和测量值之间的残差平方和来重建束斑的空间强度轮廓。为了验证所提出方法的可行性和基本重建精度，首先生成了一个理想的高斯光束斑点，其直径为2毫米。随后以125微米的空间间隔进行离散采样，该间隔对应于光纤阵列的间距，并获得了16个采样点的强度数据。这些离散数据随后被用作NLLS（非线性最小二乘法）拟合的输入。NLLS算法用于确定能够最小化测量强度与预定义高斯强度模型之间残差平方和的参数集。这一过程得到了最优的拟合结果和连续强度分布的重建。采用了二维圆形对称的高斯强度分布作为拟合模型，其方程如下：
(1)
其中，分别表示高斯光束斑点的峰值强度、中心位置、光束腰半径和标准差。参数满足 certain conditions，其中 表示标准差。基于这个模型，对离散采样数据进行了NLLS拟合，结果如图2所示。该方法有效地从离散采样点重建了理想高斯光束的连续强度分布。在无噪声条件下，决定系数达到1。如方程(2)所定义的，决定系数表明NLLS拟合适合重建基本的高斯光束轮廓。
(2)
其中 表示第i个采样点处的测量强度，表示相应点的拟合强度， 表示所有测量强度的平均值。图2. 用于重建基本高斯光束的离散采样数据的NLLS拟合。然而，在实际的测量系统中不可避免地存在各种不确定性。分析显示，这些不确定性主要来源于两个方面。第一个来源是实验设置和光路引入的系统误差，包括接口处光纤的耦合、插入损耗、光学组件引起的光束失真、探测器响应漂移以及光源输出的变化。第二个来源是光源和检测链中的随机波动，主要表现为激光功率的时间变化、探测器噪声和增益漂移。在当前的实验设置和操作条件下，通过系统校准和均匀抛光工艺可以显著减少光纤接口损耗和由制造和组装引起的气束失真。初步测量表明，这两个因素对重建结果的影响很小。因此，在后续的不确定性建模中忽略了它们。由激光功率波动和探测器不稳定性引起的误差贡献被统称为系统不确定性。测量和校准后，实验中的系统不确定性定义如下：
(3)
其中，分别表示最大、平均和最小测量值。参数 表示当前测量通道的不确定性波动率，代表该采样点处的信号与其平均值的最大相对偏差。以单模光纤阵列为例，对每个检测通道在入射光功率分别为2.9 μW、2.4 μW和0.2 μW的情况下进行了多次测量。然后根据公式(3)计算每个通道的相对波动系数，如图3所示。横轴表示通道索引，纵轴表示相对波动系数。不同的符号和颜色对应不同的入射光功率水平。光束中心的信号具有更高的幅度和更好的信噪比，因此波动较小。相比之下，靠近光束边缘的采样点接近背景噪声水平。在这些位置，有效信号较弱，导致波动显著增加。如果在这样的条件下使用纯高斯模型进行拟合，背景噪声会将系统偏差引入参数估计中。为了考虑噪声底限和暗电流，NLLS模型中加入了背景项。此外，还在强度分布模型中加入了白噪声背景成分。对于含有噪声的离散采样数据，个别异常值会显著增加残差方差并降低最小二乘拟合的稳健性。为了提高拟合稳定性，采用基于MAD（平均绝对偏差）的稳健尺度估计器来估计残差的近似等效标准差。然后根据这个估计值确定了异常值排斥阈值，并相应地过滤了采样点。与传统基于方差的估计方法相比，MAD对异常值的敏感性较低，可以防止噪声点夸大残差标准差。否则，排斥阈值会增加，使得真正的异常值留在数据集中，从而降低拟合精度和拟合优度。基于MAD的残差标准差表示如下：
(4)
(5)
(6)
其中，表示每个采样点处的测量强度，表示拟合强度值，表示估计的标准差。图3. 单模光纤阵列检测系统的系统波动。为了验证所提出的阈值策略的有效性，使用CCD相机和单模光纤阵列同时监测了同一个光束斑点。由于CCD传感器和PMT（光电倍增管）都可能表现出非线性响应、饱和和动态范围截断效应[32,33,34,35]，因此仔细控制了两种设备的操作点。调整CCD曝光量，使得峰值像素值接近饱和极限，而PMT的采集范围保持在线性区域略低于其饱和阈值，以避免峰值裁剪和参数估计中的偏差。在这些条件下，应用了带有背景项的NLLS模型。在拟合之前，使用基于MAD的阈值过滤器过滤了异常值采样点[36,37,38]。根据丰富的实践经验，最佳阈值范围通常设置为 [39]。使用此阈值获得的相应拟合结果如图4所示。如图4所示，与不进行阈值过滤的直接NLLS拟合相比，基于MAD的阈值过滤使决定系数提高了大约1.6%。这表明，在接近高斯和低噪声条件下，基于MAD的阈值过滤可以抑制边缘异常值并提高拟合过程的稳健性。然而，在实际的同步辐射环境中，仅使用MAD过滤是不够的，还需要对PMT信号进行额外处理以提高信噪比[14]。进一步使用FWHM（全宽半高）来表征光束大小，并将其与CCD参考测量结果进行比较。从CCD图像、直接拟合和基于MAD的过滤得到的FWHM值分别为790 μm、779 μm和775 μm。直接拟合结果与CCD参考结果之间的差异约为11 μm，而经过MAD过滤后的差异约为15 μm。尽管观察到了轻微的差异，但两者偏差都较小，表明所提出的方法能够以与CCD参考测量相当的精度重建光束大小。结果表明，所提出的基于MAD的阈值过滤方法有效抑制了异常值的影响，并提高了重建的稳健性。图4. 使用基于MAD的阈值过滤的单模光纤阵列NLLS拟合结果。为了能够检测可见范围内的弱光信号，还使用了紫外光纤阵列。与单模光纤阵列相比，紫外光纤阵列在低光条件下提供了更高的有效信号水平，从而降低了系统的检测限。由于检测链中的非理想效应，如饱和和信号截断，系统在特定的操作范围内表现出近似线性的输入输出响应。在紫外光纤阵列配置下，使用所提出的建模和稳健拟合方法获得的光束重建结果如图5所示。每个点都标有红色误差条。如图5所示，即使在低光水平下，紫外光纤阵列收集的离散数据也使用所提出的算法实现了高质量的拟合，最小值达到0.9889。图5. 使用紫外光纤阵列获取的离散数据的NLLS拟合。(a) 0.43 nW, (b) 17.5 nW, (c) 26 nW。同样，在相同的光束条件下进行了重复测量以进行比较。中心位置、拟合峰值、FWHM等的相对误差和95%置信区间(CI)的差异总结在表1中。结果表明，选择更适合弱光条件的光纤阵列可以进一步扩展系统的测量范围。表1. 使用不同光纤阵列测量的参数的相对误差和95%置信区间宽度。系统光强度与拟合FWHM之间的关系如图6所示。如图6所示，对于使用当前紫外光纤阵列-PMT光斑检测系统测量的He-Ne激光束，分析了NLLS拟合得到的FWHM响应特性作为入射光功率的函数。这一结果表明，在当前的实验条件下，系统对不同信号水平下的轮廓宽度变化具有良好的响应性。这一发现可能为未来监测与操作条件变化相关的光束轮廓宽度变化提供有用的参考，例如实际同步辐射设施中的光束电流波动[3,40]。图6. 从NLLS拟合得到的FWHM与系统光强度之间的响应关系。上述结果表明，对于基本的高斯光束轮廓，结合基于MAD的阈值过滤的NLLS拟合可以有效抑制超出阈值点的影响并实现光束强度轮廓的准确重建。然而，在实际的同步辐射环境中，入射光束的空间分布并不总是遵循基本的高斯轮廓，也可能存在更高阶的横向模式。本系统中使用的光纤阵列提供了大量的空间采样通道，并产生了丰富的离散采样信息。这一能力支持更高阶光束轮廓的表征和重建。为了提高算法对复杂光束形状的适应性并满足实际应用需求，在上述稳健框架内引入了高斯基函数拟合，以重建更高阶和非高斯光束强度分布。未知的空间强度分布表示为高斯基函数的线性组合，从而能够灵活地近似复杂轮廓。拟合模型可以写成如下形式：
(7)
其中，表示基函数的数量，表示第j个基函数的权重系数。基函数被选为径向基函数。由于光束轮廓遵循高斯分布，本研究采用了高斯径向基函数。这些函数可以表示如下：
(8)
其中，表示第i个高斯基函数的中心，表示宽度参数。与单一高斯模型相比，这种方法提供了更大的灵活性，适用于双峰和非高斯光束轮廓的近似重建。为了评估高斯基函数拟合策略的适应性，首先考虑了一个模拟的双峰分布，然后进行离散采样和拟合。使用单高斯拟合结果作为参考，证明当目标轮廓与单高斯假设显著偏离时，单一模型无法充分描述实际分布。如图7a所示，高斯基函数拟合方法在有限的离散采样条件下更好地保留了双峰结构，并获得了更高的拟合质量。在此基础上，使用紫外光纤阵列采样了激光产生的二阶光束，并应用高斯基函数拟合进行重建。结果如图7b所示。这些结果表明，在单高斯拟合不足的高阶光束条件下，高斯基函数拟合提高了更高阶或非高斯光束轮廓的重建能力，并扩展了检测系统的适用范围。图7. 高斯基函数拟合结果。(a) 模拟二阶光束的拟合结果比较，(b) 使用紫外光纤阵列获取的数据的高斯基函数拟合。基于上述分析，进一步提出了一种结合两种拟合方法的自适应融合策略。对于离散采样数据，首先应用了带有基于MAD的阈值过滤的NLLS拟合，并评估了值。在参数数量较少的情况下，单高斯模型能够直接估计峰值、中心位置和束宽，并且在接近高斯分布的条件下保持稳定性。当数据显著偏离单高斯假设时，引入高斯基函数拟合来更好地表示双峰或非高斯分布，最终得到的高斯基函数曲线作为重建结果。这种两阶段策略通过仅在必要时引入更灵活的高斯基函数模型，而在足够的情况下继续使用单高斯模型，从而平衡了模型的复杂性。实验结果表明，所提出的混合建模方法克服了单高斯模型的局限性，同时保持了对复杂或多峰分布的高重建精度，提高了其对非高斯束流的适应性。阈值的选择基于工程经验和鲁棒性考虑，0.97的值可以确保高拟合一致性，并在模型能够充分描述数据时保留高斯模型，从而保持物理的可解释性和参数的稳定性。同时，使用较高的阈值可以降低由于噪声波动导致的错误模型选择和频繁切换的风险，从而在保持算法简单和计算效率的同时维持重建精度。在实际应用中，可以根据系统噪声水平和测量条件通过校准数据调整阈值。

4. 讨论
本文介绍了一种光纤阵列-光电倍增管（PMT）束流采集系统及其对应的束流轮廓重建方法。在束流采集方面，基于PMT的快速横向束流轮廓诊断已在多个同步辐射设施和对撞机平台上实现。在早期研究中，BINP的VEPP-4M对撞机上实现了一个升级的光学束流诊断系统，并开发了一种基于多阳极PMT（R5900U-00-L16，Hamamatsu Photonics）的快速束流轮廓监测设备，该设备能够在16个采样点记录横向束流轮廓，并对217个转数进行逐圈测量，覆盖10 Hz至1 MHz的频率分析范围[8]。CESR[10,11]、HLS-II[13,17]和SSRF[14]等设施也取得了进一步的发展。与现有的束流测量系统相比，本研究中使用光纤阵列进行束流采样具有比直接耦合多阳极PMT更高的空间分辨率，并且支持同时多通道采样。此外，本研究提出的多排光纤阵列结构有潜力实现二维束流轮廓的采集。

本研究采用了一种自适应分层重建策略。对于接近高斯分布的轮廓，首先使用单高斯模型进行最小二乘法（NLLS）拟合。这种方法涉及的参数较少，物理意义明确，并能够直接提取关键参数，包括峰值、中心位置和半高宽（FWHM）。此外，引入了基于平均绝对偏差（MAD）的阈值过滤方法来减少异常值的影响并提高拟合过程的稳定性。尽管这种方法没有达到基于CCD的全场拟合的精度，但它可以直接应用于基于离散PMT采样的束流测量系统中。此外，该算法还考虑了束流轮廓偏离单高斯假设的情况，包括双峰和其他非高斯分布。与误差函数拟合和双高斯拟合[23,24]等方法相比，高斯基函数拟合具有更大的灵活性，因为它不受高斯形状分布的限制，并且拟合速度更快。它还更好地保留了复杂轮廓的结构特征，提高了系统对复杂束流形状的适应性。重建结果进一步证明，所提出的束流检测系统能够以离散的方式准确采样束流轮廓信息。

需要指出的是，本研究中基于He-Ne激光的实验主要是为了验证所提出的采样和重建方法的可行性。对于实际的同步辐射源，未来研究将进一步探讨包括束流波动、非理想光学系统和探测器相关误差在内的其他因素。

5. 结论
本文提出了一种光纤阵列-PMT束流采集系统，以提高离散采样的空间分辨率，并实现同时多通道采集。通过基于NLLS拟合和高斯基函数拟合的自适应重建方法验证了该系统的可行性。所提出的算法优先考虑了低复杂度的单高斯模型，从而提高了拟合速度。与传统的单模型拟合方法相比，它还结合了基于MAD的预处理策略，以提高对异常值和噪声的鲁棒性。此外，结合高斯基函数拟合的混合拟合框架能够有效地重建高斯和某些非高斯束流分布。