一种用于分析在周期性电场作用下两种Walters B/Rivlin–Ericksen流体之间非线性界面不稳定性的新方法 Ahmad Almutlg, Galal M. Moatimid, Nada S. Gad

《Axioms》：New Methodology in Scrutinizing Nonlinear Interfacial Instability Between Two Walters’ B/Rivlin–Ericksen Fluids Exposed to Periodic Electric Fields Ahmad Almutlg, Galal M. Moatimid and Nada S. Gad

　　摘要
继Bauer在1985年提出关于图的最小度与其是否为超欧拉图的关系的问题之后，Catlin解决了最小度至少为??5的图的问题。随后，Lai解决了最小度至少为??10的情形。将这一问题应用到拟阵（matroid）的情境中，就引出了拟阵是否为超欧拉图与其周长（cogirth）之间的关系。2025年，Qin等人证明了周长为max?{???(??)+115,9}的连通简单正则拟阵是超欧拉图。在本文中，我们证明了对于任何满足15
1. 引言
欧拉子图及其推广的概念在图论和组合优化中一直是核心主题，起源于经典的中国邮递员问题和欧拉回路问题。如果一个图包含一个生成欧拉子图，则称其为超欧拉图，这一概念因其与网络设计、圈覆盖（cycle covers）和拟阵理论的关联而被广泛研究。Catlin早期的基础工作引入了表征超欧拉图的方法，而Lai后来的发展则将研究扩展到了包含特定边的欧拉子图。最近的进展进一步将理论扩展到了有向图[3]和重配置设置[4]。这些发展继续推动着网络优化和组合结构中的理论研究和实际应用。

在图论之外，欧拉特征（Euler characteristic）作为一种强大的拓扑不变量，在数据科学、医学成像和物理学中有着重要的应用。在拓扑数据分析中，欧拉特征变换（ECT）为形状分类提供了简洁的拓扑指纹[5]。最近的应用包括医学图像分割，其中Li等人[6]引入了一种基于欧拉特征的快速优化方法，以确保深度学习模型的拓扑正确性。这些跨学科的进展突显了欧拉结构及其不变量在理论和应用中的日益重要性。

近期研究越来越多地探索了组合结构与计算科学、统计学和网络科学应用之间的联系。虽然本文重点关注正则拟阵的结构性质和超欧拉条件，但我们简要讨论了一些相关的发展。Gan[7]展示了如何通过考虑拓扑信息来改进大规模图的应用，这反映了结构信息在算法设计中的重要性。Yang等人[8]和Chen等人[9]分别在pendynamics和电路系统中利用了矩阵运算，考虑到正则拟阵允许完全单模矩阵表示这一点尤其值得注意。Li等人[10]和Ren等人[11]探讨了统计模型中的依赖结构识别，从概念上将其与拟阵中的独立性和连通性联系起来。这些跨学科的视角表明，正则拟阵的结构洞察力可能在纯组合理论之外具有更广泛的相关性。

我们考虑有限无向图和拟阵。图论术语遵循Bondy和Murty[12]的定义，但“cycle”和“circuit”这两个术语除外；拟阵术语则取自Oxley[13]。对于图G，我们用V表示其顶点集，E表示其边集，用|V|表示顶点数量，用|E|表示边数量。顶点v的度表示为deg(v)（当不会引起混淆时也简写为v）。图G的最小度和最大度分别表示为min(G)和max(G)。图G的边连通性用γ(G)表示。为了在图论和拟阵理论中保持术语的一致性，我们采用了以下约定：一个连通且非平凡的且为二正则（two-regular）的图称为回路（circuit），而回路（作为边集）的不交并称为圈（cycle）。一个连通图G是欧拉图当且仅当它包含一个生成欧拉子图，即一个生成回路。

设M是一个具有基集E的拟阵，C(M)表示其独立集的集合。M的一个回路被定义为最小的依赖集。所有回路的集合表示为C(M)，D(M)表示其对偶拟阵。M的秩（rank）、周长（girth）和余周长（cogirth）分别用r(M)、g(M)和c(M)表示。当存在这样的回路时，我们定义C(M)；否则，C(M)为空。M中的一个圈是一个可以表示为M的回路的非交并的集合。如果存在这样的圈C，且M被称为超欧拉图。

对超欧拉图的研究最初由Boesch、Suffel和Tindell[14]发起，他们试图刻画含有生成回路的图的特征。Pulleyblank[15]指出，即使限制在平面图上，确定一个图是否包含生成欧拉子图的问题仍然属于NP完全问题。关于超欧拉问题的更多文献，Catlin的综述[16]及其更新版本[17,18]是很有价值的参考资料。

对超欧拉拟阵的研究起源于[19]。在[20]中，Veblen证明了如果一个连通图G的边集E可以表示为边不相交的回路的并集，则G是欧拉图。将这一概念扩展到拟阵，如果一个子集C(M)在M中形成边不相交的回路并集，则称C(M)为欧拉子集（或简称为欧拉子集）。设S(M)表示M的所有欧拉子集的集合。那么，S(M)包含了所有非空的最小子集。由于S(M)唯一地决定了M的结构，因此S(M)也唯一地决定了M本身。如果一个拟阵M有一个周长大于或等于max(g(M))的欧拉子集X，则M是超欧拉图；这样的欧拉子集称为生成欧拉子集。关于超欧拉拟阵的研究有很多，如[19,21,22,23]等文献所展示的。

由于Dirac定理证明了每个最小度大于某个值的n阶图必然包含一个生成欧拉子图，许多后续研究者研究了最小度大于该值的情形，其中k值越小，得到的结果越强。对于图的圈拟阵，最小割对应于对偶拟阵中的一个余回路；因此，具有最小边数的最小割对应于最小余回路，即余周长c(M)。因此，在一个n阶图中，不包含圈的子图中的边数最多就是生成树的边数，即c_G。相应的圈拟阵的秩为r(G)，满足r(G) ≥ n - 2。由于图的最小度至少等于其边连通性，且每个顶点所在的边集构成一个最小边割，我们可以用最小边割的大小（即边连通性）来代替最小度，用γ_M代替n。根据Welsh的考虑（见[24]中的猜想14.4.1），我们在拟阵M中使用余周长c_M来部分替代图G中的最小度。早期关于超欧拉拟阵的研究提出了以下问题：

问题1：设M是一类拟阵。如果对于任何拟阵M，当c ∈ [a, b]时，M都有生成欧拉子集，则(c, b)是一对欧拉数对。因此，对于给定的拟阵族，我们有以下兴趣点：
(i) 确定是否存在欧拉数对。
(ii) 如果存在欧拉数对(c, d)，那么我们需要确定给定值c的最小d值。

定理1（[25]）：设M是所有连通简单正则拟阵的集合。对于任何实数c ∈ [a, b]，存在整数k，使得M有一个生成欧拉子集。

定理2：设M是所有连通简单正则拟阵的集合。对于任何实数c ∈ [a, b]：
(1) 如果c ≥ 15，则M是欧拉图。
(2) 如果c < 15，则M不是欧拉图。

根据定理2，我们推广了定理1。

定理3：设M是一个连通简单正则拟阵。对于任何实数c ∈ [a, b]，存在整数k，使得如果M的余周长c ≥ min(a, b)，则M有一个生成欧拉子集。

证明：根据定理2，当c ≥ 15且 ≤ 16时，保证了M中存在欧拉子集；当c ≥ 16且 < 20时，也保证了M中存在生成欧拉子集。根据定理1，当c ≥ 20时，也证明了M中存在生成欧拉子集。因此，结论成立。

2. 基础知识
对于一个拟阵M和一个子集X，我们用M_X表示X在M中的限制。当X只包含一个元素e时，我们简单地用e_M表示X。X在M中的收缩，记为X_M，定义为X_M中的最小非空集合。如果一个拟阵N可以表示为某些不相交的X和Y的并集，则称N是M的次图（minor）。

Jaeger[26]和Catlin[27]独立证明了：
(1) 设M是一类满足性质P的拟阵，令δ表示如收缩或删除之类的操作。我们用Δ_M表示将δ应用于M后的结果。如果对于每个M，结果拟阵M也满足性质P，则称类M在该操作下是封闭的。例如，正则拟阵类在删除和收缩操作下是封闭的；因此，正则拟阵的每个次图仍然是正则的。接下来，我们介绍拟阵的几个性质。

2.1. 正则拟阵的Seymour分解
对于两个集合X和Y，它们的对称差定义为X ? Y。现在我们定义i-和，并描述由两个拟阵的i-和组成的圈集。

定义1（[13]）：设M和N是二进制拟阵，设 base(E) 是它们的基集。那么，存在一个拟阵M'，其基集为base(E)，满足 |N'|| ≤ |M| + |N| ≤ |E|，且N'包含M的所有圈。在下面的定义2中，为了避免平凡情况，我们要求在二和与三和的情况下每个加数都有足够的元素个数。

定义2（[28,29]）：对于N，设base(N) 是其基集。
(i) 如果N'中的任意两个不同元素之和不为空，则N'称为N和N的二和，记为N Δ N。
(ii) 如果N'中的元素p既不是循环也不是余循环，且N'中的任意两个不同元素之和也不形成循环，则N'称为N和N的三和，记为N Δ N'。
(iii) 如果N'中的元素Z同时是N和N'的圈，并且Z不包含N或N'的任何余圈，则N'称为N和N的三和，记为N Δ N"。

引理1（[13]）：设M和N是拟阵。
(1) 如果N Δ N不为空，则M是连通的当且仅当N和N'都是连通的。
(2) 如果M是非简单的三连通二进制拟阵，且N是两个拟阵的三和，则N和N都是连通的。特别是，如果任一拟阵是简单的，则它是三连通的。

引理3（[13]（Seymour分解定理）：每个正则拟阵M都可以通过使用直和、二和与三和构造，这些拟阵要么是图拟阵（graphic），要么是拟阵的余图（cographic），或者与M的某个次图同构。

引理4（[13]）：设M和N是拟阵。那么：
(1) 如果M是非简单的三连通二进制拟阵，则N可以表示为M的次图的直和。

2.2. 超欧拉二进制拟阵
设G是一个图，用C_G表示其圈拟阵。根据[13]中的命题2.3.1，其对偶拟阵D_G的回路正是G的最小边割。G的边树性（edge arboricity）定义为覆盖G所需的最小边不相交森林的数量。超欧拉余图拟阵可以通过边树性来表征。

引理5（[22]）：设G是一个图。以下条件等价：
(1) G有一个生成欧拉子集。
(2) G的余周长c_G满足某个条件。

Kronk和Mitchem[31]证明了G的余周长c_G与G的最大度之间的关系。

引理6（[31]）：如果G是连通的、非完全的，并且c_G满足某个条件，则G是超欧拉图。

设S_M是一组拟阵。一个拟阵N是一个-超欧拉可收缩配置，或者简单地说，在中是可收缩的，如果对于任何包含N作为其限制的子集，都有相应的条件成立。（2）对于一个拟阵M，定义其为M中互不相交基的最大数量。用表示所有二元拟阵的集合。在[19]中，已经证明存在-超欧拉可收缩配置。特别地，任何具有或满足条件的二元拟阵N在中都是可收缩的。这些结果表明了以下二元简化方法。定义3([21])：设M是一个二元拟阵。如果子集N满足某种条件，或者存在某个子集可以生成M，那么N称为M中的合格子集。我们将以下过程应用于一个具有某个条件的二元拟阵M：（i）初始化。 （ii）对于每个子集，执行以下步骤：（ii-1）如果子集N在该子集中是合格的并且满足某些条件，则设置相应的变量并进入下一次迭代。（ii-2）如果子集没有合格的子集，或者子集中的每个合格子集都满足某些条件，则终止迭代。当这个过程结束时，得到的拟阵称为M的一个二元简化。

根据定义，在[21]中还观察到：（3）在[21]中，展示了二元简化和收缩操作具有有趣的性质。引理7([21])：设M是一个二元拟阵，N是M的一个二元简化。那么，以下陈述成立：M有一个欧拉子集当且仅当N有一个欧拉子集。要么N可以由某个在M中合格的子集生成，要么N本身就是一个欧拉子集。引理8([23])：设M是一个规则拟阵，满足某些条件，其中和。如果N是M中的一个合格子集，那么N在M中也是合格的，并且满足某些条件。3. 主要结果 引理9([23])：设M是一个简单的规则拟阵，满足某些条件。以下陈述是等价的：（i）M有一个生成它的欧拉子集。（ii）在额外的条件下，M有一个生成它的欧拉子集。设是一个由下述矩阵表示的向量拟阵：引理10：以下每一个陈述都成立：（i）和（例如，参见[22]）是四个回路和一个六个回路的并集，在和中都是欧拉子集。（ii）[25]，因此M不能表示为一个次模和一个的三分和。

为了准备定理2的证明，我们首先介绍一些预备引理。3.1. 余图拟阵 引理11：设G是一个有n个顶点和m条边的简单连通图，其最小度为。如果周长满足某个常数c的条件，那么G是四规则的。证明：设最大度为，和。由于，可以得出。观察到，根据，我们得到。假设G不是四规则的。那么，。设满足。接下来，我们根据是偶数还是奇数来分析情况。情况1：是奇数。设。由于，可以得出。我们从顶点v开始使用广度优先搜索（BFS）来计算G中的顶点数量。设v代表第一层。那么，距离v为k的顶点位于第层。由于周长，意味着对于第k层的任意两个顶点，它们在第层的邻居顶点是不同的。因此，G在距离v为s的范围内至少包含个顶点。将和代入（4）得到。由于和，可以得出。设。那么，对于（5）中的，其导数为，对于是非负的。因此，在上是递增的。因此，；因此，这与（5）矛盾。情况2：是偶数。设和。由于，可以得出。同样，使用BFS从u和v开始计算G中的顶点数量。设代表第一层。那么，G中至少有个距离v或u最多为的顶点。从（4）和，我们得到。由于和，可以得出。设。那么，对于，。因此，是在中的递增函数。然后，；因此，这与（6）矛盾。□定理4：对于任何简单的连通余图拟阵M，如果周长和余周长满足某些条件，那么M有一个生成它的欧拉子集。证明：由于M是余图的，存在一个连通图G使得，因此。观察到，和。根据引理11，G是四规则的。因为，G不可能是完全图；因此，引理6意味着。所以，根据引理5，M有一个生成它的欧拉子集。□ 3.2. 拟阵的分数树度和强度 本工作使用了[21,22,32]中的几个既定结果作为技术工具，并且依赖于分数树度和拟阵强度等基本概念。拟阵强度的概念是由Cunningham在[33]中引入的。关于其性质的进一步讨论可以在[22,34]中找到。设M是一个二元拟阵。M中的一个最大独立集称为M的一个基。对于任何非空子集，我们定义密度函数为。当上下文明确时，我们简单地写作。这些量分别称为M的强度和分数树度。引理12：设p和q是满足某些条件的整数，设M是一个拟阵。那么，以下陈述成立：[32]，和。[21] 如果存在一个子集（可能为空）使得，那么存在一个非空子集满足。引理13([25])：设M是一个秩为的拟阵。如果对于某个有理数q，，那么存在一个子集X满足。设X是G中的一组边。从G中移除所有属于X的边后得到的图表示为。当X只包含一条边e时，我们简单地将其表示为。对于一个顶点u，设表示G中与u相邻的边的集合。定义为一个满足以下条件的所有二连通、非平面简单图的集合：当且仅当G包含一个最小的三边割集Z，且每个与X相交的边都经过Z，并且。这样的Z被称为G的一个特殊三边割集。显然，对于任何图和任何顶点，我们有。引理14([25])：设。那么，引理15：设和Z是G的一个特殊割集。如果（7）成立，那么（1）。（2）包含一个非空的合格真子集。证明：假设；根据引理12，我们有。众所周知，，所以，这意味着。如果g是奇数，设。根据，我们有。从，我们得到，这意味着。根据引理14，我们有。将其代回（8），我们得到。设。显然，对于，那么，这与（9）矛盾。如果g是偶数，设。根据，我们有。从，我们得到。根据引理14，我们有。将其代回（8），我们得到。设。显然，对于，那么，这与（9）矛盾。接着，。取和。应用引理12(ii)和，我们得到一个满足的的非空子集。因此，N构成了的一个非空合格真子集。□引理16：设和Z是G的一个特殊割集。如果（11）成立，那么（1）。（2）包含一个非空的合格真子集。证明：假设，根据引理12，我们有。众所周知，所以，这意味着。如果g是奇数，设。根据，我们有。从，我们得到。从，我们得到，这意味着。根据引理14，我们有。将其代回（12），我们得到。设。显然，对于，那么，这与（13）矛盾。如果g是偶数，设。根据，我们有。从，我们得到。根据引理14，我们有。然后，。设。显然，对于，那么，这与（14）矛盾。接着，。取和。应用引理12(ii)和，我们找到一个满足的的非空子集。因此，N构成了的一个非空合格真子集。□设是一组图，如果且仅当G是一个二连通图，并且存在G的一条边e，使得对于任何边割集X和，都有。我们称这样的e为G的一个特殊边。引理17：设，和e是G的一个特殊边。如果，那么（1）。（2）包含一个非空的合格真子集。证明：设。由于G是二连通的，并且对于任何边割集X，都有，因此，包含循环。假设。根据引理12，我们有。这意味着。因此，包含循环。假设。根据引理12，我们有。这意味着。然后，包含循环。假设。根据引理12，我们有。这意味着。由于，对于任何边割集X，都有，因此包含循环。假设。根据引理12，我们有。这意味着。然后，。设。由于对于，我们有。那么，这与（15）矛盾。如果g是偶数，设。根据，我们有。从，我们有。从，我们得到。根据引理14，我们有。然后，。设。显然，对于，那么，这与（14）矛盾。接着，。取和。应用引理12(ii)和，我们找到一个满足的的非空子集。因此，N构成了的一个非空合格真子集。□设是一组图，如果且仅当G是一个二连通图，并且存在G的一条边e，使得对于任何边割集X和，都有。我们称这样的e为G的一个特殊边。引理17：设，和e是G的一个特殊边。如果，那么（1）。（2）包含一个非空的合格真子集。证明：设。由于G是二连通的，并且对于任何边割集X，都有，因此，包含循环。假设。根据引理12，我们有。这意味着。然后，包含循环。假设。根据引理12，我们有。这意味着。因此，包含循环。假设。由于对于，我们有。那么，对于任何边割集X，都有。因此，包含循环。假设。根据引理12，我们有。那么，与。根据引理12，我们有。那么，这与（15）矛盾。如果g是偶数，设。根据，我们有。从，我们有。设表示G中与v或u的距离为的所有顶点的集合。由于距离的唯一性，对于任何，和都是不相交的集合。由于每一层中的每个顶点都为上一层贡献了一个度数，且每一层下的每个顶点都是上一层某个顶点的邻居，我们有。这意味着。因此，。总之，和越接近v，距离v最多为的顶点就越少。因此，我们假设。然后，，，根据（16），，。然后，。设。由于对于，我们有。那么，，。然后，。根据（16），，。然后，。设。由于对于，我们有。那么，。根据，我们有。然后，。然后，根据（17），。设。由于对于，我们有。然后，这与（17）矛盾。如果g是偶数，设。根据，我们有。设和。设表示与v或u的距离为的所有顶点的集合。由于距离的唯一性，对于任何，和都是不相交的集合。由于每一层中的每个顶点都为上一层贡献了一个度数，并且每一层下的每个顶点都是上一层某个顶点的邻居，我们有。这意味着。因此，。总之，和越接近v，距离v最多为的顶点就越少。因此，我们假设。然后，，，。根据（18），，。然后，。设。由于对于，我们有。那么，。根据，我们有。然后，。因此，这与（17）矛盾。然后，。取和。应用引理12(ii)和，我们找到一个满足的的非空子集。因此，N构成了的一个非空合格真子集。□定理5：对于任何简单的连通规则拟阵，如果周长和余周长满足某些条件，那么M有一个生成它的欧拉子集。证明：由于M是余图的，存在一个连通图G使得，因此。观察到，和。根据引理1和4，我们得到。因此，，因此。由于是二连通的，并且没有环，众所周知，一个拟阵M是连通的当且仅当其对偶是连通的，并且每个图形拟阵都同构于某个连通图的循环拟阵。由于既是余图的又是连通的，因此是连通的，并且存在一个连通的无环图G使得。因为平面图的循环拟阵有一个图形对偶，并且是非图形的，所以G不可能是平面的；因此，和。设满足（7）和（11）。观察到。从定义1以及引理1和4，我们得到。因此，，因此。由于是二连通的，每个集合都构成一个最小边割集，因此对应于中的一个回路。鉴于和，并且，中的每个大小最多为三的回路都必须与非空交集Z相交。如果，那么。根据引理17，包含一个非空的合格真子集。如果，那么意味着Z是G的一个最小三边割集；因此，Z符合G的一个特殊三边割集的定义。根据引理15和引理16，我们可以再次得出结论：存在一个非空且符合条件的真子集。设N是集合中的一个非空符合条件的子集。根据引理8，N也是集合M的一个非空符合条件的子集，并且满足某些条件。用R表示M的一个二进制简化形式。因为N是集合M的一个非空符合条件的子集，并且满足相关条件，所以我们有某些关系成立。如果R是符合条件的，那么根据（3）的性质，R有一个生成欧拉子集。如果R不符合条件，那么引理7(b)表明R不符合条件。注意到对于基集中的任何子集T，都有某些关系成立；因此，对于集合M中的任何子集T，也有相应的关系成立。但由于R是对M应用一系列收缩操作得到的结果，所以R没有环圈，并且R可以在集合M内部分解为若干个连通分量（其中R本身可能是一个单个连通分量）。对于集合M中的任何一个连通分量H，根据引理4，也有相应的关系成立。由于任何正规拟阵的所有子图都是正规的，因此H也是正规的。由于M是最小的反例，所以H一定有一个生成欧拉子集。因此，R也有一个生成欧拉子集。这与M有一个生成欧拉子集的结论相矛盾。□

4. 定理2的证明
根据引理9，我们可以将注意力限制在基圈长度大于三的拟阵上。设M是一个最小基集大小的反例，并假设某些条件成立。Seymour的分解定理（引理3）给出了一个分解结果，其中G和H分别是M的子图，且每个H要么是图拟阵，要么是余图拟阵，要么与M同构。因为M是连通的，所以G或H中至少有一个是图拟阵或余图拟阵。当H是图拟阵或余图拟阵时，我们有某些关系成立，因此H和G是M的正规子图。条件加上引理10排除了H或G是其他类型拟阵的可能性。此外，众所周知，图拟阵在i-和运算下是封闭的。因此，要么M本身就是图拟阵或余图拟阵，要么存在某个情况，其中至少有一个H是余图拟阵但不是图拟阵。

设M是一个基集基数最小的反例，并假设某些条件成立。根据引理10(i)和定理4、定理5，M要么是图拟阵，要么H是图拟阵。如果M是图拟阵，那么存在一个连通图G使得某些条件成立。由于M和（1）的性质，M有一个生成欧拉子集，这与M是最小反例的结论相矛盾。因此，H是图拟阵。由于H是图拟阵，存在一个连通图G使得某些条件成立。根据引理4，我们有某些关系成立。因此，根据定义1，M的每个最小边割都是G的一个回路。注意，对于任何边e，e是G的一条边。因此，对于任何边e，e都是G的一个路径。所以，对于任何边e，都有某些关系成立。

如果M是余图拟阵，设e是M中的一条边。根据定义2，e既不是M的环圈也不是余圈。由于M是连通的，并且G也是连通的，所以我们有某些关系成立。由于对于任何边e，都有某些关系成立，因此某些条件成立。因此，对于任何边e，都有某些关系成立。根据引理13，M包含一个非空子集T，使得T与e有特定的关系。因此，T是M的一个非空符合条件的子集。设R是M的一个二进制简化形式。根据引理8，我们有某些关系成立。由于R是M的简化形式，所以R包含了M的一些信息。由于M是最小的反例，根据引理7，R有一个生成欧拉子集，这与M有一个生成欧拉子集的结论相矛盾。

5. 开放性问题
在定理2中，我们只给出了一个具体的最小值，但我们没有证明这个最小值就是结果仍然成立的最小值。因此，我们可以考虑以下问题：
问题1：对于给定的整数c，存在什么最小的c值，使得由c和M组成的对对于所有正规拟阵来说都是欧拉对？
问题2：定理2的结果是否可以扩展到二进制拟阵，或者更一般地扩展到任意拟阵？