《重返 Moody：联合杰克表面板测量方法的最小二乘解》 韩海杰玛

《Metrology》：Moody Revisited: Least-Squares Solutions of the Union Jack Surface Plate Measurement Method Han Haitjema

　　摘要：在表面板的校准过程中，传统的Moody方法仍然被广泛使用。该方法通过测量连接支架配置中表面板上多条直线的直线度，并将这些数据综合起来以评估平整度。通过测量两条中心线来确定所谓的闭合误差。该方法的缺点是它对中心高度的测量结果具有不确定性，并且中心线的测量数据并未被用于评估过程中。本研究展示了如何将这些直线数据以最小二乘法的方式纳入评估中，从而提高了测量冗余性，使得不确定性降低了18%。此外，当使用重力矢量作为共同参考时（如电子水平仪所采用的），不确定性可以进一步降低。通过这种方式获取的测量数据进行最小二乘法评估后，不确定性相对于传统的Moody方法评估方法可再降低29%。这一点通过一个实际测量案例和额外的蒙特卡洛模拟得到了验证。

1. 引言
平整度的测量，特别是表面板的平整度测量，在尺寸计量学中是一个成熟的技术问题。对于表面板的平整度测量，传统方法基于自准直仪、电子水平仪或在角测量模式下工作的激光干涉仪系统，这些系统通过测量基座两侧的梯度变化来计算表面平整度[1]。如果使用带有角光学元件的自准直仪或激光干涉仪系统，则需要在矩形网格上进行测量[2]。这种同时测量两条对角线和x、y方向各三条直线的配置被称为“联合杰克”（Union Jack）配置，因其外观类似于英国国旗。使用这种配置的测量方法也被称为Moody方法，该方法由首位明确提出评估方法的作者命名[3]，其理论基础可以追溯到一本经典教科书中的早期描述[4]。

“联合杰克”配置具有很好的可扩展性，因此即使是对大面积表面进行测量，也能在合理的时间内完成，且Moody方法后的计算过程相对简单。目前，这种评估方法已被大多数自准直仪、电子水平仪和位移激光干涉仪系统的制造商采用，并在ASME B89.3.7-2013标准中得到了规定[5]。关于矩形网格配置的评估和不确定性已经有很多研究[6,7,8]，Drescher[9]基于现有方法评估了Moody方法中的不确定性来源[9]。Zahwi等人[10]对基于自准直仪和激光干涉仪的测量结果与CMM测量结果进行了比较；Espinoza等人[11]则对比了使用Moody方法的电子水平仪、自准直仪和激光干涉仪的测量结果，得出这几种方法在精度上没有本质差异的结论[11]。Garzón[12]提出了一种基于“联合杰克”配置和Moody评估方法的新方法。

本文回顾了原始的Moody评估方法，将其视为一类更通用测量问题的解决方案，并以矩阵计算的形式进行了表述。在此基础上，将Moody方法计算中忽略的中心线测量数据以最小二乘法的方式重新纳入评估中。对于使用电子水平仪的测量，可以利用重力矢量作为具有相同方向的测量线的共同参考。这种计算方式有可能进一步减少误差。Moody评估方法的一个优点是，通过将等于相应对角线端点的平面作为参考平面进行计算；然而，这个参考平面可能与应作为平整度评估基础的“最小区域”平面不同。本文通过一个实际测量案例和额外的蒙特卡洛模拟，说明了这三种评估方法在考虑参考平面时的不确定性差异。

2. 测量配置与基本评估
在基本测量配置中，需要测量x、y方向上的三条直线的直线度以及两条对角线的直线度。图1展示了从上方观察待测矩形水平表面的情况，图中标记了测量线L1..8和节点点A..I[1,2]。这些线和点的标记及方向可能因不同的出版物和软件实现而有所差异。节点点的高度用A..I表示。每条线上的测量点数量取决于测量基座的大小和物体的尺寸。以图1所示为例，沿x方向测量了Nx = 8个高度差，沿y方向测量了Ny = 6个高度差，沿对角线测量了Nd = 10个高度差。各个测量值mk,i表示沿Lk线上的测量点的高度差。这些测量结果会受到测量设备设置的影响，可以从中扣除一个系统偏差，因为更重要的是梯度的变化而非梯度本身。此外，还可以通过旋转地形使得线条在特定点开始和结束。例如，如果点X和Y的高度分别为X和Y，则沿Lk线的高度hk,j可表示为[3]（具体公式见图2）。

图2展示了N = 6时的计算过程：虚线表示方程(1)中的前两项，实线表示根据方程(1)计算出的最终高度hk,j。如果点X和Y的高度相同且中心点的高度被定义为零，则沿Lk线的高度可表示为[4]。

用于计算节点A..I高度的基本测量数据是这些点之间的高度差，例如图3所示[5]：M1..16表示这些点之间的高度差。

3. 测量评估
3.1. 根据Moody方法的评估
在原始的Moody方法中，测量数据M13..M16并未用于计算节点点A..I的高度，但在评估结束时，会使用方程(1)将L7线拟合在计算点B和E之间，L8线拟合在计算点D和F之间。在评估过程中，点I的高度被设定为零（I = 0），对角线的端点也被设定为相同的值（即H = A和G = C）。将这些值代入方程(5)得到特征矩阵[6]：

方程(5)中的矩阵可以直接求解，得到最终的解[7]：

根据这些结果，可以使用方程(4)计算各点的高度[8]：

例如：M5 = B ? A 和 M6 = C ? B，进而得到M6 ? M5 = A ? 2B + C（即方程(4)中的第三行）。由于参考平面的高度和方向未明确给出，这组方程无法直接求解。后续部分将探讨如何使用Moody方法解决这一问题以及其他替代方案。

3.2. 其他评估方法
除了Moody方法外，还可以采用其他方式进行评估。例如，基于“联合杰克”配置和最小二乘法的评估方法可以将参考平面（由对角线端点定义）纳入计算中，从而可能进一步提高测量精度[9,10]。这种方法的一个优点是能够更好地处理地形变化对测量结果的影响[11]。利用Gram-Schmidt正交化原理，闭合误差EDE可以被修改为一个与EBF无关的不确定性度量，得出以下方程：(11) 预期值可以表示为：(12) 不确定性可以根据方程(9)和(12)得出的值的均方根来估计：(13) 这意味着标准不确定性可以从具有两个自由度的测量中估计出来。3.2. 基于直线度测量的最小二乘评估 测量M13..16可以参与到评估中，而不仅仅是提供点I的闭合误差。这将方程(5)中的矩阵扩展为：(14) 假设测量M1..16具有相同的不确定性，方程(14)可以写为，其中是最小二乘解，这里的‘-’符号表示转置矩阵，是伪逆。这给出了一个解：(15) 这意味着通过中心的所有线的I = 0。角点的不确定性由u(A,C,G,H)给出，对于周长上的点B和F的不确定性，以及对于周长上的点D和E的不确定性。例如：对于Nd = 10，Nx = 8和Ny = 6，我们发现u(A,C,G,H) = 1.382·u(m)，u(B,F) = 1.364·u(m)和u(D) = 1.282·u(m)。显然，将线L7和L8纳入评估能够显著提高周长上点的不确定性。通过比较节点点不确定性的均方根可以估计出总体的不确定性改进：= 0.82，这意味着通过应用最小二乘解而不是传统的‘Moody’评估，节点高度的不确定性总体上减少了18%，并且中心点I的高度得到了明确的确定。可以通过用它们不确定性的倒数平方来加权测量值来精炼解，将方程(14)替换为方程(16)：(16) 然后按上述方法继续。然而，我们发现对于这种和其他网格尺寸，不确定性没有进一步的显著减少，因此我们得出结论，方程(15)可以普遍适用于测量点数量没有显著差异的相对规则网格配置。节点之间的点的高度可以使用方程(1)来计算。然而，点的调整意味着实际上沿着线L1..L8的直线度测量在线的中间被调整，因此在看似直线的测量中可能会出现折点。通过对测量线进行二次曲线校正可以获得更平滑的调整，例如对于线L3：(17) 如果沿着线测量了许多点，例如使用轮廓仪，这可能特别有用。在我们的实现中，使用方程(17)来计算节点之间的点。不确定性仍然可以从方程(7)、(8)、(11)和(13)中估计出来。另一种方法是计算卡方值，公式为：(18) 由于评估方法，方程(18)中的项相关性很强，因为只有两个自由度（从八个独立测量中计算出六个高度）。例如，方程(18)中的第一项和第二项相等，第三项和第四项也相等。从方程(18)可以估计出测量不确定性：(19) 实际上这给出了与方程(13)相同的结果。3.3. 基于具有共同参考线的最小二乘评估 当使用电子水平仪进行梯度测量时，也可以通过保持相同的参考方向来测量线之间的平行性，例如在x和y方向上的测量期间将参考水平保持在物体的相同位置。在这种情况下，可以考虑节点点Mi之间的高度差Mi,j，而不是每条线的二阶导数(Mi+1-Mi)。线L3、L4和L7的测量高度差在x方向上有共同的偏移（倾斜），而线L5、L6和L8的测量高度差在y方向上有共同的倾斜。对角线L1和L2与其他线没有共同的参考，因此对于这些线，二阶导数被认为是L1的M2-M1和L2的M4-M3，如方程(4)所示。再次通过定义I = 0来定义参考高度。这给出了方程：(20) 这里常数α和β表示参考平面的倾斜，表示为Mi在x和y方向上测量的点之间的高度差。方程(20)的最小二乘解为：(21) 这给出了一个解决方案，即倾斜平面上的高度A..H，可以分别对齐到对角线端点、最小二乘平面或最小区域平面。为了能够将不确定性与第3.1节和第3.2节给出的解决方案进行比较，必须将水平对齐到对角线端点整合到解决方案中。这可以通过以下方式实现：从方程(14)中取A ? H = 0得到α + β的方程；取C ? G = 0得到α ? β的方程。解这两个方程得到：(22) 和 (23) 使用方程(22)和(23)，方程(21)右侧的变量可以通过以下变换用测量值Mi表示：(24) 结合方程(21)和(24)得到：(25) 在方程(25)中省略了G和H的解，因为它们分别等于C和A。假设每个测量高度差mij的不确定性u(m)相同，可以从方程(3)推导出。这给出了角点u(A,C,G,H) = ，对于周长上的点B和F的不确定性，以及对于边缘上的点D和E的不确定性。例如：对于Nd = 10，Nx = 8和Ny = 6，我们发现u(A,C,G,H) = 1.09·u(m)，u(B,F) = 1.27·u(m)和u(D,E) = 1.23·u(m)。与第3.2节中的传统Moody方法相比，这与传统Moody方法的总体误差相比减少了29%，与第3.2节中的最小二乘解相比减少了13%。使用恒定重力参考（例如通过在固定位置使用参考水平仪进行差分测量）改进的水平测量不确定性，必须权衡保持此参考常数所需的额外 effort。可以通过基于方程(20)并使用方程(22)和(23)计算的α和β值来定义测量不确定性：(26) 从方程(26)可以估计出测量不确定性：(27) 这种不确定性具有10个自由度，因为进行了16次独立测量，从中确定了六个高度。4. 参考平面定义 通过最初设置I = 0并使对角线端点相等来定义参考平面具有其优势，因为它被唯一确定，并且如本文所示，可以直接整合到测量评估和不确定性评估中。仅考虑节点点时，也可以使用最小二乘平面，给出边界条件A + B + C = G + F + H；A + D + G = C + E + H和A + B + C + D + E + F + G + H + I = 0。这可以整合到方程(5)中，而不是将A = H、C = G和I = 0。然而，为了确定一个合适的最小二乘平面，必须考虑所有测量的高度，包括节点之间的点，这需要额外的计算。在ISO几何产品规格系统中，通常以最小区域平面作为参考，根据该平面，平坦度定义为整个表面所在的两个平行平面之间的最小距离。可以通过围绕x轴和y轴旋转参考平面来计算这一点，使得最小和最大高度之间的差异最小。将测量坐标写为hij(xi,yi)，这给出：(28) 其中α是围绕y轴的正角度旋转，影响x坐标，β是围绕x轴的负角度旋转，影响y坐标。这可以通过标准数学程序来评估，这些程序依赖于两个变量：两个角度α和β来最小化函数。另一种方法是交换算法，用于确定定义最小区域平面的关键点[13]。在此操作之后，可以从所有测量点中减去最低点的z值。需要注意的是，在Moody方法设计时（1955年），由于计算机尚未普及，这种计算几乎是不可行的。最小区域平面的方向取决于实际测量的地形，是特定于任务的。因此，无法制定通用的不确定性表达式，必须进行蒙特卡洛模拟来评估不确定性的传播。5. 蒙特卡洛模拟 在第3节中，可以分析节点点的不确定性；然而，对于节点之间的点的不确定性，分析计算几乎是不可能的。这也适用于平坦度偏差FLTt(EDPL)，因为它取决于实际地形，哪些点决定了平坦度偏差。因此，为了使用最小区域平面作为参考以及使对角线端点相等来评估实际测量的不确定性，进行了蒙特卡洛模拟，步骤如下：根据第3.1节、第3.2节和第3.3节中给出的方法之一评估测量结果，得到用于模拟的高度hi,j。对于对角线端点参考，评估平坦度偏差FLTt(EDPL)，以及对于最小区域平面，评估FLTt(MZPL)。这些值在模拟中作为参考。使用第3.1节、第3.2节和第3.3节中给出的适当方法从测量中估计测量不确定性u(m)。它可能会根据不切实际的值或研究目的进行调整。使用方程(22)和(23)计算出的α和β值来定义卡方函数，从而获得测量不确定性：(26) 从方程(26)可以估计出测量不确定性：(27) 这种不确定性具有10个自由度，因为进行了16次独立测量，从中确定了六个高度。4. 参考平面定义 通过最初设置I = 0并使对角线端点相等来定义参考平面具有其优势，因为它被唯一确定，并且如本文所述，可以直接整合到测量评估和不确定性评估中。当仅考虑节点点时，也可以使用最小二乘平面，给出边界条件A + B + C = G + F + H；A + D + G = C + E + H和A + B + C + D + E + F + G + H + I = 0。这可以整合到方程(5)中，而不是将A = H、C = G和I = 0。然而，为了确定一个适当的最小二乘平面，必须考虑所有测量的高度，包括节点之间的点，这需要额外的计算。在ISO几何产品规范系统中，通常以最小区域平面作为参考，根据该平面，平坦度定义为整个表面所在的两个平行平面之间的最小距离。这可以通过围绕x轴和y轴旋转参考平面来计算，以使最小和最大高度之间的差异最小。将测量坐标写为hij(xi,yi)，这给出：(28) 其中α是围绕y轴的正角度旋转，影响x坐标，β是围绕x轴的负角度旋转，影响y坐标。这可以通过标准数学程序来评估，这些程序依赖于两个变量：两个角度α和β来最小化函数。另一种方法是交换算法，用于确定定义最小区域平面的关键点[13]。在这种操作之后，可以从所有测量点中减去最低点的z值。请注意，在Moody方法设计时（1955年），由于计算机尚未普及，这种计算几乎是不可能的。最小区域平面的方向取决于实际测量的地形，是特定于任务的。因此，无法制定通用的不确定性表达式，必须进行蒙特卡洛模拟来评估不确定性的传播。5. 蒙特卡洛模拟 在第3节中可以分析节点点的不确定性；然而，对于节点之间的点的不确定性，分析计算几乎是不可能的。同样，对于平坦度偏差FLTt(EDPL)也是如此，因为它取决于实际地形，哪些点决定了平坦度偏差。因此，为了使用最小区域平面作为参考以及使对角线端点相等来评估实际测量的不确定性，进行了蒙特卡洛模拟，步骤如下：根据第3.1节、第3.2节和第3.3节中给出的方法之一评估测量结果，得到用于模拟的高度hi,j。对于对角线端点参考，评估平坦度偏差FLTt(EDPL)，对于最小区域平面，评估FLTt(MZPL)。这些值在模拟中作为参考。使用第3.1节、第3.2节和第3.3节中给出的适当方法从测量中估计测量不确定性u(m)。它可以根据需要进行调整，以适应不切实际的值或用于研究目的。使用hij和u(m)的计算值生成一组模拟测量值mij：(29) 其中r是均值为零、标准差为单位的高斯分布随机数。应用方程(29)模拟计算出的地形hi,j的测量，其中测量仪器引入了遵循高斯分布的标准不确定性u(m)的误差。评估模拟测量结果，并记录平坦度偏差FLTt(EDPL)和FLTt(MZPL)。重复步骤4和5数千次，其中模拟的平均平坦度偏差与参考值的偏差称为偏差，模拟测量的平坦度值的标准差称为标准差。记录这种偏差，因为认识到不可重复的测量倾向于给出更高的而不是更低的形状偏差[14]。例如，我们取一个完美平坦表面的测量结果，给出hij = 0，使用具有1 μm标准偏差的测量仪器进行测量，例如具有10 μrad标准偏差和100 mm测量基座的电子水平仪。表1显示了2 × 2测量网格（Nd = Nx = Ny = 2）和8 × 6点配置的模拟结果：Nd = 10，Nx = 8，Ny = 6。表1显示，与传统的Moody评估相比，最小二乘评估和以最小区域平面作为参考都导致了更低的偏差和更低的不确定性。在这种情况下，偏差远大于标准偏差（重复性）。这意味着在不确定性预算中必须同时考虑偏差和标准偏差，特别是对于那些平整度偏差处于所用仪器测量极限范围内的平板。在进一步的不确定性评估中，偏差和标准偏差可以分别被视为B类不确定性和A类不确定性。

6. 测量示例
一块900毫米×700毫米×150毫米的平板使用分辨率为1微弧度的电子水平仪进行测量，测量区域为80毫米×480毫米，得到的结果为Nd = 10，Nx = 8，Ny = 6。这些测量次数对应于第3节中讨论的示例，不过第3节中给出的方程（尤其是方程（6）、（15）和（21）适用于任何测量次数，这一点已经通过多种测量配置进行了验证。不同方法测得的地形图没有本质上的差异，如图4所示。图4展示了花岗岩平板的测量地形图。表2总结了测量结果、估计的测量不确定性以及基于u(m) = 0.21微米的偏差和标准偏差。表2根据第3.1节、第3.2节和第3.3节描述的方法得出的测量评估结果。表2中的结果证实了第3节中分析的一般趋势。最小二乘法评估预测的较高不确定性可能是由于自由度较高以及评估中考虑了线条的平行性。在经典Moody评估的蒙特卡洛模拟中观察到的显著偏差可能是由于L7线和L8线导致的闭合误差和交点I，该交点也可能是在模拟中定义FLTt值的最低点。大多数数值取决于实际地形和测量数据，但总体趋势是，最小二乘法评估得出的不确定性低于经典Moody评估。

7. 可追溯性和不确定性考虑
通过自准直仪和激光干涉仪测量中光在空气中的直线传播，以及水平仪测量中的重力矢量，可以建立对理想平面的可追溯性。对于尺寸不超过2米×2米的表面，地球曲率对基于水平仪的测量的影响小于0.1微米的偏差[7]。Geckeler等人[15]对温度和气压对自准直仪测量的影响进行了广泛研究。平整度偏差的值取决于测量底座的长度和角度测量设备的校准情况。这些值的不确定性通常低于百分比水平，对于合理的平整表面来说大多不显著。其他因素包括这些测量对平板的覆盖范围、平板的湿度和温度梯度以及测量脚的尺寸。Drescher[9]已经详细讨论了这些方面，此处不再赘述。本文的重点是测量评估及其不确定性。

8. 结论
通过利用测量冗余性应用最小二乘法评估，可以改进传统的Moody方法。这通常可以将平整度测量的重复性和偏差提高约20%，并得出中心处平板高度的单一数值。根据地形的不同，选择最小区域参考平面可能会得到显著较低的FLTt值。如果不进行这些改进，Moody方法倾向于给出过高的FLTt值，从而增加错误剔除平板的风险。通过使用恒定参考重力（例如通过差分测量并将参考水平仪固定在固定位置）来进一步提高水平仪测量的不确定性，需要权衡保持这一参考恒定所需的额外工作。