SICABI：基于对称性信息的随机建模方法——通过主导周期平稳性和递归自适应参数密度估计 作者：Daniel Canton-Enriquez、Jorge-Luis Perez-Ramos、Selene Ramirez-Rosales、Luis-Antonio Diaz-Jimenez、Ana-Marcela Herrera-Navarro、Hugo Jimenez-Hernandez

《Symmetry》：SICABI: Symmetry-Informed Stochastic Modeling via Dominant-Period Stationarity and Recursive Adaptive Parametric Density Estimation Daniel Canton-Enriquez, Jorge-Luis Perez-Ramos, Selene Ramirez-Rosales, Luis-Antonio Diaz-Jimenez, Ana-Marcela Herrera-Navarro and Hugo Jimenez-Hernandez

　　摘要 城市环境中的风动力学表现出非平稳性和显著的空间变异性，当假设单一的全局分布时，这使得随机建模变得复杂。本文讨论了在局部层面上使用SICABI（一个两阶段框架）在准平稳状态下降风密度的估计方法：（i）通过谱功率分析进行平稳区域识别（ISR），为每个位置确定一个特定的主导周期，并使用增强迪基-富勒（ADF）检验来验证诱导的子采样；（ii）RAPID通过递归更新混合参数并在归一化成员距离超过阈值时创建新组件来调整自适应参数密度。分析使用了2023年1月1日至12月31日期间从墨西哥克雷塔罗大都会区的八个站点收集的风速记录，数据以10分钟的分辨率进行聚合，从而为每个站点构建了风速分布。RAPID与高斯核密度估计（KDE）（使用Silverman带宽）和基于BIC选择的EM拟合高斯混合模型进行了比较。所获得的密度与使用MISE和RMSE指标从固定网格上的直方图中估计的实证密度进行了对比。结果表明，在主导周期性和残差行为（包括不对称性和重尾）方面存在显著的站点依赖性差异。ISR识别出的主导周期从37天到166天不等，而RAPID在不预先固定混合组件数量的情况下调整了其复杂性。定量上，RAPID在6个站点上实现了最低的RMSE，在5个站点上实现了最低的MISE，同时在相同输入下也比KDE和MoG具有更短的执行时间。结果支持RAPID作为用于非平稳城市气候信号中特定站点密度估计的竞争性自适应方法。在这种情况下，局部状态可以被视为在弱随机意义上随时间平移的近似不变量，而偏离这一假设则体现在站点间的分布复杂性增加上。

1. 引言
大气模型使用历史数据来表征气候动态并理解气象变量之间的相互作用。在这些变量中，风速尤为重要，因为其变化会影响温度、大气压力和湿度等其他变量[1]。这些变量对于公共政策和决策制定非常重要，特别是在卫生领域，已有文献记录了极端天气条件与死亡率增加之间的显著联系[2]。同样，气候行为也影响关键的经济部门，如农业[3]、水资源管理[4]、旅游业[5]和能源生产[6,7]，所有这些部门在规划和运营上都强烈依赖于环境条件。
气候变化是一个现实问题，它使得估计气候变量（如降雨强度和干旱期）以及极端事件（如飓风、热浪和森林火灾）的发生变得困难，这需要自动化的决策支持工具[8,9]。气候预测的主要挑战之一是模拟气候变量的随机性质，这会影响模型的准确性，进而影响决策制定。同样，确定性模型也难以表示风速的动态和时间变异性[10]。此外，局部地形条件引入了额外的变化，进一步复杂化了建模。
气候变量的时间变化导致在较长时间间隔内出现非平稳的准周期行为[11]。尽管如此，这些准周期模式允许通过在较短时间间隔内假设平稳性来进行局部近似[7,12,13]。局部平稳性使得可以使用平稳统计方法获得合理的预测并发现有用的趋势[14]。然而，将风速视为一个复杂的环境变量引入了另一个挑战：有效估计其概率密度函数（PDF）[15]。在这种情况下，概率模型提供了一个自然的替代方案，因为它们允许通过参数PDF来表示数据，并便于识别观测中的随机结构。
本研究的方法论目标不是泛泛的随机建模，而是针对每个站点在局部尺度上估计PDF，同时考虑非平稳且空间异质性的风条件。在城市地区，如风这样的气候变量的测量受到局部暴露、建筑地形和地貌的影响。这可能导致它们的统计行为从一个站点到另一个站点以及随时间发生显著变化。在这种情况下，单一的全局密度或固定的混合组件可能无法充分反映以下挑战：局部尾部、次级模式或不确定性结构的变化。这促使了一个框架的诞生，该框架首先识别局部准平稳状态，然后通过自适应参数结构来估计相应的密度。
目前用于估计环境序列密度的方法可以大致分为三类。首先，全局参数模型采用预定的功能形状和一组固定的组件，这在异质性强的局部情况下可能过于限制。其次，非参数估计器（如KDE）提供了灵活性，但其性能严重依赖于带宽选择，并可能过度平滑多模态或重尾分布。第三，基于局部平稳性的方法提供了一种原理性的方法来隔离统计特性相对稳定的区间，但它们本身并未定义如何自适应地估计结果密度。本工作解决的问题在于将局部状态识别与不需要提前固定组件数量的自适应参数密度估计器相结合。
随机模型的自动构建涉及设计其结构和参数是从数据中推断出来的概率模型。这种方法最小化了人为干预，并避免了强加严格的全局假设。每当添加新的观测数据时，模型会迭代更新，使其能够适应局部模式、时间变异性以及潜在过程动态的变化[16,17]。在城市气候应用中，由于地形、土地覆盖和暴露条件的不同，局部风行为可能会从一个站点到另一个站点发生显著变化，这就证明了使用特定站点的随机建模策略的合理性[18,19]。在这种情况下，从历史数据自动构建随机模型应包括三个阶段：（a）识别局部平稳性；（b）通过参数结构估计PDF的参数；（c）验证拟合的质量。
首先，（a）识别局部平稳性旨在找到统计属性大致保持不变的区间。这使得可以使用分段平稳模型[12,14]。为了估计主导周期，采用谱分析，并使用增强迪基-富勒（ADF）检验来统计验证诱导的子采样[20,21]。相应的基础知识和正式定义在第2节中介绍。随后，（b）使用参数混合模型估计PDF的参数。这种方法优先考虑递归更新，基于识别的区间进行增量调整[16,17]。最后，（c）通过差异标准和残差分析来验证拟合质量，并通过与已建立的参考方法进行比较来进一步支持。
墨西哥克雷塔罗大都会区（MAQ）（见图1）被用作案例研究有两个主要原因：（i）需要表征城市环境中气象变量的局部变异性，以改善监测和决策制定；（ii）拥有来自当地气象网络的高频和多站点测量数据。这一动机与国际关于综合城市服务和城市气候监测的指南一致，这些指南强调了高分辨率局部观测在城市中的价值[22,23]。特别是，本研究使用了RedCIAQ-UAQ网络，该网络提供分钟级的气候数据，是评估基于时间分割和密度估计的自动化方法的合适来源[24]。图1. 案例研究的地理位置和站点分布。（a）克雷塔罗州在墨西哥的位置（橙色轮廓）。（b）克雷塔罗大都会区在州内的位置（蓝色轮廓）。（c）MAQ的地形表示，带有颜色调色板（海拔）以及所考虑的八个气象站的空间分布（红色圆圈）。
本文介绍了SICABI（在特万特佩克地峡的萨波特克语中，“sicabi”意为“像风一样”，象征着所提出框架的动态和自适应性质），这是一个用于从MAQ气象站获取的原始数据自动构建随机模型的框架。数据集包括每个站点的地理信息，以及2023年1月1日至12月31日期间在八个站点收集的分钟级测量数据。气候记录每隔10分钟汇总一次，然后模型通过期望最大化（EM）算法的递归版本来识别每个地理位置的局部平稳期，并据此估计相应的密度。这样，结果模型根据每个站点的局部主导状态发生变化，这受到地形和风动态的影响。

鉴于上述情况，本研究的主要贡献如下：
SICABI，一种用于环境时间序列中局部准平稳状态下的随机密度估计的两阶段框架。
ISR（平稳区域识别），一种通过谱分析识别主导局部周期并使用ADF检验验证诱导子采样的程序。
RAPID（递归自适应参数密度估计），一种自适应密度估计器，当不满足局部成员标准时递归更新混合参数并创建新组件。

在共同协议下对KDE和MoG进行的实证评估，说明了在城市气候案例研究中自适应复杂性、拟合精度和计算成本之间的权衡。

2. 理论基础
本节描述了该框架的基础知识。这些内容分为三个阶段：（i）时间分割和局部平稳性；（ii）使用参数混合的密度估计；（iii）基于数据流的自适应密度模型。

2.1 平稳区域的识别
本节介绍了ISR（平稳区域识别），因为气候序列在长时间范围内通常表现出非平稳行为；然而，它们可以在较短的时间间隔内近似为局部平稳[12,14]。根据这一假设，识别平稳区域涉及找到统计属性相对保持不变的区间。
谱分析有助于表征准周期模式和状态变化。设为长度为N的离散序列。离散傅里叶变换（DFT）[25]定义为（1），其计算复杂度为。为了解决长时间序列的这一限制，快速傅里叶变换（FFT）[26]可以通过Cooley-Tukey分而治之方案[21]实现DFT的高效计算，从而将复杂度降低到。
在频域中，信号的谱功率量化了每个频率分量的能量贡献，定义为（2），该表达式允许识别代表周期结构的主导频率。因此，如果一个时间区域的谱特征随时间保持稳定（例如，在滑动窗口方法下），则认为该区域是平稳的候选者。
一旦确定了主导频率，通常会使用单位根检验（如ADF[20]（以及补充的KPSS[27]）进行验证测试，以确认识别的区间满足推断意义上的平稳性标准[28]。

2.2 参数函数的混合
通过参数函数的混合进行密度估计产生的模型基于复杂分布，通常是来自已知分布族的凸组合。不失一般性，高斯混合（MoG）方法已在多种情况下得到应用。考虑一个单变量连续随机变量x，带有K个组件的MoG可以表示为PDF近似：（3），其中表示观测概率。
K个元素的枚举，每个元素i由个体元组表示，每个参数函数可以通过期望最大化（EM）迭代计算，其目的是最大化模型的对数似然[16,17,29]。在顺序（数据流）场景中，存在在线版本的EM，这些版本在新观测数据到达时更新参数；这些通常用于经典的自适应建模应用[30]。
（3）的一个结构限制是它预先固定了K的值。使用如AIC/BIC这样的信息标准来选择K；然而，在非平稳或多模态变化的情境中，可能需要采用动态组件增长的方案。

2.3 RAPID：递归自适应参数密度估计
本研究介绍了一种基于参数混合概念的自适应密度模型。该模型提供了两个关键优势：(i) 它便于在线更新重要参数；(ii) 它允许根据观测到的结构变化增加组件的数量。设 为任何地理位置的气候变量的观测序列，其中密度表示为以下高斯混合模型（MoG）： (4) 其中参数 K 可以随时间变化。为了将新的观测值 x 分配给现有的组件，采用了一种基于距离的归一化方法，如下所示： (5) 当 超过一个定义的阈值（表示为 ）时，创建一个新的组件；否则，递归更新所选组件的参数。一种与递归方法兼容的常见更新方法，例如在 EM 技术中使用的那些方法，在 [31] 中有详细描述： (6) (7) 其中 是一个参数，用于控制模型的适应性速率。3. 材料与方法本节描述了 SICABI 框架的操作方法和计算实现。局部平稳性的识别基于第 2.1 节。相比之下，参数混合模型的构建和自适应方案的制定基于第 2.2 节和第 2.3 节。数据来源、一般处理流程、实现的算法及其计算复杂性在下面详细说明。为了便于阅读方法流程，图 2 总结了所提出框架的操作工作流程。该过程从获取和规范气象记录开始，接着通过 ISR 识别局部准平稳状态，最后通过 RAPID 进行自适应密度估计，并将其与参考方法进行比较。图 2. SICABI 的一般工作流程，从气象数据预处理和局部平稳性识别到自适应密度估计和性能评估。2.1. 研究区域和数据描述墨西哥的 Queretaro 大都会区（MAQ）被选为研究区域，因为其城市和城郊的异质性影响了局部大气行为。MAQ 位于 Queretaro 山谷及其地理过渡区，包括北部的 Buenavista 山谷和东部的 Amazcala 山谷。这些地形、暴露程度和局部地形的差异导致风动力学在相对接近的站点之间也存在空间变异性。这种异质性在城市环境监测中尤为重要，因为风影响通风、气体传输和污染物扩散 [32]。在这种情况下，特定于位置的随机模型比统一的全球假设更为合适 [22,23]。使用 RedCIAQ–UAQ 网络中的自动气象站的历史记录来构建随机模型。该网络提供分钟级的实时气象观测数据 [24,33]。在本研究中，选择了风速作为目标变量。为了进行空间背景分析，考虑了两个互补的信息来源：(i) 每个站点的气速时间序列；(ii) 每个站点的静态地理元数据，包括纬度、经度和平均海平面上方的高度。图 1 展示了研究区域的地理位置和八个监测站点的空间分布。表 1 总结了每个站点的地理属性以及风速的描述性统计信息。这种组织方式使得可以联合解释空间背景、监测位置和观测到的变异性。表 1. 监测站点的地理信息和风速的描述性统计。注意：气象观测数据来源于 RedCIAQ–UAQ。纬度、经度和高度是用于空间背景分析的静态地理描述符，而风速统计数据则是根据本研究分析的观测期间计算得出的。表 1 显示了监测站点之间风行为的显著空间异质性。Aeropuerto 的平均风速最高（4.323 m/s），表明流动模式更为持续，而 Amazcala 的平均值最低（0.438 m/s），与较弱的局部环流一致。La Griega 记录了最高的最大风速（22.0 m/s），表明发生了较强的极端事件，同时站点之间的变异性也相当大，标准差范围从 1.307 到 2.388 m/s。这些差异支持使用特定于站点的随机建模策略，而不是对整个 MAQ 使用单一的均匀概率表示。地理描述符和气象统计数据之间的明显时间差异是由于它们在分析中的不同作用。纬度、经度和高度是每个站点的固定属性，而风速统计数据对应于本研究考虑的观测期间，即从 2023 年 1 月 1 日到 2023 年 12 月 31 日。明确这种区别是为了避免将静态空间元数据和时间依赖的气象测量结果混淆。在操作上，记录按站点被组织成标准化的时间序列，表示为 。在建模之前，应用了基本的质量控制程序，包括时间戳同步、删除重复数据以及通过线性插值处理缺失值。为了同质化分析并减少高频变异性，使用操作符 将分钟级观测数据聚合到 10 分钟的分辨率，定义为非重叠窗口的平均值。这产生了每个站点 s 的规则序列 ，该序列被用作图 3 中所示 ISR 阶段的输入。图 3. SICABI 的三阶段框图：(a) 预处理和构建每个站点的规则序列 ；(b) ISR 通过 FFT、谱功率（排除 DC）和 ADF 验证来估计主导模式，定义子采样 ；(c) RAPID 使用操作符 （由 控制）拟合自适应参数混合模型，生成 、 和 。2.2. SICABI 框架的一般方案图 3 总结了 SICABI 框架的操作流程。从概念上讲，局部平稳性的评估基于第 2.1 节。另一方面，参数混合模型的构建和自适应方案的制定分别基于第 2.2 节和第 2.3 节。该框架总结了帮助在非平稳场景中发现局部平稳性的操作过程，从而能够创建由参数方法本地解释的随机模型。本章描述了实现这些基础的具体参数化和计算实现。3.3. 算法实现SICABI 框架的实现包括两个主要步骤：ISR 和 RAPID（见图 3）。ISR 使用谱分析和推理验证来识别局部平稳性（见第 2.1 节）。随后，RAPID 基于参数函数的混合模型构建密度估计，并递归更新和动态增加组件数量（见第 2.2 节和第 2.3 节）。本节详细介绍了参数化决策、算法结构和计算实现方面。下面介绍了实现的 ISR 和 RAPID 算法（分别为算法 1 和算法 2）。算法 1 静态区域识别（ISR）所需：x? 长度为 N 的历史数据。确保：? 估计的主导平稳期（或 ）。1：程序 ISR(x) 2：?? 快速傅里叶变换 3：?? 从谱功率中获取主导周期 4：??? 5：??6：??如果 则 7：??返回 8：??否则 9：??返回 ? 如文中的所述回退策略（见第 3.4 节）10：??结束 if11：结束程序算法 2 递归自适应参数密度估计（RAPID）所需：?? 每个单位采样的子序列。所需：?? 属于阈值。确保：?? 混合参数。3：程序 RAPID() 2：??初始化?? 第一个组件 3：???? 学习因子 4：??对于所有 执行 5：????? 最近的组件及其距离 6：????? 如果 则 7：????? 更新 8：???否则 9：???? 新组件 10：??结束 if11：结束 for12：返回 13：结束程序一旦通过 ISR 确定了主导周期性并验证了子采样的平稳性，RAPID 就拟合一个自适应参数混合模型。实现采用了三个操作符：（初始化）、（分配/成员资格标准）和（递归参数更新），符合第 2.3 节的理论公式。算法 1 假设数据对应于完整的观测值，考虑了采集和/或传输过程中固有的噪声水平。为了估计平稳性，操作符 计算正频率上的谱功率，并根据方程（8）确定主导周期： (8) 方程（2）中定义的谱功率 和 。操作符 计算排除 DC 分量的主导周期： (9) 方程（9）， 表示能量最高的频率的索引（不包括 DC），而 表示样本数量中的主导周期性。这个估计被视为采样候选，并随后使用 ISR 中的 ADF 进行推理验证（见第 2.1 节）。关于 RAPID，操作符 使用平均值 和初始方差 初始化一个组件。操作符 使用阈值 确定 是否属于该集合，并返回最近的组件 以及最小距离 。最后，根据学习率 递归更新所选组件的参数（见第 2.3 节）。3.4. 配置和超参数表 2 总结了 ISR 和 RAPID 的超参数设置。比较协议（KDE/MoG）也是如此。为了确保可重复性和可比性，这些值在所有站点保持不变；相比之下，站点依赖的输出（例如 和 ）在第 4.3 节中报告。表 2. ISR、RAPID 和比较协议中使用的配置和超参数。如果应用于 的 ADF 测试没有拒绝单位根的零假设（即 ），则不探索替代的谱峰值。相反，设置 （无子采样），并继续 RAPID，将这种情况记录在结果部分进行分析。3.5. 实现问题本小节讨论了三种实现算法的计算复杂性。复杂性分为三个主要阶段：使用 FFT 的谱分割；ISR 中的平稳性和周期性选择的统计验证；RAPID 中的自适应密度估计。此后，N 表示每个站点的聚合序列的长度。设 为计算大小为 N 的序列的 FFT 所需的时间。Cooley-Tukey 方案的重叠次数为 ，其解为 。这种复杂性优于直接 DFT 计算，后者的成本为 。ISR 应用 FFT 的复杂度为 。估计主导周期 需要 ，检查谱幅度。每 个单位进行子采样 需要 ，在最坏的情况下（当 ）为 。对于固定延迟数的 ADF 测试，通常认为是 。因此，ISR 主要由 FFT 支持： (10) 设 为由 引起的子序列（每个站点 s），设 (11) 其长度。在规则子采样条件下，其中 N 表示聚合序列的长度。的初始化具有恒定复杂性。在这些情况下，如果组件数量随 t 线性增加，则评估在 继续进行。在组件数量稳定的典型情况下，计算计算机成本的估计在 中进行。因此，RAPID 的最坏情况计算复杂性定义为 (12) 在通常的形式中，当 K 稳定时，成本 几乎是线性的（假设 K 是有限的）。ISR 的主要复杂度为 。设 为子序列的长度，在规则子采样下。RAPID 的最坏情况成本为 ，当组件数量稳定在 时通常 。全局成本表示为 (13) 在 K 有界的典型情况下，最终复杂性为 (14) 尽管 RAPID 的最坏理论情况是在组件数量无限制增长时，但在使用的配置中（见表 3），组件数量稳定在一个较小的值。在这种典型情况下，RAPID 的密度估计阶段的成本可以近似为 ，并且当 考虑有界时（例如，在我们的实验中），复杂性实际上是线性的： (15) 表 3. RAPID 每个站点生成的最终组件数量。这一点对于比较很重要，因为 ISR 被用作构建 的共同预处理步骤，且 KDE 和 MoG 都在同一子序列上进行拟合（见第 4.2 节）。因此，实验中观察到的成本差异主要反映了每个估计器的密度阶段的复杂性。在这个阶段，RAPID 以有效线性成本增量操作，当 受到限制时。4. 实验分析和结果本节详细介绍了用于分析 SICABI 框架性能及其识别真实气象数据中随机结构能力的实验设计。首先，(i) 使用 ISR 方法检查与局部准平稳性相关的主导周期性。然后，(ii) 使用 RAPID 算法获得自适应密度估计。最后，(iii) 按照统一的比较协议，与当前状态技术（KDE 和 MoG）进行直接比较。4.1. 实验过程实验过程包括以下阶段：主导周期性估计和准平稳性验证。对于每个地理站点s，对聚合序列应用ISR来估计一个主导周期，并推断性地验证相关子采样的准平稳性。使用RAPID进行密度估计。从子采样（由主导周期定义）开始，使用RAPID拟合一个自适应参数混合模型，评估其稳定性、效率以及对经验密度的拟合效果。与替代方法的比较：使用相同的输入集，通过定量指标和图形证据将RAPID与KDE和MoG进行比较。同时讨论了计算复杂性的问题。4.2 比较的协议和指标ISR算法最初估计聚合序列中样本数量的主导周期性，并将其用作构建子采样的步骤。由于采样每分钟发生一次，因此以天为单位报告周期，以便进行气候学解释。在本节中，表格中报告的值对应于该周期。为了衡量估计密度与经验参考值之间的差异，所有函数都在定义在区间上的规则网格上进行评估，其中表示第j个网格点，m是在离散近似中使用的网格点总数。在这项研究中，使用从构建的标准化直方图来近似经验密度。符号表示由RAPID、KDE或MoG估计的密度，而表示经验密度。量表示相邻网格点之间的均匀间距。在这种离散表示下，RMSE量化了网格上的平均点态偏差，而MISE近似了沿支撑集的积分二次误差。KDE和MoG是在RAPID在每个站点使用的相同数据集上拟合的，因此观察到的差异反映了估计机制本身，而不是预处理或数据选择的差异。在KDE中使用了高斯核，并使用Silverman规则选择带宽。在MoG中，使用BIC选择组件数量，并使用经典EM进行拟合。为了确定这一点，评估了。报告的定量指标如下：4.3 结果 4.3.1 使用ISR估计主导周期性在第一阶段，使用ISR检查每个地理MAQ站点的年度时间序列。通过对平滑后的信号进行谱估计来减少高频噪声。子采样使用ADF测试进行了验证。图4展示了机场站点的程序。顶部部分显示了原始序列及其平滑版本，而底部部分显示了功率谱。主导周期是从最大谱功率（不包括直流成分）确定的，解释为与站点盛行风动态相关的最高能量周期成分。图4. 用于估计主导风周期性的谱分析示例（机场站点）。上图显示了原始数据（蓝线）和平滑后的数据（红线）。表4显示了每个站点的主导周期结果。不同站点之间的差异显著，表明风的时间结构受到局部动态的影响。表4. ISR识别的主导周期（四舍五入到最接近的整数）。如图1所示，位于山谷外的站点（例如Amazcala和La Griega）和Cimatario站点表现出更长的主导周期，而Jáuregui和Belén等站点则表现出较短的周期。这种变异性与局部条件（微气候、暴露和地形）一致，并支持使用自适应估计器（如RAPID）来捕捉依赖于站点的概率结构。4.3.2 使用RAPID进行密度估计一旦估计出每个站点的主导周期性，就构建了，并使用RAPID调整了PDF。这种方法允许根据与主导时间制度相关的数据集自适应地调整参数函数混合物，避免了在全球调整时可能出现的偏差。图5显示了获得的调整的一个代表性案例。可以看出，RAPID在不需要预定义组件数量的情况下再现了密度的一般形状和局部模式。图5. 使用所提出的模型进行密度估计。为了评估拟合的质量，在G网格上定义了逐点残差：图6显示了残差的分布，其中在零附近有很强的集中。表5总结了残差的统计矩。在所有站点，平均值都接近零，表明没有系统偏差。另一方面，像Amazcala这样的站点表现出高不对称性和峰度，这与极端事件和重尾分布一致。因此，残差通常不被视为严格正态的；相反，它们表现出位置依赖的异质性和零中心性。表5. 残差误差的统计矩。总体而言，这些结果表明，当潜在的随机结构未知或存在与局部动态相关的高尾和多模态性时，使用自适应参数混合模型在 上拟合PDF是一个稳健的选择。表3报告了RAPID在每个站点生成的最终组件数量。这个值总结了表示由捕获的主导制度中的风密度所需的结构复杂性。可以看出，组件数量从5到10不等，反映了多模态性、不对称性和重尾分布的局部差异。例如，Juriquilla和Aeropuerto等站点的组件数量较多，这与更复杂的结构相符。另一方面，像Cimatario这样的站点则使用较少的组件数量，这与更紧凑的概率结构一致。这种行为直接证明了RAPID中由控制的动态增长机制，而不预先设定固定的组件数量。4.3.3 RAPID对成员阈值的敏感性由于阈值 直接控制RAPID中新组件的创建，因此进行了敏感性分析，以检验估计器对此超参数变化的响应。在这个实验中，初始化方差保持不变，只有 进行了变化。分析针对三个代表性站点进行：Amazcala、Aeropuerto和La Griega。选择这些站点是因为它们表现出不同的随机行为，包括重尾、极端事件和结构更复杂的风制度。对于每个站点，使用上述相同的预处理和评估协议在相应的序列上拟合了RAPID。在网格上变化了阈值。对于每个 值，记录了最终组件数量、RMSE和MISE。在RAPID的超参数中， 给予了优先考虑，因为它与结构增长最直接相关，而 主要影响新创建组件的初始化规模。图7显示了RAPID对三个选定站点中变化 的响应。一般来说，较小的值促进更激进的组件创建，这会增加 ，而较大的值则产生更紧凑的混合物。图7. RAPID对Amazcala、Aeropuerto和La Griega的成员阈值的敏感性。该图显示了在固定 和相同输入序列下每个站点的最终组件数量、RMSE和MISE的变化。表6总结了在测试值下三个站点的数值结果。敏感性分析揭示了结构复杂性和拟合质量之间的明显权衡。对于Amazcala，较小的值产生了更灵活的混合物，配置也为最佳拟合分数，RMSE最小为0.032447，MISE最小为0.027600。随着 的增加，组件数量从10减少到9，然后到8，同时RMSE和MISE略有恶化。这种行为表明，对于像Amazcala这样具有重尾的站点，较小的阈值可以改善局部不规则的表示，尽管增益仍然适度。对于Aeropuerto，大部分网格上的响应更为平滑，尽管最大阈值导致了明显的恶化。组件数量从 在 的时候减少到 在 的时候，然后在中间范围内的大多数时候减少到 ，最终在 的时候减少到 。最佳拟合是在 （RMSE = 0.005622，MISE = 0.001365）时获得的，但在使用较少组件的情况下，围绕基线的值仍然非常接近（RMSE = 0.005712，MISE = 0.001410）。这表明 对于这个站点，仍然提供了有利的复杂度-准确性平衡。对于La Griega，响应更为稳定，并显示出一个广泛的中间最优值。除了 在 的情况下，估计器在探索的范围内保持在 。最佳性能是在 达到的，其中RMSE和MISE都达到了最小值（RMSE = 0.018802，MISE = 0.014851）。在这种情况下，基线配置正好位于表现最好的平台上，表明原始选择已经提供了紧凑性和忠实度之间的适当平衡。在三个站点中，整体趋势表明，随着 的增加，单调或分段单调地减小，证实了 在RAPID中作为结构增长控制参数的作用。相比之下，RMSE和MISE在网格的中间区域内变化相对较小，这表明估计器对 的适度变化具有合理的稳定性。主要偏差出现在极端情况下：较小的值通过增加组件来提高灵活性，而过大的值可能会简化混合物并降低准确性。这些结果支持将 视为RAPID中的增长控制参数：较低的值通过创建更多组件来提高灵活性，而较大的值则以牺牲不规则尾部或次要模式的忠实度为代价更倾向于简单的混合物。从方法论的角度来看，这项分析支持使用固定的全局值 作为统一的比较协议，因为它在三个代表性站点上都保持了或接近最佳折中。同时，结果还表明，特定于站点的调整可能会带来适度的改进，特别是在像Amazcala这样需要更复杂混合物的分布中，或者在可以容纳稍微丰富混合物的情况下。因此，自适应或数据驱动的组件选择仍然是未来工作的一个直接方向。4.3.4 与最先进替代方法的比较为了评估RAPID的性能，它直接与KDE和MoG进行了比较，这两种方法分别是广泛使用的非参数和参数方法。在所有情况下，都使用相同的数据集对三种方法进行了校准，以确保统一的比较。在KDE中，使用了根据Silverman规则 [34] 选择带宽的高斯核。在MoG中，使用EM [35] 进行模型拟合，并使用BIC 和 来选择组件数量。相比之下，RAPID根据局部数据结构动态调整组件数量。图8显示了拟合之间的定性比较。KDE倾向于平滑密度并可能低估次要模式。MoG对由选择标准确定的组件数量以及存在异质性时的拟合稳定性敏感。另一方面，RAPID分布组件以匹配 的局部结构，保留了局部模式和重要的不对称性。表7展示了与 相比的RMSE的定量比较。在大多数位置，RAPID产生的值与KDE和MoG的值相当或更低。然而，在具有重尾和高峰度的情况下，如Amazcala，较低的RMSE可能有利于近似平均密度形状的估计器，即使局部随机结构的相关方面没有得到同等好的表示。因此，这些结果被解释为局部适应性和估计器结构一致性的证据，而不是对全局指标的单独优化。表7. RAPID与最先进方法（相对于 的RMSE）的定量比较，粗体数字表示RMSE的最小值。表8报告了 （公式（19）），它量化了沿支撑集的密度之间的积分二次误差。总体而言，RAPID在8个站点中的5个站点（Belén、Aeropuerto、Cimatario、Jáuregui和Juriquilla）实现了最低的MISE，支持在共同评估协议下的全球竞争力拟合。在Aeropuerto站点，KDE和RAPID在积分方面几乎相同。相比之下，在Amazcala、La Griega和Milenio III站点，MoG达到了最低的MISE值，这与涉及重尾或多模态的更严格分布情况一致，在这些情况下，通过BIC选择的K值的批量优化混合模型能够更有效地减少积分误差。在Milenio III的特定情况下，RAPID在RMSE和MISE方面的表现均不如KDE，而在MISE方面则不如MoG，这表明在相同的局部情况下，递归局部适应并不总能保持逐点精度或全局积分保真度。表8显示了RAPID与最先进方法之间的定量比较（基于MISE的值）。加粗的数字代表最小MISE值。除了第3.5节讨论的渐近复杂性外，还使用每个站点的平均执行时间来报告观察到的复杂性（表9）。测量是在MATLAB R2019b（Windows 64位）环境下，配备32 GB RAM和Intel(R) Core(TM) Ultra 7155H（1.40 GHz）处理器的机器上进行的。在所有情况下，密度估计方法（RAPID、KDE和MoG）都调整到了相同的输入，并排除了不可比较的任务（文件读取、图形生成和磁盘写入）。时间计算是基于每个站点的重复次数，并以平均值加上/减去一个标准差的形式报告（表9）。表9显示了按位置划分的平均执行时间和不确定性。由于ISR每个站点只运行一次以估计和构建，因此表9中报告的成本对应于密度拟合（比较阶段），而不是常见的预处理阶段。为了便于独立比较不同方法的时间，还报告了相对于RAPID的相对时间（表10）。在这种归一化下，KDE通常需要RAPID的2-4倍时间，而MoG则需要8-22倍的时间，这证实了当所有方法都在同一子序列上操作时，RAPID的增量方案具有计算优势。表10显示了相对于RAPID的每个站点的相对执行时间。

5. 讨论
本研究的中心结果是MAQ站点间主导风况的显著空间变异性，如表4所示。这一发现与环境时间序列文献一致，该文献指出，尽管长时间记录往往不满足全局平稳性假设，但在较短的时间间隔内仍可能允许局部平稳近似[11,12,14]。在本例中，站点间的差异表明，MAQ的风态不应通过单一的均匀概率结构来表示，因为局部暴露度、地形和城市条件会影响时间行为和分布形状。从这个角度来看，ISR不仅是一个预处理阶段，也是框架的一个解释性组成部分。通过识别每个站点的主导周期并通过ADF测试验证所诱导的子采样，ISR建立了时间结构与后续密度估计之间的联系。这一点很重要，因为如果不考虑时间异质性，全局拟合可能会将来自不同局部情况的观测数据结合起来，从而扭曲最终的PDF。因此，使用ISR为随机建模提供了更一致的基础，并符合文献中报告的局部平稳性原理[12,14]。

残差分析支持这一解释。虽然一些站点的残差接近零，但其他站点显示出不对称性和重尾特性，如Amazcala的情况（表5）所示，这表明局部风行为在时间上不仅是异质的，在分布上也具有复杂的结构。在这种情况下，RAPID具有实际优势，因为它不需要预先固定混合组分的数量。相反，该模型通过递归更新和动态组分创建来调整其结构，从而在各个站点之间获得一致的结果（表3）。这种行为与关于自适应和基于混合建模的广泛文献一致，在复杂的随机环境中，递归更新和表示多模态的能力尤其有价值[16,17,30]。

在第4.2节定义的均匀比较协议下，RAPID在8个站点中的6个站点上获得了最低的RMSE（表7），在8个站点中的5个站点上获得了最低的MISE（表8）。这些结果表明，RAPID的主要优势不在于单独优化单一指标，而在于其在保持局部适应性、结构可解释性和拟合稳定性之间的良好平衡。相比之下，KDE严重依赖于带宽选择，而MoG需要模型选择和在预定义的组分范围内的迭代EM拟合。在这种比较中，RAPID保持了参数混合模型的可解释性，同时避免了预先定义固定K值的需求。

MoG获得较低MISE值的站点，特别是Amazcala、La Griega和Milenio III，也具有信息性。这些站点似乎涉及更严格的分布配置，在这些配置中，积分误差对尾部行为、多模态或混合组分的分配更为敏感。这些结果并不与所提出的方法相矛盾，而是有助于确定进一步改进RAPID可能有益的条件。特别是，它们表明自动调整参数和更系统地优化初始化参数可以提高积分保真度，而不牺牲已经观察到的自适应行为。这些案例还表明，RAPID的顺序特性可能需要在局部适应性和全局积分保真度之间进行权衡。

这种模式也明确了RAPID中所谓的递归性成本。由于估计器是顺序构建的，每次更新都是根据当前的组分配置和即将到来的观测数据来决定的，这有利于自适应增长和较低的计算成本。然而，一旦创建了新的组分，RAPID不会对整个支持范围内的所有均值、方差和权重进行完整的联合重新优化。因此，与批量优化的混合模型相比，该方法可能在尾部或组分之间的低密度区域失去全局积分保真度。在一些要求较高的站点（如Milenio III），这一限制也可能影响逐点拟合，正如RAPID在RMSE和MISE方面都被KDE超越的事实所反映的。相比之下，MoG中使用的批量EM-BIC策略可以全局优化混合模型，从而更好地减少整个支持范围内的积分误差。从这个意义上说，MoG在某些站点获得的较低MISE值，以及Milenio III相对于KDE的表现，应被视为递归局部适应性和全局混合优化之间权衡的证据。

RAPID的另一个相关优势是其计算效率。如表9所示，在相同的实验条件下，RAPID始终比KDE和MoG更有效。这种差异在方法论上是有意义的，因为比较使用了相同的输入、相同的评估网格和相同的差异指标。RAPID的较低成本来自于其顺序分配和更新机制，而KDE需要全局平滑处理，MoG则涉及重复的EM拟合和基于BIC的模型选择。这一特性使得RAPID特别适用于操作性或需要不断更新的设置，在这些设置中，重新校准必须在较低的计算成本下进行。

为了总结在共同评估协议下的这些方法论差异，表11从估计器类型、结构适应性、对超参数的敏感性和计算效率等方面比较了RAPID与KDE和MoG。表11显示了在共同评估协议下RAPID与参考密度估计技术之间的比较。总体而言，讨论支持两个主要结论：首先，MAQ案例研究证实了在模拟城市风行为时局部随机结构的重要性；其次，RAPID通过结合自适应结构、递归估计、可解释性和降低的计算成本，提供了比标准参考方法更具竞争力的替代方案。这些特性使该方法成为处理非平稳环境信号的有用站点特定建模策略。

在对称性视角下
在这项工作中，对称性的概念限制为时间平移下的近似局部不变性。用s表示站点s处的风速过程。对于通过ISR识别的局部情况，这种不变性在弱随机意义上被理解：对于允许的平移范围内的值，以及在相同情况内的相关滞后h。在这种解释下，这里考虑的对称性不是几何或基于流动的，而是时间和统计上的，相当于SICABI使用的局部准平稳性假设。从这个角度来看，ISR寻找一个时间尺度，在该尺度上，过程可以通过近似不变的一阶和二阶统计量来表示。因此，s作为局部情况的描述符，并确定了考虑弱形式平移不变性的时间尺度。

偏离这种近似局部不变性的情况体现在残差不对称性、重尾和跨站点异质性上。从这个意义上说，RAPID并不是以形式群论的方式建模对称性破缺；相反，它提供了一种自适应机制，用于在简单的局部不变描述不再足够时表示增加的分布复杂性。在固定的估计协议下，组分的数量可以被视为相对复杂性的指标：较大的s值意味着需要更复杂的自适应结构来表示站点s处的局部密度。这些量应被视为偏离简单局部不变情况的操作指标，而不是从显式对称群派生的正式序参数。

6. 结论
本研究解决了在非平稳和空间异质条件下城市环境中风速PDF的估计问题。为此，使用SICABI作为两阶段框架：ISR通过谱分析和基于ADF的验证识别了主导的局部情况，RAPID通过自适应参数混合模型估计了相应的密度。对Queretaro大都会区八个站点的分析表明，主导周期明显依赖于站点，其值范围从37天到166天不等，这证实了信号的时间结构无法通过单一的全局情况来充分表示。定量结果支持所提出的方法。RAPID根据每个站点的具体情况调整了其结构复杂性，而不需要预先固定组分的数量。在共同的比较协议下，RAPID在八个监测站点中的六个站点上获得了最低的RMSE，在五个站点上获得了最低的MISE。此外，在相同的输入数据和评估条件下，RAPID的计算成本低于KDE和MoG。这些结果表明，该方法在保持局部适应性、参数可解释性和计算效率之间取得了良好的平衡。

从建模的角度来看，结果表明，基于局部随机结构的密度估计是非平稳环境信号的连贯替代方案。与全局表示方法相比，RAPID根据每个站点检测到的情况调整密度，使其更适合异质的城市风行为。尽管MoG在某些站点上获得了较低的MISE值，但总体结果表明，RAPID作为一种站点特定的估计器具有竞争力，特别是在需要自适应结构和低计算成本的情况下。总体而言，MAQ案例研究支持两个主要结论：首先，在建模城市风行为时局部随机结构很重要；其次，RAPID为非平稳气候信号的密度估计提供了实用且可解释的替代方案。

局限性和未来工作
本研究有几个局限性，这些局限性限制了当前框架的范围。首先，分析是在单变量设置下进行的，因此模型还不能表示变量间或站点间的依赖性。其次，SICABI的性能取决于通过ISR正确识别主导的局部情况，当信号包含多个转变阶段、多个竞争性谱峰或更不规则的时间结构时，这种识别的可靠性可能会降低。第三，经验参考密度是通过在50点规则网格上评估的直方图来近似的，这可能会根据使用的离散化方式影响RMSE和MISE的绝对大小。最后，案例研究仅限于特定观察期内的八个站点，这限制了结果直接推广到其他地区、时期或气象变量的能力。

这些局限性指出了几个立即的研究方向。第一个扩展是将RAPID推广到多变量和潜在的空间表述，以能够表示变量和站点之间的依赖性。第二个方向是 incorporated 自动超参数调整，特别是对于 和 ，以及构建 和评估网格的更稳健策略。第三种方法是通过扩展中断服务程序（ISR）来使其能够适应多种主要的周期性特征，这可以通过选择几个相关的频谱峰值来实现，或者将现有的方法与滑动窗口分析相结合。这种扩展对于那些信号无法仅通过单一主导机制来充分描述的情况尤为重要。最后，该框架的一个应用扩展是将其集成到实时监控环境中，在这种环境中可以在操作条件下评估系统的稳定性、延迟、对缺失数据的容忍度以及对采集噪声的鲁棒性。