中性模糊分数阶泛函微分方程的谱Vieta–Lucas投影方法：理论与适定性

《Axioms》：Spectral Vieta–Lucas Projection Method for Neutral Fuzzy Fractional Functional Differential Equations: Theory and Well-Posedness Saeed Althubiti and Abdelaziz Mennouni

　　

本研究考察一类复杂的中性模糊分数阶泛函微分方程（neutral fuzzy fractional functional differential equations，N3FDEs），其中分数阶阶次??满足0 < ?? ≤ 1。在广义Hukuhara（gH）框架下，对解的存在性、唯一性与适定性进行了系统分析。首先，在广义Hukuhara框架下研究解的存在性与唯一性，并为线性系统给出一种改进的迭代公式。进一步验证了系统的适定性，证明了解对初始数据与参数变化保持稳定，并对这些变化作出连续响应。其次，提出一种新的谱Vieta–Lucas投影方法以逼近该类方程的解。借助Vieta–Lucas多项式的独特性质，将具有复杂记忆依赖特征的模糊方程转化为更为简化的代数系统。最后，数值算例与误差分析表明，该方法具有良好的精度与计算效率。

该文发表于《Axioms》，研究对象是一类中性模糊分数阶泛函微分方程（neutral fuzzy fractional functional differential equations，N3FDEs），其核心难点在于同时包含分数阶记忆效应、模糊不确定性以及中性型时滞结构。分数阶微积分能够刻画历史依赖与遗传效应，模糊集理论适用于处理数据不精确、语言性与不确定性信息，而中性型方程又将状态历史的导数纳入系统动力学，因此该类模型在理论与计算上都显著复杂。现有研究虽然已经在模糊分数阶微分方程、模糊中性时滞方程以及若干数值算法方面取得进展，但针对N3FDEs的高阶数值格式仍相对不足。已有的移位Legendre与Chebyshev多项式方法在模糊环境下处理中性时滞算子时，往往面临代数结构复杂、运算矩阵构造不够简洁等问题。基于此，研究人员开展本项研究，旨在一方面建立N3FDEs在广义Hukuhara可微性（generalized Hukuhara differentiability，gH）框架下的存在性、唯一性与适定性理论基础，另一方面构造一种高精度且能保持模糊结构的谱投影数值方法，从而弥合抽象定性分析与高精度数值逼近之间的空缺。

围绕上述目标，研究人员首先从模型理论出发，将原始N3FDE微分形式转化为等价的模糊Volterra积分方程，并在模糊连续函数空间上构造相应算子。借助Banach不动点定理，在F与G满足Lipschitz条件且满足压缩条件的前提下，证明方程存在唯一模糊解。随后，文章进一步引入Schaefer不动点定理，在Lipschitz常数不易显式确定时，利用连续性、紧性、有界性与等度连续性建立至少存在一个解的结果。除存在性与唯一性外，研究还重点分析了模型适定性，证明解对初始历史函数、函数算子以及分数阶阶次??具有连续依赖性，从而说明该系统在小扰动下具有稳定响应。基于这些理论结果，研究人员提出谱Vieta–Lucas投影方法，将中性模糊分数阶泛函方程离散为代数方程组，并通过数值实验验证其收敛性、精度与效率。论文最终表明，Vieta–Lucas基底不仅可作为传统正交多项式基底的有效替代，而且在处理具有记忆效应的中性模糊泛函方程时具有优良的谱收敛特性和结构保持能力。

从方法上看，研究主要采用以下几类关键技术。其一，在理论分析中，利用Caputo模糊分数阶导数与广义Hukuhara差（gH-difference）的框架，将微分问题转化为模糊Volterra积分方程，并在模糊连续函数完备度量空间中结合Banach与Schaefer不动点定理证明存在性与唯一性。其二，在数值逼近中，构造移位Vieta–Lucas多项式正交基、权函数与分数阶运算矩阵，通过配点投影将连续模糊问题离散化。其三，在非线性代数系统求解中采用Newton–Raphson迭代，并通过误差估计、谱收敛分析与扰动实验验证方法性能。文中未涉及外部样本队列来源，研究对象为理论模型与数值算例。

在研究结果部分，论文首先给出“2. The N3FDE Model”，建立一般形式的中性模糊分数阶泛函微分方程，其中??满足0 < ?? ≤ 1，导数采用广义Hukuhara意义下的Caputo模糊分数阶导数。该部分明确了研究问题的数学框架，为后续存在性、唯一性与数值离散提供统一对象。

在“2.1. Existence and Uniqueness”中，研究人员在模糊连续函数空间E上定义度量，并给出定理1。通过将原方程转写为积分方程，构造算子T，利用模糊度量的次可加性以及F、G关于模糊度量的Lipschitz条件，证明该算子为压缩映射，进而由Banach不动点定理推出N3FDE存在唯一模糊解。该结论说明，在适当约束下，问题不仅可解，而且解具有单值确定性。文中同时指出，当时间区间T较大导致整体压缩性可能失效时，可采用分步推进（time-marching）策略在较小子区间上实施方法。

在“2.2. Extended Theoretical Framework for N3FDE”中，文章补充了多个基础引理与命题。首先，Lemma 1证明了N3FDE与模糊Volterra积分方程的等价性，这一等价转换是理论分析与数值方法构建的桥梁，因为不动点理论和谱配点离散都依赖于积分表示。接着，Proposition 1分析广义Hukuhara差在模糊度量下的Lipschitz连续性，表明gH-difference算子常数为1的连续性成立。随后，Proposition 2在F与G满足线性增长条件时证明算子T将有界集映射为有界集。上述结果共同构成了后续Schaefer存在性定理与适定性分析的关键技术支撑。

在“2.3. Alternative Existence Theorem”中，研究人员针对难以直接获得Lipschitz常数的情形，提出基于Schaefer不动点定理的替代理论。定理2要求F与G连续且满足线性增长条件，同时满足d_∞(G,0) < 1以及集合{u = λTu, 0 < λ < 1}有界。证明过程依次验证算子T的连续性、对有界集的有界性、等度连续性以及紧性，最终推出至少存在一个固定点，从而获得至少一个模糊解。该部分的意义在于放宽了Banach压缩框架的使用条件，使理论结果适用于更一般的模型情形。文中还强调，由于中性项G不位于积分算子内部，因此不能依赖分数阶积分的“平滑效应”，这也是要求其中性部分具备压缩性质的重要原因。

在“2.4. Continuous Dependence and Well-Posedness”中，论文集中讨论适定性。Proposition 3证明了解对分数阶阶次??的连续依赖性：当阶次从??变化到^～??时，两个解之间的上确界度量可由核函数差异与Mittag–Leffler函数控制。这一结果意味着模型对阶次估计误差具有鲁棒性。随后，Theorem 3研究了原系统与受扰系统之间的关系，在初始函数、算子F与G分别受到有界扰动时，证明两解之间的距离可由扰动量线性控制，并且稳定性常数显式反映了时滞历史范数的影响。这表明N3FDE在初值、参数与算子层面均满足连续依赖，从而具备适定性。文中Example 3进一步通过对Example 1初始条件施加??扰动的方式，从数值上印证解对小扰动的稳定响应。

在“3. Vieta–Lucas Polynomials”中，论文进入数值方法构建。研究人员指出，Vieta–Lucas多项式相较于移位Chebyshev多项式，在构造模糊算子的分数阶运算矩阵时具有更好的数值稳定性。该部分先定义标准Vieta–Lucas多项式的递推关系、初始核、解析表达式及其与第一类Chebyshev多项式T_n之间的联系，并给出其在区间[-2,2]上的正交性。这里的理论基础说明Vieta–Lucas多项式具备构造高精度谱方法所需的正交结构与递推便利性。

在“3.1. Shifted Vieta–Lucas Polynomials”中，研究人员通过仿射映射将标准区间上的Vieta–Lucas多项式转移到实际时间区间[0,T]，从而定义移位Vieta–Lucas基函数。文中系统推导了移位权函数、Jacobian项及新的正交关系，并给出归一化常数。该部分的主要结论是：通过严格的区间映射，Vieta–Lucas正交结构可以无损迁移到N3FDE的物理时间域，为后续投影与配点近似建立统一基底。

在“3.2. Numerical Significance and Properties of the Fuzzy Vieta–Lucas Projection”中，文章说明正交性是计算模糊展开系数的核心机制。任意模糊值函数可在给定β水平集上以有限Vieta–Lucas级数逼近，而由于基函数正交，每个系数可以独立计算，从而减少数值误差累积并提高计算精度。这一性质对于处理中性项与泛函项尤为重要，因为它使复杂模糊算子的离散化更稳定、更高效。

在“3.3. Fuzzy Coefficient Characterization”中，Proposition 4证明了在每个β水平下，展开系数的下界与上界可以彼此独立计算。证明基于水平集表示、模糊积分的逐层运算以及正交性。这一结论说明模糊值函数在谱展开中的系数识别具有良好的分离结构，有助于并行计算并保持模糊上下界的一致性。

在“3.4. Convergence and Error Analysis”中，Theorem 4给出Vieta–Lucas投影的误差估计：若模糊函数关于t是m次连续可微，则其Vieta–Lucas投影误差在模糊度量d_∞下满足与N相关的谱型衰减界。证明通过分别考察上下界函数在Sobolev空间中的逼近误差，再利用模糊度量定义综合得到。该理论表明，随着基底阶数N增大，投影解将以谱收敛速度逼近真实模糊解，这是文中数值实验高精度表现的理论依据。

在“3.5. Preservation of Fuzzy Structure”中，Proposition 5讨论逼近结果是否保持有效模糊数结构，即下界不超过上界。文中指出，只要展开满足相应顺序关系，Vieta–Lucas投影就定义了合法的模糊值函数。尽管有限阶近似理论上可能出现类似Gibbs现象的小振荡，但谱收敛结果保证在充分大的N下可继承原函数的有序性。该部分对于模糊数值方法至关重要，因为它保证算法不仅“算得准”，而且“算得对”，即不会破坏模糊结构本身。

在“4. Numerical Examples”中，研究人员通过三个算例验证理论与算法性能。所有算法在Maple中实现，对非线性项采用Newton–Raphson迭代，通常约6次迭代即可收敛。Example 1研究一类具有精确解的N3FDE，采用N = 6与?? = 0.9的配点离散，并通过不同N与β下的最大绝对误差说明：随着Vieta–Lucas基函数数量增加，误差显著减小，从而验证理论部分所证明的谱收敛性。Example 2考察非线性N3FDE，其中二次非线性项增加了模糊系数求解的难度。文中构造源项使精确模糊解已知，并通过不同N及不同β水平下的误差比较显示：误差随N增大呈指数衰减，β = 1时上下界误差一致，反映模糊解在核处退化为经典解；对于β < 1，上界误差通常略大于下界误差，但整体稳定性良好。论文还指出，与Adams型预测—校正法相比，Vieta–Lucas投影法在达到相同精度时所需离散规模更小，因而具有更优的计算代价—精度比。Example 3则专门用于展示适定性，通过扰动初始条件观察原解与扰动解的最大距离比值，结果表明该比值不随小扰动??的缩小而失控，从数值层面支持连续依赖与稳定性结论。综合这些实验，研究得出三点数值优势：其一，对非整数阶??仍能以较少基函数获得高精度；其二，在所有算例中均保持u(t,β) ≤ u(t,β)的模糊结构；其三，Vieta–Lucas根配点能有效处理中性时滞项，避免低阶差分法常见的不稳定现象。

讨论部分的核心在于，本文将抽象的模糊分数阶理论与高精度谱数值计算有效结合。理论上，广义Hukuhara可微性（gH）框架缓解了传统模糊分析中不确定性非自然扩张等问题，使中性模糊分数阶方程的存在性、唯一性与稳定性分析更具一致性。方法上，Vieta–Lucas多项式的递推结构、正交性质及其移位构造为中性延迟算子的离散提供了便利；与传统多项式基相比，这一基底在函数型记忆项和模糊结构保持方面展现出明显优势。数值上，谱收敛、较低计算成本以及对上下界有序性的维持，证明该方法在处理N3FDEs时兼具理论严谨性与实际可计算性。论文的整体贡献可概括为：在N3FDEs这一兼具不确定性、记忆性与中性时滞耦合特征的困难模型上，建立了较完整的适定性理论，并首次将Vieta–Lucas多项式系统性引入该领域的谱投影离散。

研究结论部分可译为：本文建立了N3FDEs的理论适定性，并提出了谱Vieta–Lucas投影方法。基于对数—线性分析的数值结果证实，该方法具有很高的精度，并能够保持问题的模糊结构。此外，研究人员在广义Hukuhara（gH）可微框架下，对一类一般性的N3FDEs进行了严格研究。该研究成功弥合了不确定性遗传系统中抽象定性理论与高精度数值逼近之间的鸿沟。结果表明，Vieta–Lucas基底是传统多项式基底的一种有力替代，对于具有记忆效应的泛函方程可提供更优的收敛速率。未来研究将致力于将这一范式推广到脉冲型中性模糊系统与非高斯不确定性的随机分数阶模型，并进一步发展适用于变阶N3FDEs的自适应Vieta–Lucas格式，同时探索该投影方法在模糊分数阶控制系统设计中的应用。