《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Novel angular momentum-preserving finite volume method for nonlinear elastodynamic modeling
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基于{p,F}系统的非线性弹性动力学守恒定律新形式，可方便应用流体力学开发的有限体积方法，但角动量不守恒。本文提出嵌入线性动量更新的广义角动量修正算法，通过最小化策略实现任意显式/隐式时间积分求解器兼容，保持网格透明性。数值实验验证了机器精度角动量守恒效果，适用于混合非结构网格。
Burak Cona | Stephanie TerMaath | Kivanc Ekici
美国田纳西大学诺克斯维尔分校机械与航空航天工程系，田纳西州诺克斯维尔，37996
摘要
基于线性动量和变形梯度（{p,F}系统）的非线性弹性动力学新守恒律公式，便于应用一系列原本为流体和结构动力学中的可压缩流动开发的有限体积方法。然而，这种公式本身并不保守角动量（AM）。为了解决这一缺陷，引入了一种新的全局校正方法来修正线性动量更新，通过最小化策略强制实现AM守恒，该方法可以集成到任何时间步进算法中。所提出的方法需要求解一个计算成本可以忽略的小型方程组，将外部扭矩纳入残差中。该方法与显式和隐式求解器兼容，包括双时间步进，并且实现在一个对网格透明的有限体积框架中，这是本工作的创新之处之一。通过一系列数值实验评估了这种方法的有效性，同时证明了机器精度的AM守恒。
引言
动量守恒在计算固体动力学中至关重要，它关系到数值模拟的准确性和整体稳定性。在没有外力、扭矩或物理阻尼的情况下，物体的总线性和角动量必须保持不变。未能满足这些不变量的数值方案可能会产生非物理模式，包括虚假旋转和长期漂移，从而导致解决方案质量下降。在有限体积方法（FVM）中确保角动量守恒尤其具有挑战性。虽然线性动量的平衡是在所有控制体积上局部强制的，但角动量守恒所需的全局动量平衡并不会自动满足。如果没有特定的校正措施，内部力的不对称性可能会产生意外的扭矩，使求解器偏离真实物理情况。
已经提出了多种方法来增强弹性动力学中时间积分方案和空间离散化的守恒性能。能量-动量（EM）守恒算法代表了主要的发展方向。Gonzalez [1] 的开创性工作引入了用于非线性弹性动力学的隐式时间积分器，能够精确守恒总能量以及线性和角动量。后续的研究将EM方案扩展到了各种结构模型。例如，Chhang [2] 开发了用于平面和空间梁动力学的EM守恒技术，指出为非线性系统设计一种同时保持所有不变量的通用方法仍然是一个挑战。Scovazzi等人[3] 基于预测-校正算法开发了一个多尺度拉格朗日冲击流体动力学框架，表明迭代校正阶段可以显著减少高度非线性瞬态问题中的守恒相关误差。尽管他们的方法提高了稳定性并减少了虚假的数值伪影，但它并没有显式地强制角动量守恒。
最近，基于哈密顿结构的时间精确方案引起了越来越多的关注。Sanchez等人[4] 开发了保守线性和角动量以及能量的辛哈密顿有限元方法。对于非线性问题，Brugnoli等人[5] 提出了一种从非正则哈密顿公式派生的线性隐式方法，即使在大的变形下也能精确守恒角动量和能量。这些策略提供了显著的好处，但它们通常需要对控制方程进行修改，使用特殊的混合公式，或者引入辅助场。
在有限体积社区内，FVM在固体动力学中的应用已经通过各种问题类别得到了证明，从早期包含旋转自由度的公式[6] 到最近使用具有自适应网格细化的相场方法的动态断裂建模[7]。将角动量守恒纳入其中的努力主要集中在针对特定时间步进方案定制的校正算法上。Lee等人[8] 提出了一种基于单元中心的迎风有限体积求解器，用于大应变固体动力学，在每个Runge-Kutta（RK）阶段应用基于优化的校正来消除虚假扭矩。在他们的方法中，如果线性动量的更新不满足全局角动量平衡，则会适当地调整控制体积接口处的牵引向量，以恢复正确的旋转不变性。Aguirre等人[9] 将这一想法扩展到了使用Jameson-Schmidt-Turkel（JST）方案的基于顶点的有限体积方案中，将角动量校正集成到两阶段总变差减小（TVD）Runge-Kutta方法中。尽管这些策略有效，但它们是为特定的显式RK类型方案开发的，不能直接应用于隐式求解器或其他时间积分方案。
尽管有这些重要的发展，现有的角动量守恒方法仍然存在局限性。如上所述，许多现有技术紧密依赖于特定的时间积分方案，或者需要非线性求解器、额外的场变量或约束方程，这会改变系统的特征结构。其他技术只能应用于线性或小应变问题，或者具有特定几何形状和边界条件的结构部件。因此，需要一种能够在非线性固体动力学中实现角动量守恒的通用方法。
选择有限体积方法作为本工作中的空间离散化框架是基于几个实际考虑。通过将控制方程表示为系统，FVM可以直接使用计算流体动力学（CFD）社区开发的广泛方法库[11]。这对于流体-结构相互作用（FSI）问题特别有利，因为统一的FVM框架可以消除流体和固体域之间的接口插值需求。此外，FVM通过构造在每个控制体积上强制局部守恒，这里使用的基于边缘的数据结构自然能够适应混合元素网格，而无需特定于元素的形状函数或积分规则。值得注意的是，公式中的角动量漂移是由控制体积接口处的数值通量近似引起的，这在整个数值域中不会完全抵消，从而引入了离散力平衡的不对称性。这一点通过上风[8]和中心差分[9]通量方案需要类似校正的事实得到了证明。这里提出的基于优化的校正以最小的计算成本解决了这一根本问题，同时保持了FVM框架的实际优势。
在这项研究中，我们引入了一种新的方法来保守角动量，以解决这些限制。在Aguirre等人[9] 的基于优化的策略基础上，我们将角动量校正直接嵌入到线性动量更新中。这一关键修改使该技术与任何特定的时间积分方案解耦，使其与包括显式多阶段RK（MRK）和隐式时间精确双时间步进在内的多种方法兼容。我们使用双控制体积的网格透明（即能够处理具有不同单元类型（如三角形、四边形、四面体、六面体、棱柱和金字塔）的混合非结构化网格的基于边缘的有限体积求解器，证明了这种新方法的有效性，遵循了先前拉格朗日有限体积方法（FVM）研究中使用的混合守恒律框架。数值实验表明，所提出的修改在不牺牲精度或计算效率的情况下保守了角动量，并且可以轻松处理包含混合类型单元的网格。
部分摘录
守恒定律
使用总拉格朗日公式的连续体的守恒定律可以写为[12]，[13]
