近年来，软体机器人技术取得了显著进展，这些技术利用了软材料的机械柔顺性[1]、[2]。诸如冲击吸收[3]、[4]和抓取[5]、[6]等关键功能严重依赖于大的变形，其中几何非线性从根本上决定了机械响应。此外，许多软体机器人组件在动态载荷条件下运行，惯性、速率和时间依赖性效应起着决定性作用。在这种情况下，机械接触不是静态的，而是随时间连续演变，通常伴随着分离、重新接触和摩擦滑移。最终，整体行为变得高度非线性且依赖于历史过程。
尽管存在这些内在的非线性，软体机器人结构的设计仍然经常依赖于经验规则、直觉或对现有原型的渐进式修改。然而，当涉及大变形、演变的接触界面和动态载荷下的摩擦相互作用时，机械响应源于几何形状、材料分布、惯性和接触力学之间的高度耦合，纯启发式方法已不足以应对这些问题。为了解决这一复杂性，需要系统性和基于物理的设计方法。在众多有前景的方法中，拓扑优化（TO）[7]作为在给定域内确定最优材料分布的计算框架而受到了广泛关注，它为基于直觉的设计提供了一种合理且基于力学的替代方案。然而，在统一的TO框架内同时处理“有限变形”、“惯性效应”和“接触相互作用”尚未完全建立，仍然是一个重要的未解决问题。
大量研究致力于有限应变TO，其中几何非线性在结构响应中起着核心作用。Buhl等人的早期工作[8]强调了几何非线性的作用，Bruns和Tortorelli[9]使用St.Venant-Kirchhoff模型展示了非线性最优设计。Kang和Luo[10]提出了基于非概率可靠性的有限应变TO方法。后续发展包括用于减轻低密度区域畸变的加性超弹性[11]、有限应变弹塑性的离散灵敏度分析[12]、超弹性复合材料中的最优纤维取向[13]，以及具有各向异性纤维增强的超弹性结构的TO框架[14]。Han等人[15]进一步将TO扩展到有限应变下的多材料弹塑性系统。
同样，针对动态问题的TO也得到了积极研究，将惯性效应或时间依赖性响应纳入设计公式。Min等人[16]首次提出了用于动态载荷下弹性结构的TO框架。后续研究通过基于等效静态载荷的方法提高了计算效率[17]，扩展了目标函数以抑制最大瞬态响应[18]，引入了完全时间依赖的伴随灵敏度分析以获得更准确的梯度评估[19]，并将框架扩展到非线性弹性环境[20]、[21]。最近，Kristiansen等人[22]将动态TO扩展到具有摩擦的瞬态冲击问题。
此外，涉及机械接触的TO在解决单边约束、滑动界面和摩擦相互作用等挑战方面也引起了越来越多的关注。值得注意的贡献包括基于接触的柔顺机制[23]、具有库仑摩擦的质量最小化[24]、使用增广拉格朗日量的单边接触公式[25]、两相系统中的滑动和分离[26]、通过正则化库仑模型的摩擦接触[27]，以及使用-范数目标和拉格朗日乘数的摩擦接触TO[28]。最近在处理非线性和接触方面的进展包括自动合成柔顺机制[29]、具有无摩擦接触支撑的超弹性TO[30]、多个可变形体之间的大变形接触[31]、基于第三介质公式的自接触方法[32]、[33]，以及在大变形、无摩擦接触下的超弹性TO[34]。
虽然在处理有限变形、惯性和接触方面取得了实质性进展，但尚未有研究将这三个方面整合到一个统一的框架中。例如，尽管一些研究已经将惯性效应纳入有限应变TO中，允许最优配置在动态载荷下演变[20]、[21]，但这些公式尚未扩展到明确考虑接触相互作用。主要原因在于接触建模的固有难度：传统的基于有限元的方法依赖于显式的接触检测，需要在相对界面之间进行重复的最近邻搜索[35]、[36]。这样的程序在动态问题中可能会变得计算成本高昂，特别是当活动接触集不断演变时，这对鲁棒的大规模优化构成了重大障碍。作为对策，最近探索了无需检测的公式来缓解这一限制。例如，第三介质接触（TMC）方法[37]通过引入虚拟可压缩层消除了显式接触检测，并已成功应用于静态TO问题[32]、[33]、[38]。然而，在涉及大滑动或旋转的动态场景中，中间介质的严重畸变可能会影响数值鲁棒性[33]。同样，材料点法（MPM）[39]通过固定的欧拉网格介导相互作用，从而避免了显式检测和网格畸变，并最近被用于软体机器人结构的TO[40]、[41]、[42]、[43]、[44]。尽管如此，由于其潜力尚未得到充分利用，部分原因是由于非物理粘附和摩擦的非平凡结合等问题。
基于上述背景，本研究提出了一种统一的TO框架，能够一致地处理有限变形、惯性效应和多个可变形体之间的接触相互作用。具体而言，采用了混合材料点法（Hybrid-MPM）[45]作为底层分析工具，该方法结合了FEM和传统MPM的优点。这种方法实现了不依赖于预定义界面配置的接触公式，并能够在单一计算框架内处理任意相互接触。通过使用固定的欧拉背景网格，它避免了显式接触检测，避免了传统MPM中的非物理粘附问题，并允许一致地结合库仑摩擦定律。这项工作的一个关键贡献是构建了一般的接触启用公式以及系统性和与问题无关的灵敏度分析。基于伴随的灵敏度以统一的方式推导出来，因此得到的公式不针对特定应用进行定制，而可以直接应用于广泛的非线性动态接触问题。作为概念验证，该框架被应用于TO领域之前未解决的优化问题，包括设计用于控制大变形和接触相互作用下的旋转运动的机制。通过这些发展，本研究为包含接触的动态TO建立了全面且可扩展的计算基础。
本文的其余部分组织如下。第2节介绍了可微分Hybrid MPM的理论，该理论使得能够适当评估拓扑优化所需的灵敏度。第3节介绍了优化问题的公式，并提出了广义动态分析的灵敏度分析方法，从而推导出Hybrid MPM的灵敏度评估程序。第4节通过两个优化示例验证了当前框架的有效性：三点弯曲的柔顺性最小化问题和用于抑制旋转球体动能的制动结构优化。最后，第5节提出了结论性意见。
