一种基于Voronoi单元的随机有限元方法，用于具有材料空间变异性的重力坝的地震分析

《Soil Dynamics and Earthquake Engineering》：A Voronoi-cell stochastic finite element method for seismic analysis of gravity dams with material spatial variability

重力坝地震响应分析中提出Voronoi-cell随机有限元方法（VC-SFEM），结合KL展开与VCFEM，高效生成空间相关随机场并降低计算成本22.6-61.7%，通过Koyna大坝多地震动激励验证了方法在材料空间异质性建模和抗震性能评估中的有效性。

　　

徐强|曾向兴|陈建云|王明明|张天然|方月|吕小曼

中国地震局工程力学研究所地震工程与工程振动重点实验室

摘要

本研究提出了一种基于Voronoi单元的随机有限元方法（VC-SFEM），用于具有材料空间变异性的重力坝的地震分析。该框架将基于Galerkin的Karhunen–Loève（KL）展开式与Voronoi单元有限元公式相结合，能够高效且稳健地分析大型坝体的随机动态响应。由KL展开式产生的Fredholm积分方程被重新表述为广义特征值问题，从而可以高效生成具有通用协方差函数的空间相关随机场（RF）。与广泛采用的中点法结合Cholesky分解（MPM–Cholesky方法）相比，所提出的方法大大减少了RF生成的计算负担。通过与传统随机有限元方法的直接比较，评估了该方法的准确性和适用性。通过一个基准混凝土剪力墙示例对方法进行了验证，随后将其应用于Koyna重力坝的地震分析。数值结果表明，在保持相当准确性的同时，所提出的VC-SFEM将RF生成的计算成本降低了约22.6–61.7%，尤其是在处理大批量随机样本时优势更为明显。进一步研究了不同地震激励和空间相关长度的影响，证实了所提出框架的稳健性和实际应用性。

引言

重力坝在能源基础设施中发挥着重要作用，其安全性对于确保社会和经济活动的可靠运行至关重要。在重力坝的建模中，材料不确定性（通常归类为认知不确定性）是地震性能评估中需要考虑的关键因素[1,2]。实验技术和数值模拟方法的进步使得人们对混凝土材料在结构中的行为有了更详细的了解。速度层析成像测试揭示了混凝土杨氏模量值之间存在显著的空间相关性[3,4]。破坏性和非破坏性测试方法都被用来研究混凝土结构中材料属性的空间分布，证实了混凝土的力学性能具有空间相关性[5]。此外，先前的研究表明，忽略混凝土材料属性的空间异质性可能导致对结构承载能力变异性的过高评估[6]。最近，Tao等人[7]通过取芯采样和回弹锤测量进行了广泛的实验研究，以表征混凝土属性的随机场（RF），发现了混凝土材料参数之间的显著空间相关性。然而，许多现有的重力坝地震分析仍然将混凝土理想化为均匀材料，这并不能充分反映实际工程条件。实际上，由于施工过程、材料放置和长期环境影响，重力坝中的混凝土表现出显著的空间变异性。在地震分析中，有效建模异质重力坝中材料属性的空间变异性仍然是一个重大挑战，因为这涉及到大规模结构的固有复杂性[8]。

近年来，随机有限元方法（SFEM）[9]逐渐被用于研究材料属性空间变异性对重力坝的影响[10]。与成本高昂且具有挑战性的实验方法相比，SFEM提供了一个高效且灵活的框架，用于评估材料空间变异性对重力坝地震响应的影响。Bernier等人[11]利用RF理论研究了摩擦角的变化如何影响重力坝的脆弱性。Hariri-Ardebili等人[8,12]引入了RF生成器来模拟混凝土属性的空间变化，强调了在重力坝地震评估中考虑这种异质性的必要性。Lu等人[2]提出了一种模拟RF的方法，以探索材料空间变异性对重力坝地震响应的影响，发现参数变异性具有显著影响。同样，Liu等人[13]应用RF理论研究了不同地震记录对异质重力坝地震响应的影响。这些研究通常使用中点法（MPM）结合Cholesky分解（称为MPM–Cholesky方法）来生成材料RF，因为这种方法概念简单且易于实现[14]。然而，当这些方法应用于重力坝等大规模结构的随机动态分析时，其计算效率往往成为瓶颈[15,16]。由于重力坝系统的规模庞大，精细的空间离散化会导致高维RF，使得传统的RF生成方法在计算上变得不可行[17]。此外，为了获得统计上可靠的结果，随机动态分析通常需要大量的RF实现，这进一步增加了对计算资源的需求。因此，开发一种专门针对重力坝的高效RF生成策略至关重要，这是大规模结构地震分析的基本计算前提。

为了解决随机地震分析中的上述计算挑战，本研究引入了一种基于Voronoi单元（VC）离散化的RF生成方法。该方法利用每个VC的核心作为空间变化材料属性的自然且高效的代表点，从而更准确且计算上更易于处理材料异质性[18,19]。Voronoi单元有限元方法（VCFEM）由Ghosh等人[20,21]首次提出，利用多边形网格实现灵活的离散化和有效的材料力学行为模拟。这种方法即使在复杂领域也证明是有效的[22]。Talischi等人[23]基于VC构建了多边形网格，用于复杂领域，提供了具有更高灵活性的网格离散化同时保持数值稳定性。Zhang等人[24]进一步发展了VCFEM方法，以研究二维结构系统的变形行为。然而，现有的VCFEM发展主要集中在简单均匀结构的确定性分析上，并未解决大规模空间RF的高效随机建模问题。关于在大型工程结构中集成VC离散化来建模RF的SFEM研究仍然非常有限。鉴于VC的几何灵活性和自然的空间邻域表示能力，它们在高效离散化和生成RF方面具有巨大潜力。

本研究开发了一种基于VC的随机有限元方法（VC-SFEM），用于重力坝的地震评估，该方法结合了高效的基于Karhunen–Loève的RF生成策略来模拟材料空间变性。本研究的主要贡献如下：（1）通过将Karhunen–Loève（KL）展开式与Galerkin投影方案相结合，开发了一种计算效率高的相关RF生成方法。这是通过将控制KL展开式的连续Fredholm积分方程重新表述为降维的广义特征值问题来实现的，从而避免了传统基于Cholesky分解的方法所需的计算成本高昂的密集协方差矩阵操作。通过理论复杂性和数值实验的系统性比较，证实了所提出方法在随机动态分析中批量RF生成方面的优越计算效率。（2）通过将基于KL展开式的RF表示与VCFEM相结合，开发了一个地震分析框架，明确考虑了重力坝中材料属性的空间变性。通过检查生成的RF的统计一致性和得到的随机结构响应的准确性，验证了所提出框架的有效性和准确性。与传统SFEM的比较表明，该框架具有相当的准确性和数值稳定性。然后将该框架应用于Koyna重力坝作为代表性的工程案例。在多种地震激励下的非线性地震分析进一步验证了该框架，并确认了其实际适用性。（3）进行了参数研究，定量阐明了空间相关长度对地震响应指标（包括损伤分布和损伤体积比）分散的影响。结果表明，相关长度在控制响应不确定性方面起着关键作用，强调了在基于性能的重力坝地震评估中正确表征材料空间异质性的重要性。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了一种用于空间变化材料属性的高效相关RF生成方法，该方法结合了基于Galerkin的数值方案和KL展开式。第3节详细介绍了所提出的VC-SFEM的公式，包括多边形形状函数的构建和数值积分方案，然后通过一个基准混凝土剪力墙示例进行了验证。第4节描述了Koyna坝的非线性数值模型，指定了材料属性和输入地面运动。第5节对RF生成的计算效率进行了敏感性分析，并通过研究不同地震激励下坝体的地震损伤响应进一步验证了所提出的方法。最后，第6节总结了主要结论。图1提供了整体方法的概述。

章节摘录

基于KL展开式的相关RF模拟

结构的随机可靠性分析需要生成大量的随机模型来考虑固有的不确定性。对于大型重力坝，高效生成大量随机样本带来了巨大的计算负担，这仍然是实际地震分析中的一个主要挑战[25,26]。尽管先前的研究报告了关键混凝土材料属性（如弹性模量（E_c）和抗拉强度（f_t））

基于Voronoi单元的随机有限元方法

传统的有限元方法在模拟重力坝时通常假设材料属性是均匀的或分段均匀的，这使得难以真实反映混凝土材料参数的固有空间变性[34]。这种简化可能会掩盖局部材料异质性对结构整体地震性能和损伤模式的影响。为了解决这一限制，本研究整合了高效的RF生成方法

重力坝的随机有限元模型和材料属性

Koyna坝曾经历过破坏性地震，被选为演示所提出的VC-SFEM适用性的案例研究。选择这个坝是因为其地震响应已在先前的研究中得到了广泛研究。这座混凝土重力坝的高度为103米，坝顶宽度为14.8米，坝底宽度为70米，下游坡度断裂位于坝顶下方36.5米处[13]。Koyna混凝土重力坝-水库-基础的几何配置

RF生成效率和地震响应的敏感性分析

在本节中，将所提出的VC-SFEM应用于Koyna重力坝，并通过与传统MPM–Cholesky方法的比较，系统地验证了其准确性和稳健性。此外，还研究了考虑材料属性空间变异性的重力坝的地震损伤行为。在不同地震激励和不同的空间相关长度下，进一步检验了所提出方法在地震分析中的适用性

结论

本研究提出了一种用于重力坝地震分析的新VC-SFEM，其中将基于KL展开式的RF表示与VCFEM相结合，以明确考虑材料属性的空间变性。所提出框架的核心创新在于将KL展开式与Galerkin投影相结合，从而将连续的RF表示问题转化为降阶的广义特征值问题。这种策略使得

CRediT作者贡献声明

徐强：软件、项目管理、方法论、资金获取、正式分析。曾向兴：写作——审稿与编辑、写作——初稿、软件、方法论、调查、概念化。陈建云：可视化、资金获取、正式分析。王明明：写作——审稿与编辑。张天然：写作——审稿与编辑。方月：写作——审稿与编辑。吕小曼：写作——审稿与编辑。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

本工作得到了中国地震局工程力学研究所的科学研究基金（资助编号：2025D24）和国家自然科学基金（资助编号：52192672）的财政支持。对这些财政支持来源表示衷心的感谢。