一种基于三轴应力解耦的原位应力预测的逐步方法

《Geoenergy Science and Engineering》：A stepwise method for in-situ stress prediction based on triaxial stress decoupling

　　王振涛|张范长|杨静阳
中国石油大学（华东）深奥油气国家重点实验室，青岛，266580，中国

**摘要**
原位应力是油气勘探和开发过程中的关键参数，在控制油气传输、维护井筒安全以及指导压裂作业方面发挥着重要作用。由于地震预测方法在经济性和效率方面的显著优势，因此受到了广泛关注。现有的地震反演方法可以预测岩石的弹性特性，如速度和岩石模量。值得注意的是，这些反演结果不仅反映了岩石本身的弹性特性，还受到了岩石所处应力状态的影响。通过基于声弹性理论的岩石力学分析，将岩石的固有弹性特性与应力诱导的弹性特性进行了分离。此外，原位应力被分解为等效静水应力与偏差应力的组合。通过分析这两部分应力对弹性和各向异性的影响，分别建立了与等效静水應力和偏差应力相关的反射系数方程。在此基础上，应用傅里叶级数和多参数反演技术，提出了一种逐步三轴应力反演方法。该方法能够利用方位地震数据提供可靠且有意义的原位应力结果。此外，通过合成模型和实际数据测试证明了该方法的可行性。

**引言**
原位应力预测是一项综合性研究工作，在水库压裂和油气生产中发挥着重要作用。目前，有多种应力估计方法，大致可分为三类：实验室测量、测井和地震预测方法。由于地震数据的空间分布密集，地震预测方法能够有效克服实验室测量和测井方法在尺度预测方面的局限性，因此在评估地下应力方面具有独特优势。
许多基于地震信息的原位应力估计技术已被研究。大多数应力估计是通过简化假设或经验模型来进行的。典型的应力模型包括Anderson模型、Huang模型、复合弹簧模型等（Ge等人，1998年）。此外，基于薄板理论的假设（即地层为薄板），通过地震曲率特性来预测区域构造应力（Hunt等人，2011年）。还建立了预测垂直应力与切向弱化差异的模型，为使用叠加地震数据进行水平应力预测奠定了基础（Gray等人，2012年）。随后，叠加地震数据被广泛用于预测水库的力学参数，如杨氏模量和泊松比（Zong等人，2012年）。考虑到地下岩石的裂隙背景，建立了横观各向同性介质的等效应力模型，并在此基础上进行了水平应力预测（Far等人，2016年）。总的来说，这些经验模型或假设都是从实验室岩石物理实验中获得的并经过验证的。因此，这些模型的普遍适用性限制了它们的实际应用。
近年来，随着宽方位地震处理和采集技术的不断进步，高质量的地震数据为地下应力场的反演提供了支持，从方位反射特性中提取应力信息成为研究热点（Yu等人，2024年）。有研究通过方位地震数据的梯度特性来预测原位应力的方向（Mallick等人，2017年）。随后建立了各向异性参数与正交各向异性介质下应力之间的关系，并用于应力预测（Ma等人，2018年）。此外，还利用傅里叶级数展开法提取方位地震数据中的振幅差异，并将其应用于应力反演（Pan等人，2020年）。在此基础上，研究了弹性阻抗和扩展弹性阻抗的提取方法，并将其应用于力学参数的预测（Connolly，1999年；Li等人，2020年）。然而，这些方法基于线性弹性理论，无法解释高应力环境下岩石的非线性行为。
声弹性理论描述了应力对岩石弹性特性的影响，更符合深部岩石的非线性变形特性，因此受到了广泛关注。根据声弹性理论，预应力地下岩石的运动是由静态应变与小的声学动态场叠加的结果（Toupin和Bernstein，1961年；Norris，2007年）。此时，岩石刚度矩阵不仅由其二阶弹性常数决定，还与三阶弹性常数和初始应力-应变状态有关，这被称为等效刚度矩阵（Pao等人，1984年；Sarkar等人，2003年；Prioul等人，2004年）。这一理论在岩石力学与地震学之间建立了桥梁，并为原位应力估计奠定了基础。在此基础上，进行了一些关于静水应力下多孔弹性介质速度和扩散特性的研究（Ba等人，2013年；Hu等人，2024年）。从岩石能量的角度研究了预应力岩石的位移和变形，并提出了单轴应力下的地震反射和透射系数方程（Liu等人，2007年，2009年）。随后，广泛考虑了双轴应力下岩石的地震正演建模和弹性响应特性（Chen和Zong，2022年）。近年来，一些学者开始研究垂直应力对岩石弹性及地震响应的影响，并基于双轴应力假设优化了预测结果，从而获得了更准确的应力估计（Guo等人，2021年；Chen等人，2024年）。然而，地下原位应力场通常被视为三维笛卡尔坐标系中沿坐标轴分布的三个不相等应力。因此，开发一种更合适的同步预测三轴应力的方法对于准确评估地下原位应力场至关重要。
基于有限变形理论，通过分析三轴应力对岩石弹性影响的方法，提出了一种利用方位地震数据预测三轴原位应力的方法。有限变形理论与线性弹性理论的不同之处在于，应力是根据参考配置和坐标系来定义的。由于First Piola-Kirchhoff应力所表示的波动方程形式简单，应用First Piola-Kirchhoff应力张量来分析岩石弹性影响。通过采用体积模量和剪切模量的绝热压力导数，建立了纵波和横波模量与初始应力之间的关系。通过理论推导，可以发现当三轴应力作用于岩石时，岩石弹性特性的变化可以分为两部分：（1）由等效静水应力引起的各向同性变化；（2）由偏差应力引起的各向异性变化。在此观点下，岩石的等效刚度矩阵被分解为各向同性和各向异性部分，并建立了与等效静水应力及偏差应力相关的地震反射系数方程。在此基础上，我们提出了一种逐步的原位应力反演流程。首先分别获得等效静水应力与偏差应力的反演结果；其次，等效静水应力等于Biot系数乘以孔隙压力，然后将等效静水应力与偏差应力相加，得到最终的三轴原位应力预测结果。最后，通过将该方法应用于模型数据和实际调查数据，证明了其可行性。

**部分片段**
**静水与偏差应力的反射系数方程**
正交各向异性介质的反射系数方程可以分解为各向同性部分和各向异性部分的组合：
$$ R_{\pp}(\theta,\varphi) = R_{\pp}^\iso(\theta) + R_{\pp}^\ani(\theta,\varphi) $$
其中：
$$ R_{\pp}^\iso(\theta) = \frac{\sec^2\theta}{4 \cdot \Delta_v^p} - 2k\sin^2\theta \cdot \Delta_v^s} + \frac{(2-\sec^2\theta)}{4 \cdot \Delta\rho} $$
$$ R_{\pp}^\ani(\theta,\varphi) = \left[ \frac{1}{2} \left( \Delta_\delta_x - 8k\Delta_\gamma_x \cos^2\varphi + \frac{1}{2} \left( \Delta_\delta_y - 8k\Delta_\gamma_y \sin^2\varphi \right) \sin^2\theta + \frac{1}{2} \left( \Delta_\epsilon_x \cos^4\varphi + \Delta_\epsilon_y \sin^4\varphi + \Delta_\delta_z \sin^2\varphi \cos^2\varphi \right) \sin^2\theta \tan^2\theta \right] $$
这里，$ R_{\pp}$、$ R_{\pp}^\iso$、$ R_{\pp}^\ani $分别代表反射系数、各向同性背景部分和各向异性扰动部分。

**合成数据测试**
为了验证逐步反演方法预测原位应力的可行性，我们从实际调查中的一口井选择了井测井数据作为单道实验测试的模型。该模型由从井测井中选取的600个点组成，采样间隔为0.001秒。图3显示了模型的测井数据，包括计算地震反射系数所需的二阶和三阶弹性常数，以及测得的孔隙值。

**结论**
基于应力解耦、有限变形理论、应力诱导的各向异性模型和散射理论，建立了与三轴应力相关的反射系数方程，并用于原位应力反演。

**作者贡献声明**
王振涛：研究、方法学、初稿撰写。
张范长：数据整理、形式分析、审稿与编辑。
杨静阳：研究、数据资源、验证。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的财务利益或个人关系。

**致谢**
本研究得到了国家自然科学基金项目（项目编号：42574176）的支持。