基于RVE方法的热电机械能带隙的等几何分析在压电复合声子晶体中的应用

《COMPOSITE STRUCTURES》：Rve-based isogeometric analysis of thermo-electro-mechanical band gaps in piezoelectric composite phononic crystals

　　他朱|林铭周|李小林
中国吉林大学机械与航空航天工程学院/汽车底盘集成与仿生学国家重点实验室

摘要
压电复合声子晶体能够调节弹性波的衰减，但由于热电机械耦合和多尺度异质性，精确预测带隙仍然具有挑战性。本研究开发了一种基于代表性体积元素的热电机械等几何分析方法（RVE-TEMIGA），用于压电复合声子晶体的多尺度带隙分析。在微观尺度上，使用具有周期性边界条件的RVE、热电机械本构关系和等几何分析方法对1-3级压电复合材料进行均质化处理，以获得有效特性。在宏观尺度上，将这些均质化特性引入动态等几何公式中，并利用频域传递率分析来识别有限结构中的带隙行为。通过二维和三维实例验证了所提方法的准确性和有效性。与有限元方法相比，RVE-TEMIGA在自由振动分析中具有更高的准确性。在可比的自由度条件下，该方法能更精确地预测带隙位置和宽度，并且在处理曲面边界和高频响应时保持高精度。温度会改变带隙位置和宽度，而增加纤维体积分数会拓宽带隙。这些结果表明，RVE-TEMIGA是一种准确且高效的多尺度方法，适用于在热电机械耦合条件下设计和分析压电复合声子晶体。

引言
结构振动控制在航空航天、海军和核工程中至关重要[1][2][3][4][5][6]。声子晶体（PnCs）[7]能够抑制特定频率范围内的弹性波传播，在振动衰减和噪声 reduction 方面引起了广泛关注，并为精密设备提供了有效的振动控制手段[8][9][10]。PnCs抑制弹性波的频率范围称为带隙，主要由布拉格散射和局部共振机制[11][12]控制，并取决于结构几何形状和材料特性。因此，一旦结构制造完成，带隙特性基本固定，传统PnCs的可调节性有限，往往无法满足实际工程应用的要求[13][14][15]。尽管外部热载荷[16][17]和预应力[18]会影响PnCs的带隙特性，但实现显著的可调节性通常需要较大的热或机械载荷，这可能会增加实现复杂性[19]。在这种情况下，将智能材料（如压电材料）[20]结合到PnCs中为实际应用提供了有希望的途径[21][22]。

压电材料对电场具有高度响应性[23][24][25][26]，并表现出强烈的多物理场耦合。与传统PnCs相比，压电PnCs能够更方便且可逆地调节波传播特性。实验和数值研究表明，压电声子晶体可以实现比传统PnCs更宽的可调节带隙范围[27]。由于压电陶瓷脆性较高且机械性能较差，通常采用压电复合材料（PCMs）作为具有复杂几何形状的声子结构的更可靠和可制造的替代材料[28]。图1展示了压电复合声子晶体的宏观结构。一方面，PCMs提供了更好的机械性能，包括更强的抗冲击性和抗裂纹性，从而提高了结构在使用中的可靠性；另一方面，通过调整纤维方向或体积分数可以修改其材料特性，进一步提高了PnCs带隙的可调节性和设计灵活性[29][30]。

由于PCMs具有异质性，其机械响应需要在微观和宏观尺度上进行表征。尽管已经对单尺度压电声子晶体的带隙进行了大量研究[31][32][33][34]，但其多尺度行为的研究仍然有限。此外，PCMs表现出温度依赖性：其弹性、压电和介电常数以及热膨胀和热电效应会随温度变化，导致带隙行为也随温度变化[35]。Li等人[36]研究了温度对带隙的影响，发现温度升高会改变带边频率和带宽；Bian等人[37]也报告了类似的趋势。这些研究强调了温度在带隙调节中的重要性，但尚未建立同时考虑微观异质性和热电机械耦合的统一多尺度框架。因此，仍需要一种一致的方法来分析在耦合多物理场条件下多尺度压电复合声子晶体的带隙特性。

均质化[38]是表征复合材料机械性能的有效方法[39]。与解析法和半解析法[40][41][42]相比，基于代表性体积元素（RVE）的方法可以处理更复杂的微观结构几何形状，而无需繁琐的封闭形式推导。通过对RVE施加适当的边界条件，可以高效地提取宏观有效特性，使其特别适用于复合材料[43]。Chambion等人[44]使用RVE均质化方法计算了0-3级PCMs的机电耦合特性，并得到了与理论解的极好吻合。Challagulla等人[45]提出了一种考虑材料之间不连续性的RVE方法，可以准确模拟复杂材料界面。Mohamed等人[46]开发了一种基于RVE的多尺度模型来研究沥青混合物的机械响应。现有研究表明，基于RVE的均质化方法在预测压电和其他异质复合材料的等效行为方面非常有效[47][48]。

解析方法（如平面波展开法[49][50][51]和传递矩阵法[52][53][54]）可以为具有简单几何形状的理想化无限周期性介质提供准确的色散关系，但难以直接应用于具有复杂曲面微观结构的材料。因此，有限元方法（FEM）被广泛用于研究声子晶体的带隙。Ozer[55]使用FEM研究了压电晶格几何形状和填料对二维压电声子晶体带隙的影响。Liao等人[56]提出了一种新的二维压电声子晶体设计，并利用FEM考察了压电耦合对其带隙的影响。Chen等人[57]基于FEM分析了外加电场对带隙的影响。然而，对于涉及圆柱形纤维、曲面界面和复杂结构几何形状的问题，传统FEM通常依赖几何近似，可能需要大量网格细化才能达到足够的精度，尤其是在高频分析中[58][59]。此外，CAD和CAE工具之间的频繁切换使得预处理效率低下[60]。为了解决这些问题，Hughes等人[61]引入了等几何分析（IGA）。IGA能够精确表示曲面边界，减少几何离散化误差，从而用更少的控制点实现高精度[62][63][64]。如图2所示，IGA仅使用少数控制点就能精确捕捉圆形边界。由于其高阶连续性和精确的几何形状[65][66]，IGA在多尺度和多物理场波传播问题中表现出巨大潜力[67]。Lei等人[68][69]将IGA应用于二维PnCs，显著减少了达到目标精度所需的自由度和CPU时间。Yin等人[70]使用IGA研究了设计的一维PnC板的带隙，并与实验结果高度吻合。Liu等人[71]使用IGA分析了周期性复合微孔板的带隙，考察了结构几何形状、体积分数和单元长度对带隙的影响，并通过与解析解的比较验证了方法的准确性。Peralta-Braz等人[72]使用IGA研究了几何形状对带隙位置和宽度以及电压频率响应的影响。然而，大多数现有的基于IGA的研究仍集中在单尺度问题上，将IGA与基于RVE的均质化结合用于压电复合声子晶体的热电机械带隙分析的工作仍然有限。

本研究开发了一种基于RVE的热电机械等几何分析方法（RVE-TEMIGA），用于压电复合声子晶体。首先，建立了一种基于IGA的RVE均质化方法，以评估微观尺度上周期性压电复合材料的有效特性。其次，将这些均质化特性与热电机械本构关系结合，形成一个宏观尺度的频域公式进行带隙分析。第三，利用基于NURBS的IGA的几何精确性和更高连续性，改进了对圆柱形纤维RVE、曲面边界和高频响应的分析。数值示例表明，与传统的FEM相比，RVE-TEMIGA在自由振动和带隙分析方面具有更高的准确性和效率。

第2节介绍了热电机械耦合的本构方程和PCM的边界条件。第3节发展了RVE-TEMIGA，包括IGA离散化、弱形式、动态方程以及基于传递率的带隙识别方法。第4节验证了材料的宏观有效参数，并使用所提方法分析了几个数值模型的带隙特性。第5节提供了结论。

**压电复合声子晶体**
压电复合声子晶体的宏观结构如图1所示。它由PCM和聚乙烯组成，这两种材料沿一个方向周期性排列。PCM是通过将圆柱形压电陶瓷纤维嵌入树脂基体中制成的1-3级结构。假设纤维和基体相位之间有完美的界面结合。压电陶瓷纤维是横向各向同性的，因此得到的PCM也是横向各向同性的。

**基于RVE的压电复合声子晶体热电机械等几何分析**
在B样条函数中，结点xi、基函数数量n和阶数p共同定义了结点向量Ξ=ξ1,ξ2,...,ξn+p+1。一维B样条基函数定义为：
Ni0(ξ)=1
如果ξi≤ξ≤ξi+1，则Ni(ξ)=1
否则Ni(ξ)=0
Nip(ξ)=ξ-ξi
Nip-1(ξ)+ξi+p+1-ξ
ξi+p+1-ξ
Ni+1
p=1,2,3…
B样条曲线由控制点坐标Pi通过以下关系确定：
C(ξ)=∑i=1n Nip(ξ)Pi
在IGA中，通过引入权重ωi来构造NURBS基函数。

**PCM的有效特性**
为了分析压电复合声子晶体的带隙特性，首先在微观尺度上计算PCM的有效特性。PZT-5压电陶瓷和树脂基体的材料参数列在表2中。首先评估所提方法预测复合材料有效特性的能力。在环境温度保持不变的情况下，根据表1在IGA中对RVE施加周期性边界条件。

**结论**
为了更准确地分析压电复合声子晶体的带隙特性，本研究开发了RVE-TEMIGA。在微观尺度上，通过将IGA与受周期性边界条件约束的RVE模型相结合，获得了PCM在热条件下的宏观有效特性。然后将这些有效特性与热电机械本构方程一起纳入所提出的RVE-TEMIGA中。 beberapa numerical examples 表明了RVE-TEMIGA在自由振动和带隙分析方面的准确性和效率。

**作者贡献声明**
他朱：撰写——原始草稿，可视化，验证，软件；林铭周：验证，方法学，概念化；李小林：可视化，验证，概念化。

**资助**
本研究得到了中国国家自然科学基金[项目编号51975243]和吉林省科学技术厅[SKL202302016]的支持。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的可能影响本文工作的财务竞争利益或个人关系。