BOTH：一种用于初始化受生物启发的Voronoi结构的启发式方法

《Journal of Materials Research and Technology》：BOTH: a heuristic to initialize bio-inspired Voronoi structures

　　卢安娜·索扎·阿尔梅达|保罗·兰赫尔·里奥斯|卢西亚诺·佩桑哈·莫雷拉
巴西里约热内卢州沃尔塔雷东达弗卢米ネン塞联邦大学金属工业工程学院，工人大道420号，27255-125

**摘要**
轻质结构对于减少二氧化碳排放至关重要，因为较低的结构质量可以直接降低燃料消耗。增材制造的最新进展使得生产具有复杂几何形状的部件成为可能，包括常用于汽车和航空航天领域减重的Voronoi型结构。尽管这些结构常被描述为受生物启发的，但实际上它们通常是通过泊松点过程生成的，该过程具有高度的随机性。由于树叶经过长时间进化，具备了能够承受环境条件的机械性能，本文提出了一种新的启发式方法——称为“BOTH”，该方法基于巴西凤梨树（Bauhinia forficata）。这种启发式方法在初始化Voronoi结构时注重增强结构的刚性。为了分析叶片形态并评估所生成结构的机械性能，本文使用了计算机视觉、机器学习算法和有限元仿真技术。验证结果表明，使用“BOTH”方法初始化的结构比通过泊松点过程生成的结构具有更高的刚性和更小的变异性，最小刚度从14.85 kN/mm提高到了176.12 kN/mm，相当于设计应力的提升超过十一倍。

**1. 引言**
长颈鹿皮肤上的图案、珍珠层以及玉米籽粒的排列都体现了Voronoi图的性质[1][2][3]。1908年，俄罗斯数学家格奥尔基·沃罗诺伊（Georgy Voronoi）将这些自然现象正式命名为Voronoi图。由于自然界经过数百万年的进化[2]，科学家们越来越关注模仿树叶[4]、动物角[5]等图案来改进人造结构。此外，研究人员还报告了这些受生物启发设计的出色机械性能，特别是在增材制造技术兴起后，这一领域的兴趣日益增长。

早期主要的制造方法是减材制造[5]，即从固体块中去除材料以创建多孔结构，从而产生大量废料。相比之下，增材制造（通常称为3D打印）是通过逐层堆积材料来构建物体的[7]。这种方法不仅能够创造复杂的几何形状，还能减少材料浪费[8][9]。增材制造在应对气候变化方面发挥着重要作用，主要体现在两个方面：减少浪费和现场零件制造。因此，一台打印机就能够生产多种产品，且产生的废料比传统方法更少[5][10][11]。此外，增材制造的进步使得企业能够在内部完成零件生产，从而降低运输成本[5]。

根据Gebler等人的研究[12]，由于上述制造效率的提高，增材制造有望将二氧化碳排放量减少近75%。此外，打印复杂结构的能力对于促进经济增长而不牺牲后代的生态环境至关重要[5][11]。因此，这些复杂结构被用于减轻飞机和车辆（如汽车和卡车[2][13]）的重量。正如Czerwinski所指出的，更轻的车辆消耗更少的化石燃料，从而减少了二氧化碳排放。此外，减少化石燃料的使用还有助于降低与空气污染相关的呼吸系统疾病[15]。因此，航空航天和汽车行业都在其设计中关注减肥重问题。

创建轻质部件需要考虑多种因素。例如，只要保持所需的机械性能，固体部件可以转化为多孔结构。天然形状因其优异的机械性能而受到青睐[16]，这也是为什么经常使用受生物启发的设计来减轻重量并改进复合铸造结构的原因[17]。例如，研究人员研究了蜻蜓翅膀的形状以优化飞机结构[2][3][18]。同样，树叶的生长模式也启发了减轻无人机[19]和飞机蒙皮[24][25]重量、加固卡车货箱[20]和机械工具[21]的方法。

正如索扎·阿尔梅达和里奥斯[13]指出的，大多数研究使用传统的泊松点过程来生成受生物启发的Voronoi结构，例如Tung等人的工作[3]。对于二维结构，该方法是在欧几里得平面上随机放置种子点，这些点以固定速度扩散成圆形[22][23]，当圆形相互接触时形成边缘，从而产生多个区域并最终形成Voronoi图。尽管这些结构被称为受生物启发的，但它们是随机生成的，并未明确设计来复制自然结构的最佳特性。

最常见的自然结构之一是植物的叶子[24]。根据Yu等人的研究[24]，叶子被设计为能够承受风、雨和沙子等环境因素带来的机械应力。这些挑战促使形成了轻质结构，使其成为减重的理想选择。在机械强度方面，叶子中的叶脉起到了骨架的作用，增强了整体强度。多项研究（包括Song等人的[25]、Wu等人的[26]、Li等人的[20]和Hao等人的[27]）探讨了叶脉的分布情况。虽然这些研究复制了叶脉的交叉图案，但并未探讨机械性能与叶脉网络之间的关系。

Yu等人[24]指出，研究受生物启发的结构不仅仅是简单模仿。应该探究为什么某些结构在抵抗特定机械应力方面表现更好。例如，研究人员不应仅仅使用泊松点过程生成Voronoi结构，而应研究自然结构中种子点分布的模式是否存在，以及这些模式是否增强了机械强度。人工智能在模式识别、结构优化和数据驱动设计等任务中得到了广泛应用[28][29][30][31][32]，这些技术可以有效支持此类研究。因此，本文结合了计算机视觉技术、有限元仿真和机器学习算法来探究受叶片启发的结构的机械性能。本文提出了一种新的启发式方法，该方法受到了巴西凤梨树（Bauhinia forficata）叶形的启发。从现在开始，我们将这种用于初始化Voronoi结构的启发式方法称为“BOTH”。

本文的其余部分结构如下：第2节回顾了与本研究相关的现有文献；第3节描述了用于分析巴西凤梨树图像的方法论，包括有限元仿真和机器学习算法；第4节展示了图像处理和机器学习分析的结果；第5节提出了新的启发式方法；第6节讨论了该方法的局限性和未来研究方向；第7节总结了本文的结论。

**2. 文献综述**
本节旨在将本文置于现有的基于植物的受生物启发结构的研究框架中（见表1）。作者还参考了Yu等人的研究[24]，其中详细综述了基于植物叶片的受生物启发结构。

**表1. 利用人工智能模仿植物物种叶脉结构的现有研究总结**
| 植物物种 | 计算机视觉 | Voronoi结构 | 结构几何 | 创造受生物启发结构的方法 |
|------------------|------------------|-------------------|-------------------|-------------------|
| Song等人[24] |樱桃叶 | 平面 | 中心复合设计 | |
| Wu等人[25] | Rosacea plum叶片 | 平面 | Mandelbrot | |
| Liu等人[35] | 未提及 | 平面 | 中心复合设计 | |
| Xing等人[21] | 超过100种植物 | 平面 | 统计分析 | |
| Li等人[20] | 未提及 | 平面 | 地面结构方法 | |
| Hao等人[27] | 未提及 | 平面 | 叶脉自然生长规律 | |
| Zhang等人[37] | Victoria cruziana | 平面 | 固体各向同性材料与优化准则结合 | |
| Pierantoni等人[38] | Ficus microcarpa, Prunus dulcis, Olea europaea | 圆柱形 | 不适用 |
| Krishna等人[39] | 未提及 | 圆柱形 | 交叉模仿 | |
| Hu等人[40] | 未提及 | 圆柱形 | 生物学多细胞管增强 | |

叶脉网络（即叶脉系统）激发了许多受生物启发的设计，例如Song等人[24]、Wu等人[25]和Liu等人[35]的工作。在Song等人[25]的研究中，他们解决了优化飞机蒙皮拓扑结构的挑战，飞机蒙皮占飞机重量的50%以上。他们注意到植物叶片具有很高的抗裂性，因此提出了三维有限元模型和机器学习方法来预测2024铝合金的剩余疲劳寿命。他们的分析重点关注樱桃叶的叶脉间距和角度。Wu等人[26]和Liu等人[35]也研究了Rosacea plum叶片的叶脉，分析了其分形角度、枝条生长比例和初始生长点，并应用了Mandelbrot方法生成受生物启发的结构。Liu等人[35]探讨了如何通过有针对性的加固来防止裂纹扩展，并使用中心复合设计方法来建模他们的受生物启发结构。

Xing等人[21]提出了六项制造指南，用于高速机器的仿生桌子设计，以减轻重量。他们分析了中国标本馆中一百多种植物的叶片图像，测量了相邻叶脉之间的角度和主要叶脉与次要叶脉的数量等特征。Li等人[20]的研究则专注于增强垃圾车货箱的加固部件。他们引入了一个数学模型来优化加固件的拓扑结构，该方法基于地面结构方法（GSM），模拟了叶脉的生长过程。Hao等人[27]建议在机床立柱中采用交叉排列的加固件布局以提高强度和稳定性，使用了有限元仿真和优化技术（如海洋捕食者算法）。

另一条研究路线是单独分析叶片本身的机械性能，而不必将其应用于特定问题。例如，Zhang等人[37]研究了亚马逊雨林中的一种植物Victoria cruziana的叶脉网络，这种植物的叶脉直径可达三米。他们利用优化方法模仿叶脉网络，同时最大化叶脉中的营养传输和承载能力。与Zhang等人[37]不同，本研究采用计算机视觉技术来分析叶脉网络中的模式对机械性能的提升作用。

Pierantoni等人[38]对Ficus microcarpa、Prunus dulcis和Olea europaea的叶脉进行了三维分析，进行了压缩、拉伸和扭转等机械测试，并使用X射线微断层扫描仪观察结构变化。Krishna等人[39]也改进了圆柱形部件的性能，提出了两种用于反应器的受生物启发设计以增强热传递效果。Hu等人[40]提出了一种薄壁生物启发多细胞管（BMT），以提高能量吸收能力，并通过压缩试验验证了交叉图案对管壁的加固效果。Pierantoni等人[38]、Krishna等人[39]和Hu等人[40]的研究集中在对圆柱体施加拉力，而本研究则专注于二维欧几里得平面。尽管上述研究基于多种植物的特性来开发结构，但据我们所知，这是第一项将计算机视觉和机器学习分析应用于植物叶片机械特性的工作，以引入一种新颖的启发式方法来初始化二维Voronoi图算法。3. 方法论 本节描述了用于检测Bauhinia forficata叶片图案的方法论。2.1小节解释了如何捕获和处理图像，2.2小节介绍了用于估计仿生结构机械抗力的有限元模拟，2.3小节介绍了用于识别叶片结构与其机械特性之间关系的机器学习算法。3.1 数据收集和图像处理 在巴西里约热内卢收集了总共50片叶子。这些叶子使用50兆像素的数码相机以8165x6124像素的分辨率拍摄。首先，将叶子放在一个灯箱中，如图1(a)所示，以增强明显叶脉的可见性。每片叶子拍摄了两张图片：一张是从灯箱的顶部拍摄的，如图1(b)所示；另一张是从正面拍摄的，如图1(c)中的裁剪图像所示。第二张图片的拍摄遵循了Rzanny等人[41]的建议，即把叶子靠在光线充足的地方以更好地显示叶脉。从每片叶子中随机选取了5个700×700像素的样本，如图1(c)中的灰色图像所示。随机选择这些样本是为了引入随机性，并避免需要收集过多的叶子。下载：下载高分辨率图像（1023KB）下载：下载全尺寸图像 图1. (a) 用于拍摄巴西兰花树叶子的灯箱，(b) 叶子的顶视图，(c) 带有五个700x700像素样本的叶子的正面视图 在捕获叶子图像后，使用OpenCV（版本4.5.5.64）计算机视觉库以及机器学习和科学库Scikit-image（版本0.20.0）和Scipy（版本1.8.1）创建了一个Python（版本3.9.7）程序。代码包含九个步骤，总结在图2中。图像处理阶段旨在识别样本图像中的主要叶脉，然后将图像分割成多个叶片区域，并确定每个区域的质心。下载：下载高分辨率图像（2MB）下载：下载全尺寸图像 图2. 用于识别叶片叶脉和质心的计算机视觉过程 首先，使用OpenCV库读取样本图像。由于彩色图像是三维矩阵（分别为蓝色、绿色和红色），第二步是将图像转换为灰度图像，这是一维的。因此，700x700x3的矩阵变成了700x700。接下来，应用阈值滤波器来区分较亮的像素和较暗的像素，如图3所示。因为叶脉的颜色比叶片区域更亮，所以使用了二元反函数，阈值介于130到150之间，具体取决于图像的照明条件。例如，在某些图像中，如图3所示，过高的阈值可能会暴露过多细节，使得区分叶脉和内部叶片区域变得更加困难。此外，某些参数可能会遗漏定义叶脉路径的重要像素。因此，手动为每个样本选择了一个介于130到150之间的值，以平衡噪声减少和准确的叶脉检测。关于这种方法稳定性的全面介绍和讨论在补充材料中提供。下载：下载高分辨率图像（1MB）下载：下载全尺寸图像 图3. 阈值参数的比较 通过手动去除和计算机视觉库的“去噪”功能结合的方式去除噪声。然后，应用腐蚀函数来重新连接断裂的主要叶脉。由于腐蚀会使叶脉变粗，因此使用膨胀函数来平滑它们。重复图2中的步骤4、5和6，直到形成一个连接的叶脉网络。此外，对每张图像进行视觉检查，确认所有叶片区域都是封闭的。最后一步是识别区域并找到它们的质心。结合Scipy库的“ndimage”函数和OpenCV函数（“LABEL2RGB”）来分割叶片区域，并用不同颜色可视化它们。随后，使用Skmage的“measure”函数获取质心的坐标和属性，如方向、面积、周长以及每个区域的主要和次要轴的长度，如图4所示。下载：下载高分辨率图像（351KB）下载：下载全尺寸图像 图4. Voronoi单元的几何特征：(a) 面积，主轴(b)和(c)，周长(d)，以及方向(e) 3.2 有限元模拟 在确定每个样本的质心后，生成相应的结构。使用Python（版本3.12.7）和Shapely库（版本2.0.6）创建Voronoi图。Voronoi图的生成步骤如下：首先使用“voronoi_polygon”函数，以每个样本的质心作为属性。由于收集了250个样本，因此共生成了250个Voronoi图。如图5(a)所示，然后使用Shapely的“Intersection”函数将图表限制在700x700的框内，如图5(b)所示，结果得到图5(c)中显示的外部多边形。接下来，每条边都必须具有恒定的厚度。因此，使用Shapley的“buffer”函数在每个现有多边形内添加一个收缩的多边形。图5(d)中的粗黑线表示外部和内部多边形之间的差异。在本研究中，使用Matplotlib（版本3.9.2）库绘制图表。下载：下载高分辨率图像（1MB）下载：下载全尺寸图像 图5. 使用Shapely构建的Voronoi结构：(a) 在无限空间中，(b) 在700x700平面中，(c) 仅考虑外部边缘，以及(d) 假设边缘具有恒定厚度 在创建内部多边形（例如图5(d)中的白色多边形）后，开发了一个Python脚本将结构转移到有限元模拟软件中，在本例中是ABAQUS/CAE（版本6.9）。本研究遵循了Tung等人[23]提出的有限元模拟特性。因此，将700x700平面缩放到40x40毫米。该结构使用简化积分壳单元在2D中建模，并将Voronoi图导入Abaqus中，如图6所示。此外，为了保持与Tung等人[3]中相同的样品形状，只保留了顶部和底部边缘（即样品的侧面是开放的）。下载：下载高分辨率图像（293KB）下载：下载全尺寸图像 图6. 在有限元模拟模型中创建的2D Voronoi结构 如3.1小节所述，图像处理通过腐蚀和膨胀改变了叶脉的厚度（图2，步骤5和6）。因此，假设Voronoi结构的边缘具有1毫米的恒定厚度。材料被建模为Formlabs的同质光敏树脂（Grey Resin – RS-F2-GPGR-04）[42]。模拟中使用的机械性能来自制造商的数据表，并在表2中总结。考虑了杨氏模量为2800 MPa、泊松比为0.33和屈服强度为45.08 MPa。所有数值模拟都假设了线性各向同性弹性行为。表2. 有限元模拟参数 参数 描述 材料：杨氏模量 2800 MPa 材料：泊松比 0.33 材料：屈服强度 45.08 MPa 垂直位移（y方向） 2毫米 边界条件 底部边缘固定 网格大小 0.3毫米 沙漏刚度 1.5 根据Tung等人[3]的实验研究，用相同树脂和相同尺寸制造的样品在大约4%到6%的应变下断裂。基于这些结果，设置了最大施加位移，以产生在这个观察范围内的应变。因此，在正y方向施加了2毫米的均匀垂直位移，相当于大约5%的名义应变。施加了一个夹紧下部样品握部的边界条件，以模拟单轴拉伸试验的条件。图7(a)中的橙色箭头表示的载荷施加在结构的顶部和底部。在结构的顶部和底部部分应用了4节点双线性平面应力四边形，如图7(b)中的绿色区域所示。此外，在结构的中央部分应用了3节点线性平面应力三角形，如图7(b)中的浅红色区域所示。使用平均元素大小为0.3生成了结构化网格。应用沙漏控制，并使用刚度公式和1.5的缩放因子来减少虚假的零能量模式，同时保持计算效率。进行了网格细化研究以确认解的收敛性，结果在补充材料中提供。分析是在静态加载条件下进行的，总步时间为2秒，使用隐式ABAQUS求解器。下载：下载高分辨率图像（719KB）下载：下载全尺寸图像 图7. 有限元模拟模型：(a) Voronoi结构上的载荷，(b) 元素网格，以及(c) 反作用力 本研究的目的是识别导致形成更高机械阻力结构的质心位置。因此，在本文中，采用了结构刚度（）作为代表性指标，定义为加载方向上节点反作用力之和与施加位移的比值（Delta fecha parêntese），如方程式(01)所描述。图7(c)中的红色箭头表示沿着叶脉连接顶部边缘和Voronoi结构的y轴上的反作用力。(01) 3.3 质心聚类 使用K均值聚类算法将叶片质心分为几个簇。此后，在本文中将这些叶片质心称为“点”。进行这种区分是为了防止叶片质心（即点）与簇质心之间的混淆。点聚类步骤旨在将欧几里得平面划分为包含一定数量点的区域，以识别和定义点密度较高的区域。K均值算法通过最小化惯性来对具有相似特征的点进行分组，惯性是每个点与其所属簇的质心之间的距离平方之和[43]，[44]。惯性根据方程式(02)计算，其中表示点的坐标，表示该点所属簇的质心坐标。(02) 如Zhou [44]所述，惯性值越小，聚类质量越好。因此，本研究通过改变簇的数量k = 2到k = 来测试不同的聚类设置。随着簇的数量增加，惯性通常会减小，因为更多的簇导致点与其质心之间的平均距离变小。因此，使用肘部方法确定了理想簇的数量，其中惯性根据[45]，[46]绘制在图表上。 除了肘部方法外，还使用Calinski–Harabasz（CH）指数[47]来估计最佳簇的数量。该指标同时评估了簇内数据点的紧凑性和簇之间的分离[48]。CH指数根据方程式(03)计算，其中表示点的数量，表示簇的数量，表示簇之间的分散，表示簇内的分散，Tr表示方差之和[49]。CH值越高，表示欧几里得平面上的紧凑性和分离度越大。通过平衡肘部图中观察到的惯性和CH指数来确定簇的数量(k)。对于惯性，选择惯性开始平稳变化的点；而对于CH指数，则选择得分较高且相邻值之间相对稳定的值。(03) 肘部方法使用Scikit-learn库（版本1.5.1）的“KMeans”函数实现，而Calinski–Harabasz指数使用“calinski_harabasz_score”函数计算。使用Plotly库（版本5.24.1）生成肘部方法图表来确定理想簇的数量。聚类过程仅应用于Voronoi结构中刚度值最高的20%，遵循帕累托原则（80/20法则），该法则表明少数部分结构占据了观察到的大部分性能，这一方法在之前的仿生研究中已有应用 [50], [51], [52], [53]。4. 结果 本节展示了基于Bauhinia forficata叶子形状的结构的有限元仿真结果（ subsection 4.1）。同时，还探讨了刚度最高的20%结构中点的空间分布（subsection 4.2）。4.1. 有限元预测 叶子形态分析的结果以及有限元仿真的结果显示在图8中。该图采用平行坐标图来比较各种特征：平均叶孔大小（即Bauhinia forficata叶子Voronoi区域的平均面积，单位为px2），这些区域的主轴和次轴的平均值（单位为px），Voronoi单元的平均方向（单位为弧度），ABAQUS/CAE中Voronoi结构的面积（单位为mm2），用于初始化Voronoi结构的点数，以及仿真处理时间（单位为秒）。下载：下载高分辨率图片（439KB）下载：下载全尺寸图片 图8. 平行坐标图，比较了分析叶片的主要形态特征，假设材料为各向同性的线弹性体。由于在有限元代码中生成的Voronoi结构被建模为二维固体，因此假设结构的厚度足够小（单位厚度）。因此，质量估计可以根据投影面积得出。在假设质量密度均匀（ρ）的情况下，对于非常小的厚度值（t），质量（m）与面积（A）成正比，这使得该指标成为结构材料含量的合适指标。换句话说，假设“结构面积”代表了结构中存在的材料量。图8中的水平绿线显示了与最硬结构相关的特征组合，而紫线则表示最软的结构。如图所示，随着Voronoi结构中种子点数量的增加和结构面积的增大，刚度倾向于增加，尽管这也导致了更长的处理时间。Bauhinia forficata叶子的叶脉勾勒出类似于Voronoi单元的区域，这些区域被解释为结构孔隙。这些孔隙的平均尺寸越小，叶子的刚度越高。这些结果表明，最硬的结构特征是拥有更多的Voronoi区域（孔隙），且轴的比例更加平衡。图9展示了有限元仿真的一个结果。图9(a)显示了单轴拉伸测试开始时的Voronoi结构，此时y方向没有反作用力且没有变形。如图9(b)所示，施加2.0毫米位移后，结构发生变形，反作用力出现在夹持支撑和Voronoi结构的结合处，如图9(c)中的红点所示。下载：下载高分辨率图片（2MB）下载：下载全尺寸图片 图9. 在施加2毫米位移下的Voronoi结构的有限元仿真，表现出线性弹性行为。4.2. 坐标聚类 在对每个结构进行有限元仿真后，选择了刚度最大的结构进行进一步分析。图10(a)显示了250片Bauhinia forficata叶子的所有点（即质心）在欧几里得平面上的位置，这些点主要集中在结构边界附近，表明质心倾向于位于边缘。应用过滤器仅保留刚度最高的20%结构，突出显示了与较高刚度相关的几何特征。图10(b)显示了用于创建这些选定结构的点的空间分布，每个结构的点数在102到205之间。下载：下载高分辨率图片（761KB）下载：下载全尺寸图片 图10. 完整数据集(a)和刚度最高的20%结构的质心空间分布比较 基于图10(b)中显示的质心位置，对包含刚度最高的20%结构的子集应用了K-means聚类算法。图11中的肘部图（紫色）用于比较2到25个簇的惯性值。曲线在八个簇附近显示出斜率变化，表明有一个初始拐点。然而，当簇的数量超过14或16个时，惯性值趋于稳定，表明在此范围之外，增加簇的数量对聚类结构的紧凑性提升效果不大。超过大约13个簇后，CH值（图11中的绿色图）开始持平，表明额外的簇不会显著改善聚类结构。这一点之后观察到轻微波动，但没有显著提升，表明达到了一个稳定区域。综合两个指标的分析结果，最终将簇的数量设置为14。下载：下载高分辨率图片（154KB）下载：下载全尺寸图片 图11. 用于选择刚度最高的20%结构的簇数量的肘部图。图12显示了分为14个簇的20%最硬结构的分布，以及每个簇中点的相对比例。颜色编码表示密度：红色表示高密度，黄色表示中等密度，绿色表示低密度。大多数点集中在右上角的簇3中，该区域密度最高。左上角的簇5是第二密集的簇，表明最硬的结构倾向于聚集在角落。同样，左下角的簇9和10的密度也较高（分别为7.4%和7.6%），表明这些区域也对产生更硬的结构有贡献。位于中央下部的簇0的密度最低，只有6%的点。每个簇的边界（黑线）在补充材料中提供。下载：下载高分辨率图片（889KB）下载：下载全尺寸图片 图12. BOTH启发式算法中的种子点比例 5. 新颖的BMIUST方法：BOTH 本节介绍了一种用于初始化Voronoi结构的启发式方法，作为传统泊松点过程的替代方案。基于第4节的结果，提出了BOTH算法，并通过数值示例进行了演示（subsection 5.1），并在subsection 5.2中进行了进一步验证。5.1. BOTH算法 whopping启发式方法包括六个主要步骤，如图13所示。第一步是创建一个700x700像素的空欧几里得域。接下来，从102到205之间随机选择种子点数量，这些点对应于刚度最高的20%结构中的点（subsection 4.2）。第三步是确定每个簇的种子点数量。这个比例基于从Bauhinia forficata叶子图像中提取的最硬结构得出，如图12所示。确定每个簇的点数后，将每个种子点随机放置在相应的簇内，然后生成Voronoi图。最后，根据第3.2节描述的相同程序将Voronoi结构转换为样品几何形状，如图13的第6步所示。下载：下载高分辨率图片（950KB）下载：下载全尺寸图片 图13. BOTH启发式的示例 5.2. 验证 通过对通过泊松点过程生成的250个结构和使用BMIUST启发式生成的250个结构进行比较分析来验证所提出的启发式方法。第5.1节中描述的实现是在Python 3.12.3中开发的，使用Shapely 2.0.6来构建与每个簇相关的Voronoi区域。在基于泊松的方法中，种子点的数量及其空间分布都是随机的，反映了具有最小先验假设的完全随机生成机制。相比之下，BMIUST启发式方法将种子点数量限制在一个预定义的区间（102–205）内，这个区间是根据Bauhinia forficata叶子的分析得出的，并被证明可以产生高性能的配置。这种根本性的差异导致两种方法之间存在不同的随机自由度水平。为了在700x700像素域内保持一致性，通过随机采样2到205之间的种子点数量来实现泊松点过程，以确保Voronoi图的有效性，并设置上限为205，以避免过度聚类和退化几何形状。在这个框架内，泊松模型作为一个无约束的基线，而BMIUST启发式方法利用领域信息来指导搜索，以提高结构性能。值得注意的是，在纯随机环境中，启发式方法中使用的区间是事先不知道的，因为它源于仿生分析。有限元仿真与subsection 3.2中描述的相同，包括平面应力假设、网格参数以及施加的2毫米位移。获得数值结果后，数据集经过两个步骤处理。首先，识别并移除每个样本中的异常值。然后，进行统计分析，如假设检验，以确定两组之间的平均刚度差异是否具有统计学意义。图14的散点图中，通过泊松点过程生成的结构刚度用紫色表示。对于这组数据，观察到的平均刚度为91.79 kN/mm，样本标准差为101.5 kN/mm。记录的最大和最小值分别为387.10 kN/mm和14.85 kN/mm。这些结果表明存在高度变异性，并揭示了性能显著较低的结构。图14中的绿色点表示通过BMIUST启发式方法初始化的结构刚度。这些值始终高于叶子的结构刚度。平均刚度达到282.11 kN/mm，远高于泊松点过程的结果。标准差降至51.64 kN/mm，显示出更少的分散性和更一致的结果。记录的最大和最小值分别为396.61 kN/mm和176.12 kN/mm。BMIUST方法得到的最小值明显高于非优化组的最低值。请注意，BMIUST方法得到的最小值高于泊松点过程的平均值。下载：下载高分辨率图片（254KB）下载：下载全尺寸图片 图14. 使用BMIUST方法与泊松点方法得到的结果对比 从工程角度来看，这些结果表明BMIUST方法不仅提高了结构的平均刚度，还减少了结构薄弱配置的出现频率。较低的刚度变异性导致更可预测的结构响应，这在轻量化结构设计中尤为重要，因为必须在不牺牲机械完整性的前提下减少材料使用。总体而言，使用BMIUST方法生成的结构表现出更一致的门态行为。此外，更高的最小刚度提高了结构的下限性能，这可能支持在设计中采用较低的安全系数。为了验证BMIUST方法，进行了两项统计测试：F检验和Welch的t检验。所有测试的显著性水平为5%。F检验用于确定BMIUST方法生成的结构与泊松点过程生成的结构之间的方差是否相等。计算出的F值为3.87，样本的临界值为1.23。由于F值超过了临界值，因此两组结构的方差在统计上不等。Welch的t检验用于检验平均刚度值是否相等。t值为12.41，双尾p值为1.07 × 10^-29，低于显著性水平（即5%）。由于双尾检验的临界值为1.96，计算出的t值远高于临界值，从而拒绝了零假设，确认平均刚度值存在显著差异。F检验和Welch的t检验的结果表明，BMIUST启发式初始化的Voronoi结构具有更高的平均刚度和更低的变异性。除了比较BMIUST启发式方法和完全随机的泊松点过程外，还进行了一个补充实验来评估簇间种子点分布的影响。在这项实验中，两种方法都在相同的约束条件下进行了评估，即种子点的总数被限制在102到205的区间内。两种方法的标准差相似，分别为51.64（BOTH）和51.07（泊松点过程）。然而，BOTH方法获得的平均刚度（282.11 kN/mm）高于泊松点过程（268.19 kN/mm）。此外，BOTH方法产生的刚度值范围更广且更好，最大值为396.61，最小值为176.12，而泊松点过程的最大值和最小值分别为386.33和171.23。F检验在新实验中重复进行，正如预期的那样，没有显示出方差的显著差异，F值为0.98，低于临界阈值1.23。然后使用Welch的t检验来评估平均刚度值是否相等。得到的双尾p值（0.00163）远低于5%的显著性水平，从而拒绝了零假设，并确认了平均刚度之间存在统计学上的显著差异。在这种情况下，BOTH方法显示出的平均刚度高于泊松点过程。变异性的缺乏可能归因于用于种子点的区间范围是相同的。

6. 讨论
本节讨论了用于开发所提出的启发式方法的方法论的局限性，并提出了未来研究的方向。

6.1. 计算机视觉
本研究的第一阶段使用了计算机视觉算法来定位Bauhinia forficata叶片的质心。在选择该物种之前，还考察了使用其他叶片（如樱桃番茄和ora-pro-nóbis）的可行性，如图15所示。然而，有几个因素限制了这些物种的使用。一个问题涉及到有毛的叶片，例如图15(a)中显示的番茄叶片。毛发的存在在图像中引入了额外的噪声，使得感兴趣的区域难以分割。这些毛发在叶片表面形成了明显的干扰，算法将其解释为开放区域。纠正这些间隙需要过于激进的侵蚀过程，最终会损坏叶片的脉络网络。

6.2. 有限元模拟和质心聚类
模拟结果与Tung等人的报告结果进行了比较，他们也对相同树脂制成的Voronoi结构进行了单轴拉伸模拟。观察到两项研究的工程应力值大小相似，大约为4 MPa（1mm位移）。然而，需要注意的是，Tung等人使用了不同的有限元软件（OOF2）和不同的网格类型（2D体素），后者具有更高的像素化程度和较差的细化效果。尽管结果在预期范围内，但应仔细比较模拟结果。因此，将BOTH方法推进到实验阶段将非常有价值，能够更准确地评估数值结果。

6.3. BOTH方法
所提出的启发式方法的第一个局限性是种子点分布是针对正方形欧几里得域进行了优化。如果域是矩形或其他几何形状，则需要进行调整。一种选择是裁剪正方形域以适应矩形域，如图19(a)所示。但这可能会丢失与定义机械属性相关的信息，从而影响结果。另一种方法是复制正方形域以填充矩形区域，如图19(b)所示，或者扩展它以匹配新的形状，如图19(c)所示。由于这是一种新方法，因此目前还不清楚哪种方法在不同形状的域上应用BOTH方法时表现最佳。

6.4. 制造可行性
Souza Almeida和Rios [13]以及Wang等人 [57] 指出，增材制造存在固有的工艺限制，例如最大悬垂角度、不可支持的跨度长度、最小分辨率等，这些限制妨碍了某些几何形状的制造。因此，评估3D打印Voronoi结构时的相关限制非常重要。例如，在金属结构中，打印参数（如温度、沉积速度和热梯度）会直接影响机械性能，这突显了此类分析的重要性。基于这样的评估，可以将这些限制纳入BOTH启发式方法中，以确保只生成可制造的几何形状。未来的研究还可以探索不同几何形状下的Voronoi结构的制造可行性。这种元启发式方法旨在创建数千个候选解的群体，通过应用不同的选择、重组和变异准则来组合现有结构并生成新的变体[58]。几种元启发式方法，如贪婪随机自适应搜索程序（GRASP）、蚁群优化（ACO）和遗传算法（GA），可以使用BOTH启发式方法进行初始化，以更有效地探索解空间。未来研究的另一个方向是将基因表达编程（GEP）应用于优化点坐标的空间分布[59],[60]。例如，GEP可以用来演化数学表达式，生成能够模仿叶片结构中观察到的空间模式的点集。然后，可以对使用BOTH和GEP初始化的点进行空间比较，以提高BOTH的准确性。正如第1节所讨论的，BOTH可以用于减轻汽车和航空航天组件的重量，特别是在那些外部不可见但需要高结构效率的加强部件中。此外，该启发式方法在优化“表皮型”组件方面也显示出潜力，这些组件主要旨在平衡轻量化与机械强度。BOTH的一个关键特点是它能够创建非周期性结构，这一点在制造多孔假体时非常有用，正如Li等人[61]所指出的。例如，在颈椎植入物中使用了非周期性结构，几何多样性有助于提高生物力学性能和组织整合。BOTH的另一个潜在应用是开发先进的复合材料矩阵。正如Asakawa等人[2]所讨论的，BOTH创建的几何形状可以作为填充第二种材料的结构矩阵，而不是中空的内部。此外，该启发式方法还可以集成到树脂转移成型过程中，如Wang等人[62]和Chai等人[63]所描述的那样。在这些情况下，结构作为几何框架，有助于促进树脂流动，并帮助生产出高度复杂且材料利用效率高的组件。7. 结论增材制造能够制造出轻质且几何形状复杂的结构，有助于减少汽车和航空航天工程等行业的二氧化碳排放。仿生结构提供了一种替代方法来开发轻量化设计，通常使用泊松点过程进行建模。在这种方法中，通过在欧几里得平面上随机放置种子点来初始化二维结构。由于这种方法依赖于这些点的随机放置，因此生成的结构的机械强度可能有限。因此，本文提出了一种受Bauhinia forficata叶片形态启发的替代启发式方法来分布种子点。在获取了一组叶片图像样本后，使用计算机视觉算法确定了叶片图像的质心，并生成了对应的Voronoi结构。通过有限元仿真评估了250个结构的硬度。然后，基于硬度最高的20%的结构，使用K-means算法分析了种子点的分布情况。接着通过将种子点分配到14个簇中（每个簇的点比例范围为6%到9.1%）定义了BOTH启发式方法。验证结果确认BOTH在统计上与泊松点过程有所不同，显示出更低的变异性和更高的平均硬度。提出了几个未来研究的方向。将仿真结果与物理实验进行比较可以进一步验证和完善该启发式方法。还可以研究其他用于种子点分布的聚类方法，如层次聚类和基于密度的技术。其他选项包括为Voronoi结构添加可变边缘厚度、进行三维分析以及测试各种机械性能，如弯曲和压缩。最后，建议研究生成结构的可制造性，并将该启发式方法开发为计算工具，以提高其可用性和实际应用价值。数据可用性数据可根据需求提供。责任作者声明Luana Souza Almeida：概念化、方法论、软件开发、验证、形式分析、研究、数据整理、写作——初稿、可视化。Paulo Rangel Rios：概念化、方法论、形式分析、研究、写作——审阅与编辑、监督、资金获取。Luciano Pessanha Moreira：概念化、方法论、软件开发、形式分析、研究、写作——审阅与编辑、监督、资金获取。