用于碳酸盐多孔介质中简化喀斯特 conduit-flow 过程的分层不连续伽辽金方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：Hierarchical discontinuous Galerkin method for reduced karst conduit-flow in carbonate porous media

　　伊戈尔·莫佐列夫斯基（Igor Mozolevski）、卢西亚娜·A·舒（Luciane A. Schuh）、埃德森·L·瓦尔莫尔比达（Edson L. Valmorbida）、马西奥·A·穆拉德（Marcio A. Murad）、若泽·巴罗佐（Josue Barroso）
巴西圣卡塔琳娜联邦大学数学系，邮编88040-900，弗洛里亚诺波利斯，圣卡塔琳娜州

**摘要**
我们提出了一种创新的数值模型，用于研究含有喀斯特化层的碳酸盐储层中的单相流动。这些储层的特征是部分扩大的裂缝以及通过裂缝交点处的化学溶解作用形成的高渗透性通道。该计算框架基于不连续Galerkin（dG）公式，应用于改进的混合维数流动方程系统，该系统明确考虑了裂缝交点附近局部扩大的渗透性增强效应。该方法采用分层结构设计，能够一致且统一地表示多尺度介质：包括岩石基质中的三维流动、裂缝内的二维流动、部分溶解通道中的一维流动，以及裂缝-通道交界处的零维相互作用。这一公式在捕捉喀斯特化引起的复杂多维流动现象及其对流动模式和生产曲线的影响方面表现出极高效率。我们还提供了严格的数学分析，证明了在断裂Sobolev空间中的适定性和收敛性。通过一系列计算实验验证了该模型在模拟实际喀斯特化储层场景时的鲁棒性、准确性和预测能力。

**引言**
碳酸盐储层的一个显著特征是其内在的多尺度异质性，这种异质性主要由密集复杂的连续性网络（如断层、节理和喀斯特特征）驱动，其空间尺度范围从几厘米到几公里不等[1]。尽管许多这些异质性低于传统地震成像技术的检测阈值，但它们对地下流动行为有着深远影响，改变了流体传输路径，影响压力分布，并对储层表征、开发和管理带来重大挑战和机遇[2]。

碳酸盐岩中的现有裂缝通常沿着层理面或构造不连续性排列，这些裂缝引导溶解前沿的传播，促进了裂缝控制通道网络的发展[3]。在这些裂缝中，开放且相连的裂缝可以显著提高介质的渗透性[5]。这种高渗透性通道主导了储层的水力响应，将流动集中在狭窄区域内，并成为喀斯特化进程的关键因素。

喀斯特化过程始于富含二氧化碳的水渗入石灰岩中的现有连通裂缝中。这些裂缝作为初始流动通道，使酸性水通过地球化学反应溶解裂缝壁中的方解石[6][7]。随着溶解过程的进行，裂缝逐渐扩大，演变为高渗透性通道，并形成广泛的洞穴状结构网络，最终主导了喀斯特含水层的流体动力学特性。这一过程通常使渗透率提高几个数量级，从根本上改变了流动方式。原本以孔隙尺度为主的流动逐渐演变为以裂缝为主导的异质系统。随着这些小裂缝扩展为更大的通道，它们最终连成一个连通的洞穴网络，成为喀斯特含水层中流体迁移的主要途径[5]。

尽管普遍认为扩大的裂缝在引发和引导多尺度洞穴形成中起着关键作用，但捕捉其空间组织、连通性和几何复杂性仍是一项重大挑战。为此，数值建模成为阐明喀斯特系统时空演化的重要工具，使得能够更真实地模拟由相互作用的通道、离散裂缝和多孔基质组成的复杂介质中的流动行为[8]。卢克斯（Loucks）对洞穴系统的开创性分析表明[4]（参见[9]），裂缝的初始扩张显著增强了流体输送，进而加速了化学溶解过程，逐步将狭窄的裂隙和孔隙空间转变为广阔且水力高效的洞穴系统[5]。在这些情况下，裂缝网络为流体在多尺度上的迁移提供了重要通道。即使在部分被角砾岩或矿物沉积物填充的情况下，开放且相连的裂缝也能显著提高介质的渗透性[5]。近年来，水文地质建模、地球化学分析和地下成像技术的进步显著提高了我们对喀斯特碳酸盐含水层的形成、特性和动态行为的理解[10]。

尽管喀斯特特征对地下流动和传输过程具有主导作用，但在传统储层模型中它们仍被低估，主要原因是其固有的几何复杂性、空间变异性和尺度依赖性。这种低估在性能预测中引入了相当大的不确定性，特别是在低孔隙度碳酸盐储层中，因为流动高度依赖于裂缝和通道等次级孔隙特征。因此，裂缝-通道系统不仅在当前的流体动力学中起着关键作用，还在碳酸盐岩的长期形态演化中具有重要影响[4]。

大多数地质模型将溶解裂缝概念化为规则连接的通道，通常称为管道网络模型[11]。然而，更真实的表示方法将岩石基质视为由相互连接的三维裂缝网络和层理面划分成的分布式块体。随着溶解过程的进行，洞穴可能在这些不连续性的交点处形成，从而显著提高渗透性[12]。另一方面，流体路径可能受到矿物学异质性和裂缝表面粗糙度变化的影响，进一步影响喀斯特系统的演化。鉴于这些演变中的裂缝网络的复杂性，开发能够准确捕捉其水力行为的高效计算模型变得至关重要。这类模型在能源回收、地下能源储存和废物处理等领域具有广泛应用，特别是在核废料隔离和二氧化碳封存等关键领域[13]。

在现实的地质模拟中，流体通过多孔介质的流动受到上述高纵横比地质体离散网络的强烈调节，这些地质体既可以作为优先流动通道，也可以在充满细颗粒时起到阻碍作用[14][15]。此外，裂缝交点引入了额外的复杂性，因为它们可能表现为高导电性通道或局部流动限制，从而对整个裂缝介质的水力行为起到关键作用。为了准确捕捉裂缝多孔介质的复杂性和相关的流动行为，混合维数偏微分方程（mD-PDEs）成为了一种稳健且多用途的框架[16][17][18][19][20][21][22][23][24]。在这些模型中，裂缝通常被理想化为嵌入三维多孔基质中的二维表面，而裂缝交点则被表示为一维线元素。这种降维策略在保持系统基本几何和物理特性的同时显著提高了计算效率。通过明确维持临界跨维相互作用，mD-PDEs为模拟高度异质且多裂缝的地质形成中的流体流动提供了严格且可行的方法。在典型的mD-PDE公式中，通量通过传递函数或界面项纳入低维流动方程中，确保严格的质量守恒和跨尺度的流体交换准确表示。通过这种物理一致的机制连接基质和裂缝流动动态，mD-PDEs有效模拟了裂缝储层的多尺度特性，即使在存在强烈异质性和各向异性行为的情况下也是如此。

尽管在混合维数建模框架上取得了显著进展，但准确模拟裂缝多孔介质中的流体流动仍然是一个严峻挑战。其中最关键的困难之一在于解决裂缝交点处出现的高度局部化和非线性流动现象，这些交点通常是决定整个裂缝网络行为的关键区域[12]。特别是，喀斯特化引起的裂缝开口变化可能导致局部渗透性的突然变化，形成复杂的多方向流动模式，这在数值上难以捕捉。因此，迫切需要能够准确解决这些复杂流动特征同时保持多尺度数值稳定性和效率的计算策略。在裂缝交界处水动力变量的准确表征仍是一个开放且备受争议的话题。在这种情况下，特别是在交点附近缺乏强烈局部渗透性对比的情况下，一些研究者采用了压力连续性的简化假设[17][25][26][27]。尽管这种近似提高了计算效率并降低了模型复杂性，但如果存在显著的开口或渗透性异质性（参见例如[17][22][24][27]），它可能会忽略重要局部效应。特别是当开口变化显著时，尤其是在裂缝交点附近，或者在交界处同时存在导电性和屏障性行为时，压力连续性的假设可能会严重损害传统混合维数公式的准确性，导致预测的流动动力学出现较大误差。为了解决这些限制，我们提出了一个改进的公式，专门用于捕捉由空间可变开口和局部渗透性对比引起的复杂流动行为。这一改进显著提高了模拟的物理真实性和预测能力。

在用于离散分层混合维数偏微分方程（mD-PDEs）的多种数值方法中，几种方法尤为突出，包括仿生有限差分法[26]、混合有限元法[17][24][28][29]、不连续Galerkin（dG）有限元法[21][27][30][31][32][33]、虚拟元素法[25][34]、有限元法[35][36][37][38]、有限体积法[23][39][40][41]以及扩展有限元法（XFEM）[22][42]。不同公式之间的基准比较已在文献[43][44]中进行了报道。

对于嵌入三维基质中的二维裂缝网络，一些研究采用了有限体积和有限元离散化方法（DFM框架），其中裂缝被表示为嵌入d维多孔基质中的（d?1）维物体[35][36][39][40]。虽然这种方法适用于规则裂缝平面，但它没有明确考虑二维裂缝在一维交点处的流动。

在本研究中，为了模拟在裂缝交点处发展的、具有局部渗透性增强的喀斯特化通道流动，我们采用了[28]中引入的分层混合维数框架。该公式将传统的DFM方法扩展到耦合的1D–2D–3D流形上，以统一的方式定义达西型控制方程和界面条件。为了在不同维度的流形上采用共同的离散化策略，同时处理强渗透性对比和潜在的不连续解，我们依赖于不连续Galerkin方法。

在数值方法家族中，不连续Galerkin（dG）方法在模拟裂缝多孔介质中的分层混合维度模型方面具有优势。dG方法的一个关键优势是其自然适应复杂几何形状和不连续性的能力，使其非常适合表示嵌入多孔基质中的低维裂缝。此外，该方法确保了局部质量守恒，这对地下流动模拟至关重要。其在网格生成方面的灵活性允许对不同维度的流形进行独立网格划分，从而支持对分层结构（如交叉裂缝或嵌入网络）的准确高效建模。在dG框架内，混合维度模型中的耦合条件通过使用跳跃和平均值运算符得到自然且有效的处理。这些运算符提供了一种清晰且系统的机制，用于表达不同维度界面之间的连续性和通量平衡，例如裂缝与周围基质之间的界面。dG方法的内在结构能够适应元素间的不连续性，与跳跃和平均值项的使用完美结合，从而灵活且一致地处理耦合条件。加权平均内部惩罚不连续Galerkin方法的表述特别适用于涉及尖锐渗透性不连续性的问题，这在新颖多孔介质中很常见。通过将加权平均纳入流体通量计算中，该方法能够更准确、更具物理一致性地表示具有对比渗透性的区域之间的界面。这种能力在地下流动应用中尤为重要，因为在这些应用中，突然的材料对比可能导致传统方法中的数值不稳定或不准确性。内部惩罚机制在保持稳定性和高阶精度的同时，即使存在陡峭梯度也能增强鲁棒性，并通过调整通量计算来反映局部渗透性分布，从而减少数值误差。总结来说，不连续Galerkin方法提供了一个强大而有效的计算框架，能够准确捕捉分层混合维度模型中固有的复杂相互作用，尤其是在存在多个耦合界面和显著异质性的情况下。对于dG方法的理论和实现的深入说明，读者可以参考专著[45]、[46]。在之前基于混合维度流动模型的dg方法[21]的基础上，我们扩展了在[16]、[25]、[28]、[47]、[48]和[49]中引入的分层公式的能力。通过在具有相同维度的流形交点处采用通量分解策略，我们在不连续Galerkin框架内引入了一个新的界面耦合项。这个新项实现对交错元素之间通量连续性的统一和维度独立处理，为混合维度流动建模提供了坚实而灵活的基础。此外，为了应对由于局部孔隙变化（特别是与喀斯特化导致的突然扩大相关的变化）所带来的强渗透率对比的挑战，我们提出了使用dG方法的加权平均扩展[50]、[51]。这种增强方案专门设计用于减轻断裂交点附近的虚假数值振荡，从而提高了数值解的稳定性和准确性。我们在破碎Sobolev空间的框架内严格分析了该方法的稳定性特性，并得出了精确的先验误差估计，证明了所提出公式的稳健性和收敛性。我们在合成二维断裂网络上进行了一系列数值实验。这些模拟揭示了非平凡的压力分布现象，尤其是在未溶解断裂段的交点处，传统模型往往难以准确捕捉这些流动行为。

在上述结果的基础上，我们进一步超越了2D设置，为了评估喀斯特化在交点处的影响，我们在一个完全耦合的三维/二维/一维（3D/2D/1D）流动模拟中模拟了一个经典的五点注入-生产设置，该设置的特点是部分扩大的断裂与一个局部喀斯特化区域相交，其中1D导流通道的流动得到增强。在这个更复杂和现实的设置中，我们引入了空间局部化的参数来模拟溶解引起的孔隙异质性。在我们的物理框架中，我们假设有一个明确的时间尺度分离：流体流动的特征时间尺度远短于喀斯特化过程的时间尺度。因此，扩大的断裂的属性被认为是时间不变的。数值实验提供了关于由断裂扩大引起的扰动如何修改流动路径、改变渗透率模式以及影响全局压力分布的定量见解。计算结果证明了所提出公式的稳健性、准确性和预测能力，特别是在模拟高度异质的喀斯特化储层的情境中，传统方法往往表现不佳。

本文的概述如下：第2节介绍了用于喀斯特化碳酸盐岩的3D-2D-1D混合维度流动模型，介绍了分层分解框架和断裂及导流通道的渗透率表示方法。第3节提供了功能空间公式和弱公式，为所提出的模型建立了必要的数学背景。第4节详细阐述了数值离散化过程，包括离散空间的构建和不连续Galerkin（dG）方法在破碎Sobolev空间中的公式化。第5节展示了计算模拟结果，包括平面断裂交叉点的情况、包含混合导电/屏障断裂的网络，以及一个完整的3D喀斯特-导流通道/扩大断裂网络，以分析喀斯特化对流动行为的影响。第6节总结了结论，强调了所提出方法在建模复杂断裂系统流动中的重要性。

**3D-2D-1D混合维度流动模型用于喀斯特化碳酸盐岩**
我们首先介绍了一个用于碳酸盐岩的多混合维度流动模型，这些碳酸盐岩的特点是由相互交叉的部分扩大断裂组成的复杂网络。断裂交叉点可以变宽，形成支持1D流动的导流通道，其渗透率通过局部溶解过程显著增强，如图1所示。图2描绘了一种可能的表示方式，它显示了一个3D多孔基质与经历突然孔隙变化的断裂相互交织。

**功能空间和弱公式**
在下文中，我们考虑了一个三维平行六面体域Ω?R3，其中基质子域Ω3由一系列封闭的凸多面体区域ω3,k组成，这些区域与一个二维断裂网络Ω2交织在一起，其中的元素被识别为凸多边形。此外，喀斯特化形成了一维导流通道Ω1，它们在整体流动动力学中起着关键作用，因此需要明确处理。

**数值离散化**
接下来，我们考虑使用不连续有限元来近似这个问题。为此，我们首先介绍适当的有限维空间。

**计算模拟**
我们现在通过一系列精心设计的数值实验来展示所提出的不连续Galerkin（dG）公式的性能。这些模拟旨在实现双重目的。首先，我们研究了故意排除了一维导流流动影响的二维测试案例，仅关注断裂网络的行为。在这种设置中，我们展示了与基于断裂处压力连续性的传统公式不同，所提出的公式允许不连续的压力值，从而捕捉到混合导电行为，同时严格保持质量守恒。

**作者贡献声明**
Igor Mozolevski：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，验证，方法论，调查，形式分析。
Luciane A. Schuh：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，验证，方法论，调查，形式分析。
Edson L. Valmorbida：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，验证，方法论，调查，形式分析。
Marcio A. Murad：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，验证，方法论，调查，形式分析。