基于K-means聚类的目标函数简化方法及其在船体形状优化中的应用

《Ocean Engineering》：Objective reduction method based on K-means clustering and its application on hull form optimization

　　**群宇|强正|白薇峰|祖源刘|海超常**
**高性能船舶技术重点实验室（武汉工业大学），教育部，武汉，430063，中国**

**摘要**
为了解决在从单目标到多目标船体形状优化过渡过程中由于目标维度增加而导致的优化效率下降和帕累托前沿质量恶化问题，本文提出了一种基于K-means聚类的目标降维方法（ORMKC）。该方法利用均匀设计采样在优化之前生成初始样本集，从而能够系统地挖掘目标-响应数据，识别出相互冲突目标之间的竞争性和相似性关系，进而消除冗余目标以实现降维。通过多目标基准函数（DTLZ1-6）的验证，确认了该方法论的可行性。应用于7500吨内河双尾桨散货船的案例研究表明，计算成本降低了36.287%，同时保持了优化质量，并显著改善了帕累托前沿的分布和解集收敛性。

**引言**
日益严重的全球环境危机将低碳倡议推向了海运行业优先事项的前沿。作为对环境有显著影响的行业，海运行业面临着国际海事组织（IMO）的严格规定，包括能效设计指数（EEDI），要求大幅节能和减排。这种监管环境加速了船舶结构研究的发展，以开发高效“绿色”舰型和节能技术。在此背景下，计算流体力学（CFD）技术在船体形状优化设计中变得至关重要，特别是随着计算能力的提升，模拟软件和智能优化算法得到了改进。这些发展为从单目标优化框架向多目标优化框架的转变提供了动力（Wang等人，2025；Drabo等人，2024；Renaud等人，2022；Cheng等人，2019；Scholcz等人，2019），新兴研究也开始探索更高维度的目标空间。然而，这种维度扩展引发了所谓的“维度灾难”，表现为帕累托前沿质量的恶化、计算成本的增加以及优化效率的下降。

在多目标优化问题中，当目标数量超过三个时，称为多目标优化问题（Ponsich，2013）。已有多种研究致力于解决多目标优化挑战。例如，Yan等人（2025）利用CFD技术和克里金替代模型开发了一个内河双尾桨散货船的多条件优化框架，在八目标优化框架内同时优化阻力和尾流均匀性；优化后的船体形状通过模型测试证明了显著的性能提升。Hyunyul Kim等人（2009）在不同运行条件下优化了DTMB Model 5415的波浪阻力和水面浮力性能，通过修改船体形状在指定的设计速度范围内实现了波浪阻力的降低和水面浮力的增强。Bagazinski和Ahmed（2022）基于双层优化策略和启发式种群初始化构建了一个六目标优化框架，用于多层船舶的布局优化；通过解耦目标序列，该方法显著提高了帕累托解集的质量，并使用超体积指标比较分析了优化方案，证实了船舶稳定性和结构性能的显著提升。Ilka和Humberto（2019）验证了多目标遗传算法（MOGA）在水下车辆操纵器路径规划中的应用，考虑了路径长度、避障能力、能耗和任务完成时间作为目标，避免了局部最优解，并生成了用于设计师决策的帕累托解集。Wang等人（2021）基于RANS方程和PSO-RBFNN替代模型为Vista游轮开发了一个空气动力学优化框架，结合NNM插值加速和AHP决策优化实现了阻力和稳定性的多目标协同优化；优化后的船体形状经过风洞测试，显示了空气动力性能的全面提升。Yang等人（2025）使用天际线-货架打包模型和逐步优化策略建立了船舶 engines 室布局的多目标协同设计框架，结合禁忌搜索和NSGA-III算法优化了空间利用、可访问性、维护效率和管道长度；生成的解决方案经过彻底验证，优于手动设计。Bagazinski和Ahmed（2023）提出了一种基于去噪扩散概率模型（DDPM）和双导优化策略的参数化船体多目标生成框架ShipGen；该框架结合了分类器指导和性能指导机制，实现了几何可行性、波浪阻力最小化、排水量最大化、表面积控制和制造复杂性最小化的多目标协同优化，生成的船体在关键性能指标上优于基准设计。

在传统的多目标优化过程中，优化目标通常被假设为本质上具有竞争性，意味着帕累托最优解集中没有单一目标占据主导地位（Wang等人，2023）。然而，现实世界的工程优化问题表明，目标之间可能表现出协同性、约束性或其他复杂关系（Yuan等人，2016；Ding等人，2021）。在初步优化阶段主动探索目标之间的内在变化模式——提取目标间关系并消除冗余（协同）目标——可以显著提高问题构建的合理性。这种方法降低了计算复杂性，同时提高了算法效率和鲁棒性。一些研究人员研究了目标降维技术：Robin C. Purshouse和Peter J. Fleming（2003）分析了目标之间的冲突、和谐与独立性，提出了决策者偏好整合、目标聚合、降维和可视化等策略；Dimo Brockhoff和Eckart Zitzler（2007）将降维集成到超体积算法中，并开发了精确/启发式方法来减少目标数量，同时保持优势结构，展示了在雷达波形优化和多目标背包问题中的效率；Antonio López Jaimes等人（2008）引入了基于特征选择的降维方法来识别冲突目标，实现了更高的计算效率；Hemant Kumar Singh等人（2011）开发了PCSEA来识别帕累托前沿的角解以进行目标降维；Dhish Kumar Saxena等人（2012）使用PCA和MVU消除冗余；Ankur Sinha等人（2013）结合NL-MVU-PCA和交互式PI-EMO-VF进行偏好驱动的解决方案；Sanghamitra Bandyopadhyay等人（2014）提出了基于冲突目标的α-DEMO和精英策略；Monalisa Pal等人（2016）设计了基于相关性的聚类和切换机制以实现自动降维；Yuan等人（2017）将降维重新定义为最大化优势结构忠实度的双目标问题。总体而言，这些方法证明了目标降维可以提高计算效率、解集质量和算法的可扩展性，适用于基准测试和工程应用。

现有的目标降维方法主要依赖于优化后期生成的帕累托前沿信息，其中目标关系的定量分析（Brockhoff和Zitzler，2007；López Jaimes等人，2008）、相关性建模（Saxena等人，2012；Yuan等人，2017）和几何特征提取（Singh等人，2011）是通过分析全局收敛解的分布特性来实现的。Zheng等人（2019）提出了一种使用部分相关性分析和SOM的知识提取方法，从船体优化数据中挖掘设计变量和目标之间的隐含关系，以指导设计过程。Pellegrini等人（2017）为SWATH船舶开发了一个SBDO流程，结合KLE进行设计空间降维、多保真度元模型和MODPSO，将参数数量从27个减少到4个。Zhang（2022）使用深度信念网络作为高精度替代模型来预测船体阻力，并将其与PSO结合用于DTMB 5512模型的船首优化，实现了阻力降低。Serani等人（2017）综合了物理信息降维、自适应元建模、不确定性量化和多目标算法，实现了驱逐舰阻力和水面浮力的高保真随机优化。Shu和Liu（2021）应用了MBDO方法和顺序采样全局元模型以及MOPSO-CD算法，对带有附肢的流线型水下车辆进行了多目标形状优化。Liu和Deng（2021）使用改进的克里金模型和INGSA-II对Myring型AUV进行了多目标优化，以最小化阻力并最大化体积。H. Wang等人（2021）使用高斯过程回归和空间聚类自适应采样策略开发了一个多目标优化系统，提高了深海养殖船阻力优化的效率。

然而，这种方法在船舶结构应用中存在两个关键限制：(1) 传统方法需要高精度的帕累托解作为前提，这需要大量的计算模拟来获得高维目标空间中的完整前沿分布——这种苛刻的样本需求极大地增加了资源消耗，削弱了工程的及时性要求；(2) 尽管关于多目标船体形状优化已有大量研究（Yan等人，2025；Wang等人，2021，Wang等人，2021，Wang等人，2021），但针对目标关系的专门降维方法仍不成熟。为了弥补这些不足，本文提出了一种基于K-means聚类的目标降维方法（ORMKC）。该方法的创新包括三个方面：(1) 为了解决多目标船体优化中的维度灾难，ORMKC结合了均匀设计（UD）采样来构建目标集——利用数论基础和均匀分布特性生成高质量样本，从而为后续的目标关系聚类建立可靠的数据基础，同时提高降维的可靠性和优化效率；(2) 与依赖优化过程样本的现有方法不同，ORMKC在优化开始前进行预优化采样，以获取目标响应数据，从而在优化开始前进行基于聚类的降维，重建优化问题并节省计算资源；(3) 为了克服传统K-means在目标降维中的双重限制——欧几里得距离无法捕捉高维目标向量中的方向相似性和预设簇数的主观偏差——我们实施了两个关键改进：采用余弦距离来量化冲突方向，同时消除维度干扰，并整合了轮廓系数最大化标准来适应性地确定最优k值，从而解决相似性识别错误和维度依赖性，同时提高聚类的鲁棒性。

本文系统地分为五个部分：第1部分作为引言，阐述研究背景和目标；第2部分详细介绍了多目标优化框架并正式定义了目标关系；第3部分详细介绍了基于聚类分析的目标降维方法；第4部分将这种方法应用于7500吨内河散货船的船体形状优化实际案例研究，并进行了严格的结果分析；第5部分总结了研究贡献，并指出了未来研究的实质性方向。

**多目标优化问题定义**
具有m个最小化目标的多目标优化问题定义为：
**minF(x) = (f1(x), f2(x), …, fm(x))**
**s.t.**
**gi(x) ≤ 0** （i=1,2,…,m）
**hj(x) = 0** （j=1,2,…,p）
其中：m是目标的数量，fm(x)表示第k个目标函数，gi(x)、hj(x)分别表示不等式和等式约束函数。x=(x1,x2,…,xn)是可行域Ω内的n维决策向量。当m > 3时，该问题被归类为多目标优化问题。

**基于K-means聚类的目标降维方法（ORMKC）**
所提出的框架在优化开始前结合均匀设计采样生成初始样本集，从而通过改进的K-means聚类方法识别目标之间的协同关系。这一过程消除了冗余目标，仅保留竞争性目标以实现降维。如图2所示，该架构包括两个相互连接的工作流程：左侧执行标准处理。

**7500吨内河散货船的主要参数详见表6，其3D模型如图5所示。**
参数化建模方法使用11个关键设计变量来控制船体几何变形：sag_cofficient、area_cofficient、theta和sag_deltaz用于球形船首形状控制；b/B（鳍与宽度的比率）、alpha（倾斜角）、rot（旋转角）、S1/S0（鳍面积比率）和h1/h2（鳍高度比率）用于双尾桨几何形状和定位；以及XCB

**结论**
为了解决由于船体形状优化中目标增加导致的优化质量下降和决策复杂性问题，本文提出了一种基于K-means聚类的目标降维方法（ORMKC），用于多目标优化问题中的降维。该方法首先在优化前进行均匀设计采样以生成代表性样本，然后通过聚类分析识别目标之间的竞争关系。

**作者贡献声明**
群宇：撰写——原始草稿。
强正：验证。
白薇峰：撰写——审阅与编辑。
祖源刘：验证。
海超常：正式分析。

**利益冲突声明**
作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：无。

**致谢**
本研究得到了中国国家自然科学基金（授权号52401390, 51979211, 52271327, 52271330, 52471339）的支持；本研究还得到了广西科技重大计划“西江绿色智能船舶关键技术研究与工程示范”（授权号Guike AA23023013, AA23062037）的财政支持。本研究还得到了“康奈尔大学基本研究基金（WUT:104972026RSCbs0038）”的支持。