基于贝叶斯的浸入式超声中包含特征描述及不确定性量化方法

《Ultrasonics》：Bayesian approach to inclusion characterization and uncertainty quantification in immersion ultrasound

　　萨娜·伯格曼 | 阿莫斯·瓦拉 | 乔娜·瓦拉 | 金莫·卡尔卡凯宁 | 米卡·万坦滕 | 特罗·弗龙德拉修斯
奥卢大学材料与机械工程学院，芬兰奥卢90014，Pentti Kaiteran街1号

**摘要**
机器部件的固有缺陷在决定其疲劳特性和服务寿命方面起着重要作用。因此，能够估算缺陷的特征并量化估算中的不确定性具有很高的价值。在超声波无损检测的背景下，检测到的缺陷大小通常是通过基于比较振幅的方法来估算的。本文研究了一种替代的概率表征方法，该方法结合了浸入式超声波的近似模型和近似贝叶斯计算。通过对无衰减钢中椭球形非金属夹缝的位置、大小、方向和材料成分的估算，评估了该方法的能力。此外，还研究了超声波测量次数、计算参数的选择以及噪声对推理结果的影响。最后，评估了夹缝投影面积的分布，并将其与通过传统等效反射体尺寸估算方法获得的面积进行了比较。虽然等效反射体尺寸的估算通常过于保守，但所研究的方法被证明能够从模拟数据中表征夹缝并量化结果的不确定性。因此，这种方法为传统的比较尺寸方法提供了一种有前景的替代方案。

**1. 引言**
机器部件的疲劳特性通常由其固有缺陷决定[1]。因此，关于缺陷特征的准确信息对于疲劳寿命和服务寿命的预测非常宝贵。对于位于高应力区域的关键部件和缺陷，考虑并量化与缺陷大小和方向相关的不确定性也至关重要，以确保疲劳强度的估算具有保守性，从而防止部件意外失效。关于内部缺陷的信息通常通过超声波无损检测（NDE）和测量数据的手动后处理来获得[2]。内部缺陷的大小是通过分贝下降法从超声图像中测量的，或者在较小缺陷的情况下，根据测量的振幅相对于参考反射体来确定大小（例如，在距离-增益-大小（DGS）方法中[4]）。虽然这些尺寸方法适用于位置良好的强反射体（如裂纹），但它们无法考虑自然存在的弱反射缺陷的三维形状和方向。这些方法还大大忽略了尺寸估算中的不确定性，这是一个显著的缺点。本文的重点就是改进这些缺陷。

最近许多关于超声波NDE领域的出版物都关注机器学习（ML）方法的应用。将ML技术应用于超声波NDE的目的是提高缺陷检测的准确性，减少缺陷分类和尺寸估算的误差，并自动化这些越来越耗时的过程[5][6]。根据Cantero-Chinchilla等人[7]对应用于超声波NDE的ML的广泛回顾，多位作者报告了在缺陷分类和尺寸估算方面的非常有希望的结果。例如，Pyle等人报告说，深度学习使得裂纹尺寸的估算比经典的分贝下降方法准确四倍[6]。然而，由于缺乏训练数据，将ML应用于超声波NDE受到限制[5]。特别是在无法人工复制的复杂自然缺陷情况下，收集足够的合适训练数据可能是不可行的。基于物理的模拟（参见例如[8]）和数据增强可以用于数据生成[9]，但确保训练集包含所有重要变化可能非常困难。将ML应用于超声波NDE的另一个问题是不确定性量化，这需要在分析中增加额外的步骤，仍然是一个相对较新的研究领域[10]。由于这些普遍存在的限制，本文将探讨替代的概率方法。

最终，基于超声测量数据估算缺陷特征是一个具有挑战性的、病态的逆问题。鉴于问题的病态性质以及对量化缺陷特征不确定性的兴趣，贝叶斯方法应该非常适合解决这个问题。在贝叶斯推断中，所有感兴趣的变量都被定义为具有描述变量信息程度的概率分布的随机变量[11]，这意味着不确定性量化本质上包含在缺陷特征的估算中。与之前讨论的机器学习方法不同，贝叶斯反演不需要大量数据；贝叶斯反演关系着我们拥有关于变量的多少信息，因此少量数据会导致更大的不确定性，但不一定导致错误结论。因此，无论可用数据的数量如何，贝叶斯方法都适用于缺陷表征问题。

然而，将贝叶斯方法应用于本文研究的缺陷表征问题确实存在一些困难。将贝叶斯定理应用于逆问题的挑战通常在于马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法所需的似然函数的定义和计算[12]。似然函数通常围绕一个描述未知参数与观测数据之间相互关系的内模模型构建[11]。这些描述和预测物理现象的模型通常很复杂且计算要求高，这可能导致使用MCMC方法的贝叶斯推断效率极低[13][14]。多模态后验分布也带来了额外挑战：即使有高效的内模模型，贝叶斯推断也可能表现不佳，因为MCMC算法难以有效探索许多局部模式[15][16]。尽管已经取得了一些有希望的结果，但这些挑战在之前的研究中已经很明显。一些作者通过使用高效替代模型（例如在似然函数中[13]）或从测量数据中提取特征（例如缺陷的散射矩阵[14][17][18]）成功地将贝叶斯方法应用于超声波和导波应用。然而，这些方法仅适用于有限数量的简单缺陷情况，将方法扩展到更复杂的缺陷（例如腐蚀缺陷[14]）需要使用越来越复杂的模型。

近似贝叶斯计算（ABC）为上述传统贝叶斯推断提供了一种实用替代方案。在ABC中，通过直接评估测量数据与从先验分布采样的参数值模拟的数据之间的相似性来避免似然函数的评估。因此，ABC能够在似然函数难以处理的情况下进行推断[12]。此外，使用顺序蒙特卡洛采样而不是MCMC采样的ABC算法无论多模性如何都能表现良好。内模模型的效率仍然是一个限制因素；然而，ABC的并行化可以利用所有可用的计算资源并减少计算时间[19]。与传统的贝叶斯推断一样，关于ABC在超声波无损检测和缺陷表征中应用的文章非常少。这些文章的重点是导波问题：Fakih等人使用人工神经网络作为ABC推断中的高效替代模型，用于检测和表征焊缝损伤[20]。Zeng等人将ABC与高效时域谱有限元方法结合，用于估算裂纹的位置和大小并量化相关的不确定性[21]。

本文研究了将ABC应用于超声缺陷表征的情况。虽然之前的研究集中在导波应用和简单的强反射缺陷上，但本文的目标是形成并评估一种适用于体波超声测量和弱反射缺陷的概率缺陷表征方法。为了使ABC适用于这种通用应用，ABC与Thompson–Gray测量模型（TGMM）[22]相结合，这是一种高效的浸入式和角射超声测量近似模型。该模型适用于广泛的缺陷情况和测量设置，从而确保这种新的缺陷表征方法在本文范围之外也能发挥作用。通过从模拟测量数据中估算非金属夹缝的位置、大小、方向和材料成分来研究表征方法的能力和行为。此外，从估算的缺陷参数确定了夹缝投影面积的概率分布，并将其与通过DGS方法对模拟测量得到的等效平底孔（FBH）的面积进行了比较。使用模拟数据可以估算给定测量设置中不确定性的下限或最佳情况，因为结果不会包含由模型错误引起的任何不确定性。

本文的结构如下：第2节介绍了Thompson–Gray测量模型及其用于电过程、波传播和夹缝及简单参考反射体散射的子模型。第3节概述了ABC算法。第4节介绍了本研究中涉及的模拟测量设置和缺陷案例，并讨论了先验分布的选择。第5节研究了表征方法的行为以及计算参数和数据对结果的影响。最后，第6节将表征方法的结果与通过传统比较方法获得的结果进行了比较。第7节和第8节分别讨论和总结了本文的发现和结论。

**2. 浸入式超声测量模型**
使用圆形单元素换能器进行浸入式超声测量时接收到的A扫描信号的频域缺陷响应（即傅里叶变换）可以使用Thompson–Gray测量模型（TGMM）来估算。Dang等人[22]首次以当前形式引入了该模型。Dang等人建立了一个电声测量模型，将超声测量中存在的声场和弹性场与测量中使用的电学和机电组件联系起来。他们的工作基于Auld[23]提出的互易性关系，并结合了Thompson和Gray[24]在他们的电声模型中做出的假设，Dang等人能够为完整的超声测量过程形成一个高度模块化的显式形式：
$$VR(\omega,\theta) = s(\omega)V^\hat(\omega,\theta) \cdot 2A(\omega,\theta) \cdot \frac{4\rho^2c^2}{ik^2a^2\rho^1c^1}$$
其中 $i$ 是虚数单位，$\omega$ 是角频率，$\rho_1$ 和 $c_1$ 以及 $\rho_2$ 和 $c_2$ 分别是第一种和第二种材料中的密度和声速，第一种材料是浸入测试中的浸入液体，$k_2$ 是角波数，$a$ 是换能器的半径。此外，公式（1）中的模型包括三个描述超声测量中不同过程的单独项。第一项 $s(\omega)$ 是一个系统函数，根据电气组件的频率响应修改接收到的信号；$A(\omega,\theta)$ 系数描述了来自缺陷的波散射，$V^\hat(\omega,\theta)$ 定义了波在材料中的传播以及波通过界面时的传输对最终信号的影响。

**2.1 电气组件的建模**
可以通过对校准信号的解卷积来获得测量系统的系统函数，前提是已知校准测量的传递函数。这样的测量是对平行于换能器表面的平面液固界面的脉冲回波测量，即在浸入测量中，如果探头表面与组件前端表面平行，系统函数可以使用前端表面的反射来定义。在这种情况下，弹性传递函数为：
$$tA(\omega) = R_1 \cdot 2^{-ikp_1} \cdot e^{-ikp_1 a^2 z} \cdot J_0 \cdot e^{-ikp_1 a^2 z}$$
其中 $z$ 是换能器与壁之间的距离，$J_0$ 和 $J_1$ 是零阶和一阶的贝塞尔函数[25，第74页]。由于弹性传递函数是已知的，可以将参考信号转换到频域，并通过解卷积计算系统函数：
$$s(\omega) = VR_{ref}(\omega) \cdot tA(\omega)$$
在实践中，测量信号中总是存在噪声，因此在计算中应使用滤波器：
$$s(\omega) = VR_{ref}(\omega) \cdot tA^*(\omega) \cdot |tA(\omega)|^2 + \xi^2 \cdot |tA(\omega)|^2$$
其中 $tA^*(\omega)$ 是弹性传递函数的复共轭，$\xi$ 是代表测量中噪声水平的常数[25，第116页]。

通过实验测量定义系统函数可能是使用超声模型的一个限制因素。系统函数可以用高斯函数来近似表示 [25, pp. 350–351]：
(5) \(s(f) = h \cdot \exp\left[-\frac{4\pi^2 a^2}{(f - f_c)^2}\right] \sin\frac{\pi f}{2f_c}\)，其中 \(f \leq f_c\)；
(6) \(a = \ln\frac{2\pi}{b_w}\)，其中 \(f\) 是频率，\(h\) 是振幅，\(b_w\) 是高斯函数的 -6 dB 带宽，\(f_c\) 是探头的中心频率。不幸的是，用高斯函数近似系统函数需要知道系统函数的振幅，而这可能不容易获得，并且无论如何都需要实验测量。然而，只要测量设备在一次测量和另一次测量之间保持不变，系统函数就是相同的，这意味着系统函数只需为一次测量设置定义一次。

2.2. 波传播和传输的建模
在 TGMM 中，考虑了固体材料中的波传播和通过流体-固体界面的传输，使用系数 \(V^\hat(\omega,\theta)\)，它是反射器中心处入射波的归一化速度振幅。该系数可以使用多高斯波束模型（MGBM）来计算，在该模型中，轴向对称活塞换能器的超声波束由仅十五个高斯波束的叠加形成 [26]。高斯波束是流体和固体中运动控制方程的二阶傍轴近似解，这意味着 MGBM 也适用于傍轴假设有效的情况。在大多数超声应用中，探头可以被描述为活塞源，并且假设良好的聚焦超声波束是合理的。研究表明，MGBM 可以精确预测探头远场中的轴向速度，并且在近场也能提供非常好的结果 [25, pp. 221–230]，除了紧邻换能器表面的近场，那里傍轴假设不再成立 [25, pp. 183]。

对于一般的浸入式测量设置，被测组件的表面可以是平面的或曲面的，探头是轴向对称的单元素探头，可以是平的或球面聚焦的，并且仅考虑组件中的压力波，MGBM 的形式如下 [25, pp. 329–330]：
(7) \(V^\hat(\omega,\theta) = \sum_{n=1}^{15} T_{12} A_n \cdot e^{i k_1 r_1 + i k_2 r_2} \cdot L_1 + L_2\)，其中 \(T_{12}\) 是从流体到固体的传输系数，\(A_n\) 和 \(B_n\) 是波束系数（见 [25, pp. 338]），\(k_1\) 和 \(k_2\) 是流体和固体中的波数，\(y_1\) 和 \(y_2\) 分别描述了反射器在 \(x_1\) 和 \(x_2\) 方向上相对于超声波束轴的偏移量。使用 \(L\) 项是为了表示更简洁的形式：
(8) \(L_1 = \cos\frac{\theta_2}{2} \left[\frac{(B_n + iDR}{F}r_1 - iDR\right](\frac{B_n + iDR}{F})(\cos\frac{\theta_1}{2} + \frac{K}{R_1})\)；
(9) \(L_2 = \frac{(B_n + iDR}{F}r_1 - iDR}{(B_n + iDR}{F}(1 + \frac{K}{R_2})\)；
(10) \(K = \frac{r_1 - iDR}{F} F + iDR \cos\frac{\theta_1}{2} - c_1 c_2 \cos\frac{\theta_2}\)，其中 \(F\) 是探头的焦距，\(r_1\) 和 \(r_2\) 分别是流体和固体中的波程长度，\(c_1\) 和 \(c_2\) 是流体和固体中的波速，\(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 是超声波的入射角和传输角，\(R_1\) 和 \(R_2\) 是主界面曲率在 \(x_1\) 和 \(x_2\) 方向上的半径。\(DR\) 是瑞利距离 [11] \(DR = \frac{k_1 a^2}{2}\)。

最后，可以通过将 (7) 乘以 \(e^{-\alpha_1 r_1 - \alpha_2 r_2}\) 来简单考虑衰减，其中 \(\alpha_1\) 和 \(\alpha_2\) 是浸入液体和固体材料的衰减系数。

在本工作的范围内，所研究的测量设置包括一个平探头，垂直于平面流体-固体界面放置，并且忽略了衰减。在这种简单情况下，MGBM 可以简化为以下直接的形式：
(12) \(V^\hat(\omega,\theta) = \sum_{n=1}^{15} T_{12} A_n \cdot e^{i k_1 r_1 + i k_2 r_2} \cdot L_1 + L_2\)，其中 \(L = r_1 + r_2 c_2 c_1 - iDR B_n\)。

在文献中，MGBM 已经扩展到矩形和椭圆形换能器几何结构 [27, [28]，以及线性相位阵列探头 [29]。

2.3. 波散射的建模
模拟任意形状夹杂物的波散射是一项具有挑战性且计算成本很高的任务，在本工作的背景下是不必要的。由于推断缺陷形状、大小和方向的用例是在疲劳领域，而在疲劳模型中，缺陷最相关的参数是缺陷面积在主应力方向上的平方根 [30, [31]，因此将缺陷定义为近似椭球体就足够了。此外，超声测量设备以及超声测量过程本身对可以获得的关于缺陷大小和形状的信息量有一定的限制。在波传播过程中总是会有一些信息因衰减而丢失，缺陷指示也会被材料噪声或其他干扰所掩盖。超声设备的分辨率有限，这意味着聚集的缺陷或小的断裂夹杂物可能无法单独检测到。最后，用于近似贝叶斯推断的模拟模型不需要非常精确，因为模型中的所有可能误差都会反映在结果的不确定性中。

椭圆形缺陷的波散射可以用简单的解析模型来模拟。对于弱反射体（如非金属夹杂物），Born 近似 [32] 是最适合的模型。该模型依赖于一个假设，即缺陷内的波场与入射波场几乎相同，意味着固体材料和夹杂物的声阻抗不能有显著差异。如果应用于这个假设不成立的情况，该模型会高估来自缺陷背面的后续响应。Huang 等人引入了一个略微修改的版本，称为改进的 Born 近似 [33]。这个版本的模型适用于更广泛的缺陷范围，无论固体材料和缺陷之间的声阻抗差异有多大：虽然原始 Born 近似在声阻抗比为 1.21 时 already 会有一些误差，但改进的 Born 近似即使在声阻抗比为 3.0 时也能提供相当好的结果。该模型的形式如下：
(14) \(A(\omega,\theta) = R \cdot a_1 a_2 a_3 r_e^2 \cdot e^{2ik_0 r_e} \cdot \left(1 - \frac{c_0}{c_2}\right) \cdot \sin(2k_0 r_e) - \frac{2k_0 r_e}{\cos(2k_0 r_e)}\)，其中 \(R\) 是反射系数，\(a_1\)、\(a_2\) 和 \(a_3\) 是椭球体的轴，\(c_0\) 和 \(c_2\) 分别是固体材料和缺陷中的波速，\(k_0\) 是缺陷中的波数。椭球体缺陷在入射波方向上的等效半径为：
(15) \(r_e = \sqrt{a_1^2(e^{i u_1})^2 + a_2^2(e^{i u_2})^2 + a_3^2(e^{i u_3})^2}\)，其中 \(e^i\) 是入射波方向的单位向量，\(u_1\)、\(u_2\) 和 \(u_3\) 是椭球体半轴方向的单位向量。

超声模型的模块化形式确保可以通过简单地更改波散射模型来高效模拟各种缺陷的缺陷响应。除了弱反射体之外，还有简单的解析散射近似适用于强反射体（如裂纹 [25, pp. 253] 或孔隙 [25, pp. 251]），以及不同的参考反射体。由于在后续章节中将 ABC 方法的结果与 DGS 方法获得的等效反射体尺寸（ERS）值进行比较，因此必须定义平底孔的散射近似。平底孔的远场散射幅度可以用 Kirchhoff 近似来评估 [25, pp. 375]：
(16) \(A(\omega, r_{FBH}) = i k_2 r_{FBH}^2\)，其中 \(r_{FBH}\) 是平底孔的半径。

3. 近似贝叶斯计算
在贝叶斯推断中，感兴趣参数 \(\theta\) 的后验概率密度函数（PDF）\(p(\theta|y)\) 可以用贝叶斯定理来估计：
(17) \(p(\theta|y) \propto p(\theta) p(y|θ)\)，其中先验 PDF \(p(\theta)\) 描述了关于参数的初始信息量，\(p(y|θ)\) 是用于根据观察数据更新先验的似然函数。由于前一节介绍的 TGMM 提供了一种分析建模超声测量过程的方法，因此当前应用中传统贝叶斯推断的使用不受无法定义或计算似然函数的限制。使用 ABC 的理由更多在于其直观的操作原理及其在这种特定情况下的计算效率：使用 TGMM 的模拟非常快速，从而促进了 ABC 中的高效采样。

一般来说，ABC 算法首先从先验分布 \(p(\theta)\) 中采样一个候选参数 \(\theta^\ast\)，然后在感兴趣的模型中使用该候选参数来模拟数据集 \(x\)。通过距离函数 \(\rho(x,y)\) 评估模拟数据 \(x\) 与观测数据 \(y\) 之间的相似性。尽管使用距离函数让人联想到优化问题中的目标函数，但 ABC 的目标不是找到最小化距离函数的参数点估计值，而是估计参数的后验分布 [19]。如果距离 \(\rho(x,y)\) 在某个接受阈值 \(\epsilon\) 内，候选参数 \(\theta^\ast\) 就被保留为分布 \(p(\theta|\rho(x,y) < \epsilon\) 的一个样本。如果误差 \(\epsilon\) 足够小，则分布 \(p(\theta|\rho(x,y) < \epsilon)\) 是后验分布 \(p(\theta|y)\) 的一个近似 [19], [21]。由于数据的复杂性通常会降低 ABC 的效率，因此在一般应用中使用低维的摘要统计量 \(S(x), S(y)\) 来代替数据集，从而减少计算时间 [34]。然后将距离函数定义为 \(\rho(S(x), S(y))\)。然而，选择一个包含关于参数 \(\theta\) 尽可能多信息的足够摘要统计量并不容易 [35]。对于超声测量数据，每个数据点及其在序列中的位置都提供了关于反射器的信息，将数据集简化为一个值或一组摘要统计量无论如何都会导致信息的重大损失。

3.1. 顺序蒙特卡洛采样
对于一般的 ABC 算法，挑战在于计算效率和近似后验的准确性之间的平衡，其质量取决于接受阈值 \(\epsilon\)。如果阈值太小，会导致高拒绝率，因为大多数参数值会导致模拟数据和观测数据之间的距离较大 [35]，从而增加计算成本。有多个版本的 ABC 算法旨在通过使用不同的采样技术来提高计算效率。当前工作中使用的版本是 ABC 顺序蒙特卡洛（ABC-SMC）算法，其中接受阈值逐渐减小。这减少了被拒绝的样本数量，从而减少了计算时间 [35]。Goffard 和 Laub 提供了一个算法和一个 Python 包用于轻松实现 ABC-SMC [36]。该算法从先验分布 \(p(\theta)\) 中采样 \(K\) 个粒子 \(\theta_k\)。对于后续迭代 \(t>1\)，粒子从中间后验分布 \(p_{g-1}(\theta|y)\) 中采样，这些分布是通过核密度估计器获得的加权样本：
(18) \(p_t(\theta|y) = \sum_{k=1}^K w_k t_k H(\theta - \theta_k t)\)，其中 \(H\) 是一个多元高斯核，其平滑矩阵 \(H\) 等于在加权粒子群体上估计的经验协方差矩阵的两倍。粒子权重定义为：
(19) \(w_k t \propto p(\theta_k t) p_{t-1}(\theta_k t|x) \rho(x,y) < \epsilon\)；如果模拟数据集 \(x \sim f(y|(\theta_k t)\) 满足 \(\rho(x,y) < \epsilon_t\)，则保留该样本 \(\theta_k\)。采样继续进行，直到有 \(K\) 个被接受的粒子 \(\theta_{1,t} \... \theta_K\)，然后将它们与之前的迭代中的 \(\sum_{k=1}^{K_t-1} I_w k_t^>0\) 个粒子结合。定义一个新的接受阈值以保持特定的有效样本大小：
(20) \(ESS = \sum_{k=1}^K (w_k t)^2^{-1} \approx K^2\)。

尽管 ABC-SMC 通过逐步降低接受阈值来缩短计算时间，但一旦阈值达到较小值，之前提到的拒绝率问题再次出现。因此，算法的最终迭代可能计算速度非常慢，并且近似后验可能几乎没有改善 [35]。由于每次迭代的运行时间都比前一次长，因此必须在近似后验的准确性和计算工作之间找到平衡。迭代次数的微小变化可能会导致计算时间的巨大变化，这意味着必须通过试错来确定适当的迭代次数 [36]。为了减少试错的需要，并调节计算时间和后验的质量，在后续章节中形成了 ABC-SMC 算法的额外停止标准。

3.2. 距离函数
距离函数的选择对 ABC 推断的质量和计算效率有显著影响 [35]。因此，应仔细考虑数据中哪些特征是重要的，以及距离函数是否考虑了相关特征。当前研究中考虑的数据集是一个三维数组，包含多个频域缺陷响应，即数百到数千个数据点。每个缺陷响应的形状和幅度都提供了有关感兴趣参数的信息，这意味着所选择的度量标准应该同时考虑这两个特征。在之前引用过的关于引导波应用中ABC使用的研究文章[20]、[21]中，作者使用了余弦距离作为距离函数。余弦距离可以用来估计两个向量的相似性，即使向量的幅度不是关注的重点，因为余弦距离仅依赖于向量之间的角度。在当前应用中，使用余弦距离函数几乎无法提供关于影响缺陷响应幅度的参数的信息，例如夹杂物的密度。另一种用于估计两个向量相似性的距离函数是欧几里得距离，它同时考虑了向量的幅度和角度。在一般的ABC应用中，欧几里得距离度量是衡量摘要统计量之间距离的常见选择。然而，在高维原始数据的情况下，欧几里得距离度量的性能可能会下降，因为噪声对距离值的影响超过了相关信号峰值的影响[37]。在这项工作中，模拟数据集和测量数据集之间的距离是通过结合Kullback–Leibler（KL）散度[38]和L1范数[23]来评估的：(21)ρ(x,y)=∑m=1M∑n=1N[DKL(xmn,ymn)+DL1(xmn,ymn)]，其中M和N是数据数组的行数和列数；(22)DKL(xmn,ymn)=1D0,mnKL?∑j=1Jymnjxmnj=0,ymnj≥0xmnjlogxmnjymnj?1+ymnjxmnj,ymnj>0；(23)DL1(xmn,ymn)=1D0,mnL1∑j=1J|xmnj?ymnj|，其中J是单次测量产生的数据向量的长度。与之前提到的余弦距离和欧几里得距离不同，KL散度是一种统计距离，用于衡量一个概率分布与另一个概率分布的差异。由于使用KL散度要求数据为正数，因此每个缺陷响应都被缩放到一个正范围内。此外，每个缺陷响应都被归一化，使其值之和等于一。然后需要L1范数来考虑原始缺陷响应的幅度，因为KL散度仅考虑了它们的形状。为了使两种具有显著不同值范围的距离度量能够结合，两者都通过初始值D0KL和D0L1进行了归一化，如(22)、(23)所示。这些初始值是在计算开始时通过对先验分布的一个参数集进行采样、使用采样后的参数集进行模拟，最后评估模拟数据集和测量数据集之间的KL散度和L1范数来计算的。

4. ABC在超声测量中的应用
前几部分介绍了将ABC应用于超声测量所需的理论背景。本节将继续描述模拟测量设置和研究的缺陷案例，并详细讨论数据集的形成和先验分布的定义。

4.1. 测量设置、缺陷案例和模拟数据
在TGMM中，椭球形夹杂物是通过11个参数θ=(x1, x2, x3, a1, a2, a3, ?1, ?2, ?3, ρ0, c0)来定义的，其中大多数在图1中有所说明。前三个参数xi,i=1,2,3定义了夹杂物中心相对于探头中心的位置，或者在多次测量时指的是探头在第一个位置的位置。ai参数是椭球形夹杂物的半轴，φi定义了通过固定轴旋转的夹杂物方向，最后ρ0和c0分别是夹杂物的密度和声速。表1显示了本工作中使用的缺陷参数值。在此进行的大多数试验中研究的缺陷是一种细长且略微倾斜的氧化铝Al2O3夹杂物。稍后在本工作中还考虑了两种具有与Al2O3相同几何形状和位置的附加夹杂物：硫化锰MnS和氮化钛TiN。夹杂物的位置、大小和方向的值是任意选择的，因此它们可能不能代表特定的夹杂物。然而，夹杂物的x3位置被设置在了模拟超声波束的远场起点，并且夹杂物的轴线被设置得比模拟超声波束小，以便在后续章节中合理使用DGS方法。这里考虑的测量设置是使用单元素平面探头进行的浸没式测量，其表面平行于水-钢界面。探头直径为10毫米，中心频率为5兆赫，探头位于水-钢界面15毫米处。模拟中使用的系统函数是由偏态正态分布的概率密度函数生成的：(24)s(f)=1σ?2π?exp?(f?μ)2/2σ2?1+erfα(f?μ)σ2?1/ν，其中σ=2.0,μ=6.3,α=?2.3, ν=11.9。水和钢中的声速分别为1.484米/秒和5.75米/秒，钢的密度为7.85克/立方厘米。忽略了水和钢中的衰减以及钢中的结构噪声。因此，钢最好对应于细粒高强钢。测量数据在具有2.5毫米步长的九个位置上进行了网格化模拟，模拟了C扫描测量。每次模拟都使用0-10兆赫范围内的100个频率值。每次模拟的输出的复数部分被分离成实部和虚部，然后合并成一个包含200个数据点的单一数据向量。完整的测量结果是一个包含总共1800个数据点的三维数组。模拟测量设置和数据集的形成如图2所示。

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图1. TGMM中定义缺陷的位置、大小和位置参数示意图。

表1. 用于测量数据模拟的缺陷参数值。

如图2所示，每个模拟的频域缺陷响应都包含一些噪声。尽管没有考虑结构噪声，但向每个测量中添加了白高斯噪声，以模拟超声测量中通常观察到的电子噪声[39]。向模拟数据中添加噪声是必要的，因为如果没有噪声，ABC会作为一种参数估计方法，逐渐趋近于点估计，从而无法确定结果后验中的不确定性有多少是由于计算不完整而不是数据本身造成的。添加的噪声幅度在每个夹杂物情况下都是定义好的，以便信噪比（SNR）（考虑数据集中最强的信号，即从夹杂物中心轴测量的信号）为30分贝。在后续章节中，还使用了SNR为20分贝和10分贝的两种附加噪声水平。

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图2. 模拟测量设置和数据集形成示意图。

4.2. 先验分布
在这项工作中，我们采用群体解释[40, pp. 38]来处理先验分布，即认为先验分布代表了可能参数值的总体。每个参数都被赋予一个均匀先验分布，其支持范围如表2所示，根据下面讨论的不同物理或数学约束来设置。尽管能够包含和利用先验信息是贝叶斯方法最重要的优势之一，但使用均匀先验使我们能够检查模型的行为，并估计仅从测量数据中可获得的信息量。位置参数x1和x2的先验分布的支持范围是由超声波束的宽度决定的，这限制了波束中心轴与检测到的缺陷之间的横向距离。当数据集包含多次扫描时，如当前研究所做的那样，横向位置参数受到扫描路径尺寸的限制。第三个位置参数x3则受到超声波束穿透深度的限制，这取决于多个因素，包括操作频率、探头的几何形状以及组件的衰减特性。当然，当已知固体材料中的声速时，可以直接从A扫描信号中轻松估计反射体的深度。在这种常见情况下，轴向深度的限制很容易定义。

表2. 用于推理的均匀先验分布的支持范围。

对于尺寸和方向的先验分布的定义则不那么明显。对于方向参数φi,i=1,2,3，0到90度范围内的值足以描述所有可能的方向，同时最小化非唯一解的数量。任何需要超出定义范围的角度都可以通过方向和尺寸参数的组合来实现。尺寸参数的先验可以相当自由地定义；然而，实际限制由组件的大小、扫描路径的尺寸和探头的灵敏度决定。此外，还可以直接从B扫描或C扫描图像中获得一些关于缺陷大小的指示。最后，可以根据所检查材料中发现的典型夹杂物来定义材料参数ρ0和c0的先验分布。考虑到材料的化学成分，可以在材料中形成的非金属夹杂物数量有限。此外，非常小的非金属夹杂物通常无法通过超声无损检测（NDE）检测到。例如，TiN夹杂物的大小通常在5-10微米[41]、[42]范围内，因此在实践中无法检测到。因此，可以根据材料和测量设置来设置材料参数先验的支持范围。

4.3. 推理结果
所有计算都在CSC的Puhti超级计算机上完成，该计算机在一个带有39个核心的单节点上进行。首先对前面讨论的缺陷案例和测量设置进行了20次迭代的ABC推理，样本量为2000，总计算时间为32分钟，最终误差容忍值仅为0.68。推理结果以缺陷参数的概率密度分布形式提供，如图3所示，同时还包括先验分布和真实值。表3为每个参数提供了描述真实值与分布模式之间差异的误差值[43]以及相对标准差（RSD）。后验分布中的不确定性是由于数据中信息的缺乏造成的，这一点在参数φ1上表现得尤为明显：由于夹杂物在x1方向上几乎是轴对称的，因此φ1方向的变化只会导致缺陷响应的微小变化。相反，位置参数x1、x2和x3的后验分布中的不确定性非常小：数据包含了大量关于缺陷位置的信息，因为它们对缺陷响应的贡献，特别是响应的时间非常显著。最后，数据中的噪声通过模糊缺陷响应中的细节并部分掩盖最弱的响应，从而增加了数据的不确定性。为了使结果的可视化更加简洁，使用尺寸和方向参数的后验分布来定义夹杂物投影区域的概率密度分布。该区域被投影到(x1,x2)平面上，即表面法线的方向，如图4所示。这里报告的是投影区域的平方根，因为如之前在缺陷散射模型中讨论的那样，在基于缺陷的疲劳模型中，决定性参数是缺陷的平方根面积。Al2O3的投影面积的平方根在图5中显示，其真实值为atrue=0.78毫米，误差和RSD值在表3中提供。表3展示了每个后验参数分布的RSD值以及这些分布的模式与Al2O3实例中对应真实值之间的误差。表3：Al2O3实例中每个后验参数分布的RSD值以及分布模式与相应真实值之间的误差。

图3. 使用ABC-SMC从模拟数据中估计的缺陷参数的近似后验概率密度分布。为了减少图表中的杂乱，省略了与PDF值对应的y轴。

图4. 在表面法线方向上投影的夹杂物及其面积。

5. 表征方法的行为
在本节中，通过改变ABC-SMC算法的计算参数以及通过改变前一节讨论的模拟数据集的数据量和噪声水平来研究所引入的缺陷表征方法的行为和鲁棒性。

图5. 根据尺寸和位置参数分布估计的Al2O3实例中夹杂物投影面积平方根的概率密度分布，以及该面积的真实值。

5.1. 计算参数的选择
正如Goffard和Laub [36]所讨论的，必须通过试错来确定每个单独情况的所需迭代次数，同时确保计算时间保持在合理范围内。这里通过执行10次、15次、25次和30次迭代来研究迭代次数的影响，除了前一章中使用的原始20次迭代。虽然在图6中可以看出随着迭代次数从10次增加到15次，投影面积分布的方差明显减少，但在20次、25次和30次迭代中获得的结果的方差和误差之间只有很小的差异，尽管计算时间显著增加（表4）。因此，结果似乎收敛到了一个表示数据引起的不确定性的分布。通过检查误差容忍度和计算时间进一步研究了迭代次数的影响。图7显示了（a）误差容忍度，（b）两次连续迭代之间的误差容忍度差异Δ?，以及（c）每次迭代的计算时间。误差容忍度在大约20次迭代时饱和到一个小值，这使得最后的几次迭代变得不必要。由于每次迭代的计算时间随着误差容忍度接近其渐近线而呈指数增长，因此定义一个通用且稳健的停止准则是有趣的。应当注意的是，尽管所有计算的误差容忍度值都以类似的方式饱和到小值，但由于距离函数中初始值的使用，最终值（表4）略有不同。考虑到这一点，以及由于例如数据量的不同，最终误差容忍度可能会在不同的推断中显著变化，因此仅基于误差容忍度定义停止准则是不可行的。相反，将考虑前三个Δ?值的滚动平均值与当前Δ?之间的差异：(25)??=1/3?(Δ?i?3+Δ?i?2+Δ?i?1)?Δ?i<0.2，其中(26)Δ?i=?i?1??i/?i?1。

图6. 在Al2O3实例中，使用不同迭代次数估计的夹杂物投影面积平方根的概率密度分布。

表4. 在Al2O3实例中，使用不同迭代次数估计的面积分布的SD、RSD、误差、总计算时间和最终误差容忍度。

图7. 随着迭代次数的增加，（a）误差容忍度，（b）两次连续迭代之间的误差容忍度差异Δ?，以及（c）每次迭代的计算时间的发展。错误容忍度在大约20次迭代时饱和到一个小值，这使得最后的几次迭代变得不必要。由于每次迭代的计算时间随着误差容忍度接近其渐近线而呈指数增长，因此定义一个通用且稳健的停止准则是有趣的。应当注意的是，尽管所有计算的误差容忍度值都以类似的方式饱和到小值，但由于初始值的不同，最终值（表4）略有不同。考虑到这一点，以及最终误差容忍度可能会因数据量的不同而显著变化，因此仅基于误差容忍度定义停止准则是不可行的。相反，将考虑前三个Δ?值的滚动平均值与当前Δ?之间的差异：(25)??=1/3?(Δ?i?3+Δ?i?2+Δ?i?1)?Δ?i<0.2，其中(26)Δ?i=?i?1??i/?i?1。

图8. 在Al2O3实例中，使用不同迭代次数估计的夹杂物投影面积平方根的概率密度分布。

表4. 在Al2O3实例中，使用不同迭代次数估计的面积分布的SD、RSD、误差、总计算时间和最终误差容忍度。

图7. 随着迭代次数的增加，（a）误差容忍度，（b）两次连续迭代之间的误差容忍度变化，以及（c）单次迭代的计算时间的发展。虚线表示根据停止准则中的两个条件确定的最后一次迭代。注意，x轴在子图中是共享的。然而，Δ?值的不连续行为（图7）需要一些额外的停止准则条件：即使Δ?远未饱和，也可以将平台值和大的峰值定位在这样一种方式，使得当前值与滚动平均值之间的差异很小。为了最小化由于这种行为导致的过早停止的风险，为最后四个值的最小值和最大值之间的关系设置了第二个条件：(27)??min,max=min{Δ?i,Δ?i?1,Δ?i?2,Δ?i?3}max{Δ?i,Δ?i?1,Δ?i?2,Δ?i?3}<0.4。由于每次迭代的计算时间也表明误差容忍度?的饱和，因此设置了最后一个条件，以定义一旦某次迭代的计算时间是第一次迭代时间的45倍，则应停止计算。根据这些条件，当前研究案例中的计算应在第22次迭代后停止，如图7所示。根据Δ?和每次迭代的计算时间定义的停止准则将在下面探索种群大小以及后续章节中讨论的调查中使用。作为最后的预防措施，以确保计算不会过早停止，指定了至少十次的迭代次数。在每次计算中都会验证误差容忍度的饱和情况，并在必要时增加迭代次数。由于不同实例所需的迭代次数可能大不相同，计算时间也可能显著变化。为了清晰起见，以下案例中的计算时间将提供为每次迭代的平均时间。

另一个必须通过试错为每次单独推断选择的计算参数是种群大小，即每次迭代中采样的缺陷参数集（粒子）的数量。通过使用200、800和6000的种群大小进行推断，除了原始的2000，来研究这个计算参数的影响。推断结果显示在图8和表5中。夹杂物面积的结果后验分布的差异很小，但可以看到预期的行为：较大的种群大小能够描述分布的尾部，而较小的种群大小提供的分布方差较小，因此如果主要关注接近模式的分布，则适合使用。随着每次迭代的平均计算时间的增加以及种群大小的增加，必须权衡使用较大种群大小获得的额外信息与增加的计算成本。2000的种群大小被认为适合这项工作的目的，并将在后续推断中使用。

图9. 在Al2O3实例中，使用不同种群大小估计的夹杂物投影面积平方根的概率密度分布。

表5. 在Al2O3实例中，使用不同种群大小估计的面积分布的SD、RSD、误差、迭代次数、每次迭代的平均计算时间和最终误差容忍度。

图10. 在三种不同的信噪比（SNR）下，使用四种、五种和二十五种测量位置对数据集进行推断的结果。应当注意的是，在所有情况下，探针与夹杂物之间的最大距离保持不变，只有测量网格的密度增加了。总共，四种、五种和二十五种测量位置分别产生了800、1000和5000个数据点。为了研究模型的行为，除了原始的30 dB信噪比外，还对所有四种数据集在20 dB和10 dB的信噪比下进行了推断。在最大数据集的情况下，为了确保计算不会过早停止，将之前讨论的停止准则的时间限制加倍。

图11. 从不同数据集估计的平方根面积分布（图10）在两个最低信噪比SNR 30 dB（a）和SNR 20 dB（b）的情况下仅略有不同，而在SNR水平为10 dB（c）的情况下，最小数据集获得的分布的标准差明显大于来自较大数据集的分布（表6）。最小数据集仅包括从夹杂物周围位置测量到的微弱信号，随着噪声幅度的增加，这些信号变得无法从噪声中区分开来。换句话说，随着信噪比的降低，数据集中有用的信息量减少。从包含九次测量的数据集估计的平方根面积分布在图11中汇总，以更好地可视化由噪声水平的增加以及数据集中可用信息的减少所导致的不确定性和误差的发展。

图12. 使用不同数据集获得的结果在位置参数分布中的差异最为明显。额外的数据点提供了有关缺陷位置的更多信息，因此减少了位置参数分布的不确定性，如表7所示。然而，从两个最大数据集估计的结果之间的差异很小，并且考虑到从最大数据集推断结果所需的计算时间（由于需要多次模拟大型数据集），在这种情况下使用最大数据集似乎是不必要的。

图13. 根据Δ?和每次迭代的计算时间定义的停止准则将在下面的种群大小探索以及后续章节中讨论的调查中使用。作为最后的预防措施，以确保计算不会过早停止，指定了至少十次的迭代次数。在每次计算中都会验证误差容忍度的饱和情况，并在必要时增加迭代次数。由于不同实例所需的迭代次数可能大不相同，计算时间也可能显著变化。为了清晰起见，以下案例中的计算时间将提供为每次迭代的平均时间。

另一个必须通过试错为每次单独推断选择的计算参数是种群大小，即每次迭代中采样的缺陷参数集（粒子）的数量。通过使用200、800和6000的种群大小进行推断，除了原始的2000，来研究这个计算参数的影响。推断结果显示在图8和表5中。

图14. 根据Al2O3实例中不同的种群大小估计的夹杂物投影面积平方根的概率密度分布。

图15. 根据三种不同的信噪比（SNR）从四种、五种和二十五种测量位置的数据集估计的夹杂物投影面积平方根的概率密度分布。平方根面积分布包括第三四分位数的真实值，MnS的情况除外，在该情况下，平方根面积几乎被精确估计（表9）。ERS FBH尺寸的估计是通过计算最大缺陷响应Vd（即从夹杂物中心轴线测量的信号）与使用Kirchhoff近似方法模拟的FBH响应VFBH之间的增益差（28）ΔdB=20?log(VdVFBH）来完成的。然后使用增益差来定义等效FBH的面积AERS，公式为（29）AERS=AFBH?10ΔdB/20，其中AFBH是参考FBH的面积。Al2O3的等效FBH的平方根面积为0.13毫米，MnS为0.37毫米，TiN为0.15毫米。这些值与图15中的平方根面积分布进行了比较。

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图12. 从包含四个、五个、九个和二十五个测量数据集估计的位置参数的概率密度分布，信噪比（SNR）水平分别为（a）30 dB、（b）20 dB和（c）10 dB，以Al2O3为例。为了减少图中的杂乱，省略了对应于PDF值的y轴。

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图13. 在Al2O3、MnS和TiN夹杂物实例中推断出所有缺陷参数的后验概率密度分布。为了减少图中的杂乱，省略了对应于PDF值的y轴。

表8. 在Al2O3、MnS和TiN实例中推断出的后验概率分布的RSD（标准偏差）和误差值。

表8（继续）
空白单元
空白单元
x1
x2
x3
a1
a2
a3
?1
?2
?3
ρ0
c0
空白单元
空白单元
毫米
毫米
毫米
毫米
毫米
毫米
毫米
毫米
毫米
°
°
°
g/cm3
毫米/μs
Al2O3
误差
0.05
0.02
0.00
0.12
0.14
0.09
1.53
3.49
7.86
0.49
0.28
RSD（%）
3.11
3.08
0.18
20.83
60.52
56.38
62.88
38.39
64.19
11.24
8.90
MnS
误差
0.00
0.02
0.01
0.02
0.08
0.00
0.34
1.81
5.38
0.62
RSD（%）
2.35
2.64
0.11
11.66
30.63
32.28
69.01
19.18
37.29
17.23
6.41
TiN
误差
0.04
0.01
0.04
0.12
0.08
0.07
2.02
6.09
6.18
0.12
1.38
RSD（%）
3.40
3.43
0.19
20.26
53.40
57.10
61.23
39.39
63.51
9.34
8.52

基于振幅的方法（如DGS）的局限性之前已经被认识到，它们特别不适合用于夹杂物和其他弱反射缺陷。已知缺陷的真实尺寸大于或等于使用DGS估计的ERS FBH值[4]，这在图15提供的结果中可以看出。此外，还可以看到对于反射率较低的Al2O3和TiN，ERS FBH值的误差比强反射体MnS要大。

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图14. 根据推断出的分布模式显示的缺陷位置。由于为了便于观察，缺陷的位置已经沿x3′轴进行了中心和移动。

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图15. 在Al2O3、MnS和TiN夹杂物实例中估计的投影夹杂物面积和ERS FBH值的概率密度分布。

表9. 在Al2O3、MnS和TiN实例中推断出的面积分布的SD（标准差）、RSD（标准偏差）、误差、迭代次数、每次迭代的平均计算时间以及最终误差容忍度。

表9（继续）
空白单元
Al2O3
MnS
TiN
面积，误差
毫米
0.12
0.01
0.18
面积，SD（标准差）
毫米
0.17
0.10
0.16
面积，RSD（百分比）
24.67
12.28
22.47
迭代次数
–
21
22
18
t?
迭代次数
s
10
6
21
8
17
3
?
–
0.53
1.75
1.17
7.

讨论
本文评估并应用了一种基于ABC-SMC和TGMM的新缺陷表征方法，该方法用于模拟三个不同夹杂物实例中的浸没式超声测量数据。将投影夹杂物面积的平方根的后验概率密度分布与使用DGS方法对模拟数据估算的等效平底孔的平方根面积进行了比较。

首先，应该讨论所评估的缺陷表征方法的适用性。尽管该方法仅应用于本研究中的特定夹杂物，但其适用性并不限于单一缺陷形状或类型。由于缺陷被定义为椭球体，因此该方法适用于各种缺陷形状：球形、长条形、扁平形甚至裂隙状缺陷都可以用椭球体来近似。此外，由于TGMM中缺陷散射模型的选择具有灵活性，因此该方法可以用于表征任何有散射模型的缺陷。例如，这包括孔隙和裂纹。此外，该方法的应用也不限于本工作中模拟的简单浸没式测量设置。实际上，TGMM中用于波传播的MGBM可以修改以描述接触测量[29]、[25, 第196页]，如前所述，还可以用于不同的探头几何形状或 phased 数组。该方法不适用的少数情况包括表面波检测以及由于MGBM的局限性（见第2.2节）而无法检测到靠近探头的缺陷，以及由于本文讨论的散射模型没有考虑超声束在缺陷表面的变化而无法表征非常大的缺陷。总体而言，本文研究的缺陷表征方法的一个优点是其广泛的适用性。

本文的一个目的是研究仅从数据中可以获得的信息量，如第4.2节在先验分布的背景下所讨论的。由于本研究使用的是在ABC中也使用的模型生成的人工数据，因此本文展示和讨论的结果是在结果不确定性和仅从数据中获得的信息量方面的最佳情况。换句话说，ABC中使用的模型与生成数据的过程之间没有差异，这意味着结果中没有由于模型错误而产生的不确定性，因此结果表现出不确定性的下限。尽管在本文进行的试验中，该表征方法能够以合理的方差和至少中等的准确性估计所有缺陷参数，但当该方法应用于实际测量数据时，可以预期会有更大的方差。更大的方差不仅源于模型与测量过程之间的差异，还源于数据中的噪声、衰减以及材料中其他反射体的干扰可能导致的细节缺失。

在贝叶斯方法的背景下，更多的数据通常会导致结果中的不确定性降低。然而，在本文中，尽管数据集中模拟的测量次数显著增加，但缺陷面积分布几乎没有变化，最嘈杂的实例除外，该实例由于数据集最小导致结果方差非常大（图10）。因此，在这种特定情况下，额外的测量提供的额外信息非常有限：关于夹杂物大小和方向的大部分信息已经可以从围绕夹杂物模拟的四个微弱信号中获得。在较强噪声掩盖了微弱信号的情况下，大部分信息来自于强信号（包含在包含五个、九个和二十五个模拟测量的数据集中）。尽管本文显示的数据量影响有限，但在其他情况下，认为增加数据量会显著减少不确定性是不合理的。特别是在实际测量数据无法被TGMM完美描述的情况下，可以预期更多的数据会减少不确定性，这是贝叶斯方法的通常情况。未来的研究将把缺陷表征方法应用于实验数据和实际缺陷指示，并重新探讨数据量的影响。

需要强调的是，贝叶斯方法的一个最显著优势，即利用先验信息的能力，在本文中尚未得到充分利用。有用的先验信息有潜力显著降低后验缺陷参数分布的方差和误差，特别是在数据包含较少信息的情况下，例如由于噪声掩盖了部分缺陷响应。关于材料缺陷（特别是夹杂物）的有用先验信息很容易获得：研究组件的变形程度及其形成过程中的晶粒流模式可以提供关于夹杂物长宽比和优选方向的信息，假设它们随周围材料一起变形。关于特定材料中夹杂物大小的信息也可以通过破坏性测试（如疲劳测试）获得。关于夹杂物材料组成的先验信息及其可用性已在第4.2节中讨论过。由于可能的夹杂物组成通常是已知的，因此可以使用分类先验，或者可以根据材料参数有条件地进行推断。然而，确保考虑所有可能的参数值是很重要的，因为排除可能的值可能会导致误导性的推断结果。在未来工作中，利用先验信息将是一个重要方面。

本文研究的缺陷表征方法有可能成为制造和质量控制中超声检测的宝贵补充。虽然目前由于现有的尺寸测量方法，三维缺陷的表征受到限制，可能需要额外的步骤（如从不同方向进行多次测量），但这里介绍的方法提供了一种从C扫描测量中推断缺陷的三维（尽管是近似的）形状和位置以及其位置和材料组成的方法。此外，即使超声设备的灵敏度和分辨率提高，成像算法的能力增强，对概率估计和不确定性量化的需求仍然存在。这种需求在比较推断结果和ERS FBH值（图15）时得到了强调。如前所述，已经认识到DGS方法和等效反射体定义的不足。然而，本文的结果很好地可视化了这种不足。如果在组件疲劳设计中使用等效反射体面积估计，疲劳极限和疲劳寿命估计可能会非常保守。可以使用系数来减少ERS估计的误差，但如本文结果所示，合适的系数取决于夹杂物的反射率。相比之下，ABC表征方法提供的概率尺寸估计使得概率疲劳设计成为可能，最终可以生产出更安全的组件并延长使用寿命。

最后，简要讨论了未来研究的方向。由于当前工作为ABC缺陷表征方法奠定了理论基础，未来的研究将转向实验研究。将该方法应用于实验数据是必要的，不仅是为了重新评估数据集大小的影响并研究实验与模拟之间的不确定性差异，也是为了评估和展示该方法在实践中的适用性。诚然，由于本研究的重点是小巧、自然存在且反射率低的缺陷，实验验证面临一些实际挑战：寻找或产生合适的缺陷可能很困难，而且在没有广泛的破坏性调查的情况下，缺陷的真实特性仍然未知。最终，后者进一步证明了需要适用于此类缺陷的缺陷表征方法。

8. 结论
本文提出并评估了一种新的概率方法，用于超声无损检测（NDE）中的夹杂物表征问题。在ABC-SMC推断中使用了浸没式超声测量的近似模型TGMM来估计模拟数据中三个椭球体夹杂物的位置、大小、方向和材料组成。将推断结果与使用DGS方法对模拟数据评估的等效反射体大小进行了比较。研究结果总结如下：
• 所研究的缺陷表征方法能够准确估计模拟C扫描数据中夹杂物的位置、尺寸、方向和材质组成，其中位置的平均误差为1%，尺寸为22%，方向为16%，材质参数为8%。
• 虽然等效反射体尺寸的估计结果会严重低估缺陷面积，但ABC表征方法能够提供准确的缺陷面积概率估计值，其平方根面积的平均误差为13%。
• 当缺陷的反射率降低时，等效反射体尺寸的估计误差也会增加。
• 在实际应用中有效使用ABC方法需要制定一个停止准则，以确保计算既不会过早终止，也不会不必要的持续太久。用于推断的样本数量和数据量需要通过反复试验来确定，并需权衡从更大样本量和数据集中获得的额外信息与增加的计算成本之间的平衡。

**作者贡献声明**
Saana Bergman：撰写、审稿与编辑、原始稿撰写、可视化、验证、软件开发、方法学设计、研究实施、形式化分析、概念构建。
Aamos Vaara：软件开发、方法学设计、形式化分析、概念构建。
Joona Vaara：撰写、审稿与编辑、验证、软件开发、方法学设计、形式化分析、概念构建。
Kimmo K?rkk?inen：撰写、审稿与编辑、概念构建。
Miikka V?nt?nen：撰写、审稿与编辑、概念构建。
Tero Frondelius：撰写、审稿与编辑、项目监督、资源协调、资金筹措。