《Ravigneaux行星齿轮中齿轮齿数合成的分析方法学：该齿轮具有七个运动连杆和两个自由度》 作者：Stefan ?uki?, Slavica Miladinovi?, Sandra Gajevi?, Filip Milovanovi?, Lozica Ivanovi?, Bla?a Stojanovi?

《Applied Sciences》：Analytical Methodology for Gear Tooth Number Synthesis in a Ravigneaux Planetary Gear with Seven Kinematic Links and Two Degrees of Freedom Stefan ?uki?, Slavica Miladinovi?, Sandra Gajevi?, Filip Milovanovi?, Lozica Ivanovi? and Bla?a Stojanovi?

　　摘要 现有的选择复杂行星齿轮系统齿数的方法通常在方法论上要求较高，且并不总能确保所有正常运行和组装所需的条件。本文提出了一种用于确定齿轮齿数的分析方法。该方法在具有七个运动学连杆和两个自由度的Ravigneaux行星齿轮组上进行了演示。该方法能够同时满足所有啮合和组装条件。从已知的传动比、一个中心齿轮的齿数以及外部行星齿轮选定的角位移出发，推导出分析关系式，从而可以确定所有其他齿轮元件的齿数。该程序是用Python 3.13实现的，这使得可以系统地评估预定义的输入范围，并自动验证几何约束，包括干涉和 undercutting（齿轮齿深不足）条件。所提出的方法得出了六种可行的配置。与Borg-Warner M85自动变速箱相比，个别齿轮比的偏差最大可达10%。并且某些齿轮的齿数显著减少。这些结果表明，所提出的方法可以在提供更紧凑齿轮设计的同时，实现相似的运动性能，并有可能减轻系统重量。开发的模型还为扩展到更复杂的配置以及与行星齿轮综合中的优化和动态标准集成提供了基础。

1. 引言
自动变速箱是将动力和运动从发动机传递到汽车驱动轮的关键组件。其主要功能是确保速度和扭矩能够根据不同的驾驶条件进行最佳调整。为了实现自动变速，行星齿轮或外摆线齿轮传动在自动变速箱设计中最为常用。通过控制适当离合器的接合和分离过程，可以连接和固定各个传动元件，从而在单一紧凑的设计中实现多种不同的传动比[1,2]。齿轮是每个自动变速箱的基本组成部分，其机械强度、可靠性和制造方法对整个传动系统的性能、耐用性和效率具有决定性影响。目前齿轮传动领域的研究主要集中在提高承载能力、改进制造技术和减少系统质量上。特别重视高强度齿轮的研发和应用，以改善在苛刻服役条件下的耐用性和操作可靠性[3]。同时，也在开发先进的齿轮制造策略，以提高生产率、尺寸精度和工艺灵活性[4]。此外，随着对高度紧凑和重载传动系统的需求增加，轻量级“多金属”齿轮概念也受到了越来越多的研究[5]。在20世纪上半叶，为三速和四速自动变速箱开发了几种类型的复杂行星齿轮传动。其中，由法国工程师Paul Ravigneaux于1940年发明专利的Ravigneaux行星齿轮传动（RPGT）因其功能性而脱颖而出。其设计包括七个具有两个自由度的运动学构件。使用共同的卫星载体使得整个装置异常紧凑[7,8]。具有七个运动学连杆的RPGT变体主要用于三速自动变速箱，如Ford-O-Matic、ZF 3HP12和Borg-Warner M35，也用于四速变速箱，如Ford AOD、Borg-Warner M85、ZF 4HP14、Toyota U440E等[9,10,11,12]。为了增加传动比的数量，通常会在RPGT的基本设计中添加一到两个简单的行星齿轮，这提高了自由度，并扩展了现代传动系统的传动比范围[13,14]。

文献中提出了多种分析和合成行星齿轮传动比的方法。Benford和Leising[15]提出了一种利用杠杆类比确定传动比的方法。通过杠杆上的节点定义了行星齿轮元件的速度比。Tsai和Hsieh[1]开发了一种合成离合器接合顺序的方法。Talpasanu等人[16]应用基于图论的矩阵方法，通过绝对角速度方程来确定传动比。Mathis和Remond[17]提出了一种解决复杂行星齿轮运动学和动力学问题的方法，他们以Ravigneaux模型为例。他们的目标是通过使用布尔参数并对构件进行分类，获得任何行星齿轮的运动学和动力学的分析参数形式[17]。Esmail和Hussen[18]使用诺模图确定传动比和扭矩，而Esmail的后续论文[19]和[20]将这种方法扩展为用于确定八速、九速和十速自动变速箱可能的离合器和制动器接合与分离组合的方法。Yu等人在[21]中提供了对八速和九速自动变速箱可能的离合器和制动器接合与分离序列的全面分析。通过结合基于矩阵的建模和蒙特卡洛模拟，作者们开发了一种设计自动变速箱各种配置的方法，其中确定了每个齿轮阶段（速度）的传动比。Yang等人[22]使用树图和组合矩阵方法也提出了七速变速箱的设计，为复杂拓扑配置的设计提供了一个系统框架。Novakovi?等人[23]提出了一种用于确定七连杆、两个自由度自动变速箱传动比的分析方法。对于每种可能的输入、输出和固定元件组合，通过应用通用运动方程来确定整体传动比。基于上述方法，Stanojevi?等人[24]开发了RPGT的物理模型，并提出了确定所有六个传动比效率的程序[24]。还有研究[25]探讨了行星齿轮系统的能量效率，结果表明基于氧化石墨烯（GO）的添加剂可以改善润滑性能并减少风力涡轮齿轮应用中的能量损失。Ciobotaru等人[26]提出了一种分析方法，用于确定具有两个自由度的七速RPGT传动比、扭矩分布和功率流。利用Willis方程和节点图，他们对W7A 700七速变速箱进行了分析，确定了传动比和扭矩的值，并将其与工程实践数据进行了比较。

尽管上述方法对RPGT的分析和合成做出了显著贡献，但它们通常没有考虑到齿轮正确啮合和组装所需的所有条件。早在1959年，Kelley就通过将RPGT的组装条件方程分解为两个简单的行星齿轮来表达了这些条件[27]。Simionescu[28]分析了具有三个卫星的RPGT的组装条件方程，其中两个卫星位于同一载体轴上；几年后，在另一篇论文[29]中提出了一种估算所有齿轮齿数分布的优化方法。该方法考虑了邻近性和组装条件，以及与齿轮齿距和最大齿轮直径相关的两个额外约束，并应用于具有七个运动学连杆的Ravigneaux行星齿轮组的不同齿轮模块[29]。在外部行星齿轮旋转过程中，所需间隙的满足由四个非线性方程决定[29]。Hwang和Huang[30]提出了一种 exhaustive 的优化方法，用于确定具有八个运动学连杆的Ravigneaux行星齿轮组的齿轮齿数。然而，他们的方法没有考虑行星齿轮的旋转角度，也没有考虑到正确的齿轮啮合和组装所需的条件，仅依赖于齿轮元件之间的几何约束。几年后，Hsu和Huang[31]也考虑了外部卫星的旋转角度，并提出了一种确定相同模型RPGT齿数的分析方法。该方法需要知道至少三个六速自动变速箱传动比的值。相邻条件是根据卫星运动学直径切线之间的角度定义的，但没有考虑卫星在中心齿轮上的正确组装条件[31]。Esmail[32]也研究了类似的问题，但他采用了基于部分传动比的优化方法。该程序包括了与[31]中相同的角度条件约束，以及相应齿轮直径差异的约束。然而，也没有考虑组装条件[32]。Kwon和Zou[33]以及Zou[34]的研究定义了带有旋转卫星的双行星齿轮正确啮合和组装的条件。他们得出结论，带有旋转卫星的行星齿轮的行为比没有旋转的情况更为有利。

文献回顾显示，现有的选择行星齿轮链齿数的方法较为复杂，通常基于优化程序，并没有统一地涵盖所有正确的啮合、组装和几何约束条件。因此，本文的目的是开发一种简单明了的分析方法，用于确定具有七个运动学连杆和两个自由度的Ravigneaux行星齿轮链所有元件的齿数，同时满足所有必要的正确啮合和组装条件。这使得可以简便地合成带有RPGT的自动变速箱的齿数，同时满足所有相关约束。此外，该方法还允许灵活修改现有的实际解决方案，例如在保持其他设计参数不变的情况下增加个别齿轮的传动比，以及通过减少个别齿轮的齿数来潜在地减轻系统重量。

2. Ravigneaux行星齿轮组
图1a显示了由专利US2195783[8]定义的最常用的Ravigneaux行星齿轮变体。太阳齿轮（1）与卫星齿轮（2）相连，卫星齿轮再将运动传递给第三个卫星齿轮（3）。卫星齿轮（3）同时与太阳齿轮（4）和齿轮环（5）相连，因此在功率和运动传递过程中承受最大的载荷。为了减小齿轮的整体尺寸，实际应用中通常会将卫星齿轮（3）放置在与垂直平面一定的角度，这进一步复杂化了系统的运动学和动力学特性。

图1. (a) Ravigneaux行星齿轮；(b) Borg-Warner M85[35]。RPGT的工作原理将在图1b所示的Borg-Warner M85自动变速箱上进行说明。除了传动机构外，该变速箱还包括三个离合器（S1、S2和S3）和两个带式制动器（V1和V2）。齿轮环（2）作为传输的输出元件。通过接合相应的离合器Ci和制动器Bj，可以将RPGT的一个中心组件连接到输入轴上，另一个固定在外壳上。这样可以实现四种前进速度和一种倒车速度。表1显示了将RPGT的中心元件与离合器和制动器连接的多种组合，其中“×”符号表示相应的离合器或制动器处于激活状态。特定速度的传动比定义为 [i]/[j]，其中(i)是输入，(j)是输出，(k)是RPGT的固定组件[11]。表1. BMW85自动变速箱的传动比[35]。诺瓦科维奇（Novakovi?）等人在[23]中提供了具有七个运动链节和两个自由度的RPGT（Ravigneaux行星齿轮传动机构）所有可能组合的齿轮比。表2中显示的结果表达式仅依赖于中心齿轮的齿数。表2列出了不同RPGT概念的传动比表达式[19]。根据已知的第一和第四齿轮的齿轮比，以及中心齿轮（1）的齿数和卫星齿轮（3）的旋转角度，可以通过分析方法确定其余齿轮的齿数，同时满足正确的啮合和装配的几何条件。

3. 正确装配和啮合的条件
为了确保行星齿轮所有组件的正常运行和正确装配，必须满足以下条件[34]：
- 同心条件；
- 邻近条件；
- 装配条件；
- 其他条件，如齿轮比差异条件或避免啮合时干涉的条件。

3.1 同心条件
Ravigneaux行星齿轮元件的同心性如图2所示，其中各个元件的标签与图1a中的相同。θ表示相邻卫星齿轮之间的角度，而ω则是卫星齿轮（3）相对于齿轮垂直平面的旋转角度。图2包括：(a) RPGT元件的同轴性；(b) 同轴性三角形。通过已知齿轮比以及表2中提供的太阳齿轮的齿数，可以得出齿轮数m1和m2的表达式（方程式(1)和(2)）。方程中的INT函数表示计算出的值必须是整数。

3.2 邻近条件
在分析Ravigneaux行星齿轮的邻近条件时，考虑了卫星齿轮与中心齿轮的耦合。这样，齿轮可以简化为三对齿轮组合：(1)–(2)、(3)–(4)和(3)–(5)。由于轴向距离d1=d2，因此只需分析(3)–(4)这对齿轮。图3展示了(1)–(2)和(3)–(4)齿轮对的接近条件。为了满足图3a中显示的相邻卫星之间的间隙要求，需要满足以下条件：

3.3 装配条件
Ravigneaux行星齿轮传动的装配条件基于将其划分为两个简单的行星齿轮来考虑。在这两种情况下，输出元件都是齿轮环（5），其中一个齿轮的输入元件是齿轮（1），另一个齿轮的输入元件是齿轮（4），同时卫星载体（h）保持静止。这种输入和输出元件的排列方式考虑到了RPGT在自动变速器中的应用。
根据分析的研究[27,28,33,34]，得出了RPGT装配条件的以下表达式：

4. 结果分析与讨论
为了分析所开发的分析程序，我们使用Python 3.13编程语言实现了该程序。输入参数m1、m2和n被定义为特定范围的数值，从而能够系统地搜索有效的解决方案。通过应用所提出的分析程序，生成了同时满足同心性、邻近性和装配条件的最大可能齿轮数组合。在程序代码中还增加了对啮合过程中是否发生干涉的检查，即在最小齿轮模数m=1时的情况。分析中采用了最小卫星数N=3，这符合行星齿轮的设计要求。

表3显示了在给定输入参数范围内获得的测试结果。最初生成的无效组合总数为28个。然而，观察到某些组合仅在齿轮数m1和m2的角度上有所不同，而其他参数和齿轮比保持不变。因此，对结果进行了进一步筛选，仅保留了那些产生不同齿轮比配置的解。经过这种筛选后，得到了六个具有不同结构特性的组合。

通过将得到的齿轮比值与表1中Borg-Warner M85自动变速器的有效值进行比较，可以看出在大多数情况下差异很小。最大的偏差出现在第一齿轮上，这是由于齿轮比范围的选择有针对性的结果。这证实了所提出的分析程序与实际设计的稳定性。

齿轮比m1和m2分别对应于某些特定的齿轮概念，但由于设计限制，在这种情况下无法实现。这些比率仅为了分析的完整性和展示所有理论可能的齿轮比组合而列出。

将得到的结果与[19,31]中的研究进行比较，可以发现表3中的传动比值与文献中的值相当。表3中显示的外卫星旋转角度值略小于[31]中的值。此外，还得到了所有齿轮齿数明显较小的结果。例如，在[31]中，相似齿轮比的齿数为108，而在[19]中该值为132。相比之下，本研究中齿数的范围在65到80之间，且齿轮比保持在相似的范围内。这些结果表明，所提出的分析方法能够在较少的齿数下实现类似的运动特性，从而直接有助于减少行星齿轮的整体尺寸和潜在的质量。

与[29]中的研究相比，可以更深入地比较结果。该研究关注的是七连杆RPGT的齿轮数合成，其配置与本文分析的模型相同。尽管[29]考虑了不同的齿轮模数，并对齿轮环的最大外径进行了限制，但得到的齿轮比值仍然具有可比性，在某些情况下甚至略大于表3中的值。此外，与[29]相比，本研究中获得了更小的齿轮环齿数，这进一步证明了应用所提出的分析方法可以实现更紧凑的设计。

齿轮数差异的部分原因可以归因于输入参数的变化，如齿轮比范围和选定的模数值。然而，所采用的方法本身也有重要影响，因为该方法考虑了所有的几何和运动约束，从而能够更直接地探索解空间，包括那些基于优化方法可能无法识别到的配置。

5. 结论
本文提出了一种独特而全面的分析方法，用于选择具有七个运动链节和两个自由度的Ravigneaux行星齿轮的齿数，同时满足正确的啮合、同心、邻近和装配条件。从给定的齿轮比值、已知的中心齿轮齿数以及外卫星的旋转角度出发，推导出了确定所有剩余齿轮齿数和每种RPGT连接元件组合的齿轮比的数学关系。

与基于复杂优化方法的程序不同，所提出的方法可以直接生成结构上可行的解决方案，同时满足同心性、邻近性和装配条件，以及避免干涉和齿轮齿部干涉的条件。这样可以确保得到的解不仅在运动学上是正确的，而且在实际应用中也是可行的。将分析程序实现到编程环境中后，能够在给定的输入参数范围内系统地搜索可能的解决方案。通过进一步筛选，区分出了具有不同齿轮比的配置。最终配置中的齿轮数范围为：前四个齿轮的齿轮比变化在一定范围内。将得到的齿轮比与Borg-Warner M85自动变速器的实际数据相比，发现两者之间的一致性很高，偏差很小。

通过与相关文献的比较，特别是那些研究七连杆和八连杆RPGT的论文，可以看出所提出的方法能够以显著较少的齿轮齿数实现可比的传动比，尤其是齿轮环的齿数。这直接有助于减小行星齿轮的整体尺寸，并有可能节省质量，这在现代动力传输系统中尤为重要。所开发的 procedur 表明，七连杆行星齿轮系的齿数合成可以简化为单一的分析模型，该模型同时涵盖了所有相关的几何和装配约束。这种表述对改进复杂行星齿轮的合成方法具有重要意义。作为未来研究的方向，建议将这种方法扩展到具有八个运动连杆的 Ravigneaux 行星齿轮系，并整合动态和能量标准；同时将分析程序与多标准优化相结合，以进一步优化行星齿轮的设计特性。