一种完全解耦的域分解方法，用于处理具有混合双重孔隙率的渗流问题和斯托克斯流动问题

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Fully decoupled domain decomposition method for mixed dual-porosity flow and Stokes flow

　　孙欣欣|杜广志
山东师范大学数学与统计学院，济南，250014，中国

**摘要**
在本文中，我们提出并分析了一种完全解耦的域分解方法，用于具有Beavers-Joseph-Saffman界面条件的稳态混合双孔隙-Stokes系统。与文献[1]中提出的将混合系统解耦为两个子系统的域分解方法相比，我们的算法将混合系统分解为三个独立的子系统，这些子系统可以并行求解。我们在合理选择参数的情况下严格证明了该算法的收敛性。通过四个计算实验来说明和验证所提算法的准确性和适用性。

**引言**
多孔介质与自由流动通道之间的流体耦合模型是广泛科学和工程学科的基础。关键应用包括工业过滤过程[2]、动脉和静脉之间的血液流动[3]以及地表-地下水文相互作用[4]。为了应对这些多样化的需求，过去几十年开发并研究了大量的耦合模型，其中最著名的是Stokes-Darcy系统和Navier-Stokes-Darcy系统。在这些模型的数学分析、数值近似和计算实现方面取得了显著进展[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]。
在这些模型中，双孔隙-Stokes模型对于涉及裂缝或异质多孔介质与开放通道相邻的情景是一个重要的改进。该模型最初由Hou等人[11]提出，它将受Stokes方程控制的自由流动区域与双孔隙介质耦合在一起。双孔隙介质被概念化为两种重叠的介质：一个微裂缝系统和一个基质系统，每种介质都受自己的扩散方程控制，它们之间的质量交换通过源/汇项进行模拟。该模型的关键假设是基质不直接与自由流动相互作用；流体依次从基质传递到微裂缝，最后通过特定的界面条件传递到通道。
为了解决双孔隙-Stokes系统所带来的数学和计算挑战，开发并严格分析了一系列复杂的数值方案。Hou等人[11]为这一系统引入了有限元框架，随后在[1]、[12]中对该框架进行了进一步的发展和分析。为了提高计算效率，特别是对于大规模模拟，人们投入了大量精力设计解耦算法，从而减少了求解的线性系统的规模和复杂性，例如域分解方法（DDM）[12]、[13]、[14]、[15]、双网格方法[16]、[17]、[18]、[19]、[20]以及不连续Galerkin（DG）方法[21]、[22]、[23]等[24]、[25]。
在这些方法中，域分解方法可以自然地将耦合系统分解为几个独立的子问题进行求解。Hou等人[12]开发了一种域分解方法来解耦双孔隙-Navier-Stokes模型的大规模系统。曹等人[13]提出了用于时变双孔隙-Navier-Stokes模型的并行Robin-Robin域分解方法。在[14]中提出了一种用于具有Beavers-Joseph界面条件的完全混合Stokes-双渗透率流体流动模型的并行域分解方法。在本文中，为了进一步解耦耦合系统，我们开发并分析了一种用于具有BJS界面条件的耦合双孔隙-Stokes问题的完全解耦域分解方法。这种方法将原本耦合的系统分解为三个独立的子问题：Stokes流动、微裂缝流动和基质流动，这些子问题可以并行求解。这种方法不仅显著降低了整体计算规模，还可以灵活地利用现有的求解器来处理这两个椭圆方程和单个Stokes方程。

**论文的其余部分组织如下**
第2节描述了双孔隙-Stokes系统的数学模型。第3节回顾了Robin型域分解方法并介绍了有限元空间。第4节提出了完全解耦的域分解方法并获得了收敛性分析。第5节提供了一些数值实验来验证所提方法。第6节给出了结论。

**段落摘录**
**双孔隙-Stokes系统的数学模型**
考虑由多孔介质域ΩD和自由流体域ΩS组成的耦合双孔隙-Stokes系统，其中ΩS、ΩD?Rd（d=2,3）是有界的，并且ΩS∩ΩD=?。在通道域ΩS中，流体流动受Stokes方程控制：
??·T(uS→,pS)=fS→
在ΩS上，
?·uS→=0
在ΩS上，
其中uS→表示流体速度，pS是运动压力，fS→是源项，T(uS→,pS)=?1ρpSI+2νD(uS→)表示应力张量，I是单位矩阵，D(uS→)=1/2(?uS→+(?uS→)T)表示...

**Robin型域分解算法**
首先，我们介绍一些Sobolev空间和范数。我们使用标准的Sobolev空间表示法Hs(D)=W2,s(D)来表示D=ΩS或ΩD，并使用范数‖·‖s,D。我们定义以下空间：
XS={v→∈H1(ΩS)：v→在ΓS上恒为零}，
QS=L2(ΩS)，
Xm={ψm∈H1(ΩD)：ψm在ΓD上恒为零}，
Xf={ψf∈H1(ΩD)：ψf在ΓD上恒为零}，
X0=XS×Xf×Xm。
通常的空间L2(D)配备了L2标量积（·, ·）和范数‖·‖，让?·, ·?和∥·∥Γ表示Γ上的L2内积和范数，并写∥·∥H1(D)=∥·∥1。

**完全解耦的域分解方法**
在本节中，我们提出了一种用于耦合双孔隙-Stokes系统的完全解耦域分解方法，旨在提高计算效率并实现对耦合系统的完全解耦。

**数值结果**
在本节中，我们给出了四个数值示例来验证所提出的理论收敛性分析。对于有限元空间，我们选择Taylor-Hood元素（P2, P1）用于流体区域，以及连续分段二次有限元（P2, P2）用于双孔隙区域。迭代过程的停止准则选为：
(∥uS,hk+1→?uS,hk→∥02 + ∥pS,hk+1?pS,hk∥02 + ∥?f,hk+1??f,hk∥02 + ∥?m,hk+1??m,hk∥02)1/2 < 10^-6。
数值测试是通过开源软件实现的。

**结论**
本文提出了一种新颖的、完全解耦的域分解方法，用于耦合双孔隙-Stokes系统。该方法构建了Robin型边界条件，将系统解耦为三个独立的子问题，这些子问题可以并行求解。然后，我们为所提出的方法建立了严格的收敛性分析。此外，还提供了四个数值实验，验证了理论分析，并展示了计算效率和有效性。

**作者贡献声明**
孙欣欣：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草案，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析。
杜广志：撰写 – 审稿与编辑，验证，监督，方法论，调查，资金获取，形式分析，概念化。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。