通过变步长BDF2方法的弱Galerkin方法对抛物线问题进行事后误差估计

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A posteriori error estimates for parabolic problems by the weak Galerkin method with variable-step BDF2 method

　　李晨星|高福成|崔金涛
山东大学数学学院，济南，250100，中国

摘要
我们为一种完全离散的数值方案开发了事后误差估计方法。该方案采用弱Galerkin（WG）有限元方法进行空间离散化，以及变步长BDF2（VSBDF2）方法进行时间离散化。误差估计器提供了在梯度范数下半价的可计算误差上界。此外，我们还相应地设计了一种自适应算法。通过数值实验验证了理论结果和自适应算法的有效性。

引言
抛物线方程被广泛用于模拟诸如热传导、物种扩散和种群动态等现象。数值模拟面临两个主要挑战：在复杂域上实现准确的空间离散化，以及对产生的刚性系统进行稳定、高效的时间积分。自适应算法可以通过事后误差估计动态分配计算资源来有效应对这些挑战。这些方法在接近奇点或波前等关键特征的地方局部细化空间网格，而在其他地方则粗化网格，并同时调整时间步长。关于抛物线方程的事后误差估计的研究始于20世纪90年代初，此后一直是一个活跃的研究领域。这些研究涵盖了多种数值方法，包括有限元方法（FEM）[1]、[2]、[3]、不连续Galerkin方法（DG）[4]、[5]、[6]、[7]和有限体积方法（FVM）[8]、[9]等。
本文旨在为抛物线问题开发事后误差估计方法，将WG方法用于空间离散化，与VSBDF2方法用于时间离散化相结合。WG方法最初由Wang和Ye [10]、[11]引入，其特点是引入了弱函数和弱微分算子。该方法在处理实际问题时具有卓越的灵活性。WG方法已得到广泛发展，并成功应用于多种偏微分方程（PDE），如Helmholtz方程[12]、Maxwell方程[13]、Navier-Stokes方程[14]。同时，VSBDF2方法因其处理刚性系统和瞬态行为的强大稳定性和效率而被广泛使用。它已被应用于Ericksen–Leslie模型[15]、Cahn-Hilliard模型[16]、Navier-Stokes方程[17]以及许多其他领域。

关于WG方法的事后误差估计的研究主要集中在非时间依赖问题上。对于时间依赖问题，当前的研究主要集中在Crank-Nicolson方法[18]和后向Euler方法[19]、[20]上。本文首次为使用WG方法与VSBDF2方法离散化的抛物线问题提供了事后误差分析。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍模型问题（2.1）和WG方法。第3节介绍VSBDF2方案及其基本特性。第4节推导出所提方案的后事误差估计并提出自适应算法。第5节通过一系列数值示例验证理论结果并展示自适应算法的有效性。

**WG方法**
设Ω?R2是一个有界多边形域，其边界为?Ω。我们考虑以下抛物线问题：
ut?Δu=f(x,y,t) 在Ω×(0,Tmax] 内，
u=0 在?Ω×(0,Tmax) 上，
u(·,0)=u0(x,y) 在Ω 内。
问题（2.1）的弱形式是寻找u∈L2(0,Tmax;H01(Ω))使得
(ut,q)+(?u,?q)=(f,q)，?q∈H01(Ω)，
其中(·, ·)是标准的L2内积。
设Th是域Ω的形状规则三角剖分。设εh是Th的所有边的集合，εh0?εh表示内部边的子集。设hT表示直径。

**VSBDF2方法**
考虑一组非均匀时间节点0=t0< />vsbdf2公式表示为
?ˉb2uhn=∑k=1n bn?k(n)?τuhk，(1≤n≤n)，
其中uhn=uh(tn)。系数bn?k(n)由下式给出：
b0(1)=1/τ1，
b0(n)=1+2rnτn(1+rn)，
b1(n)=?rn2τn(1+rn)，(2≤n≤n)，
其他情况bjn=0。

**事后误差估计和自适应算法**
我们首先介绍一些基本定义和引理。
定义3 参见[19]
设e是两个相邻元素t1和t2共享的内部边，n→和t→分别表示单位法向量和切向量。对于向量值函数w，其在e上的法向量和切向量的跳变定义为：
[w·n→]e=w|?t1·n1→+w|?t2·n2→，
[w·t→]e=w|?t1·t1→+w|?t2·t2→。
其中ni→和ti→分别是e相对于ti的外单位法向量和切向量（i=1,2）。

**数值实验**
在本节中，我们使用时空自适应算法1展示了一系列数值示例。空间离散化采用p0-p0-rt0 wg空间，其中wg空间由元素内部和边界上的分段常数组成，弱梯度算子在最低阶raviart-thomas向量空间中定义。为了验证事后误差估计的准确性，我们定义了以下有效性指数（ei）：
ei=η||?u??wu||l2(tn?1,tn;l2(ω))。

**结论**
本文提出了使用wg方法在空间离散化与vsbdf2方法在时间离散化相结合的抛物线问题的事后误差估计方法。还设计了一种自适应算法来生成时空网格。数值实验证明了自适应算法在捕获解的奇点、控制数值误差以及界定有效性指数方面的有效性。

**作者贡献声明**
李晨星：可视化、验证、形式分析、数据管理、概念化。
高福成：写作—审稿与编辑、可视化、监督、项目管理、资金获取、形式分析、概念化。
崔金涛：写作—审稿与编辑、方法论、研究、资金获取、形式分析。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的可能会影响本文报道工作的竞争财务利益或个人关系。 τk?1。后向差分算子定义为?τuk=uk?uk?1，其中uk=u(tk)。 vsbdf2公式表示为 ?ˉb2uhn=∑k=1n bn?k(n)?τuhk，(1≤n≤n)， 其中uhn=uh(tn)。系数bn?k(n)由下式给出： b0(1)=1/τ1， b0(n)=1+2rnτn(1+rn)， b1(n)=?rn2τn(1+rn)，(2≤n≤N)， 其他情况bjn=0。 **事后误差估计和自适应算法** 我们首先介绍一些基本定义和引理。 定义3 参见[19] 设e是两个相邻元素t1和t2共享的内部边，n→和t→分别表示单位法向量和切向量。对于向量值函数w，其在e上的法向量和切向量的跳变定义为： [w·n→]e=w|?T1·n1→+w|?T2·n2→， [w·t→]e=w|?T1·t1→+w|?T2·t2→。 其中ni→和ti→分别是e相对于ti的外单位法向量和切向量（i=1,2）。 **数值实验** 在本节中，我们使用时空自适应算法1展示了一系列数值示例。空间离散化采用p0-p0-rt0 wg空间，其中wg空间由元素内部和边界上的分段常数组成，弱梯度算子在最低阶raviart-thomas向量空间中定义。为了验证事后误差估计的准确性，我们定义了以下有效性指数（ei）： ei=η||?u??wU||L2(tn?1,tn;L2(Ω))。 **结论** 本文提出了使用wg方法在空间离散化与vsbdf2方法在时间离散化相结合的抛物线问题的事后误差估计方法。还设计了一种自适应算法来生成时空网格。数值实验证明了自适应算法在捕获解的奇点、控制数值误差以及界定有效性指数方面的有效性。 **作者贡献声明** 李晨星：可视化、验证、形式分析、数据管理、概念化。 高福成：写作—审稿与编辑、可视化、监督、项目管理、资金获取、形式分析、概念化。 崔金涛：写作—审稿与编辑、方法论、研究、资金获取、形式分析。 **利益冲突声明**>vsbdf2公式表示为
?ˉb2uhn=∑k=1n bn?k(n)?τuhk，(1≤n≤n)，
其中uhn=uh(tn)。系数bn?k(n)由下式给出：
b0(1)=1/τ1，
b0(n)=1+2rnτn(1+rn)，
b1(n)=?rn2τn(1+rn)，(2≤n≤n)，
其他情况bjn=0。

**事后误差估计和自适应算法**
我们首先介绍一些基本定义和引理。
定义3 参见[19]
设e是两个相邻元素t1和t2共享的内部边，n→和t→分别表示单位法向量和切向量。对于向量值函数w，其在e上的法向量和切向量的跳变定义为：
[w·n→]e=w|?t1·n1→+w|?t2·n2→，
[w·t→]e=w|?t1·t1→+w|?t2·t2→。
其中ni→和ti→分别是e相对于ti的外单位法向量和切向量（i=1,2）。

**数值实验**
在本节中，我们使用时空自适应算法1展示了一系列数值示例。空间离散化采用p0-p0-rt0 wg空间，其中wg空间由元素内部和边界上的分段常数组成，弱梯度算子在最低阶raviart-thomas向量空间中定义。为了验证事后误差估计的准确性，我们定义了以下有效性指数（ei）：
ei=η||?u??wu||l2(tn?1,tn;l2(ω))。

**结论**
本文提出了使用wg方法在空间离散化与vsbdf2方法在时间离散化相结合的抛物线问题的事后误差估计方法。还设计了一种自适应算法来生成时空网格。数值实验证明了自适应算法在捕获解的奇点、控制数值误差以及界定有效性指数方面的有效性。

**作者贡献声明**
李晨星：可视化、验证、形式分析、数据管理、概念化。
高福成：写作—审稿与编辑、可视化、监督、项目管理、资金获取、形式分析、概念化。
崔金涛：写作—审稿与编辑、方法论、研究、资金获取、形式分析。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的可能会影响本文报道工作的竞争财务利益或个人关系。>