基于改进的多目标金豺优化算法的机器臂轨迹规划方法 魏 Juan 王建军 杨慢志 冯斌

《Sensors》：Trajectory Planning Method for a Robotic Arm Based on an Improved Multi-Objective Golden Jackal Optimization Algorithm Juan Wei, Jiangle Wang, Manzhi Yang and Bin Feng

　　摘要：为了同时优化工业机器人臂轨迹规划中的运行时间、运动冲击和能耗这一复杂挑战，本研究提出了一种基于改进的多目标黄金豺优化（IMGJO）算法的新颖多目标优化框架。首先，通过集成外部帕累托存档和拥挤距离排序机制，将原始的单目标黄金豺优化扩展为多目标形式。这一扩展有效地生成了一个分布良好且收敛性高的帕累托最优解集。其次，为了增强全局探索能力和提高收敛稳定性，对逃逸能量模型进行了细化。这是通过三种关键策略的协同整合实现的：帐篷混沌映射用于提高初始种群的多样性，基于对立的学习用于加速早期搜索过程，以及精英保留策略用于防止过早收敛和避免陷入局部最优解的风险。第三，将IMGJO算法与3-5-3多项式插值方案相结合，建立了一个运动学受限的轨迹规划模型，确保生成平滑、连续且动态可行的关节空间轨迹。最后，与几种最先进的基准算法进行的全面比较实验表明，所提出的IMGJO框架在收敛速度和帕累托解集的质量方面均显著优于其他算法。此外，在Yaskawa HP-20D机器人臂平台上的实验验证表明，所提出的方法能够有效实现执行时间、冲击和能耗的全面优化。与优化前的轨迹相比，总运行时间减少了2.42%；关节1和关节2的冲击分别减少了74.65%和75.82%；关节1和关节2的能耗分别减少了27.11%和26.83%。此外，生成的轨迹平滑连续，从而显著提高了机器人臂的运行效率和稳定性。

1. 引言
随着现代制造业的快速发展，对工业机器人臂的性能要求变得越来越严格[1]。因此，仅基于单一目标的轨迹规划方法已不足以满足实际应用中的综合需求，这些需求需要在运行时间、运动平滑性和能耗之间进行权衡。早期的研究工作主要集中在优化各个性能指标上。例如，Wenhua Nan等人[2]使用了修改/目标算法，而Qiongyang Wen等人[3]应用了金字塔拓扑粒子群优化算法来最小化轨迹执行时间或能耗。同样，Peng[4]进行了全局优化，主要目标是平滑关节加速度曲线。然而，随着操作场景和任务约束变得越来越复杂，单目标优化在平衡整体系统性能方面的局限性变得明显。这导致多目标优化逐渐成为主导范式。最近的研究在这方面取得了显著进展：Jingkai Cui等人[5]和Ronghua Liu等人[6]分别采用了改进的灰狼优化器和布谷鸟搜索算法，实现了运行时间和运动冲击的同时优化。随后，Jiahui Wang等人[7]和Feng Xu等人[8]进一步将能耗作为第三个关键目标，利用改进的多目标PSO和NSGA-II进行了协作优化。这些多目标方法有效地弥补了单目标方法的固有局限性，为提高机器人臂的运行效率和任务适应性提供了更全面的策略。

黄金豺优化（GJO）算法由Chopra等人[9]在2022年提出，是一种受自然启发的元启发式算法，它数学上模拟了黄金豺的合作狩猎策略，以在定义的解空间内进行全局搜索和优化。与其他已建立的优化技术（如人工蜂群算法和多目标粒子群优化（MOPSO）相比，GJO具有独特的优势，包括控制参数最少、框架结构简单，以及适合解决机器人操控器控制中普遍存在的多关节协调挑战的合作搜索机制。尽管如此，标准GJO在实际应用中仍存在一些显著的局限性，如种群多样性不足、收敛精度不佳以及容易过早收敛和陷入局部最优解[10]。为了克服这些缺点，提出了许多改进策略。例如，Panliang Yuan等人[11]开发了一种结合动态镜头成像学习和黄金正弦机制的混合方法，以增强全局探索并加速收敛。同样，Shijie Jiang等人[12]整合了正弦-余弦和柯西变异算子，显著提高了该算法解决复杂无人机路径规划问题的效率。此外，GJO的改进版本在工程优化、结构设计[13]和机器学习[14]等多个领域也展现出了很大的潜力。然而，需要注意的是，大多数这些现有改进通常是为特定优化任务设计的。它们往往缺乏应对工业机器人臂轨迹规划独特且苛刻要求的鲁棒性，这需要一个复杂的多目标优化框架、严格的运动学和动态约束以及高精度的解决方案。因此，仍然需要针对这一复杂应用领域进行有针对性的算法改进。

总之，本研究通过开发一个全面的优化框架来解决工业机器人臂多目标轨迹规划的复杂问题。首先建立了机器人臂的正向和逆向运动学模型，然后构建了一个多目标成本函数，以同时最小化运行时间、运动冲击和能耗。为了确保生成路径的物理可行性，构建了一个3-5-3分段多项式插值模型来表示连续和平滑的关节空间轨迹。鉴于标准黄金豺优化（GJO）算法在处理多目标优化问题时的固有局限性，首先提出了多目标黄金豺优化（MGJO）。这是通过集成帕累托精英存档和拥挤距离机制来实现的，该机制增强了算法处理约束和生成非支配解集的能力。然而，基本的MGJO仍然面临过早收敛和种群多样性不足的挑战。为了克服这些缺陷，本研究进一步细化了逃逸能量模型，并结合了三种协同策略：帐篷混沌映射用于提高初始种群多样性，基于对立的学习用于加速早期收敛，以及精英保留策略用于防止在局部最优解处停滞。最终开发出了改进的多目标黄金豺优化算法，旨在实现更强的全局搜索能力和收敛精度。然后将最终的IMGJO框架与3-5-3多项式插值模型相结合，用于关节空间的轨迹规划。为了公平和全面地评估相互冲突的目标之间的权衡，采用了极小-最大归一化方法将所有目标映射到一个无量纲空间。在Yaskawa HP-20D机器人臂原型上进行的系统仿真研究和物理实验验证了所提出方法的有效性，证明了它在时间、冲击和能耗之间实现平衡优化方面的能力，并确认了其强大的工程可行性。

与现有研究相比，本文做出了以下主要贡献：（1）通过综合考虑执行时间、运动冲击和能耗，开发了一个针对机器人臂的三目标轨迹规划模型。结合3-5-3分段多项式插值方案，所提出的模型确保了规划轨迹的连续性和平滑性；（2）为了克服原始GJO算法仅适用于单目标优化的限制，引入了帕累托存档和拥挤距离机制，发展出了MGJO，使其能够解决受限的多目标轨迹规划问题；（3）为了解决MGJO中的过早收敛和种群多样性不足问题，进一步提出了改进版本的MGJO（称为IMGJO），通过细化逃逸能量模型并整合帐篷混沌映射、基于对立的学习和精英保留策略，从而增强了算法的全局搜索能力和收敛精度。

2. 运动学分析
本研究采用图1所示的Yaskawa HP-20D工业操纵器作为实验对象。其主要结构连杆长度如下：P1 = 0.505 m；P2 = 0.105 m；P3 = 0.760 m；P4 = 0.140 m；P5 = 0.795 m；P6 = 0.105 m。图1. Yaskawa HP-20D机器人臂。对于机器人臂的运动学分析，本研究采用了Denavit–Hartenberg（D-H）约定来建立所研究操纵器的数学模型。图2展示了使用该方法构建的关节坐标系。表1总结了建模所需的D-H参数，包括每个连杆的连杆扭转角（αi）、连杆长度（ai）、关节角度（θi）和连杆偏移（di），其中i = 1, 2, …, 6。表1. 操纵器的D-H参数表。

2.1. 正向运动学分析
根据机器人臂的几何参数和相邻关节坐标系之间的相对姿态，可以构建从坐标系{i ? 1}到{i}的齐次变换矩阵。根据修正的Denavit–Hartenberg（D–H）约定，连杆i的齐次变换矩阵可以表示为：
(1) 将表1中列出的D-H参数代入方程(1)，并依次乘以每个关节的齐次变换矩阵。然后，可以获得相对于基坐标系的末端执行器的齐次姿态矩阵：
(2) 在公式中，表示从坐标系i ? 1到坐标系i的齐次变换矩阵；旋转矩阵中的元素nx、ny、nz、…、ax、ay、az用于表示末端坐标系{6}相对于基坐标系{0}的姿态；位移分量px、py、pz表示末端坐标系{6}的原点在基坐标系{0}中的空间位置坐标。

2.2. 逆向运动学分析
逆向运动学问题旨在根据末端执行器的姿态参数确定机器人臂的关节变量。在本节中，采用解析方法来推导该机器人臂的关节角度参数。从正向运动学方程(2)可知，末端执行器姿态矩阵中的方向余弦分量nx、ny、nz、…、px、py和pz都是已知量；然而，连杆的齐次变换矩阵的具体值由关节变量决定，在逆向求解过程中所有关节变量都是未知的。因此，通过分离变量并同时将两边左乘以，我们得到：
(3) 基于上述推导，最终可以得到关节变量θ1到θ6的解析表达式。逆向运动学的解析解可以表示为：
(4) (5) (6) (7) (8) (9)
(公式中的符号表示相应的数学关系式)。

2.3. 目标函数
为了实现操纵器轨迹在运行时间、运动冲击和能耗方面的协调优化，选择3-5-3分段多项式插值的每个段的时间参数作为优化变量，并定义决策向量如下：
(10) 在公式中，t1、t2和t3分别表示三个轨迹段的持续时间。给定起点、中间点和终点的位置以及速度和加速度的边界约束，可以从x唯一确定3-5-3分段多项式的系数，从而得到区间[0, T(x)]上第m个关节的轨迹。总执行时间定义如下：
(11) 在上述方程中，ts表示第s个轨迹段的时间参数。

为了实现轨迹规划在运行时间、运动冲击和能耗方面的协调优化，本研究定义了三个目标函数。具体来说，fT(x)表示操纵器的总执行时间，反映了完成任务所需的时间；fJ(x)表示操纵器运动期间的总运动冲击，用于评估关节疲劳和运动平滑性；fE(x)表示操纵器的总能耗，表明运动周期中的能量利用效率。此外，本研究中采用的能量消耗是一种基于加速度的替代指标，而不是一个严格的基于物理的执行器能量模型。因此，本文报告的“能量消耗”应该被视为与能量相关的性能的近似指标，而不是实际执行器能量消耗的直接测量值。它们的数学表达式如下：(12) (13) (14) 在上述方程中，M表示操作器的关节数量；表示第m个关节的角加速度；表示第m个关节的角运动影响。因此，操作器轨迹规划的多目标优化模型可以表述如下：(15) 在上述公式中，δ表示受各种轨迹约束的可行区域，包括关节角度限制、关节角速度限制、关节角加速度限制以及每个时间段的时间限制。其定义如下：(16) 在上述方程中，和分别表示第m个关节角度的上限和下限；和分别表示第m个关节角速度的上限和下限；和分别表示第m个关节角加速度的上限和下限；和分别表示每个时间段的上限和下限。因此，本研究旨在确定在执行时间、运动影响和能量消耗方面的帕累托最优解集，同时受到运动学和时间边界约束的约束，从而生成在效率和流畅性之间取得平衡的操作器轨迹。2.4.3-5-3分段多项式插值目前，在机器人臂的关节空间轨迹规划中，广泛采用多项式插值方法[15]。多项式插值可以生成相对平滑的运动轨迹，但在选择多项式的阶数时存在权衡：阶数太低可能导致加速度不连续，从而影响运动的流畅性；阶数太高会显著增加计算复杂度，并可能引入数值振荡和其他问题[16]。为了在考虑计算效率的同时确保位移、速度和加速度的连续性，本文采用了3-5-3分段多项式插值方法。每个分段多项式的表达式如下：(17) (18) (19) 在公式中，t表示时间变量；θi1、θi2和θi3分别表示机器人臂第i个关节在第一、第二和第三轨迹段中的角位移函数；a10到a33分别是每个分段多项式的未确定系数。3-5-3分段多项式插值的示意图如图3所示，其中ti1、ti2和ti3是每个轨迹段的操作时间；xi0、xi1、xi2和xi3分别对应于起始点、中间点1、中间点2和结束点的轨迹目标位置。为了确保轨迹的连续性和平滑性，在3-5-3分段多项式插值的框架内引入了相应的运动学约束。特别是在轨迹的起始点和结束点，关节角速度和角加速度被限制为零，以确保平稳的启动和停止；在轨迹的中间点，施加强制性连接约束，要求相邻轨迹段之间的关节位置、角速度和角加速度连续且相等。这些约束可以用以下数学形式表示：(20) 在方程中，表示关节的角速度，表示关节的角加速度。下标i1、i2和i3分别对应于第一、第二和第三轨迹段。根据上述约束条件，确定未确定系数的问题可以组织成一个线性方程组，相应的系数矩阵A构建如下：(21) 系数矩阵a的具体形式如下：(22) 关节角度矩阵θ的具体形式如下：(23) 因此，建立了这样的关系。当三个轨迹段的持续时间已知时，可以获得3-5-3多项式插值的系数矩阵a。3. 基于IMGJO的轨迹规划3.1. GJO的原理3.1.1. 种群初始化(1) 初始化种群(24) 在上述方程中，Ymin和Ymax分别表示相应解空间的下限和上限，而rand表示遵循均匀分布U(0,1)的随机变量。(2) 捕获物矩阵的初始化(25) 在上述方程中，Yi,j表示种群中第i个捕获物的第j维的值，n表示捕获物的总数，d表示决策变量的数量。(3) 捕获物适应度矩阵(26) 在上述方程中，FOA表示存储的捕获物个体的适应度值，f(…)表示适应度函数。在GJO算法中，当前最佳解和第二最佳解分别对应于雄性和雌性金豺。随后，迭代优化过程模拟了金豺的两种狩猎行为，即协作搜索和包围攻击。3.1.2. 协作搜索在狩猎过程中，雄性金豺和雌性金豺以协作的方式进行搜索和追踪，雄性个体起主导作用，雌性个体在其指导下跟随和合作。两者的位置更新受到捕获物逃逸能量的等动态因素的调节，并随着迭代过程进行自适应调整。上述位置更新机制可以用以下数学形式表示：(27) (28) 在公式中，t表示当前迭代次数。Y1(t)和Y2(t)分别表示在第t次迭代更新后从雄性和雌性金豺的协作位置推断出的捕获物位置。YM(t)和YFM(t)分别表示第t次迭代时雄性和雌性金豺的当前位置，其中雌性的位置更新受到雄性的引导和影响。E是一个动态控制参数，表示捕获物的逃逸能量。RL是一个遵循Lévy分布的随机向量，用于模拟搜索过程中的随机扰动。Prey(t)表示第t次迭代时捕获物的位置向量。捕获物逃逸能量E表示捕获物在被金豺追捕时的逃跑能力。算法根据迭代过程中的搜索情况动态调整它。当|E| ≥ 1时，表示捕获物具有很强的防御和逃跑能力，金豺种群将停止当前的追捕并进入全局探索阶段，以扩大搜索范围并找到新的潜在目标；当|E| < 1时，表示捕获物的逃逸能量不足，难以从狩猎范围内逃脱，算法从探索阶段转向局部开发阶段，加强对当前捕获物位置的搜索和攻击，以加速收敛。(29) (30) (31) 在公式中，E0表示捕获物的初始逃逸能量；r是[0, 1]范围内的任何值；E1是随着迭代次数增加而减少的捕获物能量，其值呈现出递增趋势；T是最大迭代次数；c1是一个值为1.5的常数，用于调整算法的搜索强度和收敛速度。Lévy分布可以用以下形式表示：(32) (33) (34) 在上述方程中，LF(y)表示Lévy飞行函数；μ和v是遵循[0, 1]区间均匀分布的随机变量；β是一个等于1.5的常数。此外，捕获物位置的更新策略采用方程(27)和(28)计算的结果的平均值来生成下一次迭代的估计捕获物位置。(35) 3.1.3. 包围和攻击在金豺追捕捕获物的过程中，捕获物的逃逸能量通常会迅速下降。雄性和雌性个体通过协调的跟踪和位置链接策略共同压缩捕获物的逃避空间，从而逐渐构建一个有效的包围结构。一旦包围形成，种群立即进入攻击阶段并在持续的局部开发效应下捕获捕获物。上述过程可以用以下数学模型描述：(36) (37) 3.2. 改进的多目标金豺优化3.2.1. 多目标金豺优化GJO最初是为单目标优化问题设计的。然而，在轨迹规划场景中，通常需要同时平衡多个性能指标，如操作时间、关节影响和能量消耗，这就需要对算法进行多目标协作优化。由于GJO难以直接获得满足多目标约束的帕累托最优解集，本文提出了基于它的多目标金豺优化（MGJO）。该算法从帕累托档案机制[17]中借用了多目标粒子群优化（MOPSO）的思想，从而增强了GJO在多目标优化问题中的适用性和解决能力。具体来说，MGJO首先使用非支配排序对各种群个体进行分层，筛选出当前迭代的帕累托最优解，并将它们存储在专门的帕累托档案中。鉴于档案的容量有限，在存储和更新解集的过程中可能会出现以下情况：(1) 当新生成的解决方案在性能上优于档案中的某个解决方案时，被支配的旧解决方案将被删除，新解决方案将被纳入帕累托档案。(2) 当新生成的解决方案不被档案中的任何解决方案支配，反之亦然时，新解决方案将直接追加到档案中，以扩展当前的非支配解集。(3) 当帕累托档案达到预设的容量限制时，使用拥挤距离准则对档案中的个体进行筛选。具有较大拥挤距离的解决方案优先保留，而具有较小拥挤距离的冗余解决方案被消除，以释放存储空间并保持帕累托前沿的分布平衡和解决方案集的多样性。在算法的个体选择阶段，为了保持同一非支配级别中个体之间的解决方案分布多样性，本文引入了拥挤距离度量来进一步区分和排序个体[18]。对于非边界个体，它们的拥挤距离计算公式如下：(38) 在公式中，di表示第i个个体的拥挤距离；和分别表示与第i个个体相邻的个体在第m个目标函数上的目标函数值；和是当前种群在第m个目标函数上的最大值和最小值，用于标准化拥挤距离。尽管MGJO通过引入帕累托档案和拥挤距离机制从单目标优化扩展到多目标优化，但其种群更新策略仍然遵循标准GJO的策略。因此，当应用于复杂的受限轨迹规划问题时，MGJO仍存在以下缺点：(1) 初始种群是随机生成的，可能导致个体分布不均，搜索空间覆盖不足；(2) 位置更新过程仍然依赖于原始搜索机制，使算法容易在中间和后期阶段过早收敛并陷入局部最优解；(3) 线性逃逸能量模型难以在早期阶段实现全局探索和后期阶段的局部开发之间的平衡；(4) 当前代获得的高质量非支配解决方案可能在种群进化过程中被替换，从而降低帕累托前沿的稳定性。为了解决这些问题，本文从四个方面改进了MGJO：初始化质量、搜索空间扩展、探索和开发的动态平衡以及精英解的保留。由此产生的算法被称为IMGJO。3.2.2. 改进的逃避能量模型GJO的核心机制之一是能量逃避模型，它通过描述捕获物能量在迭代过程中的衰减规律，实现了算法全局探索和局部开发能力的自适应调节。标准GJO使用方程(31)中所示的线性递减策略来更新能量。为了进一步提高探索和开发的动态平衡效果，本文在改进方案中引入了一个动态调整指数n，以非线性调节能量衰减过程，从而增强算法在不同迭代阶段的搜索适应性，并在此基础上提高整体优化效率和收敛精度。(39) (40) 在公式中，n是用于控制E1衰减率的动态指数。改进后的缩减猎物能量E1的动态变化特征显示在图4中。它展示了相对于迭代的清晰非线性衰减模式。具体来说，在算法运行的早期到中期阶段，E1下降相对较慢，这有助于保持强大的全局探索能力；而在迭代的后期阶段，E1的衰减率显著加快，从而增强了局部发展和精细优化能力。此外，图5中的比较结果表明，改进后的逃逸能量E在大约250次迭代后仍保持一定的探索特性；相比之下，改进前的逃逸能量E在大约150次迭代后进入了以局部发展为主的阶段。因此，这种改进机制有效地扩展了算法的全局搜索窗口，改善了探索和开发的阶段分配，从而提高了算法的整体优化性能。图4. E1值的变化曲线。图5. 逃逸能量的数值变化曲线。

3.2.3. 帐篷混沌映射
由于GJO随机生成初始的金豺种群，容易导致搜索空间中个体的分布不均，从而削弱了后续搜索的全面性和稳定性。为了解决这个问题，本文在种群初始化阶段引入了帐篷混沌映射策略，该策略赋予初始化过程更强的遍历能力和对初始值的敏感性，在一定程度上降低了算法过早收敛的风险[19]。通过这种策略重建初始种群的分布，可以增强群体在搜索空间中的均匀性和覆盖范围。具体来说，首先生成一个混沌序列Zk+1，然后基于此在搜索空间内构建初始种群Y0，表达式如下：(41) (42) 在公式中，Zk表示在第k次迭代中获得的混沌序列值，且Zk ∈ [0, 1]；Zk+1表示第k+1次迭代对应的序列值；k是迭代次数；Ymax和Ymin分别表示解空间的上下界。

3.2.4. 反向学习
由于GJO算法以随机方式初始化金豺种群，初始个体可能在搜索空间中显示出局部聚集，导致算法的搜索主要集中在特定区域。这减少了对其它潜在优秀区域的探索能力，并增加了陷入局部最优解的风险。为了解决上述问题，本文引入了一种反向学习机制，通过构建当前解的镜像解来扩展搜索范围。这种策略使算法在评估候选解时能够考虑反向解，从而在相当的执行成本下有效地增强种群的多样性和全局探索能力，并在一定程度上降低了过早收敛的可能性。反向种群个体Y0*定义为：(43) 在公式中，Ymax和Ymin表示解空间的上下界。

3.2.5. 精英保留机制
为了增强Pareto解集的稳定性和分布多样性，本文在算法中引入了基于精英档案的保留策略。具体来说，在每一代进化后，当前种群产生的非支配解与历史档案中的精英个体合并，并使用非支配排序对合并后的集合进行进一步处理，以构建新的精英档案，从而实现Pareto解集的持续更新和迭代优化。考虑到档案容量有上限，当合并后的非支配解数量超过预设容量时，本文根据拥挤距离对精英候选个体进行排序和截断，优先保留拥挤距离较大的个体，以保持Pareto前沿分布的均匀性，同时确保收敛性能。这种机制可以有效地保留先前进化过程中获得的优秀非支配解，减少优秀解在进化过程中被淘汰的风险；同时，结合拥挤距离截断策略，可以在收敛性和多样性之间实现更合理的平衡。

3.3. 轨迹规划步骤
IMGJO的整体算法流程如图6所示。当将此算法应用于运行时间、影响和能耗的综合优化问题时，其解决方案步骤可以总结如下：
图6. 算法流程图。
步骤1：参数设置：设置算法的基本参数，包括种群大小N、问题维度、变量上下界Ymax和Ymin、最大迭代次数T以及精英率。
步骤2：种群初始化和适应性评估：使用帐篷混沌映射生成初始种群，并使用反向学习策略构建相应的反向种群。评估所有个体在三个目标上的适应性。然后进行自适应最小-最大规范化，实时更新运行时间、影响和能耗的值范围，以确保在不同维度目标之间的可比性。
步骤3：初始精英筛选和档案建立：对当前种群进行非支配排序，确定每个个体在Pareto前沿上的水平，然后计算拥挤距离，以衡量每个个体周围的解的密度，从而保持解集分布的均匀性。基于Pareto排名和拥挤距离的综合评估，从候选集中选择前N个个体作为下一代解，并初始化全局精英档案。
步骤4：迭代终止判断：确定当前迭代次数是否达到预设的上限T。如果满足终止条件，则将当前种群与历史精英档案合并并进行非支配排序，以获得最终的Pareto最优解集输出；否则，进入下一次迭代。
步骤5：精英档案更新：将当前的非支配解与精英档案合并并进行非支配排序，消除被支配的劣质解，只保留高质量的非支配个体。当档案容量超过时，根据拥挤距离进行截断，优先保留拥挤距离较大的个体，以平衡收敛性和多样性。
步骤6：位置更新：计算逃逸能量|E|以确定每个个体的搜索状态：当|E| ≥ 1时，进行探索更新以扩展搜索范围；当|E| < 1时，进行局部开发更新以增强精细优化。这生成了一代新的候选解集。
步骤7：评估和环境选择：基于新一代种群，使用反向学习策略生成相应的反向种群以增强搜索多样性。然后评估所有解的适应性，并将它们合并。通过非支配排序确定个体的优越性和劣质性水平，并使用拥挤距离评估它们的多样性。最后，选择表现最佳的前N个个体作为下一代种群。

4. 仿真和实验
4.1. 实验设置和参数设置
4.1.1. 比较算法的参数设置
本研究采用了3-5-3分段多项式插值方法来生成机器人臂的轨迹。提出的改进型多目标金豺优化算法(IMGJO)与多目标金豺优化算法(MGJO)、多目标粒子群优化算法(MPSOD)[20]以及基于NSGA-II和MOPSO的混合算法(NMOPSO)[21]的性能进行了比较。所有算法的初始参数设置列在表2中。对于机器人臂的每个关节，最大速度和加速度分别设置为2.5 rad/s和2 rad/s2。初始和目标关节配置是从HP-20D的可达工作空间内的典型处理姿势中选择的，以覆盖广泛的运动范围，同时避免接近关节极限和奇异配置，从而确保测试场景的工程相关性和运动可行性。具体来说，初始关节配置设置为(-π/3, π/4, -π/12, -π/6, -π/6, -π/6)，目标关节配置设置为(π/3, -π/9, -π/9, π/9, π/6, π/5)。所有仿真都在Windows 11下的MATLAB R2023a中进行的。计算平台配备了Intel Core i7处理器和16 GB的RAM。

4.1.2. 动态指数参数的敏感性分析
为了证明方程(40)中动态指数参数的选择合理性，对参数a和b进行了敏感性分析，其中n = a + bt。为了消除其他因素的影响，种群大小和最大迭代次数分别固定为100和300，而在分析过程中其他算法参数保持不变。根据初步实验的结果和文献中报道的非线性收敛因子的常用范围，从{1.2, 1.5, 1.8}中选择a，从{0.0010, 0.0015, 0.0020}中选择b。每种参数组合独立执行20次，采用综合评价指标的平均值作为整体评估的标准。结果如表3所示。可以看出，当a = 1.5和b = 0.0015时，算法在全局探索能力、局部开发能力和解决方案稳定性之间实现了最佳的平衡，从而获得了最佳的综合评价指标。因此，最终采用n = 1.5 + 0.0015t作为改进后逃逸能量模型中的动态指数表达式。

4.2. 多目标轨迹规划结果分析
由于多目标优化问题涉及到运行时间、能耗和关节影响等要求，而这些目标在大小和维度上往往存在显著差异，如果直接进行优化和比较，容易使某个目标占据主导地位，从而削弱其他目标的作用并影响Pareto解集的平衡。为了消除由维度差异造成的偏差，本文采用了最小-最大规范化方法将每个目标映射到无量纲区间，实现不同目标之间的尺度统一。规范化后，算法可以更合理地在运行时间、能耗和影响之间寻求折中解，从而促进多目标优化过程发现更加平衡的Pareto最优解集。此外，规范化还简化了多目标指标的综合评估过程，便于根据理想点距离标准选择代表性的最优解。具体步骤如下：
(1)总结了每一代获得的Pareto前沿解集。假设前沿解集包含多个非支配解，每个解集对应三个目标函数值——运行时间、关节影响和能耗。根据该解集中每个目标的范围，分别对运行时间、影响和能耗进行最小-最大规范化计算，以获得相应的无量纲规范化指标。(44) (45) (46) 在这个公式中，表示Pareto解集中第i个候选解对应的运行时间目标值。和分别表示当前Pareto解集中的最小和最大运行时间目标值。表示通过最小-最大规范化获得的无量纲运行时间值。其他符号的定义类似。

(2) 寻找理想解点
理想点可以通过以下公式计算：(47)
(3) 为了从Pareto解集中选择代表性的折中解，本文计算第k个解到理想点的欧几里得距离。计算公式为：(48) (4) 最终，采用欧几里得距离作为综合评估标准，从帕累托解集中选择使得该距离最小的候选解，即对应于最小(dk)的轨迹被确定为整体最优折中方案。在机器人关节轨迹规划的背景下，评估指数的较小值表明机器人可以在更短的时间内完成任务，同时保持较低的关节冲击和能量消耗水平。在上述综合评估方法的指导下，使用MGJO算法进行了30次独立实验。这些试验获得的最优评估指数为0.033486，如图7所示。尽管这个结果满足了轨迹规划的基本要求，但它表明仍有很大的潜力可以进一步提高整体性能。因此，对MGJO算法进行了改进，从而提出了IMGJO算法。为了评估其有效性，也使用IMGJO进行了30次独立实验，获得了0.0233的最优评估指数。与MGJO的结果相比，这代表了评估指数降低了30.41%，显示出综合性能的显著提高。相应的实验结果如图8所示。图7展示了MGJO优化的路径曲线；图8展示了IMGJO优化的路径曲线。如图7、图8、图9和图10所示，进行了比较分析，以评估IMGJO、MGJO、MPSOD和NMOPSO算法的轨迹优化性能。总体而言，IMGJO生成的轨迹质量最高，其特点是具有更好的平滑度、连续性和对运动学约束的遵守程度。MGJO和NMOPSO的优化结果相当，都优于MPSOD，并且产生的轨迹质量也相当好。相比之下，MPSOD在所评估的四种算法中表现出最低的轨迹优化性能。图9展示了MPSOD优化的路径曲线；图10展示了NMOPSO优化的路径曲线。图11展示了四种多目标优化算法（IMGJO、MGJO、MPSOD和NMOPSO）在机器人臂轨迹规划中的收敛特性，并从操作时间、运动冲击和能量消耗三个目标进行了评估。结果表明，IMGJO在所有三个指标上始终表现出最快的收敛速度，并实现了最低的最终目标值，从而展示了优越的综合优化性能。具体来说，关于操作时间的收敛曲线，IMGJO从大约23秒的初始值开始，仅在几次迭代后就迅速收敛到约3.6秒，反映了最高的优化效率。相比之下，MGJO从大约14秒的初始时间开始，收敛到约5秒。NMOPSO表现出中等的收敛速度和最终值，而MPSOD显示出最慢的收敛行为。图11还展示了四种多目标优化算法在机器人臂轨迹规划中的收敛特性。图11表明，在操作时间、运动冲击和能量消耗这三个目标上，IMGJO始终表现出最快的收敛速度，并实现了最低的最终目标值，从而展示了卓越的综合优化性能。关于能量消耗，IMGJO在大约20次迭代内保持其优越的性能，收敛到最低的能量消耗水平，并在此后保持稳定。MGJO、NMOPSO和MPSOD的收敛速度稍慢，最终的稳定值略高于IMGJO。总之，在这个测试案例中，IMGJO在三个目标上的收敛行为优于基准算法，表明其优化效率得到了提高。其重复运行结果进一步表明，就采用的综合评估指数而言，其性能相对稳定。NMOPSO在整体性能上排名第二，而MGJO和MPSOD在迭代过程中更容易出现收敛停滞，并且更有可能陷入局部最优解。图11展示了不同算法在不同算法下的时间、冲击和能量收敛图。为了验证所提出的IMGJO算法的稳定性和重复性，每个算法在相同的参数设置下独立执行了20次。从每次运行获得的最终帕累托解集中，使用理想点距离方法确定了折中最优解，并计算了评估指标的最佳值、平均值和标准差。结果如表4所示。表4显示了20次独立运行的统计结果。如表4所示，IMGJO在比较的算法中实现了最低的平均值和最小的标准差，表明在相同的参数设置下，IMGJO在重复独立运行中提供了相对稳定的结果。尽管MPSOD在某些单独的运行中也能获得相对良好的结果，但其平均评估指数和变异性都低于IMGJO。相比之下，MGJO和NMOPSO表现出较大的标准差，表明它们对随机初始化更为敏感，并在重复运行中表现出更明显的波动。

4.3. 帕累托前沿分析
如图12a所示，MGJO算法生成的帕累托前沿存在几个明显的局限性。具体来说，解集容易在局部最优区域内停滞，导致前沿点的分布较为分散，整体收敛不足。相比之下，使用所提出的IMGJO算法获得的帕累托前沿（图12b）显示出明显更优越的优化特性。MGJO算法有效规避了局部最优解的影响，在解集分布的均匀性和收敛精度方面都取得了显著改进。这些视觉结果有力地证明了所提出的增强策略在提高多目标优化性能方面的有效性。图12展示了帕累托前沿。为了分析获得的帕累托前沿的分布和权衡特性，选择了三个具有代表性的非支配解，并分别标记为A、B和C，这些解从前到后依次排列。解A代表了操作时间最短的方案，而解C在能量消耗和运动冲击方面实现了最小值。解B在综合评估指数上显示出最小值，被认为是所有性能指标中最平衡的折中方案。随着帕累托前沿从解A过渡到解C，出现了一个明显趋势：操作时间逐渐增加，而能量消耗和运动冲击相应减少。这一观察结果突出了能量消耗与运动冲击之间的正相关关系，以及这两个目标与操作时间之间的显著权衡关系。表5总结了这三个特征解的特定目标函数值。表5列出了特征解。对候选解A、B和C进行了比较评估，以确定最有效的权衡方案。如结果所示，解B在综合评估指数上显示出最低的值，表明其整体性能更优越。具体来说，解B的轨迹执行时间为3.616秒，与解A相比仅增加了6.34%。然而，这一时间的微小延长带来了实质性的好处：解B在能量消耗上减少了24.13%，在运动冲击上减少了73.82%。因此，通过相对较少的时间投入，系统在能源效率和操作稳定性方面获得了显著提升。虽然解C在能量消耗和冲击缓解方面表现更好，但这些优势是以较长的操作时间为代价的。综合权衡分析表明，解C并不构成更实际的折中方案。因此，根据最小化综合评估指数的原则，最终选择了解B作为本研究的最优全面解决方案，并被采纳为项目的实施基准。

为了评估IMGJO的优化性能，定义了预优化轨迹作为基线轨迹，该轨迹是在没有应用任何智能优化算法的情况下生成的。具体来说，给定相同的起点、经过点和终点，仅使用3-5-3分段多项式插值来构建关节轨迹。然后使用预先设定的时间参数来确定轨迹系数，从而得到满足关节角度、角速度和角加速度约束的基线轨迹。对预优化基线轨迹和通过IMGJO获得的优化解B进行了比较分析。图13展示了两个关键关节的角位置、角速度和角加速度曲线。从图中可以明显看出，优化后的曲线更加平滑，角速度和角加速度的波动范围显著减小。这表明IMGJO算法不仅减少了总操作时间，还有效抑制了角加速度的剧烈变化。因此，机器人臂的执行效率和操作稳定性得到了显著提高。图13展示了优化前后关节的角度、速度和加速度。如图13所示，优化的关节轨迹严格遵循预定义的运动学约束。结果轨迹曲线具有高连续性和平滑性，在整个运动过程中没有明显的不连续性或突然变化。基于相关运动学和动力学公式的定量评估在表6中呈现。该表总结了优化前后每个关节的计算冲击指数、能量消耗以及最大速度和加速度。表6中的数据清楚地证明了IMGJO算法的有效性。具体来说，优化使关节1的运动冲击减少了74.65%，能量消耗减少了27.11%。同样，对于关节2，冲击减少了75.82%，能量消耗减少了26.83%。总之，基于IMGJO的优化框架不仅有效缩短了总操作时间，还显著减轻了运动冲击并降低了能量消耗。这使得机器人臂的运动更加平稳和稳定，从而为高性能轨迹规划提供了一个稳健有效的解决方案。表6展示了优化前后的关节参数对比。

4.4. 实验验证
物理实验平台由一个六自由度的Yaskawa HP-20D工业操纵器和一个NX100机器人控制器组成。主机计算机通过以太网与控制器通信，以实现程序传输和数据管理。在实验中，机器人以关节空间轨迹跟踪模式运行，优化后的关节轨迹由控制器执行。具体来说，首先将MATLAB中获得的优化关节轨迹离线离散化为时间顺序的关节参考点，采样间隔为0.01秒。然后使用离线编程软件将这些参考点转换为可执行的机器人程序，并通过以太网上传到NX100控制器。控制器以100 Hz的采样频率执行上传的轨迹。为了确保重复性，每次实验都从模拟中使用的相同初始关节配置开始。所有测试过程中都保持相同的目标轨迹、控制器设置和操作条件。在重复性实验中没有引入额外的负载或外部干扰。在这些相同的条件下，进行了十次重复的物理实验，以评估所提出方法的可重复性和实际可行性。在执行过程中，控制器同步记录了所有六个关节的实际关节位置反馈。记录的数据在MATLAB中离线导出和处理。主要的预处理步骤包括参考轨迹和测量轨迹之间的时间轴对齐、关节变量的单位统一以及采样数据的一致性检查。然后通过基于测量的关节角度的前向运动学模型重建了实际执行器轨迹。

让 和 分别表示期望和实际的关节轨迹。关节跟踪误差定义为：(49) 最大关节跟踪误差计算为：(50) 同样，让 和 分别表示期望和实际的执行器位置。执行器位置误差定义为：(51) 最大执行器误差计算为：(52) 图14展示了机器人臂在操作过程中执行器姿态的动态变化，表7列出了几个采样时刻的代表性关节角度和位置数据。重复性测试的统计结果总结在表8和图14中。图14展示了机器人臂的运动规划轨迹。表7显示了关节位置的顺序。表8则记录了物理实验中重复性测试的统计结果。通过对图14和表7的全面分析可以发现，Yaskawa HP-20D机器人臂能够严格遵循IMGJO算法生成的轨迹，以高稳定性执行运动规划。在整个操作周期内，所有关节的位移、速度和加速度曲线都表现出连续且平滑的过渡，没有任何明显的不连续性、突变或振荡行为。这些实验观察结果证实了所提出的IMGJO框架能够为工业机器人臂提供全面优化的轨迹。高保真的跟踪性能证明了该方法在实际应用中的卓越可靠性，并确保了其优越的操作稳定性。为了验证该算法的稳定性和重复性，在相同操作条件下进行了十次重复实验，相应的统计结果记录在表8中。结果显示，机械臂的总运行时间、末端位置误差和关节跟踪误差都保持在狭窄的波动范围内，表明该方法在测试条件下具有良好的重复性，并显示出良好的工程适用性。

5. 结论

本文提出了一种针对工业机器人臂的全面轨迹规划方法，有效解决了操作时间、运动影响和能耗等多目标协同优化的问题。所提出的框架基于IMGJO算法。该方法的基础是为机器人臂建立精确的正向和反向运动学模型，并使用3-5-3分段多项式插值方案构建关节空间轨迹。通过构建多目标成本函数来整合这三个关键性能指标。为了克服标准GJO在多目标场景下的固有限制，该算法引入了帕累托精英档案和拥挤距离机制，从而生成一个均匀分布的非支配解集。此外，核心能量模型得到了改进，并与帐篷混沌图、基于对抗的学习方法和精英保留策略进行了协同整合。这些改进共同提高了种群多样性，增强了全局搜索能力，并提高了收敛精度。随后，IMGJO算法与3-5-3插值模型结合使用，进行多目标轨迹优化，并采用极小-极大归一化方法来对候选解进行统一和全面的评估。仿真结果表明，与NMOPSO、MPSOD和基本MGJO相比，IMGJO算法生成的帕累托前沿具有更好的收敛性和分布特性。从该前沿得出的最优平衡轨迹在操作时间、能耗和运动影响方面均有显著改进。得到的轨迹曲线连续且平滑，确保了机器人运动的稳定性和可靠性。详细的定量分析显示，与优化前的基线相比，关节1和关节2的运动影响分别降低了74.65%和75.82%，能耗分别降低了27.11%和26.83%。最后，在实际的Yaskawa HP-20D机器人臂平台上进行控制器编程验证后，确认机械臂能够稳定且准确地跟踪IMGJO生成的轨迹，从而验证了该方法的工程可行性和实际应用性。

总之，所提出的基于IMGJO的轨迹规划方法为复杂机器人系统的全局优化和权衡决策提供了有效的解决方案。它显著提升了轨迹规划的全面性能和执行稳定性，展现出高工程适用性，并为工业机器人臂的智能优化和高级运动控制提供了有价值的参考。