关于无线广播中具有大辅助向量的随机线性网络编码技术 Rina Su, Chengji Zhao, Qifu Sun, Linqi Song

《Entropy》：On GRAND-Assisted Vector Random Linear Network Coding in Wireless Broadcasts Rina Su, Chengji Zhao, Qifu Sun and Linqi Song

　　摘要：最近的研究将随机线性网络编码（RLNC）与猜测随机加性噪声解码（GRAND）相结合，利用RLNC数据包在解码前部分纠正比特错误，从而降低无线广播网络中的数据包丢失率。然而，现有的方案仅限于有限域GF?(2??)上的标量RLNC。在本文中，我们首先为GF?(2)??上的向量RLNC提出了一种通用的GRAND辅助解码框架，并进一步提出了一种向量RLNC方案的设计规则，以便在不增加任何额外计算开销的情况下高效获得估计的误差向量。我们详细描述了每个高效获得的估计误差向量的正确性的必要和充分条件。我们构建了两种符合所提设计规则的明确向量RLNC方案。第一种方案基于GF()的矩阵表示进行设计，分析结果表明，它在完成延迟性能上与GF()上的标量RLNC方案相当，同时在编码计算复杂度上最多降低了。第二种方案基于稀疏编码系数矩阵设计，与第一款方案相比，计算复杂度进一步降低了，但完成延迟性能略有下降。

1. 引言
在存在数据包丢失的无线广播网络中，保持信息传输的及时性是一个关键挑战。因此，传输延迟等指标受到了越来越多的关注。网络编码作为一种有效技术出现了，它允许多个数据包一起编码和传输，从而减少了传输次数。标量线性网络编码（LNC）将每个数据符号（长度为L的二进制序列）视为有限域中的一个元素，并在该域上执行线性组合，编码系数来自相同的域。向量LNC [1,2] 通过将数据符号表示在向量空间中，并使用 形式的编码系数来生成编码数据包，从而推广了这一框架。虽然标量LNC提供了 种可能的编码系数，但向量LNC将可用系数的集合扩大到了 ，提供了更大的编码灵活性。向量LNC相较于标量LNC的优势已在各种有线网络环境中得到验证。特别是，有些网络的容量可以通过向量LNC实现，而无法通过标量LNC实现 [1,3,4,5]。此外，对于单源多媒体广播网络，已经设计出了明确实例，证明向量LNC实现多媒体广播容量所需的码维L可以远小于标量LNC [6,7,8,9,10]。此外，在GF上的MDS码的实际实现中，一些编码库采用了基于矩阵表示的向量线性码版本，例如Jerasure Library [11] 和Intel Intelligent Storage Acceleration Library [12] (ISA-L) 用于Reed–Solomon码，以及Longhair library [13] 用于Cauchy Reed–Solomon码。

随机线性网络编码（RLNC）[14] 是一种广泛研究的LNC技术，可以显著提高传输效率的关键指标——完成延迟性能 [15,16,17,18,19,20,21,22]。尽管大多数研究都集中在标量RLNC上，但具有适当设计的编码系数集的向量RLNC已被证明能够提供更低的计算复杂度 [18,23]。近年来，在无线广播网络的背景下，一系列研究 [24,25,26] 调查了RLNC与一种有趣的猜测-解码原理（即猜测随机加性噪声解码（GRAND）[27,28,29] 的联合设计，以利用RLNC数据包在解码前部分纠正数据包中的某些比特错误，从而降低数据包丢失率，从而提高完成延迟性能。然而，这些GRAND辅助的RLNC方案仅适用于标量RLNC。特别是 [24,25] 中的研究集中在 上的GRAND辅助RLNC，而 [26] 将研究扩展到了 。据我们所知，之前没有研究过GRAND辅助的向量RLNC方案。本文旨在填补这一空白。与之前的标量GRAND辅助RLNC方案相比，所提出的向量RLNC框架在适当设计下能够实现相当的完成延迟性能，同时提供更好的编码系数设计灵活性，从而进一步降低编码复杂度。本文的主要贡献如下：

- 我们为GF上传播中的向量RLNC的GRAND辅助解码过程制定了一个通用框架。
- 在此框架的基础上，我们进一步为向量RLNC方案建立了一个通用设计规则，以便可以直接获得估计的误差向量，而不会产生任何额外的计算开销。
- 我们进一步理论化了每个高效获得的估计误差向量的正确性的必要和充分条件。
- 我们有意构建了两种符合所提设计规则的明确向量RLNC方案。第一种方案的编码系数矩阵利用了GF()的矩阵表示，而第二种方案采用了稀疏编码系数矩阵。
- 第一种方案通过高效的GRAND过程获得估计的误差向量，被证明与 [26] 中研究的相应标量RLNC方案具有相同的完成延迟性能，同时在编码计算复杂度上最多降低了。此外，分析和数值结果表明，第二种提出的向量RLNC方案在计算复杂度上可以进一步降低，尽管完成延迟性能略有下降。

本文的结构如下：第2节描述了网络模型，第3节建立了GRAND辅助向量RLNC的通用框架。第4节提出了向量RLNC编码系数集的设计规则，以便高效获得估计的误差向量，同时避免任何额外的计算开销。第5节通过数值比较了两种设计方案。第6节总结了本文。

2. 网络模型
考虑一个无反馈的单跳广播场景，其中单个发送者通过传输P个原始数据包服务于R个接收者。每个数据包由M个比特组成。数据包传输发生在离散的时间槽中，每个时间槽中广播一个数据包。发送者到接收者的链接被独立建模为无记忆数据包丢失信道；特别是，接收者r的丢失概率为 。每个接收者的任务是成功恢复所有P个原始数据包。

遵循 [15,16,18,19,21,22] 中的设置，本文考虑了系统化的RLNC传输。在第一阶段，发送者依次广播P个原始数据包。在这个系统化阶段之后，开始编码传输，每个传输的数据包都是P个原始数据包的随机线性组合。传输持续进行，直到每个接收者成功恢复所有P个数据包。为了评估吞吐量性能，我们采用完成延迟作为主要指标，定义为发送者传输的编码数据包的总数。

我们考虑在L维向量空间上定义的向量RLNC方案。每个包含M个比特的数据包表示为一个行向量，由M个符号组成。每个符号被视为 上的L比特行向量。给定一个 上的矩阵 ，向量编码操作 定义为 （1）
对于 ，发送者在第二阶段随机生成的编码数据包 表示为 （2）
其中编码系数矩阵 是根据某些定义的规则从GF(2)上的矩阵中随机选择的。数据包的全局编码核定义为一个 上的矩阵，也可以解释为一个 块矩阵，其中每个块条目是一个 编码系数矩阵。对于每个原始数据包 ()，其全局编码核的结构使得 块条目为单位矩阵，所有其他块条目为零矩阵。根据这种构造，这些核的串联满足条件。对于一个编码数据包，相应的全局编码核 表示为 。用 表示接收者成功接收的数据包索引集。在向量RLNC中，只要列串联 的全局编码核形成一个 的矩阵，接收者就可以重建所有P个原始数据包。

3. GRAND辅助向量RLNC解码的通用框架
在大多数关于无线广播中的RLNC的先前研究中，只有成功接收的数据包才会被接收者利用。在这些研究中，假设接收者会丢弃即使只有一个比特损坏的数据包，并且只使用无错误的数据包进行RLNC解码。然而，在 [24,25,26] 中提倡可以联合使用无错误和有错误的数据包来生成综合征，以便根据GRAND原理纠正一些错误的数据包，从而降低实际的数据包丢失概率。在 [24,25,26] 中，GRAND辅助解码过程是在标量RLNC的背景下研究的；即GF(2)或GF()上的RLNC。在本节中，我们将首次在文献中提出适用于GF上的向量RLNC的GRAND辅助RLNC解码框架。

为了简化后续的阐述，除非另有说明，否则假设固定一个接收者r，因此r不会在符号中表示。对于每个数据包，用 表示接收者r接收到的数据包，用 表示误差向量，其中每个 称为一个错误符号。遵循 [24] 中采用的类似假设，我们认为接收者在接收到数据包后，可以使用循环冗余校验（CRC）等错误检测机制将数据包分类为无错误或有错误，并以无误的方式识别数据包的全局编码核。

当所有P个原始数据包都被接收者r正确接收时，传输在r处完成。否则，用 表示正确接收的原始数据包的索引集，用 表示错误接收的原始数据包的索引集；即。接收者r在每次收到编码数据包 时会重复执行以下步骤，直到所有P个原始数据包都可以恢复；即。

4. 高效的GRAND辅助向量RLNC
如第3节中的公式（5）-（7）所示，获得估计误差向量的计算复杂度过高。在标量RLNC的背景下，[26] 中提出了一种新的GF()上方案，可以从综合征中几乎不增加计算开销地猜测估计误差向量。受这种标量方案的启发，本节首先将介绍一种通用规则，用于设计GF上的向量RLNC方案，以便从综合征中获得估计误差向量而不会引入任何计算开销。随后，在第4.2节和第4.3节中，我们将明确设计两种符合通用规则的向量RLNC方案。这两个具体的设计实例展现了不同的复杂性和性能特点。4.1. 向量RLNC的设计规则和高效估计：在一个由S个错误符号组成的错误向量中，如果一个错误符号恰好包含1位误差，这意味着它代表一个大小为L的单位向量。用表示所有大小为L的单位（行）向量集合，即（8），其中表示向量的汉明重量。我们的目标是猜测出属于这些错误符号的那些。在向量RLNC的设计中，对于每一个编码数据包，我们需要对随机编码系数矩阵施加以下条件：(?)所有行向量都是不同的非零向量，并且没有一个单位向量；也就是说，遍历编码系数矩阵中的所有行。由于编码数据包的全球编码核为，条件(?)等价于说明所有行向量都是不同的，并且不等于任何单位向量。选择受条件(?)约束的编码系数矩阵的主要动机是所有的、和构成不同的行向量。因此，与其通过一般公式（5）-（7）来估计错误向量相比，从接收到的编码数据包中获得的综合征提供了一种更为高效的替代方法，如下所述。高效估计：考虑一个受条件(?)约束的向量RLNC方案，配备有前一节中制定的GRAND辅助解码程序。接收到新的数据包后，接收器r不执行（5）-（7），而是执行以下简洁的过程来获得，基于综合征：作为初始化，为所有的设置估计的错误符号。对于中的每一个非零符号，执行接下来的两个步骤：如果是一个单位向量，则设置；否则，检查是否与中的某个行向量相同。如果存在这样的，比如说在中的某个位置，那么设置。当对所有的非零符号执行上述两个步骤后，我们得到了估计的错误向量。上述获取的过程仅涉及从每个到向量中的单射映射（如果存在的话），因此认为计算开销可以忽略不计。值得注意的是，通过上述过程获得的并不一定满足（5），但（6）和（7）总是成立的。接下来我们分析从综合征中高效估计出的与的情况：由于每个综合征都在高效估计中被独立使用，并且根据方程（3），综合征不包含任何编码数据包的信息。因此，只有那些与相匹配的才能基于综合征进行纠正。注意，当且仅当在每个符号位置时。对于每一个与相匹配的，当且仅当（10）时成立。对于每一个与相匹配的，我们需要。尽管作为初始化时被设置为，但如果它会是中一个非零向量，则会设置为。在这种情况下，某些符号位置i处的非零错误符号被错误地估计为1位误差符号，因此和。结果表明，当且仅当（11）时，其中假设在时为。条件（11）等价于说明不与的任何行向量相同。上述对于的必要和充分条件在以下命题中总结如下。命题1：考虑一个受条件（?）约束的向量RLNC方案。当通过基于的高效估计过程获得时，接收器能够纠正非零；也就是说，当且仅当以下条件成立：对于每一个符号位置与相匹配时，条件（10）成立；对于每一个符号位置与相匹配时，条件（11）成立。由于条件（10）仅涉及错误符号并且与编码系数矩阵的设计无关，因此对于所有受（?）约束的向量RLNC方案，这一条件都保持不变。根据命题1，只要给出确定分布的底层信道模型，接收器正确猜测的概率就可以明确表征。特别是，当考虑无记忆BSC时，由方程（10）表示的稀疏错误模式发生的概率很高，因此也很高。由于我们不在高效估计的设计中关注任何特定的信道模型，对的理论分析超出了本文的范围。为了支持的高效估计，向量RLNC中的编码系数矩阵必须满足条件。与[26]中提出的具有高效GRAND辅助解码的标量RLNC方案相比，在更通用的向量RLNC框架内制定的条件提供了更大的设计灵活性。受条件约束的不同选择可能会导致不同的编码复杂性和全局编码核之间的不同线性独立结构，从而导致不同的完成延迟性能。因此，受条件约束的向量RLNC方案的设计值得进一步研究。在以下两个小节中，我们将介绍两个具有不同特征的设计实例。4.2. 受条件（?）约束的第一个向量RLNC方案实例：在本小节中，基于有限域GF()的矩阵表示（参见例如[23,30]），我们介绍了第一个受条件（?）约束的向量RLNC的明确设计实例。设是一个在上的L次原始多项式，是的根。因此，构成了GF()中的个不同的非零元素。用表示在GF(2)上的以下伴随矩阵：（12），其中。然后，集合（13）形成了GF()的矩阵表示，其中的作用与相同。具体来说，如果表示带有的矩阵表示，我们有（14）。定义以下矩阵集合（15）。设表示对于每个随机且独立地从中选择的向量RLNC方案。对于每一个编码数据包，存储P个编码系数矩阵的信息需要位。命题2：条件（?）适用于向量RLNC方案。证明：对于，用表示的唯一多项式表示；也就是说。这样，所有的都构成了中的个不同的非零向量。众所周知（参见例如[23]），（16），其中表示每当。这意味着由（?）给出的所有矩阵中的所有行都是不同的。由于是中的L个单位向量，（16）进一步意味着只有、和包含等于单位向量的行。由于这些不属于，因此任何矩阵中的任何行都不等于单位向量。我们现在可以得出结论，对于每一个，P个随机编码系数矩阵满足条件（?）。□根据命题2，只要代码维度L被设置为满足条件，高效估计过程就适用于向量RLNC方案。在相同的L下，设表示在GF()上的标量RLNC方案，其编码系数对于每个编码数据包都是随机且不同地从以下集合中选择的（17）。由于中的每一个都是在中的矩阵表示，一个在GF()上的矩阵是满秩的当且仅当在GF(2)上的矩阵是满秩的。结果表明，向量RLNC方案和标量RLNC方案具有相同的完成延迟分布。在GF()上的标量RLNC方案可以配备[26]中提出的高效GRAND辅助解码程序，以便可以从综合征中以可忽略的计算开销猜测出估计的错误向量。尽管在[26]中没有明确给出与相等的必要和充分条件，但我们在这里指出命题1中的条件也适用于。因此，我们有以下命题。命题3：对于向量RLNC方案和相应的标量RLNC方案，它们具有相同的完成延迟分布。当和分别配备了在前一小节和[26]中提出的高效GRAND辅助解码程序时，和也具有相同的完成延迟分布。尽管高效GRAND辅助向量RLNC方案的完成延迟性能与其对应的标量RLNC方案相同，但我们的设计在编码计算复杂性方面具有明显优势。在[23]中已经理论分析过，与从中随机选择的非零编码系数相比，在上使用的向量RLNC的理论编码复杂性可以减半。为了简洁起见，假设每个数据包包含1个符号；也就是说，它由L位组成。给定一个长度为L的二进制行向量，用表示其中的相应元素，其中表示与（17）中的相同原始元素。采用与[23]中类似的论证，我们从理论上比较了生成向量RLNC数据包和生成标量RLNC数据包所涉及的平均异或（XOR）操作数量，其中是从（15）中随机且不同地选择的，以及从（17）中随机且不同地选择的。与命题2的证明相同，对于元素，用表示其唯一的多项式表示；也就是说。为了生成，需要进行次异或运算，其中表示相应全局编码核中的非零项总数。由于P个编码系数矩阵满足条件（?），根据（16）中的表征，可以推断出的期望值为（18）。现在我们考虑在GF()上的标量编码情况。由于是定义的原始多项式的根，（19）。因此，对于，需要次异或运算来计算，其中表示中的非零系数数量。此外，请注意，在使用计算时，相当于计算，所以需要次异或运算。因此，对于具有唯一多项式表示的系数，需要次异或运算来计算，其中表示具有非零系数的最大次数；也就是说（20）。设表示基于先前分析的算术生成所涉及的异或总数。当在中随机且不同地选择时，（21）。作为基于（18）和（21）的明确比较，对于情况，和，平均需要512次异或运算来生成，其中是从（17）中随机且不同地选择的。平均需要321次异或运算来生成，满足（?），从而降低了编码计算复杂性。4.3. 受条件约束的第二个向量RLNC方案实例：除了前一小节中介绍的方案外，我们接下来介绍另一个受条件约束的向量RLNC设计实例。设为所有汉明重量为的L维二进制行向量集合；也就是说（22）。考虑具有在中随机且不同地选择的行的向量RLNC方案。为了确保这样的存在，中的向量数量必须满足（23）。因此，对于每个编码数据包，存储P个编码系数矩阵的信息需要位。命题4：条件自然适用于向量RLNC方案。对于错误接收到的数据包，第4.1节中的命题1描述了等于的高效估计错误向量的必要和充分条件。基于此，我们指出，的概率与前一节中介绍的向量RLNC方案的概率略有不同，因为的不同选择会导致方程（11）发生的概率不同（尽管差异很小）。作为示例，假设比特级传输遵循BSC，数据包擦除概率为，对于这两种方案，都有个原始数据包，代码维度为，数据包长度为。数值结果显示，在接收到第一个编码数据包并根据第一个综合征时，对于和，大约为。当数据包擦除概率变为某个值，并且数据包长度变为另一个值时（这意味着比特误差率显著增加），对于某些情况，编码复杂度会增加；而对于其他情况，则会减少。向量RLNC方案的一个特点是，其编码系数矩阵比某些方案中的要稀疏，因此可以实现比后者更低的编码复杂度。我们现在从理论上分析生成一个编码数据包所需的XOR操作次数。用表示全局编码核中非零项的总数。生成一个编码数据包所需的平均XOR操作次数为，其中（具体数值见公式（24））。作为明确的比较，在某些情况下，与之前小节中介绍的向量RLNC方案相比，该方案的平均XOR操作次数进一步减少。作为编码系数矩阵稀疏性的代价，该方案编码数据包之间的线性独立性较弱；也就是说，对于d个编码数据包，其满秩概率比前者要小。例如，在某些参数设置下，P个编码数据包的满秩概率非常高，而为另一个参数设置时，该概率则显著降低。编码数据包之间线性独立性较弱会增加接收端的平均完成延迟。为了说明这一点，假设接收端r首次获得了一组P个无误数据包，这组数据包包含一部分原始数据包和一部分编码数据包。用表示两种方案下接收端r的完成延迟差异。在简化假设下：（i）对于两种方案，接收端r平均需要E次传输才能获得一个无误编码数据包；（ii）对于所有参数，对于某些条件，对于其他条件，且保持不变，我们有（具体公式见公式（28））。上述方程表明，由于该方案中编码数据包之间的满秩概率较低，当不包含所有P个原始数据包时，接收端r需要额外收集一个无误编码数据包（即总共需要d个编码数据包）来进行RLNC解码，这平均需要额外E次传输。在没有GRAND过程辅助的情况下，情况会更糟。相比之下，有了高效的GRAND过程后，接收端r在接收到一个编码数据包时，有更高的机会直接获得所有P个无误原始数据包或获得更多无误编码数据包，从而减少了完成延迟。可以证明，与没有GRAND辅助的经典向量RLNC方案相比，考虑到编码数据包之间线性独立性较弱的影响，完成延迟性能有所改善。接下来我们将在下一节通过数值模拟来验证这一点。

在假设比特级传输的信道模型为无记忆BSC的情况下，[26]中已经对第4.2节中介绍的高效GRAND辅助标量RLNC方案在GF()上的完成延迟性能进行了广泛的理论和数值分析。根据命题3，这些分析也同样适用于第4.2节提出的带有高效GRAND过程的向量RLNC方案。在本节中，在相同的BSC信道假设下，我们将通过数值方法比较满足前一小节条件（?）的两种向量RLNC方案。图中显示的所有曲线都是基于模拟得出的。每个数据点是通过独立蒙特卡洛试验平均得到的。图例中，“方案1”对应于第一种方案，其参数设置为；“方案2, ”代表第二种方案，其参数设置为。图例“w/GRAND”表示带有高效GRAND过程来估计误差向量的RLNC方案，而“w/o GRAND”表示没有GRAND辅助的RLNC方案；也就是说，如果接收到的数据包与预期不符，则会被丢弃。

在第4.3节中，我们已经通过数值验证了对于某些参数，两种方案之间的完成延迟差异很小。接下来，我们将数值比较另一种方案下的分布情况，该方案表示在接收端r接收到第一个编码数据包后，高效GRAND过程无法正确恢复的数据包数量（在总数据包数中）。特别是，（具体公式见公式（30））。的分布与完成延迟性能密切相关。图1显示了在数据包长度为且数据包擦除概率为（对应于比特误差率为）的情况下，两种方案的概率质量函数（PMF）。结果表明，这两种方案的PMF几乎相同，这意味着接收端可以在基于第一个 syndrome 的高效GRAND过程后以高概率恢复所有P个原始数据包。图2比较了在参数设置下，两种方案在较短数据包长度和较差信道条件下的PMF（对应于比特误差率为）。随着比特误差率增加了一个数量级以上，在新设置下，的概率显著降低。此外，两种方案之间的分布也有轻微差异。与第4.3节关于两种方案之间轻微差异的分析类似，两种方案之间分布的轻微差异也是由于编码系数矩阵的不同选择导致（11）发生的概率不同。图2还显示了在参数设置下，两种方案的完成延迟累积分布函数（CDF）。接下来，我们比较了两种方案在接收端r的完成延迟的CDF。图3描绘了在数据包长度和数据包擦除概率设置下的完成延迟CDF。我们观察到，高效GRAND过程显著提升了两种向量RLNC方案的完成延迟性能。特别是，在接收到一个编码数据包后，高效GRAND过程显著提高了两种方案的成功恢复概率。此外，如图3所示，如果没有高效GRAND过程，两种方案之间的完成延迟有明显差异。如第4.3节所分析的，这是由于方案中编码数据包之间的线性独立性较弱，从而导致满秩概率较低，影响了RLNC解码。然而，当考虑到高效GRAND过程时，两种方案之间的性能差距减小了。这主要是因为在接收到第一个编码数据包后，接收端可以通过高效GRAND过程以高概率直接获得所有P个无误原始数据包，因此两种方案之间编码数据包不同满秩概率的影响变得可以忽略不计。图3显示了在不同参数设置下，不同向量RLNC方案的接收端r完成延迟CDF。图4显示了在数据包长度和数据包擦除概率假设下的接收端r完成延迟CDF。在这种情况下，即使在高比特误差率下，高效GRAND过程仍然可以对两种方案的完成延迟性能产生显著提升。与图3的观察结果相比，图4中带有高效GRAND过程的两种方案之间的性能差距变得更加明显。这是因为当前情况下的比特误差率更高，降低了通过高效GRAND过程恢复所有P个原始数据包的概率。因此，方案中编码数据包之间线性独立性较弱开始影响完成延迟性能。表1比较了在三种不同设置下接收端r的平均完成延迟。在所有设置中，GRAND辅助解码显著降低了两种方案的平均完成延迟。具体来说，在设置1中，的平均完成延迟分别降低了；在设置2中，当P和L变大而保持不变时，相应的降低幅度分别为和。在设置3中，当数据包擦除概率变大时，相应的降低幅度进一步增加至和。回想一下，在第4.3节中，方案和之间的预期差异在（29）中有所描述。在没有高效GRAND过程的情况下，我们有和。将这些代入（29）得到设置1中的，设置2中的，以及设置3中的，这些都与表1中的数值结果一致。有了高效GRAND过程后，在设置1和设置2中接近于零，导致小。在设置3中，也显著降低，且小于，两者共同减少了。这些分析和观察结果与数值结果一致。表1显示了在不同设置下接收端r的平均完成延迟：设置1：，，，；设置2：，，，；设置3：，，，。最后，基于上述观察结果，可以得出结论：当数据包擦除概率和相应的比特误差率较高时，方案在完成延迟性能上优于方案。这突出了我们在设计满足条件的向量RLNC方案时，在计算复杂性和解码性能之间的权衡。第一个设计实例基于GF的矩阵表示，继承了标量RLNC在GF()上的强线性独立性和高满秩概率特性。另一方面，第二个设计实例采用稀疏编码系数矩阵，显著降低了计算复杂度，但代价是在较差信道条件下由于编码数据包之间线性独立性较弱而导致性能略有下降。例如，如表1所示，在数据包擦除概率为的设置1中，带有GRAND辅助的方案的平均完成延迟为0.915，而不带GRAND辅助的方案为0.929，相当于性能下降了大约1.5%。

本文提出的高效GRAND辅助向量RLNC框架为编码系数集的设计提供了灵活性。本文提出的两个设计实例在计算复杂性和完成延迟性能方面表现出不同的特性。第一个设计实例基于GF的矩阵表示，继承了标量RLNC的强线性独立性特性，并实现了与相应标量RLNC方案相同的完成延迟性能，同时降低了解码复杂度。第二个设计实例采用稀疏编码系数矩阵，进一步降低了计算复杂度，但代价是在较差信道条件下由于编码数据包之间线性独立性较低而导致完成延迟性能下降。这种权衡突显了编码系数设计在向量RLNC中的重要性，这两种方案适用于不同的系统条件。特别是，方案适用于高错误率条件，而方案更适合资源受限的系统，尽管在完成延迟上有所下降。所提出的框架使得设计出同时满足设计规则并平衡计算复杂性和完成延迟性能的编码方案成为可能。尽管本文采用 BSC 模型进行分析和模拟，但该框架具有通用性，可以扩展到其他信道模型。特别是对于存在相关错误的信道（如突发错误信道），可能需要设计新的编码系数子集。这种通用性也为未来的研究开辟了有趣的方向，可以通过开发新的编码方案来进一步提高 GRAND 辅助标量 RLNC 在完成延迟方面的性能。