《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Enabling inverse design of metamaterials via trustworthy and interpretable representation learning with epistemic uncertainty awareness
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陈江策|艾鲁迈希评审团|尼基尔·古普塔
纽约大学坦登工程学院机械与航空航天工程系复合材料与力学实验室，美国纽约布鲁克林11201
**摘要**
超材料使得在紧凑、高性能系统中实现先进应用成为可能，例如软体机器人和机械神经网络，在这些系统中，连续且独立地调节有效属性至
陈江策|艾鲁迈希评审团|尼基尔·古普塔
纽约大学坦登工程学院机械与航空航天工程系复合材料与力学实验室，美国纽约布鲁克林11201
**摘要**
超材料使得在紧凑、高性能系统中实现先进应用成为可能，例如软体机器人和机械神经网络，在这些系统中，连续且独立地调节有效属性至关重要。要实现这种控制，需要解决逆向设计问题，即生成能够实现预定材料属性的介观尺度几何结构。然而，传统的拓扑优化方法在同时控制多种属性和实现平滑结构过渡方面常常遇到困难，而现有的基于机器学习的生成模型通常缺乏可解释的潜在表示和可靠的认知不确定性量化。为了解决这些问题，我们提出了一个可用于超材料逆向设计的可解释且具有不确定性意识的表示学习框架。该框架将有效的弹性材料属性直接嵌入到结构化的潜在维度中，从而实现连续且解耦的属性调节，并通过平滑的几何插值来实现。一个辅助的表面映射机制通过预测性能一致性来量化认知不确定性，为每个生成的设计提供一个可靠性指标。案例研究表明，估计的认知不确定性与目标弹性有效属性的实际设计误差之间存在强相关性，验证了该方法在可靠性评估方面的有效性。所提出的方法还支持高效探索材料属性空间、连续解耦的属性调节以及具有不确定性意识的多晶格拓扑优化。这些结果为具有可控属性的超材料逆向设计建立了一个可信且可解释的范式。
**引言**
开发高度紧凑和智能的机械系统（如变形机器人（Baines等人，2024年；Xu等人，2025年）和机械神经网络（Lee等人，2022年；Li和Mao，2024年）需要能够适应性强、依赖于刺激的响应的材料。这些系统通常需要空间上异质的机械行为以满足多目标性能要求。例如，一个软体机器人执行器可能需要一个坚硬的基部和一个柔顺的末端来实现力量放大和安全交互（Kim等人，2024年），而机械神经网络依赖于可调节属性的单元格，通过利用高维和非线性机械动力学作为计算资源来实现物理存储计算（Nakajima，2020年；Alù等人，2025年）。要实现这些功能，需要能够连续且独立地调节多种材料属性，这远远超出了传统材料的能力。
通过介观尺度晶格结构的复杂几何形状设计的超材料，并通过增材制造技术制造，已经显示出超越其组成材料的有效属性的潜力（Rao等人，2025年；Zhao等人，2025年；Yansong Liu等人，2025年；Gupta和Beckwith，2025年）。然而，现有的超材料逆向设计方法在实现连续且解耦的属性调节方面仍然存在困难。当前关于超材料逆向设计的研究主要分为两大范式：基于力学的拓扑优化（TO）和基于机器学习（ML）的生成模型。TO因其基于物理的严格公式化和在特定目标下优化结构的能力而被广泛采用。TO已被用于生成具有负刚度、可调泊松比和宽带波衰减的超材料（Sigmund，1994年；Zhang等人，2021年；Yin等人，2025年；Qihang Liu等人，2025年）。然而，TO对于高维设计空间在计算上要求较高，并且经常难以同时满足多个属性目标（Kangkang Chen等人，2025年）。此外，TO并不能内在保证几何平滑性或连续性，从而限制了其在分级晶格或多功能超材料等应用中的适用性，在这些应用中，属性过渡必须保持平滑以确保可制造性。与此同时，基于ML的生成方法最近获得了关注。例如，变分自编码器（VAE）模型已被提出用于从大型超材料数据集中学习紧凑的潜在表示，并已用于多晶格拓扑优化（Wang等人，2020年；陈江策等人，2025年；Choi等人，2025年）。基于条件GAN的框架已经展示了根据属性规格生成多样化设计候选者的能力（Wang等人，2022年；Felsch等人，2023年）。最近，基于扩散的生成模型也被用于超材料研究，提供了更强的属性调节能力和对复杂设计空间的更好覆盖（Jadhav等人，2024年；Yang等人，2026年；Wang等人，2024年；Zhang和Zhao，2025年）。这种生成设计过程还通过可解释的替代模型（例如随机森林Chen等人，2024年）和更具表现力的几何表示（如点云Hong等人，2024年）得到了改进。
尽管取得了这些进展，大多数现有的超材料设计ML模型仍然缺乏可解释的潜在空间：潜在变量与有效材料属性之间的关系通常是不透明的，使得用户无法直接控制属性调节。在更广泛的机器学习文献中，表示学习方法（如解耦VAE（Mathieu等人，2019年；Sarhan等人，2019年）、信息瓶颈方法（Yin等人，2024年；Wang等人，2023年）和对比学习框架（Yu等人，2022年）在将潜在维度与有意义的语义因素对齐方面取得了成功。然而，这些领域中的解耦目标通常关注于区分定性属性——例如图像处理中的视觉风格或自然语言中的语气——在这些情况下定义是模糊的，并且可以接受相当大的容忍度。相比之下，将这些方法应用于超材料则带来了独特的挑战：有效属性源于复杂的几何-物理耦合，并且必须以高精度满足定量工程要求。最近，Choi等人（2025年）提出了一种基于向量量化条件变分自编码器的物理可解释超材料生成模型，该模型可以将有效属性纳入潜在空间，以强制学习数据的受限表示。尽管该模型生成的超材料的有效属性在训练数据上可以达到高精度，但由于模型对数据分布中未探索区域的认知不确定性了解有限（Kendall和Gal，2017年），因此无法确定生成的超材料在目标属性超出训练分布时是否仍能保持高精度。因此，该模型在生成可信结果方面存在局限性，或者在涉及训练数据中未包含的有效属性的超材料逆向设计时存在高不确定性的问题。
大多数生成模型缺乏认知不确定性量化是一个普遍问题，使得用户难以信任模型生成的结果。传统上，贝叶斯神经网络（BNN）通过建模网络参数的分布来提供捕获认知不确定性的原则性方法。然而，BNN通常计算成本高，难以扩展到高维设计空间，并且在训练数据有限时难以提供校准的不确定性估计（Sheinkman和Wade，2025年；Izmailov等人，2021年；Papamarkou等人，2022年；Moslemi等人，2023年）。其他方法通过多个随机模型实现的统计变异来近似后验不确定性，例如蒙特卡洛（MC）随机 Dropout（Gal和Ghahramani，2016年）和深度集成（Lakshminarayanan等人，2017年；Zhu等人，2024年）。这些方法对于相对简单的输出结构（如分类和回归任务）是有效的（Zhu等人，2024年；Raja等人，2025年；Fernandez等人，2022年），因为在这种情况下可以直接计算预测方差。但对于复杂的生成输出（包括基于图像的设计表示），这些方法就不那么直接了。在这种情况下，定义多个生成样本之间的有意义偏差度量并不简单：两个几何上不同的设计可能在视觉上有所不同，但都满足规定的材料属性目标，使得输出空间的方差成为不可靠的认知不确定性代理。为了解决这一限制，有几种方法可以通过潜在空间嵌入间接估计认知不确定性，而不是直接在图像生成输出空间中估计。然而，在潜在空间中引入不确定性建模可能会使可解释性复杂化，特别是当潜在维度没有明确与物理属性对齐时。例如，Wang等人（2025年）提出了一种基于VAE结合混合密度网络（MDN）（Fan等人，2023年）的超材料逆向设计中的不确定性感知表示学习框架。在他们的方法中，MDN从潜在向量预测材料属性及相关不确定性，然后使用多目标进化算法搜索最佳匹配目标属性的同时最小化预测不确定性的潜在代码。虽然这种基于优化的逆向设计方法有效，但这种基于搜索的策略在隐式的潜在空间中操作，可能会限制连续且解耦的属性调节和平滑的几何过渡。
因此，本工作解决的核心挑战是在超材料生成模型中实现属性级别的可解释性和认知不确定性意识。我们认为，有意义且可靠的属性可解释性必须基于明确的认知不确定性量化。没有不确定性意识，生成模型可能会为任意属性输入产生输出，但没有任何原则性的机制来评估这些输出是否可以信赖地满足规定的材料属性，并在可接受的误差范围内。
所提出框架的关键创新在于将明确结构化的、与属性对齐的潜在表示与认知不确定性建模统一结合起来。通过将有效的材料属性直接嵌入到可解释的潜在维度中，并为每个生成的设计量化模型置信度，所提出的方法实现了连续且解耦的属性控制，同时提供了具有可靠性意识的逆向设计。这种整合为超材料设计建立了一个可信且可解释的生成范式，超越了现有的基于优化的或黑箱学习方法。本工作的主要贡献有三个方面：
1. 我们开发了一种基于神经运算符的新型可解释自编码器，用于超材料逆向设计，其中特定的潜在维度明确与材料属性对齐。
2. 我们引入了一种具有认知不确定性意识的重建机制，指示模型对于生成的超材料是否能在规定的误差范围内满足目标有效属性的信心。
3. 我们证明了所提出框架在材料属性空间探索、平滑且解耦的属性调节以及具有认知不确定性意识的多晶格拓扑优化方面的能力。
图1展示了所提出模型的概述和本文的结构。第2节介绍了直接属性可解释性的概念及其与认知不确定性意识的密切关系。第3节详细介绍了基于认知意识的学习框架，第4节构建了用于晶格逆向设计的认知不确定性感知自编码器（EAAE）。第5节评估了该模型支持的认知不确定性估计的性能，第6节探讨了模型在映射和插值材料属性空间方面的能力。第7节展示了平滑且解耦的属性调节结果，第8节展示了将EAAE集成到具有认知不确定性意识的多晶格拓扑优化框架中的情况。最后，第10节总结了结论和未来的研究方向。
**直接属性可解释性**
以往的生成模型可以表示为M?=Gθ(z)，其中G表示生成模型，θ表示模型参数，z是潜在向量，M?是生成的数据点，在本研究中对应于超材料结构。
所谓直接属性可解释性（DPI），是指感兴趣的材料属性明确嵌入到潜在向量z中。对于维度为dl的潜在空间（dp
**认知不确定性感知学习**
已经开发了多种神经网络框架来估计认知不确定性，其中bnn是最突出的例子之一。然而，bnn和相关贝叶斯方法通常仅限于输入和输出空间维度相对较低的问题，因为不确定性估计所需的后验推断在计算上非常密集，并且随着模型规模和数据维度的增加而扩展性较差（sharma和jennings，2020年）。为了克服这些限制，我们提出了用于超材料逆向设计的认知不确定性感知自编码器（eaae）。
我们的生成模型架构称为认知不确定性感知自编码器（eaae），其示意图如图3所示。eaae旨在：
(i) 将超材料结构编码到具有直接属性可解释性的潜在空间中；
(ii) 生成具有规定有效属性的超材料单元格几何结构；
(iii) 同时提供其重建的认知不确定性的定量估计。在这项研究中，该框架被证明……
**数据熟悉度、数据接近度和设计精度之间的相关性**
为了检验eaae的认知不确定性感知机制如何反映其对训练分布的了解，我们通过在训练数据集中引入高斯噪声并将扰动样本编码到潜在空间中进行受控扰动分析。对于每个扰动实例，我们计算了其与训练数据集的最小欧几里得距离，并分析了其与模型估计的数据熟悉度（fa在方程（6）中定义）和设计误差的关系……
**材料属性空间探索**
给定一个目标材料属性向量zdp，所提出的eaae通过优化潜在向量z来实现单晶格逆向设计，以生成的有效属性匹配预定目标，同时保持高数据熟悉度。 **认知不确定性感知学习** 已经开发了多种神经网络框架来估计认知不确定性，其中bnn是最突出的例子之一。然而，bnn和相关贝叶斯方法通常仅限于输入和输出空间维度相对较低的问题，因为不确定性估计所需的后验推断在计算上非常密集，并且随着模型规模和数据维度的增加而扩展性较差（sharma和jennings，2020年）。为了克服这些限制，我们提出了用于超材料逆向设计的认知不确定性感知自编码器（eaae）。 我们的生成模型架构称为认知不确定性感知自编码器（eaae），其示意图如图3所示。eaae旨在： (i) 将超材料结构编码到具有直接属性可解释性的潜在空间中； (ii) 生成具有规定有效属性的超材料单元格几何结构； (iii) 同时提供其重建的认知不确定性的定量估计。在这项研究中，该框架被证明…… **数据熟悉度、数据接近度和设计精度之间的相关性** 为了检验eaae的认知不确定性感知机制如何反映其对训练分布的了解，我们通过在训练数据集中引入高斯噪声并将扰动样本编码到潜在空间中进行受控扰动分析。对于每个扰动实例，我们计算了其与训练数据集的最小欧几里得距离，并分析了其与模型估计的数据熟悉度（fa在方程（6）中定义）和设计误差的关系…… **材料属性空间探索**>
**认知不确定性感知学习**
已经开发了多种神经网络框架来估计认知不确定性，其中bnn是最突出的例子之一。然而，bnn和相关贝叶斯方法通常仅限于输入和输出空间维度相对较低的问题，因为不确定性估计所需的后验推断在计算上非常密集，并且随着模型规模和数据维度的增加而扩展性较差（sharma和jennings，2020年）。为了克服这些限制，我们提出了用于超材料逆向设计的认知不确定性感知自编码器（eaae）。
我们的生成模型架构称为认知不确定性感知自编码器（eaae），其示意图如图3所示。eaae旨在：
(i) 将超材料结构编码到具有直接属性可解释性的潜在空间中；
(ii) 生成具有规定有效属性的超材料单元格几何结构；
(iii) 同时提供其重建的认知不确定性的定量估计。在这项研究中，该框架被证明……
**数据熟悉度、数据接近度和设计精度之间的相关性**
为了检验eaae的认知不确定性感知机制如何反映其对训练分布的了解，我们通过在训练数据集中引入高斯噪声并将扰动样本编码到潜在空间中进行受控扰动分析。对于每个扰动实例，我们计算了其与训练数据集的最小欧几里得距离，并分析了其与模型估计的数据熟悉度（fa在方程（6）中定义）和设计误差的关系……
**材料属性空间探索**
给定一个目标材料属性向量zdp，所提出的eaae通过优化潜在向量z来实现单晶格逆向设计，以生成的有效属性匹配预定目标，同时保持高数据熟悉度。>算法1总结了这一迭代过程。从随机初始化的潜向量开始，算法将z的前dp个分量固定为目标材料属性zdp，并迭代更新剩余的潜变量。在多功能机械系统的设计中，零件的不同区域通常需要定制的局部材料属性。通过设计局部几何形状对应于不同有效材料响应的超材料，可以实现这种材料属性的空间变化。在本节中，我们展示了所提出的EAAE框架如何通过启用平滑插值和解耦的属性调整来提高晶格生成模型的性能。先前的多晶格拓扑优化（MLTO）框架依赖于一个晶格生成模型，其潜在空间作为隐式设计表示（Chen等人，2024年；Jiangce Chen等人，2025年）。在这些方法中，基于梯度的优化方法将生成模型的潜向量分配给离散化的空间元素，同时满足材料使用和可制造性等约束条件，从而优化整体结构性能。所提出的框架对实际应用具有直接影响。在实际工程场景中，例如软体机器人执行器（Rafsanjani等人，2019年）、机械逻辑电路（Mei等人，2021年）、振动隔离结构（Al Rifaie等人，2022年）以及具有多种功能的轻量化承重组件（Xiao等人，2024年），设计人员通常需要在确保可靠性的同时，对有效属性进行连续和解耦的调整。
作者声明：作者声明他们没有已知的财务利益冲突或个人关系可能影响本文所述的工作。感谢美国国家科学基金会（NSF）的CNS-2234973项目对这项工作的支持。作者还感谢纽约大学机械与环境工程系（NYU MAE）的本科生研究学者计划和暑期本科生研究计划对Jury的支持。本文中表达的观点仅代表作者本人，不代表资助机构。
